Tổ 22 đợt 35 phương pháp ghép trục

Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g = f ( u ( x ) ) ( ) D = ( a1 ; a2 )  ( a3 ; a4 )   ( an −1 ; an ) Ở a  −; a  + Bước 2: Xét biến thiên u = u ( x ) hàm y = f ( x ) (B2 làm gộp B3 đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  x; u = u ( x )  u; g = f (u )  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f u ( x ) , giả sử ta tập xác định n Bảng thường có dịng giả sử sau Cụ thể thành phần BBT sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u = u ( x ) , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1  a2   an −1  an (xem ý 1) Dòng 2: Điền giá trị ui = u ( ) với i = 1, , n ( ) Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần bổ xung điểm kỳ dị Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần xếp điểm ui  b1  b2   bk  ui +1 Dòng 3: ( ) b1; b2 ; ; bk của hàm y = f ( x ) ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui +1 (xem ý 2) Xét chiều biến thiên hàm g = f u ( x ) dựa vào BBT hàm y = f ( x ) cách hốn đổi: u đóng vai trị x ; f ( u ) đóng vai trị f ( x ) ( ) Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g = f u ( x ) ta thấy hình dạng đồ thị hàm ( ) Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f u ( x ) giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: Các điểm kỳ dị u = u ( x ) gồm: Điểm biên tập xác định D , điểm cực trị u = u ( x ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt u ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Ox ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Oy ) Chú ý 2: Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u ( x ) Điểm kỳ dị y = f ( x ) gồm: Các điểm f ( x ) f ( x ) không xác định; điểm cực trị hàm số y = f ( x ) - Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt f ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Ox ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hồnh độ giao điểm y = f ( x ) với trục Oy ) Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( sin x ) + = A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t = sin x Do x   − ; 2  nên t   −1;1 Khi ta có phương trình f ( t ) + =  f ( t ) = − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = − t = b  ( 0;1) có nghiệm t = a  ( −1;0 ) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình có nghiệm −  x1  x2     x3  x4  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x5  x6   Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  Cách 2: Phương pháp ghép trục   x = −   Đặt t = sinx   −1;1 x   − ; 2  ; t' =  cosx =   x = ;   x = 3  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( sinx ) + =  f ( sinx ) = − Do tổng số nghiệm phương trình cho Câu 46-MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) A C B D 11 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Ta có g ( x ) = f ( x3 + 3x )  g  ( x ) = ( 3x + x ) f  ( x3 + 3x ) 3 x + x = Cho g  ( x ) =    f  ( x + x ) = Xét hàm số h ( x ) = x + x  x =   x = −2  x + x = a; a    x + x = b;  b    x + x = c; c  x=0   h ( x ) = 3x + x Cho h ( x ) =    x = −2 Bảng biến thiên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có đồ thị hàm h ( x ) = x + x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Như phương trình g  ( x ) = có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục  x = −2 Xét hàm số u = x + 3x ta có u ' = 3x + x =   x = Gọi a, b, c điểm cục trị hàm số y = f ( x ) a   b   c Và ta có f ( a )  f ( c )  ; f ( b )  Suy g ( x ) = f ( x3 + 3x ) có điểm cực trị Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  5   phương trình f ( sin x ) =   B C Số nghiệm thuộc đoạn 0; A D Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y = f ( t ) đường thẳng y = t = a  ( −1;0 ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( t ) =    t = b  ( 0;1) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình sin x = t có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x3  x4   ; 2  x5  x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 ; Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác  5     Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0; Cách 2: Phương pháp ghép trục  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do tổng số nghiệm phương trình cho PHÁT TRIỂN CÂU 45 - 46 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f ( x3 − 3x + 1) − = có tất nghiệm thực phân biệt? A B C Lời giải D 11 Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) , ta có: f f ( x − 3x + 1) − =   f  Dựa vào đồ thị hàm số   x3 − 3x + = b ( b  −1) ( )  ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = c ( −1  c  3) ( 3)   ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = d ( d  3) ( )   x − 3x + = a ( a  d ) (1) y = x3 − 3x + (hình vẽ đây) Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x − x + Ta có u  ( x ) = 3x − ; u ( x ) =  x = 1 BBT hàm số u ( x ) : x u'  + u 1 + + +   f (u ) = 3 Phương trình f x − 3x + − = trở thành: f ( u ) − =    f ( u ) = ( ) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ bảng biến thiên hàm số u ( x ) = x − 3x + ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f ( x3 − 3x + 1) = f (u ) sau: Từ bảng ta thấy phương trình f ( u ) = có nghiệm phương trình f ( u ) = có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục Số giá trị nguyên tham số có bảng biến thiên hình bên m để phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 =      có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = t = Đặt t = f ( cos x ) ta phương trình t + ( − m ) t + 2m − 10 =   t = m −       x= cos x =   +) Với t =  f ( cos x ) =  x   − ;   2     cos x = x = +) Với t = m −  f ( cos x ) = m − (1)      Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   phương trình (1) có      nghiệm đoạn  − ;   khác − ; 0; 3      ;   u = cos x   −1;1   Với x   − Nhận xét:    ;   1  2  Nếu u   ;1 có nghiệm x   −   1 2    ;   Nếu u = u   −1;  có nghiệm x   − Do yêu cầu toán xảy phương trình (1) thỏa  1 f ( cos x ) = m −  f ( u ) = m − có nghiệm u   −1;   2 Từ bảng biến thiên suy −4  m −    m  Vì m  nên m  1;2;3;4;5;6 Cách 2: Phương pháp ghép trục    ;   Đặt t = cos x   −1;1 x   − x = t ' =  sin x =   x =  Khi phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = thành  f (t ) = 2 f ( t ) + ( − m ) f ( t ) + 2m − 10 =    f ( t ) = m − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do phương trình f ( t ) = có nghiệm nên u cầu tốn tương đương với phương trình f ( t ) = m − có nghiệm −4  m −    m  Vì m  Câu 3: nên m  1;2;3;4;5;6 [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020].Cho hàm số () y = f x liên tục có bảng biến thiên hình bên ( Xác định số nghiệm phương trình f x − 3x A B ) = 23 ,biết f ( −4 ) = C 10 Lời giải D 11 Chọn C Theo Bài ta có Bảng biến thiên tổng hợp: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( Đồ thị hàm số y = f x − 3x Câu 4: Cho hàm số bậc ba y m ) phần nét liền f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số để phương trình f x A PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC m có nghiệm phân biệt 3x B D C Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f x Câu 5: m 3 m m m có nghiệm phân biệt 3x m 4, 5, 6, 7, ( ) Cho hàm số y = f ( x ) = x − x Số điểm cực trị hàm số g ( x) = f f ( x ) − A B C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D 11 Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t = x − x , ta có t ' = x − , từ đồ thị hàm số f ( x ) cho ta có f (0) = , f (1) = f (−1) = f (8) = m  −2 Ta có bảng ghép trục sau: Qua bảng ta thấy phương trình f (t ) =  f ( x − x) = có nghiệm phân biệt Câu 20: [CHUYÊN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị? B A C Lời giải D Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống x =  x3 =  x − = −1   x =  Ta có y = xf  x −  y =   x −1 =    x =   x − = Hay y = có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn ( ) Vậy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 32 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Đặt u = x − Ta có u ( x ) = x ; u ( x ) =  x = BBT hàm số u ( x ) : Hàm số y = f ( x − 1) trở thành hàm số: y = f ( u ) Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) bảng biến thiên hàm số u ( x ) = x − ta có bảng sau Từ bảng ta thấy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị Câu 21: [KIM THANH HẢI DƯƠNG 2020] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f (1 − x ) + = A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f (1 − x ) + =  f (1 − x ) = − Từ bảng biến thiên ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 33 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC 1 − x = −2 f (1 − x ) + =  f (1 − x ) = −   1 − x = a  ( 2; +  ) Suy phương trình f (1 − x ) + = có nghiệm thực Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = − x Ta có u ( x ) = −2 Phương trình f (1 − x ) + = trở thành phương trình: f ( u ) = − Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có bảng sau Từ bảng biến thiên ta có f ( u ) = − có nghiệm thực Suy phương trình f (1 − x ) + = có nghiệm thực Câu 22: [CHUYÊN NGỮ HÀ NÔI 2020] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) đồng biến khoảng đây? A ( 2; ) B ( −1;1) C (1; ) D ( 0;1) Lời giải Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống g  ( x ) = f  ( 3x − )  0 x  −  x −   g  ( x )   f  ( 3x − )   f  ( 3x − )     3 x −  x   4 3   Chọn đáp án A ( 2; )   ; +  Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x − Ta có u ( x ) = Hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) trở thành hàm số: y = f ( u ) Từ bảng xét dấu đạo hàm hàm số y = f ( x ) ta có bảng sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 34 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  2 4  Từ bảng ta thấy  − ;   ; +   chứa khoảng ( 2; )  3 3  Vậy hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) đồng biến khoảng ( 2; ) Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  7 13  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f  4  A B 10 C Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống      Ta có f ( sin x − cos x ) + =  f  sin  x −    = −1            ( sin x − cos x ) + = D   sin  x −  = t1  −; − 4    sin  x −  = t2  − 2;0 4  ( ( ) (1) ) ( 2)   sin  x −  = t3  0; 4    sin  x −  = t4  2; + 4  ( 3) ( ) ( Các phương trình (1) ( ) vô nghiệm    7 13  Xét đồ thị hàm số y = sin  x −   − ;  4   4  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 35 ) ( 4) Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta thấy phương trình ( ) có nghiệm phân biệt phương trình ( 3) có nghiệm phân biệt đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có 10  7 13  nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   4  Cách 2: Phương pháp ghép trục    7 13  Đặt t = sin x − cos x = sin  x −  x   − nên t   − 2;  ; 4   4   3   5  3 7 11  t  = cos  x −  =  x = + k  x   − ; − ; ; ; ; 4 4 4    Khi phương trình f ( sin x − cos x ) + = thành f ( t ) = −1 Ta có Dựa vào bảng biến thiên phương trình cho có 10 nghiệm phân biệt Câu 24: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ ( ) Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f x + 3x A C Lời giải B D 11 Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Do y = f ( x ) hàm số bậc bốn nên hàm số liên tục có đạo hàm xác định x   x = x1  ( −2; −1)  Theo đồ thị hàm số ta có f  ( x ) =   x = x2  ( −1;0 )  x = x3  ( 0;0, 75 )  ( ) ( Mặt khác g  ( x ) = x + x f  x + 3x )  6x2 + 6x = nên g  ( x ) =    f  x + x = ( Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! ) Trang 36 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC x=0   x = −1    x + 3x = x1   x + 3x = x2  x3 + 3x = x3 Xét hàm số h ( x ) = x3 + 3x  x=0 Ta có h ( x ) = x + x , h ( x ) =   , từ ta có BBT y = h ( x ) sau  x = −1 Từ BBT hàm số h ( x ) = x3 + 3x nên ta có h ( x ) = x1 có nghiệm, h ( x ) = x2 có nghiệm, h ( x ) = x3 có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác −1 Vì phương trình g  ( x ) = có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y = g ( x ) có cực trị Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 37 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y = f ( x ) , −2  a  b   c  0, 75 x = Đặt t = x + x ; t ' =  x + x =    x = −1 ( ) Khi phương trình g ( x ) = f x3 + 3x = f (t ) Ta có BBT Do phương trình g  ( x ) = có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y = g ( x ) có cực trị Câu 25: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  3  Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( cos x ) − =   A B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Cách : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 38 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC cos x = a  ( − ; − 1)  cos x = b  ( −1;0 ) Ta có f ( cos x ) − =  f ( cos x ) =   cos x = c  ( 0;1) cos x = d  (1; +  )  Vì cos x  −1;1 nên cos x = a  ( − ; − 1) cos x = d  (1; +  ) vô nghiệm  3  Xét đồ thị hàm số y = cos x  − ; 2    Phương trình cos x = b  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt Phương trình cos x = c  ( 0;1) có nghiệm phân biệt, khơng trùng với nghiệm phương trình cos x = b  ( −1;0 )  3  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2    Cách 2: PP ghép trục Ta có f ( cos x ) − =  f ( cos x ) = (*)  3  Đặt t = cos x, t   −1;1 ; t  = − sin x; t  =  x = k  ; x   − ; 2   x  − ; 0;  ; 2    (*) trở thành f ( t ) =  3  Số nghiệm phương trình (*) đoạn  − ; 2  số giao điểm đồ thị hàm số   y = f ( t ) , t   −1;1 đường thẳng y = Ta có bảng biến thiên sau: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 39 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) điểm  3  hay phương trình (*) có nghiệm phân biệt đoạn  − ; 2   Từ bảng biến thiên ta kết đường thẳng y = Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị sau ( Số điểm cực đại hàm số y = f x + x + ) B A C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị y = f  ( x ) ta chọn f  ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 3) Áp dụng công thức y =  f ( u )  = u f  ( u ) với u = Ta có y =  f  = ( ) ( x + 2x +  x2 + 2x +  =  ( x + 1) ( x +1 ) x2 + 2x + ( )( x2 + 2x + + )( x2 + x + + )( x2 + x + −1 x2 + x + −  x = −1   y =   x = −1 + 2 x2 + 2x + +  x = −1 − 2  x + x + + ( x + 1) ( x + x − ) x2 + 2x + ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Cách 2: Phương pháp ghép trục Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 40 ) Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Đặt u = x + x + u '( x) = ( x + x + 2)' = x +1 x2 + x + u ( x) =  x = −1 Ta có BBT hàm số u = u ( x ) , y = f ( x ) , y = f ( u ) : Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x + x + ) có điểm cực đại Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ y −1 O x Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) + Số điểm cực trị hàm số g ( x ) A B C 10 Lời giải D Chọn B Cách PP tự luận truyền thống Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 41 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC g ( x ) = f  ( f ( x )) f  ( x ) f   f  ( f ( x )) = f g ( x ) =  f  ( f ( x )) f  ( x ) =      f  ( x ) =   ( x) = ( x) = a , x=0 (  a  3) x=a f ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác a Vì  a  nên f ( x ) = a có nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 , , a Suy g  ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) ) + có điểm cực trị Cách Phương pháp ghép trục Đặt u = f ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm f ( u ) : Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) ) + với số điểm cực trị hàm số f ( f ( x ) ) tức hàm số f ( u ) Từ bảng biến thiên f ( u ) , ta g ( x ) có cực trị Câu 28: [TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 42 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TỐN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Có giá trị nguyên m  ( −10;10 ) để phương trình f nghiệm? A ( D C Lời giải B ) x + x + 10 − = m có Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t = x + x + 10  t = Để phương trình f ( ( x + 1) +9 t  ) x + x + 10 − = m  f ( ) x + x + 10 = m + có nghiệm đường thẳng y = m + cắt đồ thị y = f ( x ) điểm có hồnh độ x  Từ đồ thị ta m +   m  −1 Mà m  ( −10;10 )  có giá trị m thỏa mãn  Chọn C Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x + x + 10  u = x +1 Khi u '( x) = x + x + 10 BBT hàm số u ( x ) : Phương trình f ( ( x + 1) +9 u   u ' =  x = −1 ) x + x + 10 − = m  f ( ) x + x + 10 = m +  f ( u ) = m + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ bảng biến thiên hàm số u = x + x + 10 ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f ( ) x + x + 10 = f (u ) sau: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 43 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Từ BBT: phương trình f ( u ) = m + với u  có nghiệm m +   m  −1 Mà m  ( −10;10 )  có giá trị m thỏa mãn Câu 29: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số g ( x ) = f A B ( ) x + x + C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống x +1 Ta có g  ( x ) = f  x2 + 2x + x + 2x + ) ( x +1 =   x = −1 x +1 =  x + x + = −1  theo thi f '( x ) ⎯⎯⎯⎯→    x = −1 + Suy g  ( x ) =   f  x + 2x + = x + 2x + =   x = −1 −     x + 2x + = Bảng xét dấu ) ( Từ suy hàm số g ( x ) = f ( ) x + x + có điểm cực đại Chọn A Chú ý: Cách xét dấu − hay + g ' ( x ) nhanh ta lấy giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào x0 = ⎯⎯ → g ( 0) = f g( x) Chẳng hạn với khoảng ( −1; −1 + ) ( )  dựa vào đồ thị ta thấy f  ( )  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 44 ta chọn Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên: x +1 Đặt t = x + x +  t  = =  x = −1  t = x2 + x + Ta có bảng biến thiên: Giải thích: Dựa vào đồ thị khoảng (1; + ) , f ( t ) có điểm cực tiểu t = đạo hàm đổi dấu từ (-) sang(+) Tại điểm t = điểm cực đại dựa vào đồ thị hàm số f  ( t ) đổi dấu từ (+) sang (-) Do hàm số cho có cực đại Chọn A Câu 30: [SỞ BN L1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Có  3sin x − cos x − f  2cos x − sin x + A giá trị nguyên có đồ thị hình vẽ tham số m để phương   = f ( m + 4m + ) (1) có nghiệm?  C Lời giải B D Vô số Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống 3sin x −cos x −  ( 2t + 1)cos x − ( t + 3)sin x = −1 − 4t (*) Đặt t = cos x − sin x + Phương trình (*) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3)  ( 4t + 1)  − 2  t 1 11 Suy  t  Từ đồ thị y = f ( x ) ta có * y = f ( x ) đồng biến  0; + ) * m2 + 4m + = ( m + )   0; + ) * t   0; + ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 45 trình Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  3sin x − cos x −  = f m + 4m +  f ( t ) = f ( m + 4m + )  t = m + m + Nên f    2cos x − sin x +  Phương trình (1) có nghiệm   m + 4m +   m + 4m +   −3  m  −1 ( ) Do m  Z  m  −3; −2; −1  Chọn A Cách2: Dùng bảng biến thiên: 3sin x −cos x −  ( 2t + 1)cos x − ( t + 3)sin x = −1 − 4t (*) Đặt t = cos x − sin x + Phương trình (*) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3)  ( 4t + 1)  11t − 2t −   − 2 Suy  t  t − 11 t 1 f (t) y = f ( m + 4m + ) Dựa vào đồ thị  0;1 hàm số f ( t ) luông đồng biến Do để phương trình f ( t ) = f ( m + 4m + ) có nghiệm  0;1 tức đồ thị y = f ( t ) cắt đường thẳng y = f ( m + 4m + )  m + 4m +   −3  m  −1 Do m  Z  m  −3; −2; −1  Chọn A Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 46  t 1 11 ... GV-SV tốn! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x − x + Ta có u  ( x )... riêng cho GV-SV toán! D 11 Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Lời giải Chọn B Phương pháp ghép trục y = f ( x ) = x2 − 2x BBT Đặt u = f ( x ) − Ta... Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 13 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Ta có f ( sin x + cos x ) + =  f ( sin x + cos x )