Bài Tập tích phân ôn thi TN-ĐH-CĐ – Thầy Đồ – Dạy toán – Học toán

(TN ban KHTN, laàn 2, 2007) Cho hình giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh khi quay hình quanh truïc.. hoaønh.[r]

BÀI TẬP Bài Tính tích phaân sau:

a)

2

0

(3x - 5x+1)dx

ò

; b)

2

2

(2x+1)(x - x+3)dx

ò

; c)

4

1

1

x dx

x

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ũ

; d)

1 3 2

2

2x x 1dx

x

- +

ò

; e)

2 2

0

3

1

x x

dx x

- +

+ ò

; f)

0( 1)( 2)

dx x+ x+ ò

; g)

3

2

2

dx x - x+ ò

; h)

2

3

1

( x+ x+ x dx) ò

; i)

3

1

x dx

x

-ò

; j)

1

0

x x

e +e- dx

ò

; k)

4

4

(3 ) x

x e dx -ò

Đáp số :

a) –

2; b)

341

96; c)

20 ; d) –

20

3 ; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3;

g) –

3ln2; h)

3

4 133 + + - 60 ; i)

3 3(3 4) 10 - ; j)

1

2e e

ổ ửữ ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ; k) 28 4e. Baứi Tớnh tích phân sau:

a)

1

x- dx

ò

; b)

3

2

0

1 2x x dx- + ò

; c)

1

1

x dx

x

-ò

d)

2

2

2

x x dx

-ò

; e)

4

0

1 sin2xdx p

+ ò

Đáp số :

a) 1; b)

5

2; c)

1 4;

d) 19

3 ; e) + 2;

Bài Tính tích phaân sau:

a)

2

3

cos xdx p

p ò

; b)

4

0

sin xdx p

ò

; c)

4

2

1 cos cos

xdx x

p -ò ;

d)

2

6

sin cos

dx

x x

p

p ò

; e)

3

2

4

cos2 cos sin

xdx

x x

p

p ò

; f)

sin2 cos3x xdx

p ò

;

g)

2

sin7 sin2x xdx

p

p

-ò

h)

3 2

2

4

cos sin

x tg xdx x

p

p

-ò

; i)

3 sinxdx

p

p ò

Đáp số :

a)

3 12

p

-; b)

1 32

p - +

; c) –

2 ; d)

4

3 ; e) –

4

3 + 2; f) – 5; g)

4

45; h) –

7 3 12

p

-; i)

1ln3 ln(2 3)

2 - - .

a)

2

2

14 3cos

dx x

p

p £ £ p

+ ò

; b)

4

2

4

4 2sin

dx x

p

p

p£ £ p

-ò

; c)

( )

11

7

54 x 11 x dx 108

-£ ò + + - £

; d)

2

2

5

xdx x

£ £

+ ị

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số gặp tích phân có dạng sau: Khi hàm số dấu tích phân f(x) phân tích thành tích hàm số hợp g[j (x)] đạo hàm hàm số bên trongj ’(x) tức f(x) = g[j (x)].j ’(x) Khi đó, để tính:

( ) [ ( )] '( )

b b

a a

f x dx= g xj j x dx

ò ò

ta thực phép đổi biến số t = j (x) ta có ( ) [ ( )] '( )

b b

a a

f x dx= g xj j x dx

ò ò

= ( )

g t dt

b

a ò

(*) Trong đó, avà b xác định a= j (a) b = j (b).

Chú ý: Khi sử dụng cơng thức đổi biến số (*) phải nhớ rằng: Khi đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta phải đổi cận lấy tích phân từ a, b sang a, b ta tính tốn với cận ấy, khơng cần phải quay lại biến số cũ x tích phân bất định

BÀI TẬP Tính tích phaân sau:

1)

4

1

(2x- 1) dx

ò

; 2)

1

2

0

( 1)

x x + dx

ò

; 3)

5

0

(1 )

x - x dx

ò

4) 3 16 x dx x -ò ; 5) 3

1( 1)

xdx x - + ò ; 6) 2 x dx x x + + + ò ; 7)

3

0

8

x - x dx

ò ; 8)

x - x dx

ò ; 9)

x - x dx

ò ; 10)

x +x dx

ò

; 11)

0 2 1

x dx

x +

ò ; 12)

3 2 1 x dx x + + ò ; 13) 3 x dx x + + ò ; 14) 3 x dx x + ò ; 15) dx x x

-ò ; 16) dx x x +

ò ; 17) tg xdx p ò ; 18) cotgxdx p p ò ; 19) sin 3cos x dx x p + ò ; 20) 3

sin xcosxdx

p ò ; 21) cos2 2sin2 xdx x p + ò ; 22) sin2 cos xdx x p p + ò ; 23) cos xdx p ò ; 24) sin xdx p p ò ; 25) 2 sin2 cos x dx x p + ò 26) 4cos sin x dx x p + ò ; 27) 4sin s x dx co x p + ò ; 28) 2

0 sin 9cos

dx x x p + ò ; 29) 4 sin4 sin cos xdx x x p + ò ; 30) sin2 sin x dx x p + ò ; 31) (sin 2cos )

34) 2 sin sin2 x e xdx p p ò ; 35) 6 sin cos sin xdx x x p + ò ; 36) 2 sin cos xdx x p + ò ; 37) x e dx x ò ; 38) ln2 2 x x e dx e + ò ; 39) 1 x x e dx e -+ ò ;

40) e

x x

dx e - e

-ò ; 41) 1 ln e xdx x + ò ; 42) ln e e dx x x ò ; 43)

sin(ln ) e x dx x ò ; 44) 1 ln e xdx x + ò

45)

ln (ln ) e

xdx xéêë x + ùúû ò ; 46)

ln ln e x xdx x + ò ; 47) dx x + ò ; 48) dx x + ò ; 49)

2

dx x - x+ ò

; 50)

4

0

dx

x + x +

ò ; 51) xdx x +x + ò ; 52)

1 x dx -ò ; 53) 2

x - x dx

ò ; 54) 2 2 x dx x -ò ; 55)

2 2

0 a

x a - x dx

ò ; 56) 2 1 x dx x -+ ò ; 57) 2 1 x dx x + + + ò ; 58) 2 1 x dx x x + + - + ò ; 59) 2

x - xdx

ị ; 60) 2sin sin2 xdx x p -+ ị ; Đáp số :

1) 121

5 ; 2)

26281

491520; 3)

168; 4) + 8ln 15; 5)

3

50; 6)

2ln3; 7) – 4; 8)

9)

45; 10) 848

105; 11)

3; 12) 106

15; 13)

46

15; 14) 141

20 ; 15) 3 p

; 16)

1 ln 3; 17)

1

2ln2; 18)

2ln2; 19)

3ln2; 20) 64; 21)

1ln3

4 ; 22) 3+ ln2 – 1; 23);

3; 24) 43

120 ;

25) ln2; 26) 2; 27) 2; 28)

2arctan3 p

-;

29) ln2; 30) p

; 31)

1

6; 32)

6

- +

; 33)

10

27 ; 34) e – e; 35) 4 p

; 36)

p ; 37) 2e(e – 1); 38)

2

3 ; 39)

2 ln

1

e

e+ ; 40) + 2arctge –

41)

3; 42)

15

4 ; 43)1 – cos1; 44) ln(1 2)

2

+ +

45)

2ln2; 46)

3

9 3

8 - ; 47) 4 p

; 48) p ; 49)

p

; 50)

1

8 36 ổ ửữ ỗ - ữp

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ ; 51) 83p; 52) p4;

53) p; 54) p

-; 55)

2 16

a

p

; 56)

6 19 2ln

17

ổ + ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

57) p

; 58) p

; 59) 1; 60)

* Vài đề thi

1) (A, 2005)

0

sin2 sin 3cos

x x

I dx

x

p

+ =

+ ị

Đ.S: 34 27;

2) (B, 2005)

0

sin2 cos cos

x x

I dx

x

p

=

+ ị

Đ.S: 2ln2 1- ;

3) (D, 2005) ( )

2 sin

0

cos cos x

I e x xdx

p

=ị +

Đ.S: e p - +

;

4) (TN, 2005) ( )

2

0

sin cos

I x x xdx

p

=ị +

Đ.S: 2 p

-

5) (CÑKTÑN, 2005) I = e

e2

x ln x( ) ln ln x ( ( ))

x 

  

d

(

1 2ln2

2 +

) 6) (CÑKTCN, 2005)

( )

2

0

sin ln cosx x dx

p

+ ò

(- +1 2ln2) II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Định lý: Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] : ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

b b

b a

a a

u x v x dx=u x v x - v x u x dx

ò ò

Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv u’(x)dx = du nên cơng thức viết gọn

b b

b a

a a

udv=uv - vdu

ị ị

Tích phân dạng

( ) b

x n a

P x ea +bdx

ị

biến x

Phương pháp : Đặt

ta có '( ) ( )

, n

n

x x

du P x dx

u P x

dv ea +bdx v ea +bdx

ì =

ì = ï

ï ï

ïï ï

í í

ï = ï =

ï ï

ïỵ ïỵ ị

Chú ý: Ta phải tính tích phân phần theo n lần. BÀI TẬP

Tính tích phân sau

1)

0 x

xe dx

ò

; 2)

1

0

(x +2 )x e dxx

ò

; 3) ln

2

0 x

x

xe dx

-ò

; 4)

2

ln

1 ln . e

x

xe dx x

ò

; 5)

2

0

(e-x+x dx) ò

Đáp số:

1) 1; 2) e; 3)

2

1(2 1 )

e e

e e e

+

-4)

2; 5)

1 17

2e e

- +

- Tích phân dạng I1 =

2

( )cos( ) ; ( )sin( )

b b

n n

a a

P x a + bx dx I = P x a + bx dx

ị ị

Phương pháp :

* Để tính I1 ta đặt :

ta coù

'( ) ( )

, 1

cos( ) cos( ) sin( )

n

n du P x dx

u P x

dv x dx v x dx x

ì = ï ì =

ï ï

ï ï

ï ï

í í

ï = a + b ï = a + b = a + b

ï ï

ïỵ ïïỵ ị a

ta coù

'( ) ( )

, 1

sin( ) sin( ) cos( )

n

n du P x dx

u P x

dv x dx v x dx x

ì = ï ì = ï ï ï ï ï ï í í

ï = a + b ï = a + b = - a + b

ï ï

ïỵ ïïỵ ị a

Bài tập: Tính tích phân sau:

1) sin x xdx p ò ; 2) s xco xdx p ò ; 3) 2

(x 1) sco xdx

p -ò ; 4)

(2 x)sin3xdx

p -ò ; 5) 2 cos x xdx p ò ; 6) sin cos 2 x x x dx p ò ; 7) 3 s

x co x dx

p p ị ; 8) 3 sin xdx p ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗố ứ ; 9) sin x xdx p ị Đáp số:

1) 1; 2)

3 p -; 3) p -; 4)

9; 5)

3

1

48p - 8p; 6) 2; 7)

2

5 3

48 16

p p -

-; 8) p – 6-; 9) 12

2 p

-

 Tích phân dạng I =

và

*

( )[ln( )] , ( ) b

n a

P x x dx n p x

x

ẻ

ũ Ơ

Phương pháp :

Đặt

ta có

1 ln ) (ln )

,

( ) ( )

n

n du n x dx

u x

x

dv P x dx v P x dx

-ìï ì = ï = ï ï ïï ï í í ï = ï ï ï = ïỵ ïïỵ ị

Ta tính tích phân phần n lần.

BÀI TẬP

1) ln e

xdx

ò

; 2)

2

1 ln e

xdx x

ò

; 3)

5

2

2 ln(x x- 1)dx

ò

; 4)

2

1 (ln ) e

x dx

ò

; 5)

2

1 ln e

x xdx

ò

; 6)

2

1 ln e

x dx x

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ ũ

; 7)

3

ln e

xdx x

ò

; 8)

( 1)ln e

x- xdx

ò

; 9)

2

ln(1 x)dx

x

+ ò

;

10)

2

6

ln(sin ) cos

x dx x

p

p ò

; 11)

2

0

ln( 1+x - x dx) ò

; 12)

1 ln e

x xdx

ò

;

Đáp số:

1) 1; 2) 4; 3) 48ln2 –

27 ; 4) e – 2; 5)

2 1

4

e

-; 6) –

5

e ;

7)

2

e e

-; 8)

2 3

4

e

-; 9) 3ln

2 ; 10)

3 3ln

4

ổ pữ ỗ ữ-ỗ ữ ỗ ữ

ỗố ứ ; 11) 2ln( – 2) + –1; 12) 161(3e +4 1); * Khối D, 2004) Tính tích phân I =

3

2

ln(x - x dx) ò

Đáp số : I = 3ln3 – 2. Tích phân dạng

sin( ) cos( )

b b

x x

a a

ea +b mx n dx hay+ ea +b mx n dx+

Đặt

ta coù 1cos( )

sin( ) ,

1

cos( ) sin( )

x

x du e dx

u e

v mx n

dv mx n dx m

dv mx n dx v mx n

m

a +b

a +b ìïï = a

ìï = ï

ï ï

ï ï é

ï ï

ïé = + ïê= - +

íê í ê

ï ï

ïê ï ê

ï = + ïê

ïêë ï = +

ï ï

ỵ ï ëê

ïỵ (Hoặc đặt ngược lại)

Ta lấy tích phân phần hai lần giải phương trình

BÀI TẬP Tính tích phân sau:

1)

0 cos x

e xdx

p

ò

; 2)

2

0

cos3 x

e xdx

p

ò

; 3)

2

0 sin x

e xdx

p ò

; 4)

1

2

0 sin x

e pxdx

ò

; 5)

sin(ln ) e

x dx

ò

; 6)

s(ln ) e

co x dx

ò

;

7) cos

0

(e x x)sinxdx

p

+ ò

; 8)

2

0

(x sin2 )x dx

p

+ ò

; 9)

2

4 sin

xdx x

p

p ò

Đáp số:

1)

2 1

2

e

p

-; 2) –

3

13

ep+

; 3)

2 1

8

ep -; 4)

2 ( 1) 4(1 )

e

p

-+ p ; 5)

1 cos1 sin1

e e

- +

; 6)

e

(sin1 + cos1 –1) 7) p + e +

1

e; 8)

3

1

4p + p4 ; 9)

3 3ln

4 2

p- p +

I CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP. Tính tích phân sau: TN, 1994 (2 điểm)

1) ; 2)

ÑS: 1)

15; 2)

3

8

e 

TN, 1996 (2 điểm)

1) 2)

ÑS: 1)

248 35

3 ln  ; 2)

2 2

3 

TN, 1997, đợt (2 điểm)

1) 2)

ÑS: 1) 18ln3  8ln2  5 ; 2)

16 15 

TN, 1997, đợt 2

1) ÑS:

3

8 ln  TN, 1998, Đề thức (2 điểm)

1) 2)

ĐS 1)  2; 2)

TN, 1998, đợt (2 điểm)

1) ÑS:

1 e

e   

TN, 1998, đợt (2 điểm)

1) ÑS:

39

12  ln . TN, 1999, đợt (2 điểm)

; ÑS:



TN, 1999, đợt (2 điểm)

1) Tính tích phân (ĐS: 15).

2) Giải phương trình

TN, 2000

1) Cho hàm số Hãy tính đạo hàm giải phương trình

;

2) Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Mỗi bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm

TN, 2000  2001 (1 điểm)

1) Tính tích phân (ĐS:

3 32  ). TN, 2001  2002 (2 ñieåm)

trên đoạn 0;2       .

2) Có số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đơi khác nhau?

TN, 2002  2003 (2 điểm)

1) Tìm nguyên hàm hàm hàm số

Biết

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng

Đáp số 1) 2)

(TN 2003 – 2004) Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường

quay quanh trục ĐS

(TN, 2005) Đ.S:

TN không phân ban, 2006)

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng

2 Tính tích phân

Đáp số 1) 2)

(TN 2006, Ban KHTN) ÑS

(TN không phân ban, 2007) ĐS (TN ban KHTN, lần 1, 2007) ĐS (TN ban KHXH, lần 1, 2007) ĐS (TN không phân ban, 2007) ĐS

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Cho hình giới hạn đường Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình quanh trục

hồnh ĐS

(TN ban KHTN, lần 2, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn

đường ĐS 36 (đ.v.d.t.)

II CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

1 (Khối A, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường Đáp số 2 (Khối B, 2002) Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường

Đáp số Tính tích phân sau:

3 (Dự bị 1, 2002) (Đáp số:

1 2

ln 

4 (Dự bị 2, 2002) (Đáp số 2  1)

5 (Dự bị 4, 2002) (Đáp số

3 4e  7). 6 (Dự bị 5, 2002)

Đáp số: 12 91).

7 (Khối A, 2003) (Đáp số:

1 4ln3).

8 (Khối A, Dự bị 1, 2003) (Đáp số:

2 4ln 



)

9 (Khối A, Dự bị 2, 2003) (Đáp số: 15).

10 (Khối B, 2003) (Đáp số:

1 2ln ).

11 (Khối B, Dự bị 1, 2003) (Đáp số: 20

3 ).

12 (Khối B, Dự bị 2, 2003) Cho hàm số

Đáp số:

2 a , b   

 

13 (Khối D, 2003) ĐS

14 (Dự bị 1, Khối D, 2003) ĐS

15 (Dự bị 2, Khối D, 2003) ĐS

16 (Khối B, 2004) (Đáp số:

116 135).

17 (Khối A, 2004) (Đáp số:

11  ln ).

18 (Khối D, 2004) (Đáp số: 3ln3  2)

19 (Dự bị 1, 2004) ĐS

20 (Dự bị 2, 2004)

ÑS

21 (Dự bị 3, 2004) ĐS

22 (Dự bị 4, 2004) ĐS

23 (Dự bị 5, 2004) ĐS

25 (B, 2005) Ñ.S:

26 (D, 2005) Ñ.S:

27 (Dự bị 1, 2005) ĐS

28 (Dự bị 2, 2005) ĐS

29 (Dự bị 3, 2005)

ÑS

30 (Dự bị 4, 2005) ĐS

31 (Dự bị 5, 2005) ĐS

32 (A, 2006) ÑS

33 (B, 2006) ÑS

34 (D, 2006) ÑS

35 (Dự bị 1, A, 2006) ĐS

36 (Dự bị 2, A, 2006) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol đường thẳng ĐS

38 (Dự bị 2, D, 2006) ĐS

39 (Dự bị 1, B, 2006) ĐS

40 (Dự bị 2, B, 2006) ĐS

41 (D, 2007) ĐS

42 (A, 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường ĐS

43 (Khoái B, 2007)