CHUYEN DE ON THI VAO 10

208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê CHUN ĐỀ TOÁN THI VÀO 10 CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC _ BÀI TOÁN PHỤ A LÝ THUYẾT CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC �A neu A �0 A2  A  �  A neu A < � AB  A  B A2 B  A (Với A �0; B �0 ) A B A B (Với A �0; B  ) (Với B �0 ) B (Với A �0; B �0 ) A B A B   A2 B A2 B A  B B A A B  B B (Với A  0; B �0 ) (Với A �0; B  ) AB (Với B  )  C A �B C  A  B2 A �B C C  A� B 1  A 3   A� B (Với A �0; A �B )  A B (Với A �0; B �0; A �B )  A3  A XÁC ĐỊNH NHANH ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A ĐKXĐ: A �0 VÍ DỤ Ví dụ: x  2018 ĐKXĐ: Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ x �2018 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê A B A A B ĐKXĐ: A �0; B  A B � �A �0 � � �B  � � �A �0 � � �B  � ĐKXĐ: � B ĐKXĐ: B �0 ĐKXĐ: B  Cho a > ta có: � x a x2  a � � x a � Cho a > ta có: x2 Ví dụ: x  x2 Ví dụ: x3 Ví dụ: x x3 Ví dụ: x 1 x2 ĐKXĐ: x �3 ĐKXĐ: x3 ĐKXĐ: �x �0 � x3 � �x  ĐKXĐ: � �x  �0 � � x  2 � �x   � �� � x �1 �x  �0 � � � � �x   � � x a �� x a � Ví dụ: x  x a� a x a Ví dụ: x  � 2  x  2 Chú ý 1: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng tổng quát 1: A( x)  k � A( x )  �k ( k �0) với k số Dạng tổng quát 2: A( x)  B ( x ) � A( x )  �B ( x ) Dạng tổng quát 3: A( x)  B( x)  Trường hợp  Trường hợp Nếu A( x) �0 phương trình trở thành A( x)  B( x) Nếu A( x)  phương trình trở thành A( x)   B ( x ) Chú ý 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Dạng tổng quát 1: Dạng tổng quát 2: Toán học đam mê f ( x)  g ( x) �  g ( x )  f ( x)  g ( x) Đặc biệt với số k  f ( x )  k �  k  f ( x)  k �f ( x)  g ( x) f ( x)  g ( x) � � �f ( x)   g ( x ) �f ( x)  k f ( x)  k � � �f ( x)   k Đặc biệt với số k  Dạng tổng quát 3:  Trường hợp  Trường hợp 2 2 f ( x )  g ( x) � f ( x )  g ( x ) f ( x)  g ( x) � f ( x)  g ( x) Chú ý 3:Bất đẳng thức Cô – Si cho hai số a, b không âm ta có: a  b �2 ab Dấu “ = ” xảy � ab Ví dụ: cho x �2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x x Hướng dẫn Vì x �1  Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có Dấu “ = ” xảy � x A x 1 �2 x  x x � x 1 x Vậy Amin  � x  Ví dụ: cho x �2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  x Hướng dẫn Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ x 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Cách giải sai: Vì x �2  Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có B x 1 �2 x  x x Dấu “ = ” xảy � x � x 1 x (khơng thỏa mãn x �2 ) Vậy Bmin  � x  Gợi ý cách giải đúng: Dự đoán Bmin đạt mức x  ta có B  nx   x  nx x Dấu “ = ” xảy � nx  � �� x � �x  Do ta có B x �x � �  � �4 x �Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có x 1  �2   x x x Dấu “ = ” xảy Vậy Bmin  � x  � x2 x (vì x �2 ) � x2 Ví dụ: cho x �3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  x x Hướng dẫn Tương tự: Vì x �3  Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si ta có x �x � 10 C  x   �  �� x �9 x � Dấu “ = ” xảy � x  Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức D x  12 x  với x �0 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Toán học đam mê Hướng dẫn Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Cơ – Si ta có D x2  16  �4 x 2 Dấu “ = ” xảy � x  CÁC BƯỚC RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân tích tử thành nhân tử Bước 3: Chia tử mẫu cho nhân tử chung tử mẫu Bước 4: Khi phân thức tối giản ta hồn thành việc rút gọn Ví dụ: Rút gọn biểu thức � x 2 x  ��x  � A�   x  � � � �x  x  x 1 � � � �� x Hướng dẫn �x  � Điều kiện: �x �1 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê � x 2 x  ��x  � A� �  x  1� �x  x   x  � � � � �� x � x 2 A�  � x  � �  �  A� �  � � A A  � x 1 x  x � � x x 1 � � x 2   x  1  x    x  1   x  1  x  1   x  1  x 2 2 x  x 1   x 1 � x 1 � � x 1 � x �  x 1 x x 1  x 1 B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các tốn rút gọn, tính giá trị biểu thức chứa số Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức a) A   b) B   12 c) C  19  d) D   Hướng dẫn a) b) c) d) A 62    1   B   12    C  19     3 D  5   3 1  1   1  1  4  4  3  3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức a) A   b) B   15 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Toán học đam mê c) C   d) D   13   13 Hướng dẫn a) b) c)  A  42   1  B   15   1  15   2 5 C  94  2 � � 2� d)   13     15   2 D   13   13   2  14  13  14  13   2� 13  � � Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức a) c) C A b) 62 52  1 3   5 6 6 B 1 1     1 2 3 99  100 3 d) D     Hướng dẫn a) A 62 52 1 3    2 1 3 1 3 B 3    5 6 6  5   4 6   6 b)        C c)   1 1     1 2 3 99  100   1    3        100  99  Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/  208/ Nhóm Toán THCS Toán học đam mê 7 5 7 D  7  7  5 7     5  7 7  7  2 d) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức b) B     a) A   2   c) C  14    21 d) D    10 62 Hướng dẫn a) A   2        2  b) B          2 c) C  D    10  62 d) 14    21      10  21   1    1   7    3 2   7 4  1 Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức a) A     b) B 3 c) C     3 d) D     5   29  12 Hướng dẫn a) A          b) B   29  12   62   1  14 C  7  7  5 7   5   5 7 7  7 c) Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/  2 208/ Nhóm Tốn THCS D  2  2  d) Toán học đam mê   5      2 2  2  1 Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức b) a) A     B   13    13  3 d) D     3 c) C  20  14  20  14 Hướng dẫn a) A          2 b) B   13    13          1   1  3 c) C  20  14  20  14 40  20  14  20  14 20  14  20  14     d) D      4 18      5      94 94  94  3 Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức a) A  11   11  c) C   2   b) B  41  12  41  12 d) D 5   29  12 Hướng dẫn a) A  11   11       b) B  41  12  41  12      2 c) C   2        2  Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/  208/ Nhóm Toán THCS d) D 5  Toán học đam mê   29  12   32 3   1  Các toán rút gọn chứa ẩn tốn phụ Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC A KHI x  x0 Phương pháp: Rút gọn giá trị biến (nếu cần) sau thay vào biểu thức cho thay vào biểu thức cho tính kết Ví dụ: Cho biểu thức A  2x  x  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x  Hướng dẫn x  x  x �4 � x  x �4 � A  2x  x   � � x  x  x < �x  x < � a) Ta có b) Khi x  ta có: A    Ví dụ: Cho biểu thức x 1 x 25 x   4 x x 2 x 2 A a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x 2 Hướng dẫn A a)  x 1 x  x  2x    4 x x 2 x 2 x4 x 4  2 x  2 x b) Ta có: x   2 x 2 x   x 1   x  2   x  2 x x 2 2 x  2 với ĐKXĐ: x �0; x �2    2  2  1 � x  1 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ x  2x 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số Phương pháp:  Thêm bớt hạng tử  Nâng lên lũy thừa hai vế  Phép nhân liên hợp … Từ phép biến đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Ví dụ: Giải phương trình a) 2 1 x  x   x  x    3x  x  x   ;(1) 9 b) 1 x   x  x    x  x  x  1 ; (2) 4 Hướng dẫn a) Điều kiện: VP �۳ x 2 � 1� (1) � x  x   �x  �   3x  1  x   � 3� 2 1 � x  x    x  1  x   � 1� � �x  �   3x  1  x   � 3� � x 1   x  1  x   3 �x Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê �1 � S  � � �3 Vậy Ví dụ: Giải phương trình x    x  x  14 x   0;(*) a) b) x   x  2; x  x    x  x    2 c) Hướng dẫn  �x �6 a) Điều kiện: (*) �     x      x  x  14 x   � � � ( x  5) �    x  1 �  x 1 � 3x   � � �    3x  1 �  �x �6 �  x 1 � Với � 3x   Vậy S   5 Ví dụ: Giải phương trình GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Dạng 1: Sử dụng biến đổi đại số Phương pháp:  Thêm bớt hạng tử  Nâng lên lũy thừa hai vế  Phép nhân liên hợp … Từ phép biển đổi đại số ta giải phương trình đơn giản mà ta biết cách giải Ví dụ: Giải phương trình Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê a) 2 1 x  x   x  x    3x3  x  x   9 b) 1 x   x  x    x3  x  x  1 4 (1) Hướng dẫn a) Điều kiện:  1 � x 2 � 1� x  x   �x  �   x  1  x   � 3� x2  � VP �۳ 1 x    x  1  x   � 1� � �x  �   x  1  x   � 3� 1 � x    3x  1  x   3 �x �1 � S  � � �3 Vậy Ví dụ: Giải phương trình x    x  x  14 x   (*) a) b) x   x  x  2x    x  2x    2 c) Hướng dẫn  �x �6 a) Điều kiện:  * �     x      x  x  14 x   � � �  x  5 �    3x  1 �  x 1 � 3x   � � �    x  1 �  �x �6 �  x 1 � Với � x   Vậy S   5 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Ví dụ: Giải phương trình a) x   x  x3  x  x  17  x   (**) b) Hướng dẫn b)  ** �  x  1  16  x   Sử dụng bất đẳng thức  x  1 Do a  b �a  b nên  16  x  �x     x  �4  x  � x   � x  S   1 Vậy Dạng 2: Đặt ẩn phụ Phương pháp: Đặt ẩn, hai ba biểu thức phức tạp ẩn (gọi ẩn phụ) giải phương trình thu sau tìm nghiệm Loại 1: Sử dụng ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình a)   x  x   x   3 x 2 b) x   x  x  x  Hướng dẫn a) Với x  khơng phải nghiệm phương trình Với x �0 ta chia hai vế phương trình cho x ta x2  � 1�   �x  � 3 t  x  �2 x � x� x Đặt (Cô-si) t �3 � t     t  � �2 �t 2 t  9t  14  � (thỏa mãn) Phương trình trở thành � x   � x  x Với t  S   1 Vậy Loại 2: Sử dụng hai ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình a) x  x   x  x   x  Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS b) Tốn học đam mê x   10  x  Hướng dẫn a) Đặt � � x  5x   a � 2 x  x 1  b � � Điều kiện: a  0, b  Phương trình trở thành: a  b  a  b �  a  b   a  b  1  � x  5x   4x  x  ab � �� �� 2 a  b 1 � � � x  5x   x  x   � x �� � 2 � nghie� m � x  x    x  x  vo� �1 � S  �� �3 Vậy Loại 3: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa hệ phương trình đối xứng Ví dụ: Giải phương trình 3 a) x   2 x  3 b) x  3 x   Hướng dẫn 3 a) Phương trình � x  x  x   2 x  Đặt t  x  x3  x  t  2t �  x  t  x  xt  t   x  t   Ta �  x  t  x  xt  t       2 � t � 3t x  xt  t   �x  �   � � Vì 2 � � x 1 � x 1 � 1  x  t �  x  1  x  x  1  � �2 �� x � x  x 1  � � 1  � x � � Nên � 1  1  � S � 1; ; � 2 � � Vậy Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Loại 4: Sử dụng ẩn phụ ẩn để đưa phương trình bậc hai ẩn Ví dụ: Giải phương trình a) x  3x    x   x  b) x  x    x  3 x  c)    x 1 1 x   x   x Hướng dẫn a) Phương trình x    x  5 x   3x   Phương trình trở thành: Đặt t  x   t  1 t   x   t  3x   �   x  5 � � �  x     x  1 �0 x 2 t 3 � � t  x2 Do � Với t  � x  �2 Với t  x  � x  �   S  �2; � Vậy Dạng 3: Đánh giá �f ( x ) �m �f ( x)  m �� � �g ( x )  m Phương pháp: Phương trình f ( x)  g ( x ) ln có �g ( x) �m Ví dụ: Giải phương trình a) 3x  x   x  10 x  14   x  x 2  x  x  x  b) 4 c) 13 x  x  x  x  16 Hướng dẫn �  x  1    x  1     x  1 2 a) Phương trình VT �5 � � VT  VP  � VP �5 Ta có: � Dấu “  ” xảy � x   � x  1 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Toán học đam mê �21  41 � S � � � � Vậy x �0 b) Điều kiện:  ax  by  � a  b x  y  Dấu “  ” xảy   � a b  x y �2 � �  x 2 � � � x 1 ��� � � � Dấu “  ” xảy  �  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: �1 � x �� � �  x 1 �  � �� x  ��x  � x  � � � � � � 2 1  � x x 1 x �1 � S �� �7 Vậy C LUYỆN TẬP SÂU VÀ CĨ CHỦ ĐÍCH Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2018 - 2019) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P   x   x  x Hướng dẫn Điều kiện: �x �1 Với a, b �0 ta có:  a b   a  ab  b �a  b � a  b � a  b Dấu “  ” xảy x  Vậy giá trị nhỏ P  x  Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2017 - 2018) Cho số a, b, c thỏa mãn a �1, b �1, c �1 ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ 2 giá trị lớn biểu thức P  a  b  c Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Toán học đam mê a  b �2 a 2b  2ab b  c �2 b2 c  2bc c  a �2 c a  2ca   � a  b  c �2  ab  bc  ca  P 9 Vậy � a  b2 �2 b  c2 � MinP  � � � a bc  c2  a2 � � ab  bc  ca  � x  Ta có a �1, b �1, c �1 nên �  a  1  b  1 �0 �ab  a  b  �0 � � bc  b  c  �0 � ab  bc  ca   a  b  c   �0  b  1  c  1 �0 � � � � ca  c  a  �0 �  c  1  a  1 �0 � � ab  bc  ca  � abc � �  a  b  c  �36 a  b  c �3 � a  b  c   ab  bc  ca  �36 + � a 2�+ b  c 36  ab bc ca  P 18 �  a  1  b  1 �0 � a  b  1, c  �  b  1  c  1 �0 � � MaxP  18 � � �� b  c  1, a  c  a  �     � � c  a  1, b  � �2 2 a  b  c  18 � Vậy Vậy MinP  � � a  b  c  �  a  1  b  1 �0 � �a  b  1, c   b  1  c  1 �0 � � MaxP  18 � � �� b  c  1, a  c  a  �     � � c  a  1, b  � �2 2 a  b  c  18 � Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2016 - 2017) Với số thực x, y thỏa mãn x  x   trị lớn biểu thức P  x  y y6 y Tìm giá trị nhỏ giá Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2015 - 2016) Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê 2 Với số thực a, b thỏa mãn a  b  Tìm giá trị lớn biểu thức ab M a b2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2014 - 2015) Với a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức Q  2a  bc  2b  ac  2c  ab Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2013 - 2014) Với a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca  6abc Chứng minh 1   �3 a b2 c2 Ví dụ: (TS 10 – THPT Hà Nội, năm học 2012 - 2013) Với x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x �2 y Tìm giá trị nhỏ x2  y M xy biểu thức Ví dụ: Cho x, y số thực dương thỏa mãn x  y �1 Tìm giá trị nhỏ �1 � P  �  �1  x2 y2 �x y � biểu thức Hướng dẫn �1 � � 1 � 15 P  �  �1  x y � 1 x2 y2   xy  �xy   � x y� xy xy 16 xy � 16 xy � � Ta có: �2 �2 �2 15   4xy  15   x  y  (Áp dụng Cô si) (Vì 4xy � x  y  ) 15  (Vì x  y �1 )  17 MinP  17 � x  y  Vậy Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Ví dụ: Cho số dương x, y , z thỏa mãn x  y  3z �20 Tìm giá trị nhỏ A x y z   x y z biểu thức Hướng dẫn A x y z 3 �1 �    x  y  z � x y z� x 2y z x 2y z �4 � Ta có: Áp dụng Cơ si ta có: 3 ) x  �3 x ) y  �3 2y ) z  �2 z 1 x  y  z   x  y  3z �5 4 Và Suy A �13 Vậy MinA  13 � x  2, y  3, z  2 Ví dụ: Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc Tìm giá trị lớn a b c A   a  bc b  ac c  ab biểu thức Hướng dẫn A a b c   a  bc b  ac c  ab Ta có: 1    bc ac ab a b c a b c 1 �   bc ac ab � �1 1 1 � 4�      � �b c a c a b �  �1 1 � 2�   � �a b c � a b c 2   1 2�   a b c Mà bc ac ab nên Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê P� Dấu “  ” xảy � a  b  c  MaxP  � a  b  c  Vậy Ví dụ: Cho số dương a, b thỏa mãn a  b �2 Tìm giá trị nhỏ 1 A  a b biểu thức Hướng dẫn A  �۳۳ a b   a b��  4ab Ta có: Mà a � b 2 ab a b 4ab 2 Dấu “  ” xảy ab ab ab A ab �  a  b  � �� � a  b  �a  b  2 Vậy MinP  � a  b  Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  x x  x  y  y  Hướng dẫn Điều kiện: y �0 A x Ta có:   x  x  1   y 1 y � 3y     �x  4 � � 2 y 1 � � 1� 2  � y  � � � � 3� 3 � 4� � x   � � �� �y  � Dấu “  ” xảy MinA  Vậy Ví dụ: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab  bc  ca �a  b  c   ab  bc  ca  Hướng dẫn Ta có:  a  b   b  c    c  a  �0 �  a  b  c  �2  ab  bc  ca  2 � a  b  c �ab  bc  ca (1) a  a  b  c  � a  ab  ac Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có: 2 Tương tự b  ab  bc; c  ac  bc Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê a  b  c   ab  bc  ca  (2) Suy ra: Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Ví dụ: Giải phương trình:  10 x   x   Hướng dẫn a �0; b �0  (2) Điều kiện: x �1 (1) Đặt a  x  b  x  x  ,  � a  b2  x2  10.ab   a  b 2  Khi phương �  a  3b   3a  b   trình cho trở thành:  Nếu a  3b từ (2) � x   x  x  phương trình vơ nghiệm  Nếu b  3a từ mãn (1) � �x   33 (2) � x   x  x  � x  10 x   � �1 �x2   33 � �x1   33 � x   33 Vậy phương trình có hai nghiệm là: �2 � �x   y �3 y 1  2x Ví dụ: Giải hệ phương trình: � Hướng dẫn Lấy phương trình trừ phương trình Ví dụ: Cho số Vì b, c � 0;1 � b  b, c  c Mặt khác Vì a, b, c � 0;1 Chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca �1 Hướng dẫn Do a  b  c  ab  bc  ca �a  b  c  ab  bc  ca (1) a  b  c  ab  bc  ca   a  1  b  1  c  1  abc  (2) a, b, c � 0;1 nên a  b  c3  ab  bc  ca   a  1  b  1  c  1  abc  �0;  abc �0 Do từ (2) � a  b  c  ab  bc  ca �1 (3) Từ (1) (3) � a  b  c  ab  bc  ca �1 ab Ví dụ: Chứng minh rằng: � a  3a  b   b  3b  a  với a, b số dương Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ thỏa 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Ví dụ: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: Tính x  y  x   x  2011 y  y  2011  2011 Ví dụ: Cho x  0, y  x  y �6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  3x  y   x y �x  a  b  c  �2 x  a  b  c  13 Ví dụ: Cho số thực x, a, b, c thay đổi thỏa mãn hệ � Tìm x giá trị lớn giá trị nhỏ 5x  x   y   y   x , y Ví dụ: Tìm thỏa mãn Ví dụ: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: 1 a b c   2 ab bc ca  x  y    x  y   y  10  Tìm giá trị Ví dụ: Cho x, y hai số thực thỏa mãn: lớn giá trị nhỏ biểu thức A  x  y  A x4  x2  x2  Ví dụ: Tìm giá trị lớn biểu thức: Ví dụ: Tìm m để phương trình ẩn x sau có ba nghiệm phân biệt: x3  2mx   m2  1 x  m  2 Ví dụ: Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc Tìm giá a b c P   a  bc b  ac c  ab trị lớn biểu thức Ví dụ: Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c �6 Tìm giá trị nhỏ a  b3 b3  c c3  a M   a  b2 b2  c c2  a biểu thức Hướng dẫn: Ta a  a  b   ab b  a  b   ba a b a b ab ba      ab  2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b a  b a  b2 Áp dụng Cô si 3 3 ab ba a  b �  a2  b2 a2  b2 a b 2 b a b3  c3 b  c c  a � �; 2 2 c  a2 Tương tự b  c 2 ab ca M 2 a3  b3 a  b a  b2 2 a  b  c 2 Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ có: 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Dấu “  ” xảy � a  b  c  Vậy MinM  � a  b  c  2 2 Ví dụ: Với a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức A  a  b  c  ab  bc  ca Hướng dẫn: � a  b �2ab �2 b  c �2bc � a  b  c �ab  bc  ca  � � c  a �2ca � Cách 1: Ta có: 2 2 2 Mặt khác a  b  c �   a  b  c  3  � � abc �2 �� a  b2  c2  � a  b  c  �1 1 �   �a b c Vậy A �3   Dấu “  ” xảy Vậy MaxA  � a  b  c  a  b2  c  �  a  b  c    ab  bc  ca   Cách 2: Ta có: Đặt t  a  b  c, t �3 � ab  bc  ca  t 3 2 t2  1 2   t  1  2, t �3 � t  �4 �  t  1 �8 �  t  1  �6 2 2 Vậy MaxA  � a  b  c  � At Ví dụ: Với a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A  3a   3b   3c  Hướng dẫn: 1  3a  3a  3a    3a  1 �  2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si : 3b  3c  3b  � , 3c  � 4 Tương tự  a  b  c   15 A� 6 Do Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ 208/ Nhóm Tốn THCS Toán học đam mê Dấu “  ” xảy � a  b  c  Vậy MaxA  � a  b  c  Khơng tính tổng qt, giả sử a �b �c Do a  b  c  nên a �1 Ta có b, c �0 Khi  3b   3c    3b  3c   A  3a � 13 3a Ta chứng minh   A2 14 10 A2 14  3a 1  13  3a  1  13  3a  �40 A  3b  1  3c  1 3a  �3   a    13  3a với �a �3 10 Dấu “  ” xảy � a  3, b  c  Vậy MinA   10 � a  3, b  c  Nhóm Tốn THCS: https://www.facebook.com/groups/606419473051109/ ... https://www.facebook.com/groups/60641947305 1109 / 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê Thay x  10( TM ) vào biểu thức A ta có: A 10  ( 10  1)( 10  2) 10    10  10  B b) x x 2 x x 2  x  x ... https://www.facebook.com/groups/60641947305 1109 / 208/ Nhóm Tốn THCS Tốn học đam mê �۳۳? ?10 x Do x  0; x �1 để A ? ?10 b) Với Vậy với x  0; x �1 để A ? ?10 c) A  1 x  nên Ta có: x x ���  1...  c) C  14    21 d) D    10 62 Hướng dẫn a) A   2        2  b) B          2 c) C  D    10  62 d) 14    21      10  21   1    1   7