Hướng dẫn phương pháp giải bài tập đại số lớp 11 đầy đủ file word có đán án

Đại số 11 CHƯƠNG00 CHƯƠNG CÔNG THỨC THỨC LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC CÔNG I HỆ THỨC CƠ BẢN sin Định nghĩa giá trị lượng giác: tang OP = cosα OQ = sinα AT = tanα BT ' = cotα B Q Nhận xét: O • ∀α , − ≤ cosα ≤ 1; − 1≤ sinα ≤ • tanα xác định α ≠ T T' cotang M α p A cosin π + kπ , k ∈ Z • cotα xác định α ≠ kπ , k ∈ Z Dấu giá trị lượng giác: Cung phần tư I II II IV sinα + + – – cosα + – – + tanα + – + – cotα + – + – Giá trị lượng giác Hệ thức bản: sin2α + cos2α = 1; 1+ tan2 α = cos α tanα.cotα = ; 1+ cot2 α = sin2 α Cung liên kết: Cung đối Cung bù Cung phụ Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 cos(−α ) = cosα sin(π − α ) = sinα sin(−α ) = − sinα cos(π − α ) = − cosα tan(−α ) = − tanα tan(π − α ) = − tanα cot(−α ) = − cotα cot(π − α ) = − cotα π  sin − α ÷ = cosα 2  π  cos − α ÷ = sinα 2  π  tan − α ÷ = cotα 2  π  cot − α ÷ = tanα 2  π Cung π Cung sin(π + α ) = − sinα π  sin + α ÷ = cosα 2  cos(π + α ) = − cosα π  cos + α ÷ = − sinα 2  tan(π + α ) = tanα π  tan + α ÷ = − cotα 2  cot(π + α ) = cotα π  cot + α ÷ = − tanα 2  Bảng giá trị lượng giác góc (cung) đặc biệt π π π π 2π 3π π 3π 2π 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cot − − 2 − –1 3 –1 − 0 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 II CƠNG THỨC CỘNG Cơng thức cộng: sin(a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa sin(a − b) = sina.cosb − sin b.cosa cos(a + b) = cosa.cosb − sina.sinb cos(a − b) = cosa.cosb+ sin a.sinb Hệ quả: tana + tanb 1− tana.tanb tana − tanb tan(a − b) = 1+ tana.tanb tan(a + b) = π  1+ tanα tan + α ÷ = , 4  1− tanα π  1− tanα tan − α ÷ = 4  1+ tanα III CÔNG THỨC NHÂN Công thức nhân đôi: sin2α = 2sinα cosα cos2α = cos2 α − sin2 α = 2cos2 α − = 1− 2sin2 α tan2α = 2tanα 1− tan2 α ; cot2α = Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) 1− cos2α 1+ cos2α cos α = 1− cos2α tan α = 1+ cos2α sin3α = 3sinα − 4sin3 α cos3α = 4cos3 α − 3cosα 3tanα − tan3 α tan3α = 1− 3tan2 α sin2 α = Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan Đặt: t = tan cot2 α − 2cotα 2t α ; (α ≠ π + 2kπ ) thì: sinα = 1+ t2 α : cosα = 1− t2 1+ t2 ; tanα = 2t 1− t2 IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Cơng thức biến đổi tổng thành tích: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 a+ b a− b cos 2 a+ b a− b cosa − cosb = − 2sin sin 2 a+ b a− b sina + sinb = 2sin cos 2 a+ b a− b sina − sinb = 2cos sin 2 cosa + cosb = 2cos sin(a + b) cosa.cosb sin(a − b) tana − tanb = cosa.cosb sin(a + b) cot a + cot b = sina.sinb sin(b − a) cot a − cot b = sina.sinb tana + tanb =   π π sinα + cosα = 2.sin α + ÷ = 2.cos α − ÷ 4 4     π π sinα − cosα = 2sin α − ÷ = − 2cos α + ÷  4  4 Công thức biến đổi tích thành tổng:  cos(a − b) + cos(a + b) 2 sina.sinb =  cos(a − b) − cos(a + b) sina.cosb = sin(a − b) + sin(a + b)  cosa.cosb = CHƯƠNG II CHƯƠNG HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC –– PHƯƠNG PHƯƠNGTRÌNH TRÌNH LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC HÀM HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC I.I HÀM Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y = sin x : Tập xác định D = R; tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 = 2π a Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 * y = sin(f(x)) xác định ⇔ f (x) xác định y = cos x : Tập xác định D = R; Tập giá trị T =  −1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π 2π a * y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = cos(f(x)) xác định ⇔ f (x) xác định π  y = tan x : Tập xác định D = R \  + kπ , k ∈ Z ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π 2  π a * y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = tan(f(x)) xác định ⇔ f (x) ≠ π + kπ (k ∈ Z) y = cot x : Tập xác định D = R \ { kπ , k ∈ Z} ; tập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π π a * y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = * y = cot(f(x)) xác định ⇔ f (x) ≠ kπ (k ∈ Z) * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số y = f1(x) ± f2(x) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 Bài Tìm tập xác định tập giá trị hàm số sau:  2x  a) y = sin ÷  x − 1 b) y = sin x d) y = 1− cos2 x e) y =  π g) y = cot x + ÷ 3  h) y = sin x + sin x cos(x − π ) c) y = − sin x  π f) y = tan x − ÷ 6  i) y = tan x− Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Baøi Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:  π a) y = 2sin x + ÷+  4 b) y = cos x + − c) y = sin x d) y = 4sin2 x − 4sin x + e) y = cos2 x + 2sin x + f) y = sin4 x − 2cos2 x + g) y = sinx + cosx h) y = 3sin2x − cos2x i) y = sin x + 3cos x + Bài Xét tính chẵn – lẻ hàm số: a) y = sin2x b) y = 2sinx + c) y = sinx + cosx d) y = tanx + cotx e) y = sin4x f) y = sinx.cosx g) y = sin x − tan x sin x + cot x h) y = a) y = sin2x d) y= sin2x + cos b) y = cos x g) y = 2sin x cos3x a) π Vấn đề 2: sin3 x i) y = tan x Tìm chu kỳ hàm số: Bài HD: cos3 x + b) 6π c) π x c) y = sin2 x 3x 2x − sin e) y = tan x + cot3x f) y = cos h) y = cos2 4x i) y = tan(−3x + 1) d) 4π e) π f) 70π g) π h) π i) π ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần) – Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn:  T T  x ∈  0, T0  x ∈  − ,   2 – Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ – r r 0.i bên trái Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo vectơ v = kT Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 r phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox) 2) Một số phép biến đổi đồ thị: a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hồnh a đơn vị a < b) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành  f (x), neá u f (x) ≥ c) Đồ thị y = f (x) =  − f ( x ), neá u f (x) <  suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía trục hoành lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh y Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx – Tập xác định: D = R – Tập giá trị:  −1, 1 – Chu kỳ: T = π – Bảng biến thiên đoạn  0, 2π  y = sinx − −π 3π − π π π 2 π 3π x 5π –1 x0y 0 – –1 r r Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ i ta đồ thị y = sinx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng –  π π  Hàm số đồng biến khoảng  0, ÷ nghịch biến  , π ÷  2 2  y Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx – – y = cosx Tập xác định: D = R Tập giá trị:  −1, 1 − 3π −π − π π π 3π 2π 5π x –1 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 – Chu kỳ: T = π – Bảng biến thiên đoạn  0, 2π  : x0y 1 –1 – r r Tịnh tiến theo véctơ v = 2kπ i ta đồ thị y = cosx Nhận xét: – Đồ thị hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng –  π Hàm số nghịch biến khoảng  0, ÷ nghịch biến khoảng  2  3π π ,   ÷  Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx – y π  Tập xác định: D = R \  + kπ , k ∈ Z 2  – Tập giá trị: R – Giới hạn: ⇒ x= ± lim y = ∞ x→± π − 3π y = tanx π −π π O π 2 3π 2π 5π x π : tiệm cận đứng – Chu kỳ: T = π –  π π Bảng biến thiên  − , ÷ :  2 x0y +∞ –∞ r r – Tịnh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thị y = tanx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số đồng biến tập xác định D Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx – Tập xác định: D = R \ { kπ , k ∈ Z} – Tập giá trị: R – Giới hạn: y = cotx lim y = + ∞, lim y = − ∞ x→ y x→ x −2π − 3π −π − π O π π 3π 2π x tiệm cận đứng: x = 0, x = π – Chu kỳ: T = π – Bảng biến thiên đoạn  0, π  : x0y +∞ –∞ – r r Tịnh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thị y = cotx Nhận xét: – Đồ thị hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số giảm tập xác định D Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx – Vẽ đồ thị y = sinx – Từ đồ thị y = sinx, ta suy đồ thị y = –sinx cách lấy đối xứng qua Ox y –2 − 3π −π − O π y = –sinx π π 2π 3π x –1 Ví dụ 6: Vẽ đồ thị y = sinx sin x, neá u sin x ≥ y = sin x =  -sin x, neá u sin x A n ĐS: n ≥ Bài (TN 2006–kpb) Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Niutơn (1+ x)n , n∈N*, biết tổng tất hệ số khai triển 1024 ĐS: C10 = 252 Baøi 10 (TN 2007–kpb) Giải phương trình: Cn4 + Cn5 = 3Cn6+1 (trong Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n = Baøi 11 (TN 2007–kpb–lần 2) Giải phương trình: 3Cn3 + 2Cn2 = 3An2 (trong Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n = Baøi 12 (TN 2008–kpb) Giải bất phương trình: (n2 − 5)Cn4 + 2Cn3 ≤ 2An3 (trong Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n = 4; n = Bài 13 (TN 2008–kpb–lần 2) Tìm hệ số x7 khai triển nhị thức Niutơn (2x − 1)10 ĐS: −27C10 Baøi 14 (TN 2011) ĐS: Trang 115 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 ĐỀ THI ĐẠI HỌC (ĐH 2002A) Cho khai triển nhị thức: Baøi 69 ( x−1 −x 2 +23 ) n ( ) x−1 = Cn0 2 n ( ) ( ) x−1 + Cn1 2 n−1 −x 23 ( )( ) x−1 + + Cnn−1 2 −x 23 n−1 ( ) −x + Cnn n (n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3 = 5Cn1 , số hạng thứ tư 20n Tìm n x HD: n = 7; x = (ĐH 2002B) Cho đa giác A 1A A 2n nội tiếp đường tròn (O; R) Biết Bài 70 số tam giác có đỉnh 2n điểm A 1, A 2, , A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A 1, A 2, , A 2n , tìm n Số tam giác là: C23n Số hình chữ nhật là: Cn2 ĐS: n = HD: (ĐH Baøi 71 2002D) Tìm số nguyên dương n số n cho: C0n + 2C1n + 4C2n + + 2n Cnn = 243 HD: n = (ĐH Baøi 72 2002A–db2) Giả sử nguyên dương (1+ x)n = a0 + a1x + + anxn Biết tồn số k nguyên dương (1 ≤ k ≤ n – 1) cho ak−1 HD: Baøi 73 = Cnk−1 ak = = ak+1 Cnk 24 = , tính n Cnk+1 24 ⇔ n = 10 (ĐH 2002B–db2) Tìm số n nguyên dương thoả bất phương trình Trang 116 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 An3 + 2Cnn−2 ≤ 9n (trong Ank , Cnk số chỉnh hợp số tổ hợp chập k n phần tử) HD: n = 3; n = Baøi 74 (ĐH 2002D–db1) Gọi a1, a2, , a11 hệ số khai triển sau: (x + 1)10(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + + a11 Hãy tính hệ số a5 HD: a5 = C10 + 2C10 = 672 Baøi 75 (ĐH 2002D–db2) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có em chọn HD: C18 − (C13 + C12 + C11 ) = 41811 Baøi 76 (ĐH 2003A) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niutơn n    + x5 ÷ , biết rằng: Cnn++41 − Cnn+3 = 7(n + 3) (trong n số nguyên dương, x >  x3  0, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Baøi 77 C12 = 495 (ĐH 2003B) Cho n số nguyên dương Tính tổng S = Cn0 + 22 − 1 23 − 2n+1 − n Cn + Cn + + C n+ n ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Baøi 78 3n+1 − 2n+1 n Sử dụng khai triển (1+ x)n Tính ∫ (1+ x) dx ĐS: S = n + 1 (ĐH 2003D) Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n−3 = 26n HD: Ta có: (x2 + 1)n = Cn0x2n + Cn1x2n−2 + Cn2x2n−4 + + Cnn (x + 2)n = Cn0xn + 2Cn1xn−1 + 22Cn2xn−2 + + 2nCnn + Kiểm tra n = 1, n = 2: không thoả điều kiện toán + Với n ≥ x3n−3 = x2nxn−3 = x2n−2xn−1 ⇒ hệ số x3n−3 khai triển Trang 117 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n là: a3n−3 = 23.Cn0.Cn3 + 2.Cn1.Cn1 Từ đó: a3n−3 = 26n ⇔ n = Baøi 79 (ĐH 2003A–db1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số ? HD: 192 Bài 80 (ĐH 2003A–db2) Có số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác ? HD: 952 Baøi 81 (ĐH 2003B–db1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên, số có chữ số thoả mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị ? HD: 108 Baøi 82 (ĐH 2003B–db2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn ? HD: 462 Baøi 83 (ĐH 2003D–db1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác ? HD: 90720 Baøi 84 (ĐH 2003D–db2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn2Cnn−2 + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) ( ) HD: n = (Chú ý: C k.C n−k = C k ) n n n Baøi 85 (ĐH 2004A) Tìm hệ số x khai triển thành đa thức [1+ x2(1− x)]8 HD: Khai triển [1+ x2(1− x)]8 Xác định a8 = C83.C32 + C84.C40 = 168+ 70 = 238 Baøi 86 (ĐH 2004B) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng ? 2 2 1 HD: Chia thành nhiều trường hợp ĐS: C15 C10C5 + C15 C10C5 + C15 C10C5 = 56875 Bài 87 (ĐH 2004D) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niutơn Trang 118 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 3   x+ ÷ x  với x > HD: C74 = 35 Baøi 88 (ĐH 2004A–db1) Cho tập A gồm n phần tử, n ≥ Tìm n, biết số tập gồm phần tử tập A hai lần số tập gồm phần tử tâọ A HD: Baøi 89 (ĐH 2004A–db2) Cho tập A gồm n phần tử, n > Tìm n, biết số tập A có 16n tập có số phần tử số lẻ HD: Bài 90 (ĐH 2004B–db1) Biết (2 + x)100 = a0 + a1x + + a100x100 Chứng minh a2 < a3 Với giá trị k ak < ak+1 (0 ≤ k ≤ 99) ? HD: Baøi 91 (ĐH 2004B–db2) Giả sử (1+ 2x)n = a0 + a1x + a2x2 + + anxn Tìm n số lớn số a0, a1, a2, , an , biết a0 + a1 + a2 + + an = 729 HD: n Baøi 92 (ĐH 2004D–db1) Biết khai triển nhị thức Niutơn  x + ÷ tổng x  hệ số hai số hạng 24, tính tổng hệ số số hạng chứa xk với k > chứng minh tổng số phương HD: Bài 93 (ĐH 2004D–db2) Có số tự nhiên thoả mãn dồng thời ba điều kiện sau: gồm chữ số đôi khác nhau; số chẵn; nhỏ 2158 ? HD: Bài 94 (ĐH 2005A) Tìm số nguyên dương n cho: C21n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22C23n+1 − 4.23C24n+1 + + (2n + 1).22nC22nn++11 = 2005 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Sử dụng khai triển (1+ x)2n+1 Lấy đạo hàm hai vế, thay x = –2 ĐS: n = 1002 Baøi 95 (ĐH 2005B) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ Trang 119 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 HD: 4 C31C12 C2C8 C1C4 = 207900 (ĐH 2005D) Tính giá trị biểu thức M = Baøi 96 An4+1 + 3A 3n (n + 1)! , biết rằng: Cn2+1 + 2Cn2+2 + 2Cn2+3 + Cn2+ = 149 (*) (n số nguyên dương, Ank , Cnk số chỉnh hợp số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Từ (*) ⇒ n = Vậy M = (ĐH 2005A–db1) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 − 3x)2n , Bài 97 +1 k n số ngun dương thỏa mãn: C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + + C2n 2n+1 = 1024 (*) ( Cn số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Sử dụng khai triển (1+ x)2n+1 Lần lượt cho x = x = –1 Tính C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + + C22nn++11 = 22n ⇒ 2n = 10 Suy hệ số x7 −C10 k (ĐH 2005A–db2) Tìm k ∈ { 0,1,2, ,2005} cho C2005 đạt giá trị lớn Baøi 98 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: k C2005 Baøi 99 Ck ≥ Ck+1 2005 (k ∈ N) ⇔  k ≥ 1002 ⇔ k = 1002hayk = 1003 lớn ⇔  2005  k ≤ 1003 k k−1  C2005 ≥ C2005 (ĐH 2005B–db1) Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn đẳng thức: 2Pn + 6A 2n − Pn A 2n = 12 ( Pn số hoán vị n phần tử A nk số chỉnh hợp chập k n phần tử) HD: PT ⇔ (6 − n!)[ n(n − 1) − 2] = ⇔ n = hay n = Baøi 100 (ĐH 2005B–db2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn HD: a3 + a4 + a5 = ⇒ a3, a4, a5 ∈ {1,2,5} a3, a4, a5 ∈ {1,3,4} ĐS: 720 + 720 = 1440 (số) Baøi 101 (ĐH 2005D–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có Trang 120 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 nữ HD: C53C10 + C54C10 + C55C10 = 3690 cách Baøi 102 (ĐH 2005D–db2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ 1, ? HD: Thực bước: + Bước 1: xếp số 1, vào vị trí, có: A52 = 20 cách + Xếp số lại vào vị trí lại, có: A53 = 60 cách ĐS: 20.60 = 1200 số Baøi 103 (ĐH 2006A) Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niutơn n   n 20 k  + x7 ÷ , biết C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = − (n nguyên dương, ( Cn x  số tổ hợp chập k n phần tử) HD: + Từ giả thiết ⇒ C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + + C2nn+1 = 220 (1) + Vì C2kn+1 = C22nn++11−k , ∀k, ≤ k ≤ 2n+1 nên: C20n+1 + C21n+1 + C22n+1 + + C2nn+1 = ( C2n+1 + C22n+1 + + C22nn++11 ) (2) + Từ khai triển (1+ 1)2n+1 suy ra: C20n+1 + C21n+1 + + C22nn++11 = (1+ 1)2n+1 = 22n+1 (3) + Từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 ⇔ n = 10 + Suy hệ số x26 là: C10 = 210 Baøi 104 (ĐH 2006B) Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k ∈ {1, 2, 3, …, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn HD: Từ giả thiết suy ra: Cn4 = 20Cn2 ⇔ n = 18 Do k+1 C18 k C18 = 18− k 10 18 < ⇔ k ≥ 9, nên C18 ⇒ C18 > C18 > > C18 < C18 < < C18 k+1 Vậy số tập gồm k phần tử A lớn k = Baøi 105 (ĐH 2006D) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có bao Trang 121 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 nhiêu cách chọn ? HD: Dùng phương pháp loại trừ + Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho là: C12 = 495 + Số cách chọn học sinh mà lớp có em là: C52C41C31 + C51C42C31 + C51C41C32 = 270 + Số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 Baøi 106 (ĐH 2006A–db1) Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn (x2 + x)100 , chứng minh rằng: 99 100 198 199  1  1 99   100   100C100  ÷ − 101C100  ÷ + − 199C100  ÷ + 200C100  ÷ =  2  2  2  2 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Lấy đạo hàm hai vế, cho x = − , nhân hai vế với –1, ta đpcm Baøi 107 (ĐH 2006A–db2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất số tự nhiên HD: Số số tự nhiên cần tìm là: 96 số Chia thành nhiều trường hợp + Có 24 số dạng a4a3a2a10; 18 số dạng a4a3a2a11; 18 số dạng a4a3a2a12; 18 số dạng a4a3a2a13; 18 số dạng a4a3a2a14 Tổng chữ số hàng đơn vị là: 18(1 + + + 4) = 180 Tổng chữ số hàng chục là: 1800 Tổng chữ số hàng trăm là: 18000 Tổng chữ số hàng nghìn là: 180000 + Có 24 số dạng 1a3a2a1a0 ; 24 số dạng 2a3a2a1a0 ; 24 số dạng 3a3a2a1a0 ; 24 số dạng 4a3a2a1a0 Tổng chữ số hàng chục nghìn là: 24(1 + + + 4).10000 = 2400000 + Vậy tổng 96 số là: 180 + 1800 + 18000 + 180000 + 2400000 = 2599980 Baøi 108 (ĐH 2006B–db1) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số chẵn, số có chữ số khác nhau, có chữ số lẻ chữ số lẻ đứng cạnh ? HD: Số cách chọn hai ba chữ số lẻ đứng cạnh là: A32 = cách Xem số lẻ đứng cạnh phần tử x Vậy số cần lập gồm phần tử x chữ số Trang 122 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 chẵn 0, 2, 4, Chia thành nhiều trường hợp ĐS: 6(18 + 18 + 24) = 360 số Baøi 109 (ĐH 2006B–db2) Cho đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n HD: Số tam giác có đỉnh thuộc d1, đỉnh thuộc d2 là: 10Cn2 Số tam giác có đỉnh thuộc d2, đỉnh thuộc d1 là: nC10 Từ giả thiết: 10Cn2 + nC10 =2800, suy n = 20 Baøi 110 (ĐH 2006D–db1) Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp học thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh nữ Hỏi có cách chia ? HD: Chia thành nhiều trường hợp theo số học sinh nữ 8 ĐS: C73C26 C4C19 + C72C26 C5C18 + C72C26 C5C18 Baøi 111 (ĐH 2006D–db2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác số lập nhỏ 25000 ? HD: Chia thành nhiều trường hợp ĐS: 240 + 48 + 72 = 360 số Baøi 112 (ĐH 2007A) Chứng minh rằng: 1 2n−1 22n − C + C + C + + C2n = 2n 2n 2n 2n 2n + (n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Ta có: (1+ x)2n = C20n + C21nx + + C22nnx2n (1− x)2n = C20n − C21nx + + C22nnx2n ( ⇒ (1+ x)2n − (1− x)2n = C21nx + C23nx3 + + C22nn−1x2n−1 ) (1+ x)2n − (1− x)2n dx = ∫ C21nx + C23nx3 + + C22nn−1x2n−1 dx 0 ⇒∫ ( ) 2n ⇒ − = C21n + C23n + C25n + + C22nn−1 2n + 2n Baøi 113 (ĐH 2007B) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Niutơn (2 + x)n , biết 3nCn0 − 3n−1Cn1 + 3n−2Cn2 − 3n−3Cn3 + + (−1)nCnn = 2048 Trang 123 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 (n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Ta có: 3nCn0 − 3n−1Cn1 + 3n−2Cn2 − 3n−3Cn3 + + (−1)nCnn = (3− 1)n = 2n Từ giả thiết suy n = 11 10 Hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2 + x)11 là: C11 = 22 Baøi 114 (ĐH 2007D) Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức của: x(1− 2x)5 + x2(1+ 3x)10 HD: Hệ số x5 khai triển x(1− 2x)5 là: (−2)4C54 Hệ số x5 khai triển x2(1+ 3x)10 là: 33C10 Hệ số x5 khai triển x(1− 2x)5 + x2(1+ 3x)10 là: (−2)4C54 + 33C10 Bài 115 (ĐH 2007A–db1) Có số tự nhiên chẵn lớn 2007 mà số gồm chữ số khác nhau? HD: Giả sử số cần lập n = a1a2a3a4 > 2007 Xét hai trường hợp a4 = a4 ≠ ĐS: 448 + 1568 = 2016 số Baøi 116 (ĐH 2007A–db2) Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 HD: Với n ≤ n + ≤ Số tam giác tạo thành không vượt C83 = 56 < 439 (loại) Vậy n ≥ Số tam giác tạo thành là: Cn3+6 − C33 − Cn3 = 439 ⇔ n = 10 Baøi 117  A2 + C3 = 22 x y (ĐH 2007B–db1) Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ:   Ay + Cx = 66 HD: (x = 4; y = 5) Bài 118 (ĐH 2007B–db2) Tìm hệ số x8 khai triển nhị thức Niutơn (x2 + 2)n , biết: An − 8Cn + Cn = 49 HD: Từ giả thiết tìm n = Suy hệ số x8 là: C7423 = 280 Baøi 119 (ĐH 2007D–db1) Chứng minh với số n ngun dương ln có: nC0n − ( n − 1) C1n + + ( − 1) n− 2Cnn− + ( − 1) n−1Cnn−1 = HD: Sử dụng khai triển (x − 1)n Lấy đạo hàm hai vế, cho x = ta đpcm Trang 124 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Baøi 120 (ĐH 2007D–db2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác HD: 120 + 300 = 420 số Baøi 121 (ĐH 2008A) Cho khai triển (1+ 2x)n = a0 + a1x + + anxn , n ∈ N hệ số a0, a1, , an thoả mãn hệ thức a0 + a a1 + + n = 4096 Tìm số lớn 2n số a0, a1, , an HD: Đặt f(x) = (1+ 2x)n = a0 + a1x + + anxn ⇒ a0 + a a1  1 + + n = f  ÷ = 2n  2 2n Từ giả thiết suy ra: 2n = 4096 ⇒ n = 12 k k+1 Với k ∈ {0, 1, 2, …, 11} ta có ak = 2kC12 , ak+1 = 2k+1C12 ak Giả sử: ak+1 < 1⇔ k 2k C12 k+1 2k+1C12 < 1⇔ k+1 23 < 1⇔ k < 2(12 − k) Mà k ∈ Z ⇒ k ≤ Do a0 < a1 < < a8 Tương tự, ak ak+1 > 1⇔ k > Do a8 > a9 > > a12 Vậy số lớn số a0, a1, , an a8 = 28C12 = 126720 Baøi 122 (ĐH 2008B) Chứng minh n+  1  =  k + k+1 ÷ ÷ C k (n, k số n+ C C n+1  n  n+1 nguyên dương, k ≤ n, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Baøi 123 n+  1  k!(n − k)! == =  k + k+1 ÷ ÷ n+ C n! C Cnk n+1   n+1 (ĐH 2008D) Tìm số C21n + C23n + + C22nn−1 = 2048 HD: Ta có: nguyên dương n thoả mãn hệ thức ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) = (1− 1)2n = C20n − C21n + − C22nn−1 + C22nn 22n = (1+ 1)2n = C20n + C21n + + C22nn−1 + C22nn ⇒ C21n + C23n + + C22nn−1 = 22n−1 Từ giả thiết suy ra: 22n−1 = 2048 ⇔ n = Trang 125 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Baøi 124 (ĐH 2008A–db1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn HD: 720 + 720 = 1440 số Bài 125 (ĐH 2008A–db2) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 − 3x)2n , n số nguyên dương thỏa mãn: C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + + C22nn++11 = 1024 ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) HD: Sử dụng khai triển (1+ x)2n+1 Lần lượt cho x = x = –1 Tính C21n+1 + C23n+1 + C25n+1 + + C22nn++11 = 22n ⇒ 2n = 10 Suy hệ số x7 −C10 Baøi 126 (ĐH 2008B–db1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người biết nhóm phải có nữ HD: C53C10 + C54C10 + C55C10 = 3690 cách Baøi 127 (ĐH 2008B–db2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ 1, ? HD: Thực bước: + Bước 1: xếp số 1, vào vị trí, có: A52 = 20 cách + Xếp số lại vào vị trí lại, có: A53 = 60 cách ĐS: 20.60 = 1200 số Baøi 128 k (ĐH 2008D–db1) Tìm k ∈ { 0,1,2, ,2005} cho C2005 đạt giá trị lớn ( Cnk số tổ hợp chập k n phần tử) Ck ≥ Ck+1 k 2005 (k ∈ N) ⇔  k ≥ 1002 ⇔ k = 1002hayk = 1003 HD: C2005 lớn ⇔  2005  k ≤ 1003 k k−1  C2005 ≥ C2005 Bài 129 (ĐH 2008D–db2) Tìm số ngun n lớn thỏa mãn đẳng thức: 2Pn + 6A 2n − Pn A 2n = 12 ( Pn số hoán vị n phần tử A nk số chỉnh hợp chập k n phần tử) HD: PT ⇔ (6 − n!)[ n(n − 1) − 2] = ⇔ n = hay n = Trang 126 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 127 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 BÀI TẬP ÔN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x3(x2 − 4) b) y = (x + 3)(x − 1) c) y = x6 − x + d) y = x(2x2 − 1) e) y = (2x2 + 1)(4x3 − 2x) f) y = g) y = x2 − 3x + 2x − h) y = x − 2x 1+ 9x x+ i) y = (3 − x2 )2 Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x4 − 3x2 + d) y = 1+ x 1− x b) y = 1− x2 e) y = x 1− x2 c) y = x2 − 3x − f) y = x− x Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = sin(x3 − x + 2) d) y = sin x + cos x sin x − cos x g) y = cos2x sin x x + x sin x b) y = tan(cos x) c) y = e) y = x cot(x2 − 1) f) y = cos2(x2 + 2x + 2) h) y = cot3 1+ x2 i) y = tan2(3x2 + 4x) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số, với: a) (C ): y = x3 − 3x2 + điểm M(−1, −2) b) (C ): y = x2 + 4x + điểm có hồnh độ x0 = x+ c) (C ): y = 2x + biết hệ số góc tiếp tuyến k = Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 5x2 + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = −3x + Trang 128 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Đại số 11 b) Vng góc với đường thẳng y = x − c) Đi qua điểm A(0;2) Bài 6: a) Cho hàm số f (x) = π  π  Tính giá trị f' ÷+ ' ÷ cos2x  6  3 cos x b) Cho hai hàm số f (x) = sin4 x + cos4 x g(x) = cos4x So sánh f '(x) g'(x) Bài 7: Tìm m để f ′ (x) > 0, ∀x∈ R , với: b) f (x) = sin x − msin2x − sin3x + 2mx a) f (x) = x3 + (m− 1)x2 + 2x + Bài 8: Chứng minh f ′ (x) > 0,∀x∈ R , với: a) f (x) = 2x + sin x b) f (x) = x − x + 2x3 − 3x2 + 6x − Bài 9: a) Trang 129 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? b) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c) Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? d) Có số tự nhiên có chữ số, ... liệu file word Đại số 11 Baøi 16: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a) Khác nhau? b) Khác nhau, có số lớn 300? c) Khác nhau, có số chia hết cho 5? d) Khác nhau, có số chẵn? e) Khác nhau, có. .. tài liệu file word Đại số 11 ĐS: Baøi 5: a) x = –1; x = b) x = 2; x = c) n = d) n = e) n = f) n = Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số: a) Bắt đầu chữ số 5? b)