Bài tập tự luận đường thẳng và mặt phẳng song song có đáp án

B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.. Chứng minh MN song song với  CDEF. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một h[r]

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG A CHUẨN KIẾN THỨC

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng.

Cho đường thẳng d mặt phẳng  α , ta có ba vị trí tương đối chúng là:

 d  α cắt điểm M , kí hiêu  M  dα   để đơn giản ta kí hiệu M dα   (h1)  d song song với  α , kí hiệu dα   α d ( h2)

 d nằm  α , kí hiệu dα  (h3)

2 Các định lí tính chất.

 Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng  α d song song với đường thẳng d' nằn  α d song song với  α

Vậy

   

  dα

d d' dα

d'α   

 

 



 

 Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  α Nếu mặt phẳng  β qua d cắt  α theo giao tuyến d' d' d .

Vậy

        dα

dβ d' d

α β d'

  

 

 

 

 





Vậy        

α d

β d d' d

α β d'

  

 



 

 



 

 Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG. Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng d songsong với mặt phẳng  α

ta chứng minh d song song với đường thẳng d' nằm

trong  α

Các ví dụ

Ví dụ Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng có tâm là

O O'

b) Gọi M,N hai điểm cạnh AE,BD cho

1

AM AE,BN BD

3

 

Chứng minh MN song song với CDEF 

Lời giải.

a) Ta có OO' đường trung bình tam giác BDF ứng với cạnh DF nên OO' DF , DFADF

 

OO' ADF

  .

Tương tự, OO' đường trung bình tam giác ACE ứng với cạnh CE nên OO' CE , CECBE OO'BCE b) Trong ABCD , gọi I AN CD  

Do ABCD nên

AN BN AN

AI BD AI 3.

Lại có

AM AN AM

AE  3 AI AE MNIE Mà I CD  IECDEF MNCDEF.

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SAB ,

I trung điểm AB M điểm cạnh AD cho

1

AM AD

3 

a) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NGSCD b) Chứng minh MGSCD

Lời giải.

a) Ta có

IN BJ AM

ICBCAD 3, IG

IS 3 IN IG

NG SC

IC IS

   

, mà SCSCD

 

NG SCD

  .

Ta có

IM AM IM IG

IE AD  3 IE IS

MG SE

  , SESCD GMSCD.

Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tính chất biểu thức tọa độ phép tịnh tiến

Trong phần ta xét thiết diện mặt phẳng  α qua điểm song song với hai đường thẳng chéo  α chứa đường thẳng song song với đường thẳng; để xác định thiết diện loại ta sử

dụng tính chất:  

     

   

α d

dβ α β d' d,M d'

Mα β

  

    

 

 

 





Các ví dụ

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , M N hai điểm thuộc cạnh AB CD ,  α mặt phẳng qua

MN song song với SA

a) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi α b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang

Lời giải.

a) Ta có

     

 

Mα SAB

α SA

SA SAB

  

   

  



SABα  MQ SA,Q SB

    

Trong ABCD gọi I AC MN  

 

      I MNα

Iα SAC

I AC SAC

  



  



 

Vậy             I SACα α SA SA SAC

SACα IP SA,P SC

               

Từ ta có   α  SBCPQ, α   SADNP Thiết diện tứ giác MNPQ

b) Tứ giác MNPQ hình thang MNPQ MQNP Trường hợp 1:

Nếu MQ NP ta có

MQ NP SA NP MQ SA       

Mà NPSCDSASCD (vơ lí) Trường hợp 2:

Nếu MNPQthì ta có mặt phẳng ABCD ,α , SBC    đôi cắt theo ba giao tuyến MN,BC,PQ nên MN BC .

Đảo lại MN BC

        MNα BC SBC PQα SBC            MN PQ

  nên tứ giác MNPQ hình thang.

Vậy để tứ giác MNPQ hình thang điều kiện MN BC

Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD , có đáy hình vuông cạnh a tam giác SAB Một điểm M thuộc

cạnh BC cho BM x 0 x a  ,  α mặt phẳng qua M song song với SA SB a) Xác định thiết diện hình chóp cắt  α

b) Tính diện tích thiết diện theo a x

Lời giải.

a) Ta có

  α SBC MN SB,

   

N SC .

Tương tự         N SACα α SA SA SAC           

SACα  NI SA,I AC

    

Trong ABCD gọi Q MI AD   , ta có    

 

 

   

Q SADα

α SA SAD α QP SA,P SD

SA SAD                 Thiết diện tứ giác MNPQ

b) Do  

CM CN

MN SB =

CB CS





Lại có  

CI CN

IN SA

CA CS

 



Từ  1  2 suy

CM CI

IM AB

CB CA 

Mà AB CD  IMCD

Ba mặt phẳng   α , ABCD  SCD đôi cắt theo ba giao tuyến MQ,CD,NP với

MQCDMQNP.

Vậy MNPQ hình thang

Ta có

MN CM DQ PQ

SB CB DASA, mà SA SB a   MN PQ Do MNPQ hình thang cân

Từ

MN CM a x

MN a x

SA CB a



    

,

PN SN BM

PN BM x

DCSC BC   ,

IM CM

IM CM a x

ABCB    

Gọi J trung điểm IM

   

2

2 a x

NJ MN MJ a x a x

2

  

        

       2

MNPQ

1 3

S NJ MQ NP a x a x a x

2 2

      

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

31.Cho hình chóp S.ABCD Gọi M,N trung điểm AB BC ; G ,G tương ứng trọng

tâm tam giác SAB,SBC a) Chứng minh ACSMN b) G G1 2SAC.

c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ABC  BG G 2

32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Trên cạnh SA,SB,AD lấy điểm M,N,P cho

SM SN PD

SA SB AD. a) Chứng minh MNABCD

b) SDMNP c) NPSCD

33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo AC

và BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua O , song song với AB SC

34 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh AB Xác

định thiết diện hình chóp với mặt phẳng  α qua M , song song với BD SA

35 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M,N hai điểm hai cạnh SB CD ,  α mặt phẳng qua MN song song với SC

Xác định thiết diện hình chóp cắt  α

36 Cho tứ diện ABCD Gọi O,O' tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC ABD Chứng

minh điều kiện cần đủ để

a) OO'BCD

BC AB AC

BD AB AD

 

 .

37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm SC ;  α mặt

phẳng qua AM song song với BD

a) Xác định thiết diện hình chóp cắt  α

b) Gọi E,F giao điểm  α với cạnh SB,SD Tính tỉ số

ΔSME ΔSMF ΔSBC ΔSCD

S S

;

S S .

c) Gọi K ME CB,J MF CD    Chứng minh A,K,J nằm đường thẳng song song với EF

38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB Gọi M,N theo thứ tự trọng

tâm tam giác SCD SAB

a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : ABM  SCD ;  SMN  ABC  b) Chứng minh MNABC

c) Gọi d giao tuyến SCD  ABM  I, J giao điểm d với SD,SC Chứng minh INABC

d) Tìm giao điểm P,Q MC với SAB , AN với  SCD Chứng minh S,P,Q thẳng hàng.

39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M điểm di động cạnh SC

,  α mặt phẳng qua AM song song với BD a) Chứng minh  α chứa đường thẳng cố định

b) Tìm giao điểm H,K  α với SB,SD Chứng minh

SB SD SC

SHSK SM có giá trị khơng đổi. b) Thiết diện hình chóp với  α hình thang khơng?

40 Cho tứ diện ABCD có AB CD a, BC AD b,AC BD c      với Một mặt phẳng  α song song với hai đường thẳng AB CD cắt cạnh của tứ diện theo thiết diện hình thoi Tính diện tích thiết diện

41 Cho tứ diện ABCD cạnh a M P hai điểm di động cạnh AD BC , cho

 

MA PC x, x a   

Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo thiết diện a) Chứng minh thiết diện hình thang cân

42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng  α thay đổi qua AB

và cắt SC,SD M,N a) Tứ giác ABMN hình gì?

b) Chứng minh giao điểm I AM BN thuộc đường thẳng cố định

c) Chứng minh giao điểm K AN BM thuộc đường thẳng cố định

AB BC

MN SK không đổi.

43 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' Gọi I trung điểm cạnh B'C'

a) Chứng minh AB'A'IC

b) M điểm thuộc cạnh A'C' , AM A'C P,B'M  A'I Q Chứng minh PQ AB' Tìm vị trí M để ΔA'PQ ΔA'CI

2

S S

9 

44 Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' I,G,K trọng tâm tam giác ABC , ACC' A'B'C'

.Chứng minh a) IGABC' b) GKBB'C'C

45 Cho tứ diện ABCD cạnh a I trung điểm cạnh AC , J điểm tuộc cạnh AD cho AJ 2JD M điểm di động tam giác BCD cho MIJAB.