Bất đẳng thức cauchy schwarz (Cosi) – Tổng hợp bài toán đặc sắc có đáp án

[r]

Bất đẳng thức cauchy Schwarz (Cosi) Bài 1: Chứng minh (a2 b2)(b2 c2)(c2 a2)8a2b2c2 a ,,b c

-Bài 2: Chứng minh ( a  b)8 64ab(ab)2  ba, 0

-Bài 3: Chứng minh (1ab)(abab)9ab  ba, 0

-Bài 4: Chứng minh 3a3 6b3 9ab2  ba, 0

-Bài 5: Chứng minh (ab)(1ab)4ab  ba, 0

-Bài 6: Chứng minh a b  ab

4 1

-Bài 7: Chứng minh abc ab  bc ca a,b,c0

-Bài 8: Chứng minh a2b2 b2c2 c2a2 abc(abc) a ,,b c

-Bài 9: Chứng minh (a1)(b1)(ac)(bc)16abc a,b,c0

-Bài 10: Chứng minh 

 



     

  

c b a a c c b b a c

b

a 1

2

1 2

a,b,c0 -Bài 11: Chứng minh a abc

c c b b a

3 4

 

 a,b,c0

-Bài 12: Chứng minh

9

2

2 

 

       

       

  

ab c c ca b b bc a a

0 ,

, 

a b c

-Bài 13: Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2bb2cc2a a,b,c0

Hướng dẫn: a3 a3 b3 3a2b Tương tự cộng vế

-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3 b3c3c3a3 abcab2 bc2 ca2 a,b,c0

-Bài 15: Chứng minh rằng ab

c ac b bc a a c c b b

a 2

3 3 3

    

0 ,

, 

a b c

-Bài 16: Chứng minh rằng

3 3 5

c b a a c c b b

a     

0 ,

, 

a b c

-Bài 17: Chứng minh rằng a b a b c c

a c

b c b

a     

2

4

4

0 ,

, 

a b c

-Bài 18: Chứng minh rằng

2 2 5

c b a ab

c ca

b bc

a     

0 ,

, 

a b c

-Bài 19: Chứng minh rằng

2 2

4

4 ab bc ca

a c

c c b

b b a

a  

    

 a,b,c0

- Bài 20: Chứng minh rằng a b a b b c c a

c a c

b c b

a 2

2

6

6

   

 a,b,c0

-HƯỚNG DẪN

Bài 1: Chứng minh (a2 b2)(b2 c2)(c2 a2)8a2b2c2 a ,,b c

Hướng dẫn: a b a b 2ab; b c b c 2bc; c a c a 2ca

2 2

2

2

2

2

2         

-Bài 2: Chứng minh ( a  b)8 64ab(ab)2  ba, 0

Hướng dẫn:    

2

4

2

8 ( ) ( ) 2 2 ( )(2 ) 64 ( )

)

( a b  a b  ab  ab  ab ab   ab ab

-Bài 3: Chứng minh (1ab)(abab)9ab  ba, 0

Hướng dẫn: (1ab)(abab)33 a.b3 a.b.ab 9ab

-Bài 4: Chứng minh 3a3 6b3 9ab2  ba, 0

Hướng dẫn: 3a3 6b3 3a3 3b3 3b3 33 3a33b33c3 9ab2

-Bài 5: Chứng minh (ab)(1ab)4ab  ba, 0

Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế

-Bài 6: Chứng minh a b  ab

4 1

Hướng dẫn: Cô si cho VT mẫu thức VP

-Bài 7: Chứng minh abc ab  bc ca a,b,c0

Hướng dẫn: ab2 ab;bc2 bc;ca2 ca cộng vế

-Bài 8: Chứng minh a2b2 b2c2 c2a2 abc(abc) a ,,b c

Hướng dẫn: a2b2 b2c2 2ab2c;b2c2 c2a2 2abc2;c2a2 a2b2 2a2bc Cộng vế

-Bài 9: Chứng minh (a1)(b1)(ac)(bc)16abc a,b,c0

Hướng dẫn: Cô si cho ngoặc nhân vế

-Bài 10: Chứng minh 

 



     

  

c b a a c c b b a c

b

a 1

2

1 2

a,b,c0

Hướng dẫn: a b b 2a

1  

; b c c 2b  

; c a a 2c  

cộng vế

-Bài 11: Chứng minh a abc

c c b b a

3 4

 

 a,b,c0

Hướng dẫn: Áp dụng Cô si với vế trái

-2

9

2

2 

 

       

       

  

ab c c ca b b bc a a

0 ,

, 

Hướng dẫn: 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                   ca b bc a c bc a ab c b ca b ab c a ab c c ca b b bc a a VT -Bài 13: Chứng minh rằng a3 b3 c3 a2bb2cc2a a,b,c0

Hướng dẫn: a3 a3 b3 3a2b Tương tự cộng vế

-Bài 14: Chứng minh rằng a3b3 b3c3c3a3 abcab2 bc2 ca2 a,b,c0

Hướng dẫn: Chia hai vế cho a3b3c3 0, có: a3 b3 b3 a2b b2c c2a 1 1 1     

, tương tự 13

-Bài 15: Chứng minh rằng ab

c ac b bc a a c c b b

a 2

3 3 3    

 a,b,c0

Hướng dẫn: bc

a c b b a b a 3 3 3   

Tương tự cộng vế

-Bài 16: Chứng minh rằng

3 3 5 c b a a c c b b

a     

0 ,

, 

a b c

Hướng dẫn: 2 2a a b b a  

, Tương tự cộng vế Sử dụng thêm kết 13

-Bài 17: Chứng minh rằng a b a b c

c a c b c b

a     

2 4 , , 

a b c

Hướng dẫn: b c b b c a

a 4    

Tương tự cộng vế

-Bài 18: Chứng minh rằng

2 2 5 c b a ab c ca b bc

a     

0 ,

, 

a b c

Hướng dẫn: 2 3a ba c bc a   

Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a2 b2 c2 abbcca

-Bài 19: Chứng minh rằng

2 2

4

4 ab bc ca

a c c c b b b a

a   

   

 a,b,c0

Hướng dẫn: 4 ) (a b a a b

a

a   

 Tương tự cộng vế Sử dụng thêm a3b3c3ab2bc2ca2 -

Bài 20: Chứng minh rằng a b a b b c c a c a c b c b

a 2

2 6      , , 

a b c

Hướng dẫn: 2 2a c b c b a  