Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh r»ng tæng cña n sè lÎ ®Çu tiªn lµ mét sè chÝnh ph¬ng.[r]
(1)Chứng minh số số phơng Phơng pháp 1.
Nhìn chữ số tËn cïng:
- Vì số phơng bình phơng số nên suy ra.Số phơng phải có chữ số tận chữ số: 0,1,4,5,6,9 Từ ta giải đợc bi toỏn dng sau õy:
Bài toán 1.
Chøng minh sè: n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 Không số phơng.
LG
- Ta thấy chữ số tận số: 20042,20032,20022,20012lần lợt 6,9,4,1 Do
ú n cú ch số tận Nên n số phơng
Chú ý: Nhiều số cho có chữ số tận số: 0,1,4,5,6,9 nh-ng khơnh-ng phải số phơnh-ng, ta phải lu ý thêm: Nếu số phơng chia hết cho số nguyên tố p thỡ nú phi chia ht cho p2
Bài toán 2.
Chứng minh số: 1234567890 số chÝnh ph¬ng LG
- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận 0), nhng khơng chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận 90) Do số 1234567890 khơng phải số phơng
Chó ý:
- Cã thÓ luËn r»ng: Sè 1234567890 chia hÕt cho nhng không chia hết cho (vì hai chữ số tận 90).Nên 1234567890 số phơng
Bài toán 3.
Chng minh rng xnu mt số có tổng chữ số 2004 số khơng phải số phơng
LG
Ta thấy tổng chữ số 2004 nên 2004 chia hết cho mà lại khơng chia hết cho Nên số có tổng chữ số 2004 chia hết cho mà không chia hết cho Do số khơng phải l s chớnh phng
Phơng pháp 2.
Dùng tính chất số d Bài toán 4.
Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phơng LG
- ta khơng gặp trờng hợp nh tốn nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác
Ta thấy chắn số chia cho d nên ta có lời giải sau:
- Vỡ s chíng phơng chia cho d mà ( kết toán mà ta dễ dàng chứng minh đợc)
- Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho d Nên số khơng phải số phơng
Bài toán ( Tơng tự toán 4)
Chứng minh tổng số tự nhien liên tiếp từ đến 2005 khơng phải số phơng
Bài toán 6.
Chứng minh số: 20044 + 20043 + 20042 + 23 số phơng.
Phơng pháp 3.
(2)VD: Bài toán
Chứng minh số: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không sè chÝnh ph¬ng.
NhËn xÐt:
- Nếu chia n cho số d Vậy không giải đợc theo cách toán 3,4,5,6
- NÕu xÐt ch÷ sè tËn cïng ta thÊy ch÷ sè tận n nên không giải đ-ợc theo cách toán 1,2
Vậy ta phải dựa vào nhận xét sau (ta cm):
Một số phơng chia cho số d Lúc ta giải đợc tốn
Phơng pháp
Phơng pháp kẹp hai số phơng liên tiếp: n2 (n+1)2.
Ta thấy: Nếu n k N thỏa mãn điều kiện: n2 < k < (n+1)2 lúc ú k khụng
phải số phơng Bài toán
Chứng minh số 4014025 số phơng Nhận xét:
Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho d chia cho d 1, nên áp dụng cách
LG
Ta thÊy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nªn 20032< 4014025 < 20042 Chứng
tỏ số 4014025 số phơng Bài toán 9.
Chứng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không số phơng với mäi nN, n0
Nhận xét: Nếu quen dạng ta thấy A+1 phải số phơng ( bài tốn lớp 8) nhng lớp 6,7 giải theo cách sau
LG
Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
= (n2+3n +1)2
Mặt khác (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều hiển nhiên vì: n > Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phơng.
Một số toán khác. Bài 10.
Chứng tỏ số: 235+2312+232003 không số phơng.
Gi ý: Ngh đến phép chia cho chia cho Bài 11.
Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, mảnh đợc ghi số từ đến 1001 (khơng có mảnh ghi khác nhau) Chứng minh ghép tất mảnh bìa liền để đợc số phơng
Bài 12.
Chứng minh tổng bình phơng số tự nhiên liên tiếp sè chÝnh ph¬ng
Gợi ý: Nghĩ đến phép chia cho 4
Một số toán liên quan số phơng Bài Chứng minh tổng n số lẻ số phơng. LG
Ta tính tổng n số lẻ đầu tiên:
(3)Lúc ta phải xét hai trờng hợp: n chẵn n lẻ Trờng hợp 1: n ch½n
S = (1 + 2n - 1) + (3 + 2n - 3)+ Cã n/2 số hạng , mà số hạng có giá trị lµ 2n
VËy S = 2n
n
= n2.
Trờng hợp 2: n lẻ
Để tính S ta ghép nh trờng hợp nhng ta đợc
1 n
số hạng, số hạng có giá trị 2n Nªn tỉng S = 2
1 n
.2n + n = 2 2n 2n 2n2
= n2
VËy S = + + + + + (2n - 3) + (2n - 1) = n2 nên S số phơng.
Từ toán ta có nhận xét tổng quát:
Tổng số lẻ bình phơng số số Êy Bµi 2.
Chøng minh mét sè lµ sè phơng số ớc số lẻ
Bài 3.