Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.Gọi x giờ là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc x > 0 ; y giờ là thời gian để người thứnhất hoàn thành công việc y > 0.. Ta có :
Trang 1Chuyên đề 1
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
VÀ CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN CĂN THỨC BẬC HAI
Mọi liên hệ xin gửi về địa chỉ gmail : taiminh1978@gmail.com
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1 Các phép toán biến đổi căn bậc hai.
+) Hằng đẳng thức căn bậc hai : x 2 1 x 1 5 x 2 0 2 ;
+) Khai phương một tích và nhân các căn bậc hai : A.B A B A 0,B 0
+) Khai phương một thương và chia hai căn bậc hai : A A A 0,B 0
B B +) Đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai : A B 2 A B B 0 .;
+) Đưa một thừa số vào dấu căn bậc hai :
A B A B A 0, B 0 ; A B A B A 0, B 0 ; +) Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A 1 AB AB 0, B 0
Kết hợp với ĐKXĐ, A > A khi 0 < x < 1
Trang 2= Û ê =ë Suy ra
2 0
ê ë
-.Kết hợp ĐKXĐ, A = A khi x = 9
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2002 – 2003).
Đáp án gợi ý :
a) ĐKXĐ : x ³ 0 ; x ¹ 9 ; M 2
x 3
= + b) Ta có M > 1
3 khi 0 £ < x 9.c) Ta có M = x2 3£23
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A x m x có nghiệm
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2007 – 2008)
4
= c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 12 1.
P
x 1
+
= -
Trang 3(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2008– 2009)
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2009 – 2010)
a) Rút gọn biểu thức A ; b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B = A(x – 1)
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2010 – 2011)
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x
(Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2011 – 2012)
x 1
= -
Trang 4Đặt x = t, vì x > 0, x 1 nên t > 0, t 1 Phương trình (1) qui về
t2 + t - m - 1 = 0 (2) Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm dương khác 1
2 2 9
1 4
æ ö÷ç
= = ççè - ÷ø =
Trang 5Û íïï - ¹ Û í ï ¹ïî
ï - ¹ ïïî
Trang 6b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A có giá trị là số nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định)
b) Tính giá trị của P khi x 3 2 2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
Trang 7b) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thái Bình)
b) Tính giá trị của P tại a = 6 + 4 2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Thanh Hóa)
b) Tìm các giá trị của x sao cho A < 0
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Tây Ninh)
Chuyên đề 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN,
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Trang 82 Các phương pháp giải hệ phương trình :
+) Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó của hệ số có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)
+) Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai
3 Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.
Để xác định số nghiệm của hệ phương trình ta có thể sử dụng tính chất sau :
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : ax by ca 'x b'y c'
+) Có nghiệm duy nhất a b
a 'b'.+) Có vô số nghiệm a b c
a 'b'c'.+) Vô nghiệm a b c
a 'b'c'
B VÍ DỤ.
Dạng 1 Phương trình chứa ẩn ở mẫu.
Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:
Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu để giải bài toán này người ta thường làm như sau :
Biến đổi phương trình về dạng : ax + b = 0 hoặc ax2 + bx + x = 0 bằng cách :
Trang 9Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - 3 phải là ước của 4 hay 2m - 3 1, 2, 4
Giải ra ta được m = 2 và m = 1
Dạng 2 Giải hệ phương trình dạng tổng quát
Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau :
b)
2
x = 4x + y = 5 8x 2y = 10 11x = 2 11
2) Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < 0
Giải.
1) Với a = 1, ta có hệ phương trình :
3 x
y 21
5 21
2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m
Trang 10m 2 1 y
b) Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
b) Tìm giá trị của a sao cho nghiệm (x ; y) của hệ thỏa mãn y = 3x
4
3 Cho hệ phương trình : ax y 3x ay 1
a) Giải hệ phương trình với a = 3
b) Với giá trị nào của a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
4 Cho hệ phương trình : 2x y a 5a 1 x ay 3a 1
a) Giải hệ phương trình với a = 3
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho : S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
5 Cho hệ phương trình: mx – y 23x my 5
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) sao cho x + y = 0
6 Cho hệ phương trình : mx y 3 (1)2x my 9 (2)
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho biểu thức A = 3x – y nhậngiá trị nguyên
7 Cho hệ phương trình: 2x y 5m 1x 2y 2
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1
HƯƠNG DẪN GIẢI.
Trang 11y 2
13 x
y 4
1a
4 Cho hệ phương trình : 2x y a 5a 1 x ay 3a 1
a) Với a = 3 hệ phương trình có dạng : 2x 3y 82x y 8 x 4y 0
Trang 12y 7
3 m
, với mọi m Hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
Với mọi m phương trình luôn có nghiệm : 2
2
2m 5 x
m 3 5m 6 y
m 7
6 Hệ phương trình : mx y 3 (1)2x my 9 (2)
a) Với m = 1, hệ phương trình có dạng : x y 32x y 9 x 4y 1
m 2 9m 6 y
Trang 13A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1 Giải phương trình bậc hai dạng : ax 2 + bx + c = 0 (a0)
Để giải phương trình bậc hai một ẩn ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau :
Phương pháp 1 Dùng công thức nghiệm :
2a.+) Nếu < 0 phương trình vô nghiệm
Phương pháp 2 Dùng công thức nghiệm thu gọn.
a +) Nếu ' < 0 phương trình vô nghiệm
3 Phương trình : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) chứa tham số
+) Có 2 nghiệm 0; +) Có 2 nghiệm phân biệt 0
1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát
2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hainghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu
3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với mọi giá trị của tham số
4) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số
C VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 1 Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 – 9 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1; x2 Hãy xác định m để : x 1 x 2 x 1 x 2
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An Năm học 2006 – 2007)
Trang 14Phương trình có hai nghiệm phân biệt <=> 4m + 13 > 0 <=> m > 134
Ví dụ 2 Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x2 – (m+3)x + m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 2 1 2
5
x x x x
2
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 1 x 2
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An Năm học 2009– 2010)
x x 2
Ví dụ 3 Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m :x – m 1 x 2m – 2 0 2 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm giá trị của tham số m để x 2là một nghiệm của phương trình (1)
(Đề thi vào 10 THPT tỉnh Nghệ An Năm học 2010 – 2011)
Giải.
a) Khi m = 2, phương trình (1) trở thành : x2 3x 2 0
= 1 ( Hoặc nhận thấy a + b + c = 0 )
Nghiệm của phương trình là : x = 1 ; x = 2
b) Vì x = -2 là nghiệm của phương trình (1) nên
(- 2)2 - (m + 1)(-2) + 2m – 2 = 0 (*)
(*) 4m + 4 = 0 m = - 1 Vậy m = -1
Ví dụ 4 Cho phương trình: x2 – 2(m -1)x + m2 -6 = 0, m là tham số
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 2
Trang 15Phương trình có hai nghiệm ' 0 2m 7 0 m 7
2
Theo hệ thứ Vi-ét ta có : x 1 x 2 2m 2 ; 2
1 2
x x 16
Ví dụ 5 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 2
Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra 3 m 2
2 thì pt (1) có hai nghiệm x ; x 1 2 thỏa mãn : 2 2
x + 2(m+1)x £ 3m + 16
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
I Năm học 2013 – 2014
1 Cho phương trình x 2 (m 2)x 8 0 , với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 4
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức
Q (x 1)(x 4)có giá trị lớn nhất
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
2 Cho phương trình: x2 + 2(m – 1)x – 2m – 3 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 m R
b) Tìm giá trị của m sao cho (4x1 + 5)(4x2 + 5) + 19 = 0
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Hà Nam)
3 Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 2
x 2(m 1)x 3m 16
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nghệ An)
4 Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m –1 =0 (1), với m là tham số
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x (x 1 1 2) x (x 2 2 2) 10
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nam Định)
II Năm học 2012 – 2013.
1 Cho phương trình : x2 – 2mx + m – 2 = 0 (x là ẩn số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để biểu thức : 2 2
24 M
x x 6x x
đạt giá trị nhỏ nhất
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hồ Chí Minh)
2 Cho phương trình x2 – 2x – 3m2 = 0, với m là tham số
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa điều kiện 1 2
2 1
x x 3
(Thi vào 10 THPT Thành phố Đà Nẵng)
Trang 163 Cho phương trình x2 2 m 2 x m 2 4m 3 0
a) Chứng minh rằng: phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m
b) Tìm giá trị của m để biểu thức 2 2
1 2
A x x đạt giá trị nhỏ nhất
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Đăk lăk)
4 Cho phương trình : x2 - 2(m – 1)x + m2 – 6 = 0, m là tham số
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 2 2
1 2
x x 16
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Nghệ An)
5 Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1,x2 mà biểu thức A = x2 – x1 x2 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
6 Cho phương trình (ẩn số x): x 2 4x m 2 3 0 *
a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x , x 1 2 thỏa x 2 5x 1
(Thi vào 10 THPT Thành phố Cần Thơ)
7 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b) Tìm m để |x1 – x2| đạt giá trị nhỏ nhất ( x1; x2 là 2 nghiệm của phương trình )
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bình Dương)
8 Cho phương trình: mx2 – (4m – 2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
c) ) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bắc Ninh)
9 Cho phương trình (ẩn x) : x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 2
b) Tìm m để phương trình (1)có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: (x1 + m)( x2 + m) = 3m2 +12
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Phú Thọ)
10 Cho phương trình : x2 2(m 1)x m 2 0 , với x là ẩn số, m R
a) Giải phương trình đã cho khi m – 2
b) Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 mà khôngphụ thuộc vào m
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Gia Lai)
11 Cho phương trình x 2 2 m 1 x m 3 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x , x 1 2 Xác định m để giá trị của biểu thức 2 2
A x x nhỏ nhất
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Gia Lai)
12 Cho phương trình : x2 – mx – 3 = 0 (1), với m là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2, tìm các giá trị của m sao cho x1 + x2 = 2x1x2.c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2( 2 2
1 2
x x ) – x1x2
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bến Tre)
Trang 17+ Xác định với mọi giá trị của x thuộc .
+ Đồng biến trên khi a > 0
+ Nghịch biến trên khi a < 0
b) Đồ thị :
+ Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
c Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b.
Bước 1 : Xác định hai điểm phân biệt
Bước 2 : Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó
d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng y = ax + b (d 1 ) và y = a'x + b' (d 2 )
+) (d1) cắt (d2) : a a ' ; +) (d1) song song (d2) a a 'b b'
+) (d1) trùng (d2) a a 'b b'
+ Xác định với mọi giá trị của x thuộc R
+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
b Đồ thị của hàm số y = ax 2 (a0):
+ Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành 0 là điểm cao nhất của đồ thị.
c Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):
+ Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).
+ Dựa và bảng giá trị vẽ (P)
3 Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax 2 (a0) và (d): y = kx + b:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): ax2 = kx + b ax 2 kx c 0
Giải phương trình hoành độ giao điểm:
+ Nếu > 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
+ Nếu = 0 phương trình có nghiệm kép (d) và (P) tiếp xúc nhau
+ Nếu < 0 phương trình vô nghiệm (d) và (P) không giao nhau
Trang 181 2 k 2 k 2 2 k 3 k
+) Với 3 k 0 k 3 thì phương trình có dạng : k 2 16 0 , phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2 Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5).
a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và B
c Đường thẳng (d1) đi qua C có dạng : y = ax + b
Do (d1) // (d) nên hệ số góc : a = 2 y 2x b (b 1) Vì (d1) đi qua C(-4 ; 1) nên :
1 Cho parabol (P) : y = 12x2 và đường thẳng (d) : y = mx 12m2 + m +1
a) Với m = 1, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (d) và (P)
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x 1 x 2 2
(Thi vào 10 THPT Thành phố Hà Nội)
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu)
4 a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3 trên mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = mx + 1 luôn cắt parabol (P): y = x2 tại haiđiểm phân biệt Khi đó tìm m đễ y 1 y 2 y y 1 2 7, với y , y 1 2 là tung độ của các giao điểm
(Thi vào 10 THPT Tỉnh Bình Thuận)
5 Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2
a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x2 tại hai điểm phân biệt A,B
b) Tìm tọa độ trung điểm của AB theo m
6 Cho hàm số y = (m - 2)x + 3 + m
Trang 19a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc nhất đồng biến.
b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi đi qua M(1 ; 3) ;
c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành một tam giác có diện tích bằng 1
7 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1
a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B
b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 3
diện tích bằng 1 (đvdt)
8 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1.
c) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố định ấy
9 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2(a – 1)x + 5 – 2a (a là tham số)
a) Với a = 2 tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
b) Chứng minh rằng với mọi a (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
c) Giả sử x1vàx2là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) Tìm a để 2 2
1 2
x x 6
Trang 20- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2 Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3 Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và
Ví dụ 1 Tìm một số có hai chữ số biết rằng 2 lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ số hàng đơn vị là 1 và
chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị được thương là 2 và dư cũng là 2
Ví dụ 2 Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6 Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu được
cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó
a) Đối với bài toán công việc :
+ Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia : Toàn bộ công việc, năng suất, thời gian
+ Làm xong công việc coi là một đơn vị
+ Làm xong công việc hết a giờ thì 1 giờ làm được 1a công việc
b) Đối với bài toán về vòi nước.
+ Vòi chảy vào bể cạn hết nước cho đến đầy coi là một đơn vị
+ Nếu vòi chảy đầy bể hết a giờ thì 1 giớ vồi chảy được 1a bể
II VÍ DỤ GIẢI TOÁN.
Ví dụ 3 Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 3
giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thànhcông việc đó trong bao lâu ?
4
Trang 21Cách 1 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Gọi x (giờ) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để người thứnhất hoàn thành công việc (y > 0) Ta có :
Trong một giờ :
Người thứ nhất hoàn thành được 1x công việc;
Người thứ hai hoàn thành được 1y công việc ;
Hai người hoàn thành công việc trong 16 giờ thì trong 1 giờ hai người cùng làm được 161 công việc Ta có
phương trình : 1x1y 161 (1)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ được 3
x công việc, người thứ hai làm trong 6 giờ được 6y công việc thì hoànthành 14 công việc Ta có phương trình : 3 6 1
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ và người thứ hoàn thành công việctrong 48 giờ
Cách 2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là x (giờ)
Điều kiện x > 16 Ta có :
Trong một giờ : Người thứ nhất làm được : 1x (công việc) ;
Người thứ hai làm được : 161 1x (công việc) ;
Thời gian để người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là : 1: 1 1
Giải ra ta được x = 24 (thỏa mãn điều kiện bài toán)
Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là 24 giờ ;
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là : 1: 1 1 48
Lời giải.
Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể (x > 0) ; y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể (x
> 0) Ta có :
Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được : 1
x bể, vòi thứ nhất chảy được : 1y bể
Hai vòi chảy đầy bể sau 24
5 nên một giờ cả hai vòi cùng chảy được 5
24 (bể)
Ta có phương trình : 1x1y245 (1)
Trang 22Trong 9 giờ vòi thứ nhất chảy được 9x bể, trong 65 giờ cả hai vòi chảy được 6 1. 1
+ Quảng đường = vận tốc x thời gian
+ Vận tốc xuôi dòng = vận tốc ca nô (thuyền) + vận tốc dòng nước
+ Vận tốc ngược dòng = vận tốc ca nô (thuyền) vận tốc dòng nước
II VÍ DỤ GIẢI TOÁN
Ví dụ 5 Một ô tô đi từ A và dự định đến B với một thời gian nhất định Biết rằng nếu xe chạy với vận tốc
30 km/h thì đến B chậm hơn so với dự định 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 45 km/h thì đến B sớm hơn sovới dự định 1 giờ Tính quảng đường AB và thời gian và thời gian dự định đi từ A đến B
Lời giải.
Gọi x (km) là độ dài quảng đường AB (x > 0) ; y (giờ) là thời gian dự định đi từ A đến B ( y > 0) 0 Ta có :Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ là : y + 2 (giờ) nên ta có x = 30.(y + 2)
Thời gian đi từ A đến B với vận tốc 45 km/giờ là : y – 1 (giờ) nên ta có x = 45.(y – 1)
Theo bài ra ta có hệ phương trình : x 270y 7
Dạng 4 DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VỀ HÌNH HỌC.
Ví dụ 6 Một sân trường hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20 m Tính chiều
dài và chiều rộng của sân trường
Hướng dẫn.
Gọi x (m) là chiều dài, y (m) là chiều dài sân trường Điều kiện : x, y > 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 3x 4y 202 x y 340x 100y 70
Ví dụ 7 Hôm qua mẹ của Lan đi chợ mua năm quả trứng gà và năm quả trứng vịt hết
10 000 đồng Hôm nay mẹ Lan mua ba quả trứng và bảy quả trứng vịt thì hết 9 600 đồng mà giá trứng thì vẫn giá cũ.Hỏi giá một quả trứng mỗi loại là bao nhiêu ?
Hướng dẫn.
Gọi x (đồng) là giá trứng gà, y (đồng) là giá trứng vịt Điều kiện : x, y > 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 5.x 5.y 100003x 7y 9600 x 1100y 900
LUYỆN TẬP.
Dạng 1 DẠNG TOÁN VỀ QUAN HỆ CÁC SỐ TỰ NHIÊN.
1 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số Biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi hai chữ số hàngchục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị
2 Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, tổng các chữ số bằng 17, chữ số hàng chục là 4 Nếu đổi chỗ các chữ sốhàng trăm và hàng đơn vị cho nhau thì số giảm đi 99 đơn vị
3 Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các bình phương của hai chữ số của nó bằng 20 Nếu đổi hai chữ sốcủa nó cho nhau ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị
Trang 234 Chia một số tự nhiên cho tổng hai chữ số của nó thì được thương là 3 còn dư 1 Nếu chia số đó cho tíchhai chữ số của nó thì được thương là 4 còn dư 1 Tìm số đó.
5 Tìm số có ba chữ số chia hết cho 11, biết rằng khi chia số đó cho 11 được thương bằng tổng các chữ sốcủa số bị chia
Dạng 2 DẠNG TOÁN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC.
6 Hai đội công nhân làm chung một công việc thì 12 ngày sẽ xong Nếu đội I làm một mình trong 5 ngày rồinghỉ, đội II làm tiếp trong 15 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 75% công việc Hỏi nếu làm một mình thìmỗi đội làm xong công việc đó trong bao lâu
7 Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được bằng 23 đội
B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
8 Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong hai ngày thì xong Nếu người thứ nhất làm trong 4ngày rồi nghỉ và người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì xong công việc đó Hỏi mỗi người làm một mình thìbao lâu sẽ xong công việc
9 Một hợp tác xã có hai máy bơm nước Nếu chỉ máy I bơm trong 4 giờ rồi mở máy II cùng làm trong 8 giờnữa thì xong việc Nếu máy I chạy trước 11 giờ rồi mở máy II thì hai máy cùng làm việc 4 giờ nữa thì xongcông việc Hỏi nếu chạy riêng thì mỗi máy phải mất bao lâu mới đạt mức được quy định
10 Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể Nếu để chảy một mình thì vòithứ nhất đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể
11 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 5 giờ và vòithứ hai chảy trong 2 giờ thì được 158 bể Hỏi mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể?
12 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau 45 giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứnhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 65 giờ nữa mới đầy bể Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thìsau bao lâu mới đầy bể
Dạng 3 DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG.
13 Một ô tô đi từ tỉnh A đến B với một vận tốc đã định Nếu vận tốc tăng 20km/h thì thời gian đi giảm 1 giờ,nếu vận tốc giảm 10km/h thì thời gian đi tăng 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô
14 Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau.Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ thì chúng gặp nhau.Tính vận tốc của mỗi xe
15 Một ô tô đi quãng đường dài 150 km với vận tốc dự định Nhưng khi đi được 23 quãng đường xe bị hỏngmáy phải dừng lại 15 phút Để đến đúng giờ dự định xe phải tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đườngcòn lại Tính vận tốc ô tô dự định đi
16 Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại đi ngược dòng từbến B về bến A Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và đi ngược dòng là 4 giờ Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biếtvận tốc của dòng nước là 4km/h
Dạng 4 DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG VỀ HÌNH HỌC.
17 Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3cm thì diện tích của tamgiác đó sẽ tăng thêm 36cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26
20 Trên một cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc Hỏi năng suấtmội loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trròng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn
21 Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có ghế ngồi Nếu xếp mỗi ghế 4học sinh thì thừa một ghế Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh và bao nhiêu ghế
Trang 2422 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượtmức 18% và tổ II vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sảnphẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?
23 Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc Năm nay đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12 % so với năm ngoái Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc Hỏi mỗinăm mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc ?
24 Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượtmức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy Hỏi rằngtrong tháng hai, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy
25 Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2% còn tỉnh B tăng1,1% Tổng số dân của hai tỉnh năm nay là 4045000 người Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay
HƯỚNG DẪN GIẢI.
1 Gọi số tự nhiên cần tìm là : ab (0 < a,b 9 ; a,b *)
Theo bài ra ta có hệ phương trình : a b 11ab 27 ba a b 11a b 3a 4b 7
2 Gọi số tự nhiên cần tìm là : a4b (ĐK : 0 < a,b 9 ; a,b *)
Theo bài ra ta có hệ phương trình : a 4 b 17
3 Gọi số tự nhiên cần tìm là : ab (0 < a,b 9 ; a,b *)
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
Từ phương trình (2) biểu diễn a theo b, ta được : a 2 b (3)
Thay a 2 b vào phương trình (1) ta được :
b 2 2 b 2 20 b 2 2b 8 0 (4)Giải phương trình (4) ta được : b1 = 4 ; b2 = 2
b2 = 2 không thỏa mãn điều kiện bài toán
Với b = 4 a 2 4 2
Vậy số cần tìm là : 24
4 Gọi số tự nhiên cần tìm là : ab (0 < a 9 ; 0 b 9 a,b *)
Theo bài ra ta có hệ phương trình : ab 3 a b 1 10a b 4ab 2 (2)7a 2b 1 (1)
2
a 1
a 28
không thỏa mãn điều kiện bài toán
Thay a = 1 vào (3) ta được : b = 3
Vậy số cần tìm là : 13
5 Gọi số tự nhiên cần tìm là : abc (0 < a 9 ; 0 b,c 9 ; a,b )
Theo bài ra ta có phương trình : abc 11 a b c
100a 10b c 11a 11b 11c 89a b 10c cb
Do 0 cb 99 và 89a cb a 1 , c 8 , b = 9
Trang 25Ta có a = 1, b = 9, c = 8 thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy số cần tìm là : 198
6 Cách 1 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Gọi x, y (ngày) lần lượt là thời gian để đội I và đội II làm một mình hoàn thành công việc Điều kiện x, y >
12 Ta có :
Trong một ngày : Đội I làm được 1
x (công việc) ; Đội II làm được 1y (công việc) Do hai đội hoànthành công việc trong 12 ngày Ta có phương trình : 1x1y 121 (1)
Đội I làm trong 5 ngày và đội II làm tiếp trong 15 ngày thì đạt 75% công việc
Vậy nếu làm riêng thì đội hoàn thành công việc trong 20 ngày và đội II hoàn thành công việc trong 30 ngày
Cách 2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để đội I làm một mình hoàn thành công việc
Điều kiện : x > 12 Ta có :
Một ngày : Đội I làm được 1
x (CV) ; Đội II làm được 121 1x (CV) ;
Thời gian đội II làm một mình hoàn thành công việc : 1: 1 1
Giải ra ta được : x = 20(thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc trong 20 ngày và đội II hoàn thành công việc là :
Cách 2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để đội A làm một mình hoàn thành công việc
Điều kiện x > 24 Ta có :
Một ngày : Đội A làm được 1
x (CV) ; Đội B làm được 241 1x (CV) ;
Thời gian đội B làm một mình hoàn thành công việc : 1: 1 1
Giải ra ta được : x = 60 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nếu làm riêng thì đội A hoàn thành công việc trong 60 ngày và đội B hoàn thành công việc là :
Cách 2 Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc
Trang 26Một ngày : Người thứ nhất làm được 1x (CV) ;
Người thứ hai làm được 12 1x (CV) ;
Thời gian người thứ làm một mình hoàn thành công việc : 1: 1 1
Giải ra ta được : x = 6 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 6 ngày và người thứ hai hoàn thành côngviệc là : 1: 1 1 3
Trong một giờ : Máy I bơm được 1x (bể) ; Máy II bơm được 1y (bể)
+) Máy I bơm trong 12 giờ và máy II bơm trong 8 giờ đầy bể
Ta có phương trình : 12 8 1
x y (1)+) Máy I bơm trong 15 giờ và máy II bơm trong 4 giờ đầy bể
Vậy nếu bơm một mình : máy I bơm 18 giờ đầy bể ; máy II bơm 24 giờ đầy bể
Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể : x + 2 (giờ)
Trong một giờ : Vòi thứ nhất chảy được 1
x (bể) ; Vòi thứ hai chảy được 1
x 2 (bể)
Do cả hai vòi cùng chảy trong 1235 giờ đầy bể
Ta có phương trình : 1 1 12
xx 2 35 MTC : 12x(x + 2)Nhân 2 vế với 12x(x + 2) của phương trình ta được phương trình :
13 Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h, x > 10) ; thời gian dự định là y (giờ , y > 1)
Do quảng đường từ A và B không đổi Ta có hệ phương trình :
Trang 27x = 40, y = 3 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy vận tốc dự định là 40 km/h ; thời gian dự định là 3 giờ
14 Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất, xe lửa thứ hai lần lượt là x, y (km/h) ĐK : x, y > 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
x = 45, y = 35 thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 40 km/h ; vận tốc xe lửa thứ hai là 35 km/h ;
15 Gọi vận tốc dự định của ôt ô là x (km/h) ĐK : x > 0
Ta có : Thời gian dự định đi là : 150x (giờ) ;
Thời gian đi 2
3 quảng dường đầu là : 100
x (giờ)Thời gian đi 13 quảng dường còn lại là : x 1050
(giờ)Theo bài ra ta có phương trình : 100x 14x 1050 150x
x2 = 50 không thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy vận tốc dự định của ô tô là : 40 km/h
16 Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) Điều kiện x > 4
Ta có :
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng : x + 4 (km/h)
Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng : x 4 (km/h)
Thời gian đi xuôi dòng là : 30
x 4 (giờ) ;Thời gian đi ngược dòng là : x 430
(giờ) ;
Do tổng thời gia cả đi lẫn về mất 4 giờ Ta có phương trình : 30 30 4
x 4 x 4 Biến đổi ta được phương trình : x 2 15x 16 0
Giải ra ta được : x 1 1 ; x 2 16
x 1 không thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy vân tốc thật của ca nô là 16 km/h
17 Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x, y (cm) ĐK : x, y > 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
x = 9, y = 12 thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 9cm, 12 cm
18 Gọi chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng hình chữ nhật lần lượt là x, y (m)
Trang 28x = 75, y = 50 thỏa mãn điều kiện bài toán
Vậy chiều dài và chiều rộng của thửa ruộng lần lượt là 75m, 50m
19 Gọi số cây bắp cải mỗi luống là x (cây, x *) ; y số luống (luống, y *)
Ta có : Số bắp cải vường nhà Lan trồng được là : xy (bắp cải)
Theo bài ra ta có phương trình :
x = 50, y = 15 thỏa mãn điền kiện bài toán
Vậy số bắp cải nhà Lan trồng được là : 50.15 = 750 (bắp)
23 Gọi năng suất giống lúa mới, giống lúa cũ lần lượt là x, y (tấn/ha) ĐK : x, y > 0
Theo bài ra ta có hệ phương trình : 60x 40y 4603x 1 4y 6x 4y 463x 4y 1x 5y 4
x = 5, y = 4 thỏa mãn điền kiện bài toán
Vậy năng suất giống lúa mới là 5 tấn/ha ; năng suất giống luá cũ là 4 tấn/ha
24 Gọi tổng số học sinh của lớp học là x (x *) ; y là số ghế của phòng học
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
x = 36, y = 10 thỏa mãn điền kiện bài toán
Vậy lớp học có 36 học sinh và 10 ghế dài
25 Gọi số sản phẩm làm theo kế hoạch của tổ I, tổ II lần lượt là x, y(sản phẩm) ĐK : x, y *
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
18x 24y
18x 24y 12000 y 400 120
x = 400, y = 200 thỏa mãn điền kiện bài toán
Vậy số sản phẩm làm theo kế hoạch : Đội I : 400 sản phẩm ; Đội II : 200 sản phẩm
Chuyên đề 6.
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Để giải phương trình vô tỉ người ta thường sử dụng các phương pháp sau :
+ Phương pháp nâng lên lũy thừa
Trang 29
14 x
x = 2 không thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình có nghiệm x = 145
3x 2 9x 1 x 2 2 2
1 x
Chú ý : - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1).
- Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một
phép biến đổi hệ quả Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại
10) x 1 3 x x 1 3 x Đs : x = 1; x =5
Trang 30Vậy nghiệm của pt là: x 6.
2) x 2 2 2 x 3 1 ;(HSG Huyện Diễn Châu 2010 - 2011)
Trang 3111) x 2 10x 27 6 x x 4 (HSG V 2 Huyện Thanh Chương 2010 - 2011)
VP 1 6 x 1 x 4 (1 1 )(6 x x 4) 2 , Dấu “=” xẩy ra khi x 5
Vậy nghiệm: x 5 thỏa mãn điều kiện x 4 6
Trang 32Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3.
Chú ý : Không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.
2.5 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ
Trang 33a b a b Xảy ra đẳng thức khi a.b 0
a b a b Xảy ra đẳng thức khi a.b 0 và a b
B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
1 Phương pháp đổi tương đương
*) Để chứng minh: A B
Ta biến đổi A B A 1 B 1 A n B n(đây là bất đẳng thức đúng)
Hoặc từ bất đẳng thức đứng A n B n, ta biến đổi : AnBn An 1 Bn 1 A1B1 A B