Phương pháp ghép trục trong toán học

Khái niệm và vận dụng phương pháp ghép trục trong giải toán. Nguyên tắc ghép trục trong bài toán hàm hợp. Tìm hiểu về ghép trục. Luyện giải các dạng toán THPTQG bằng ghép trục. Xét sự biến thiên của hàm hợp bằng phương pháp ghép trục.

Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g = f ( u ( x ) ) ( ) D = ( a1 ; a2 )  ( a3 ; a4 )   ( an −1 ; an ) Ở a  −; a  + Bước 2: Xét biến thiên u = u ( x ) hàm y = f ( x ) (B2 làm gộp B3 đơn giản) Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét tương quan  x; u = u ( x )  u; g = f (u )  Bước 1: Tìm tập xác định hàm g = f u ( x ) , giả sử ta tập xác định n Bảng thường có dịng giả sử sau Cụ thể thành phần BBT sau Dòng 1: Xác định điểm kỳ dị hàm u = u ( x ) , xếp điểm theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử sau: a1  a2   an −1  an (xem ý 1) Dòng 2: Điền giá trị ui = u ( ) với i = 1, , n ( ) Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần bổ xung điểm kỳ dị Trên khoảng ( ui ; ui +1 ) , i = 1, n − cần xếp điểm ui  b1  b2   bk  ui +1 Dòng 3: ( ) b1; b2 ; ; bk của hàm y = f ( x ) ui ; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui  b1  b2   bk  ui +1 (xem ý 2) Xét chiều biến thiên hàm g = f u ( x ) dựa vào BBT hàm y = f ( x ) cách hốn đổi: u đóng vai trị x ; f ( u ) đóng vai trị f ( x ) ( ) Sau hoàn thiện BBT hàm hợp g = f u ( x ) ta thấy hình dạng đồ thị hàm ( ) Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g = f u ( x ) giải yêu cầu đặt toán kết luận Chú ý 1: Các điểm kỳ dị u = u ( x ) gồm: Điểm biên tập xác định D , điểm cực trị u = u ( x ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt u ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Ox ) - Nếu xét hàm u = u ( x ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Oy ) Chú ý 2: Có thể dùng thêm mũi tên để thể chiều biến thiên u = u ( x ) Điểm kỳ dị y = f ( x ) gồm: Các điểm f ( x ) f ( x ) không xác định; điểm cực trị hàm số y = f ( x ) - Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có nghiệm pt f ( x ) = (là hoành độ giao điểm u = u ( x ) với trục Ox ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Nếu xét hàm g = f ( u ( x ) ) dịng điểm kỳ dị cịn có số (là hồnh độ giao điểm y = f ( x ) với trục Oy ) Câu 45-MH-BGD-L1: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau: Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( sin x ) + = A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t = sin x Do x   − ; 2  nên t   −1;1 Khi ta có phương trình f ( t ) + =  f ( t ) = − Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( t ) = − t = b  ( 0;1) có nghiệm t = a  ( −1;0 ) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình có nghiệm −  x1  x2     x3  x4  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x5  x6   Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  Cách 2: Phương pháp ghép trục   x = −   Đặt t = sinx   −1;1 x   − ; 2  ; t' =  cosx =   x = ;   x = 3  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( sinx ) + =  f ( sinx ) = − Do tổng số nghiệm phương trình cho Câu 46-MH-BGD-L1: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình bên Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) A C B D 11 Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Ta có g ( x ) = f ( x3 + 3x )  g  ( x ) = ( 3x + x ) f  ( x3 + 3x ) 3 x + x = Cho g  ( x ) =    f  ( x + x ) = Xét hàm số h ( x ) = x + x  x =   x = −2  x + x = a; a    x + x = b;  b    x + x = c; c  x=0   h ( x ) = 3x + x Cho h ( x ) =    x = −2 Bảng biến thiên Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có đồ thị hàm h ( x ) = x + x sau Từ đồ thị ta thấy: Đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = b cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Đường thẳng y = c cắt đồ thị hàm số y = h ( x ) điểm Như phương trình g  ( x ) = có tất nghiệm đơn phân biệt Vậy hàm số g ( x ) = f ( x3 + 3x ) có cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục  x = −2 Xét hàm số u = x + 3x ta có u ' = 3x + x =   x = Gọi a, b, c điểm cục trị hàm số y = f ( x ) a   b   c Và ta có f ( a )  f ( c )  ; f ( b )  Suy g ( x ) = f ( x3 + 3x ) có điểm cực trị Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  5   phương trình f ( sin x ) =   B C Số nghiệm thuộc đoạn 0; A D Lời giải Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Đây phương trình hồnh độ giao điểm hàm số y = f ( t ) đường thẳng y = t = a  ( −1;0 ) Dựa vào bảng biến thiên, ta có f ( t ) =    t = b  ( 0;1) Trường hợp 1: t = a  ( −1;0 ) Ứng với giá trị t  ( −1;0 ) phương trình sin x = t có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1  x2  2 Trường hợp 2: t = b  ( 0;1) Ứng với giá trị t  ( 0;1) phương trình có nghiệm  x3  x4   ; 2  x5  x1 , x2 , x3 thỏa mãn 5 ; Hiển nhiên nghiệm trường hợp khác  5     Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn 0; Cách 2: Phương pháp ghép trục  5  Đặt t = sin x , x  0;   t   −1;1  2 Khi phương trình f ( sin x ) = trở thành f ( t ) = 1, t   −1;1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do tổng số nghiệm phương trình cho PHÁT TRIỂN CÂU 45 - 46 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị cho hình vẽ bên Hỏi phương trình f ( x3 − 3x + 1) − = có tất nghiệm thực phân biệt? A B C Lời giải D 11 Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống - Dựa vào đồ thị hàm số f ( x ) , ta có: f f ( x − 3x + 1) − =   f  Dựa vào đồ thị hàm số   x3 − 3x + = b ( b  −1) ( )  ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = c ( −1  c  3) ( 3)   ( x3 − 3x + 1) =   x3 − 3x + = d ( d  3) ( )   x − 3x + = a ( a  d ) (1) y = x3 − 3x + (hình vẽ đây) Ta suy ra: Phương trình (1), (2), (4) phương trình có nghiệm, phương trình (3) có nghiệm nghiệm phân biệt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x − x + Ta có u  ( x ) = 3x − ; u ( x ) =  x = 1 BBT hàm số u ( x ) : x u'  + u 1 + + +   f (u ) = 3 Phương trình f x − 3x + − = trở thành: f ( u ) − =    f ( u ) = ( ) Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ bảng biến thiên hàm số u ( x ) = x − 3x + ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f ( x3 − 3x + 1) = f (u ) sau: Từ bảng ta thấy phương trình f ( u ) = có nghiệm phương trình f ( u ) = có nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục Số giá trị nguyên tham số có bảng biến thiên hình bên m để phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 =      có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   A B C Lời giải D Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta có f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = t = Đặt t = f ( cos x ) ta phương trình t + ( − m ) t + 2m − 10 =   t = m −       x= cos x =   +) Với t =  f ( cos x ) =  x   − ;   2     cos x = x = +) Với t = m −  f ( cos x ) = m − (1)      Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   phương trình (1) có      nghiệm đoạn  − ;   khác − ; 0; 3      ;   u = cos x   −1;1   Với x   − Nhận xét:    ;   1  2  Nếu u   ;1 có nghiệm x   −   1 2    ;   Nếu u = u   −1;  có nghiệm x   − Do yêu cầu toán xảy phương trình (1) thỏa  1 f ( cos x ) = m −  f ( u ) = m − có nghiệm u   −1;   2 Từ bảng biến thiên suy −4  m −    m  Vì m  nên m  1;2;3;4;5;6 Cách 2: Phương pháp ghép trục    ;   Đặt t = cos x   −1;1 x   − x = t ' =  sin x =   x =  Khi phương trình f ( cos x ) + ( − m ) f ( cos x ) + 2m − 10 = thành  f (t ) = 2 f ( t ) + ( − m ) f ( t ) + 2m − 10 =    f ( t ) = m − Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Do phương trình f ( t ) = có nghiệm nên u cầu tốn tương đương với phương trình f ( t ) = m − có nghiệm −4  m −    m  Vì m  Câu 3: nên m  1;2;3;4;5;6 [CHUYÊN VINH LẦN 1-2020].Cho hàm số () y = f x liên tục có bảng biến thiên hình bên ( Xác định số nghiệm phương trình f x − 3x A B ) = 23 ,biết f ( −4 ) = C 10 Lời giải D 11 Chọn C Theo Bài ta có Bảng biến thiên tổng hợp: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( Đồ thị hàm số y = f x − 3x Câu 4: Cho hàm số bậc ba y m ) phần nét liền f x có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số để phương trình f x A PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC m có nghiệm phân biệt 3x B D C Lời giải Chọn A Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f x Câu 5: m 3 m m m có nghiệm phân biệt 3x m 4, 5, 6, 7, ( ) Cho hàm số y = f ( x ) = x − x Số điểm cực trị hàm số g ( x) = f f ( x ) − A B C Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! D 11 Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t = x − x , ta có t ' = x − , từ đồ thị hàm số f ( x ) cho ta có f (0) = , f (1) = f (−1) = f (8) = m  −2 Ta có bảng ghép trục sau: Qua bảng ta thấy phương trình f (t ) =  f ( x − x) = có nghiệm phân biệt Câu 20: [CHUYÊN KHTN HÀ NỘI LẦN 3-2020] Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị? B A C Lời giải D Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống x =  x3 =  x − = −1   x =  Ta có y = xf  x −  y =   x −1 =    x =   x − = Hay y = có nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn ( ) Vậy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị Cách 2: Phương pháp ghép trục Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 32 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Đặt u = x − Ta có u ( x ) = x ; u ( x ) =  x = BBT hàm số u ( x ) : Hàm số y = f ( x − 1) trở thành hàm số: y = f ( u ) Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) bảng biến thiên hàm số u ( x ) = x − ta có bảng sau Từ bảng ta thấy hàm số y = f ( x − 1) có điểm cực trị Câu 21: [KIM THANH HẢI DƯƠNG 2020] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Số nghiệm thực phương trình f (1 − x ) + = A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Ta có f (1 − x ) + =  f (1 − x ) = − Từ bảng biến thiên ta có Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 33 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC 1 − x = −2 f (1 − x ) + =  f (1 − x ) = −   1 − x = a  ( 2; +  ) Suy phương trình f (1 − x ) + = có nghiệm thực Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = − x Ta có u ( x ) = −2 Phương trình f (1 − x ) + = trở thành phương trình: f ( u ) = − Từ bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta có bảng sau Từ bảng biến thiên ta có f ( u ) = − có nghiệm thực Suy phương trình f (1 − x ) + = có nghiệm thực Câu 22: [CHUYÊN NGỮ HÀ NÔI 2020] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) đồng biến khoảng đây? A ( 2; ) B ( −1;1) C (1; ) D ( 0;1) Lời giải Chọn A Cách 1: Tự luận truyền thống g  ( x ) = f  ( 3x − )  0 x  −  x −   g  ( x )   f  ( 3x − )   f  ( 3x − )     3 x −  x   4 3   Chọn đáp án A ( 2; )   ; +  Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x − Ta có u ( x ) = Hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) trở thành hàm số: y = f ( u ) Từ bảng xét dấu đạo hàm hàm số y = f ( x ) ta có bảng sau Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 34 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  2 4  Từ bảng ta thấy  − ;   ; +   chứa khoảng ( 2; )  3 3  Vậy hàm số g ( x ) = f ( 3x − ) đồng biến khoảng ( 2; ) Câu 23: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  7 13  Số nghiệm thuộc đoạn  − ;  phương trình f  4  A B 10 C Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống      Ta có f ( sin x − cos x ) + =  f  sin  x −    = −1            ( sin x − cos x ) + = D   sin  x −  = t1  −; − 4    sin  x −  = t2  − 2;0 4  ( ( ) (1) ) ( 2)   sin  x −  = t3  0; 4    sin  x −  = t4  2; + 4  ( 3) ( ) ( Các phương trình (1) ( ) vô nghiệm    7 13  Xét đồ thị hàm số y = sin  x −   − ;  4   4  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 35 ) ( 4) Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Ta thấy phương trình ( ) có nghiệm phân biệt phương trình ( 3) có nghiệm phân biệt đồng thời số chúng khơng có nghiệm trùng Vậy phương trình cho có 10  7 13  nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ;   4  Cách 2: Phương pháp ghép trục    7 13  Đặt t = sin x − cos x = sin  x −  x   − nên t   − 2;  ; 4   4   3   5  3 7 11  t  = cos  x −  =  x = + k  x   − ; − ; ; ; ; 4 4 4    Khi phương trình f ( sin x − cos x ) + = thành f ( t ) = −1 Ta có Dựa vào bảng biến thiên phương trình cho có 10 nghiệm phân biệt Câu 24: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ ( ) Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f x + 3x A C Lời giải B D 11 Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Do y = f ( x ) hàm số bậc bốn nên hàm số liên tục có đạo hàm xác định x   x = x1  ( −2; −1)  Theo đồ thị hàm số ta có f  ( x ) =   x = x2  ( −1;0 )  x = x3  ( 0;0, 75 )  ( ) ( Mặt khác g  ( x ) = x + x f  x + 3x )  6x2 + 6x = nên g  ( x ) =    f  x + x = ( Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! ) Trang 36 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC x=0   x = −1    x + 3x = x1   x + 3x = x2  x3 + 3x = x3 Xét hàm số h ( x ) = x3 + 3x  x=0 Ta có h ( x ) = x + x , h ( x ) =   , từ ta có BBT y = h ( x ) sau  x = −1 Từ BBT hàm số h ( x ) = x3 + 3x nên ta có h ( x ) = x1 có nghiệm, h ( x ) = x2 có nghiệm, h ( x ) = x3 có ba nghiệm phân biệt nghiệm khác −1 Vì phương trình g  ( x ) = có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y = g ( x ) có cực trị Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 37 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép trục Gọi a, b, c điểm cực trị hàm số y = f ( x ) , −2  a  b   c  0, 75 x = Đặt t = x + x ; t ' =  x + x =    x = −1 ( ) Khi phương trình g ( x ) = f x3 + 3x = f (t ) Ta có BBT Do phương trình g  ( x ) = có bảy nghiệm phân biệt nghiệm đơn nên hàm số y = g ( x ) có cực trị Câu 25: Cho hàm số f ( x ) có bảng biến thiên sau:  3  Số nghiệm thuộc đoạn  − ; 2  phương trình f ( cos x ) − =   A B C D Lời giải Chọn B Cách 1: Tự luận truyền thống Cách : Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 38 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC cos x = a  ( − ; − 1)  cos x = b  ( −1;0 ) Ta có f ( cos x ) − =  f ( cos x ) =   cos x = c  ( 0;1) cos x = d  (1; +  )  Vì cos x  −1;1 nên cos x = a  ( − ; − 1) cos x = d  (1; +  ) vô nghiệm  3  Xét đồ thị hàm số y = cos x  − ; 2    Phương trình cos x = b  ( −1;0 ) có nghiệm phân biệt Phương trình cos x = c  ( 0;1) có nghiệm phân biệt, khơng trùng với nghiệm phương trình cos x = b  ( −1;0 )  3  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2    Cách 2: PP ghép trục Ta có f ( cos x ) − =  f ( cos x ) = (*)  3  Đặt t = cos x, t   −1;1 ; t  = − sin x; t  =  x = k  ; x   − ; 2   x  − ; 0;  ; 2    (*) trở thành f ( t ) =  3  Số nghiệm phương trình (*) đoạn  − ; 2  số giao điểm đồ thị hàm số   y = f ( t ) , t   −1;1 đường thẳng y = Ta có bảng biến thiên sau: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 39 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC cắt đồ thị hàm số y = f ( t ) điểm  3  hay phương trình (*) có nghiệm phân biệt đoạn  − ; 2   Từ bảng biến thiên ta kết đường thẳng y = Câu 26: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị sau ( Số điểm cực đại hàm số y = f x + x + ) B A C Lời giải D Chọn D Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị y = f  ( x ) ta chọn f  ( x ) = ( x + 1)( x − 1)( x − 3) Áp dụng công thức y =  f ( u )  = u f  ( u ) với u = Ta có y =  f  = ( ) ( x + 2x +  x2 + 2x +  =  ( x + 1) ( x +1 ) x2 + 2x + ( )( x2 + 2x + + )( x2 + x + + )( x2 + x + −1 x2 + x + −  x = −1   y =   x = −1 + 2 x2 + 2x + +  x = −1 − 2  x + x + + ( x + 1) ( x + x − ) x2 + 2x + ) Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có điểm cực đại Cách 2: Phương pháp ghép trục Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 40 ) Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Đặt u = x + x + u '( x) = ( x + x + 2)' = x +1 x2 + x + u ( x) =  x = −1 Ta có BBT hàm số u = u ( x ) , y = f ( x ) , y = f ( u ) : Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x + x + ) có điểm cực đại Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm có đồ thị đường cong hình vẽ y −1 O x Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) + Số điểm cực trị hàm số g ( x ) A B C 10 Lời giải D Chọn B Cách PP tự luận truyền thống Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 41 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC g ( x ) = f  ( f ( x )) f  ( x ) f   f  ( f ( x )) = f g ( x ) =  f  ( f ( x )) f  ( x ) =      f  ( x ) =   ( x) = ( x) = a , x=0 (  a  3) x=a f ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt x1 , x2 , x3 khác a Vì  a  nên f ( x ) = a có nghiệm đơn phân biệt x4 , x5 , x6 khác x1 , x2 , x3 , , a Suy g  ( x ) = có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) ) + có điểm cực trị Cách Phương pháp ghép trục Đặt u = f ( x ) , ta có bảng biến thiên hàm f ( u ) : Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = f ( f ( x ) ) + với số điểm cực trị hàm số f ( f ( x ) ) tức hàm số f ( u ) Từ bảng biến thiên f ( u ) , ta g ( x ) có cực trị Câu 28: [TÂN TÂY ĐÔ L8] Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 42 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TỐN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Có giá trị nguyên m  ( −10;10 ) để phương trình f nghiệm? A ( D C Lời giải B ) x + x + 10 − = m có Chọn C Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t = x + x + 10  t = Để phương trình f ( ( x + 1) +9 t  ) x + x + 10 − = m  f ( ) x + x + 10 = m + có nghiệm đường thẳng y = m + cắt đồ thị y = f ( x ) điểm có hồnh độ x  Từ đồ thị ta m +   m  −1 Mà m  ( −10;10 )  có giá trị m thỏa mãn  Chọn C Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u = x + x + 10  u = x +1 Khi u '( x) = x + x + 10 BBT hàm số u ( x ) : Phương trình f ( ( x + 1) +9 u   u ' =  x = −1 ) x + x + 10 − = m  f ( ) x + x + 10 = m +  f ( u ) = m + Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) từ bảng biến thiên hàm số u = x + x + 10 ta có bảng sau biến thiên hàm hợp f ( ) x + x + 10 = f (u ) sau: Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 43 Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Từ BBT: phương trình f ( u ) = m + với u  có nghiệm m +   m  −1 Mà m  ( −10;10 )  có giá trị m thỏa mãn Câu 29: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f  ( x ) hình vẽ bên Số điểm cực đại hàm số g ( x ) = f A B ( ) x + x + C Lời giải D Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống x +1 Ta có g  ( x ) = f  x2 + 2x + x + 2x + ) ( x +1 =   x = −1 x +1 =  x + x + = −1  theo thi f '( x ) ⎯⎯⎯⎯→    x = −1 + Suy g  ( x ) =   f  x + 2x + = x + 2x + =   x = −1 −     x + 2x + = Bảng xét dấu ) ( Từ suy hàm số g ( x ) = f ( ) x + x + có điểm cực đại Chọn A Chú ý: Cách xét dấu − hay + g ' ( x ) nhanh ta lấy giá trị x0 thuộc khoảng xét thay vào x0 = ⎯⎯ → g ( 0) = f g( x) Chẳng hạn với khoảng ( −1; −1 + ) ( )  dựa vào đồ thị ta thấy f  ( )  Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 44 ta chọn Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC Cách 2: Phương pháp ghép bảng biến thiên: x +1 Đặt t = x + x +  t  = =  x = −1  t = x2 + x + Ta có bảng biến thiên: Giải thích: Dựa vào đồ thị khoảng (1; + ) , f ( t ) có điểm cực tiểu t = đạo hàm đổi dấu từ (-) sang(+) Tại điểm t = điểm cực đại dựa vào đồ thị hàm số f  ( t ) đổi dấu từ (+) sang (-) Do hàm số cho có cực đại Chọn A Câu 30: [SỞ BN L1] Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Có  3sin x − cos x − f  2cos x − sin x + A giá trị nguyên có đồ thị hình vẽ tham số m để phương   = f ( m + 4m + ) (1) có nghiệm?  C Lời giải B D Vô số Chọn A Cách 1: PP tự luận truyền thống 3sin x −cos x −  ( 2t + 1)cos x − ( t + 3)sin x = −1 − 4t (*) Đặt t = cos x − sin x + Phương trình (*) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3)  ( 4t + 1)  − 2  t 1 11 Suy  t  Từ đồ thị y = f ( x ) ta có * y = f ( x ) đồng biến  0; + ) * m2 + 4m + = ( m + )   0; + ) * t   0; + ) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 45 trình Sản phẩm Group FB: TỔ 22 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC  3sin x − cos x −  = f m + 4m +  f ( t ) = f ( m + 4m + )  t = m + m + Nên f    2cos x − sin x +  Phương trình (1) có nghiệm   m + 4m +   m + 4m +   −3  m  −1 ( ) Do m  Z  m  −3; −2; −1  Chọn A Cách2: Dùng bảng biến thiên: 3sin x −cos x −  ( 2t + 1)cos x − ( t + 3)sin x = −1 − 4t (*) Đặt t = cos x − sin x + Phương trình (*) có nghiệm  ( 2t + 1) + ( t + 3)  ( 4t + 1)  11t − 2t −   − 2 Suy  t  t − 11 t 1 f (t) y = f ( m + 4m + ) Dựa vào đồ thị  0;1 hàm số f ( t ) luông đồng biến Do để phương trình f ( t ) = f ( m + 4m + ) có nghiệm  0;1 tức đồ thị y = f ( t ) cắt đường thẳng y = f ( m + 4m + )  m + 4m +   −3  m  −1 Do m  Z  m  −3; −2; −1  Chọn A Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 46  t 1 11