[r]
(1)CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN LƯỢNG GIÁC
I, Các đẳng thức lượng giác, 1, Công thức bản.
Sin2x + Cos2x = 1
1
Cos2x =1+Tan
x
1
Sin2x=1+Cotg
x
Sin2x = (1–Cosx)(1+Cosx) Sin2x = Tan
2
x
1+Tan2x
Cotgx.Tanx = 1 Tan2x = 1 −Cos x
1+Cos x
Sin2x = 1 −Cos x
2
Cos2x = 1+Cos x
2
Sinx.Cosx = 1
2Sin2 x
2, Cung đối nhau. Cos(–x) = Cosx Sin(–x) = – Sinx Tan(–x) = – Tanx Cotg(–x) = – Cotgx 3, Cung bù nhau.
Sin (π − x)=¿ Sinx Cos (π − x)=− Cosx
Tan (π − x)=− Tanx Cotg (π − x)=− Cotgx 4, Cung kém.
Sin (π +x)=− Sinx
Cos (π +x)=− Cosx
Tan (π +x)=¿ Tanx Cotg (π +x)=¿ Cotgx 5, Cung phụ nhau.
Sin (π
2 − x) = Cosx
Cos (π
2 − x) = Sinx
Tan (π
2− x) = Cotgx
Cotgx (π
2 − x) = Tanx
6, Cung kém. Sin (π
2+x)=Cosx
Cos (π
2+x) = −Sinx
Tan (π
2+x) = −Cotgx
Cotg (π
2+x) = − Tanx
Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụchéo.
7, Công thức cộng. Sin(a ❑+¿
−
¿ b) = SinaCosb +¿
❑−¿
CosaSinb Cos(a ❑+¿
−
¿ b) = CosaCosb
+¿−
❑¿
SinaSinb
Tan(a+b) = Tana+Tanb
1 − TanaTanb
Tan(a–b) = Tana − Tanb
1+TanaTanb
Cotg(a+b) = CotgaCotgb −1
Cotga+Cotgb
Cotg(a–b) = CotgaCotgb+1
Cotga − Cotgb
8, Công thức nhân đôi. Sin2x = 2SinxCosx Cos2x = Cos2x – Sin2x = 2Cos2x - 1 = – 2Sin2x Tan2x = 2 Tanx
1 − Tan2x
Cotg2x = Cotg
2
x − 1
2 Cotgx
Lưu ý:
Cosx = Cos2x
2−Sin
2x
2
= 2Cos2 x
2− 1
= – 2Sin2 x
2
Sinx = 2Sin x
2 Cos
x
2
9, Công thức theo “t”. Đặt Tan x
2 = t ta có:
Sinx = 2t
1+t2
Cosx = 1 −t
2
1+t2
Tanx = 2 t
1 −t2
10, Công thức nhân 3.
Sin3x = 3 sin x − sin3x
Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx Tan3x = 3 Tanx −Tan
3x
1− Tan2x
11, Cơng thức tích thành tổng. CosxCosy=
1
2[Cos(x+ y)+Cos( x − y )]
SinxCosy =
1
2[Sin( x+ y )+Sin(x − y)]
SinxSiny=
−1
2[Cos(x + y )− Cos(x − y)]
12, Công thức tổng(hiệu) thành tích. Sinx + Siny = 2Sin
(x+ y2 )Cos(
x − y
2 )
Sinx – Siny = 2Cos
(x+ y2 )Sin(
x − y
2 )
Cosx + Cosy = 2Cos
(x+ y2 )Cos(
x − y
2 )
Cosx – Cosy = – 2Sin
(x+ y2 )Sin(
x − y
2 )
Tanx + Tany = Sin(x+ y)
CosxCosy
Tanx – Tany = Sin(x − y)
CosxCosy
Cotgx + Cotgy = Sin(x+ y)
SinxSiny
Cotgx – Cotgy = Sin( y − x)
(2)Sin( y − x) SinxSiny
13, Các hệ qủa thông dụng. Sinx + Cosx = √2Sinx(x +π
4)=√2 Cos(x −
π
4)
Sinx – Cosx = √2Sinx(x −π
4)=−√2 Cos(x +
π
4)
4.Sinx.Sin(60o – x).Sin(60o + x) = Sin3x 4.Cosx.Cos(60o – x).Cos(60o + x) = Cos3x 1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)2
1 – Sin2x = (Sinx – Cosx)2 1+Tanx
1 − Tanx=Tan(x +
π
4)
1 − Tanx
1+Tanx=− Tan(x −
π
4)
Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx Cotgx + Tanx = 2
Sin2 x
Công thức liên quan đến phương trình lượng giác Sin3x = 3 Sinx − Sin3x
⇔ Sin3x = 3 Sinx −Sin x
4
Cos3x = 4Cos3x – 3Cosx
⇔ Cos3x = 3 Cosx +Cos x
4
Sin4x + Cos4x = 1 −1
2Sin
2
2 x
Sin4x – Cos4x = – Cos2x Sin6x + Cos6x = 1 −3
4Sin
2
2 x
Sin6x – Cos6x = Cos2x (1 −1
4Sin
22 x )
III, Phương trình lượng giác. 1, Cosx = Cos α
⇔ x=α +k π x=− α+k π
¿{
( k Z ) Đặc biệt:
Cosx = ⇔ x = π
2+kπ
Cosx = ⇔ x = k2 π
Cosx = −1 ⇔ x = π +k π 2, Sinx = Sin α
⇔ x=α+k π x=π − α+k π
¿{
( k Z ) Đặc biệt:
Sinx = ⇔ x = kπ Sinx = ⇔ x = π
2+k π
Sinx = −1⇔ x=−π
2+k π
3, Tanx = Tan α
⇔ x = α+kπ ( k Z )
Đặc biệt:
Tanx = ⇔ x=kπ
Tanx không xác định x=π
2+kπ (Cosx=0)
4, Cotgx = Cotg α
⇔ x = α+kπ ( k Z )
Đặc biệt:
Cotgx = ⇔ x=π
2+kπ