Chuyen de phuong trinh chua can thuc

- Học kỳ I lớp 10: học sinh chưa học xét dấu tam thức bậc hai, chưa giải bất phương trình bậc hai; chưa học cách giải hệ phương trình bậc hai thì ta chỉ đưa những biểu thức bậc nhất đơn [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH

TRƯỜNG THPT TRẦN NHÂN TÔNG

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự - Hạnh phúc

Nghĩa Hưng, ngày 02 tháng 12 năm 2013 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ CHỌN LỌC MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC”

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong chương trình tốn THPT có dạy tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình chứa thức Các tập phần xuất đề kiểm tra khối 10 ( cuối học kỳ I, cuối năm học), đề kiểm tra khối 11 phần đạo hàm, khối 12 phần tìm GTLN, GTNN đặc biệt đề thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh ĐH, CĐ

Việc soạn bài, lựa chọn tập ta cần ý xếp, phân loại cho phù hợp với lực, kiến thức học sinh thời điểm:

- Học kỳ I lớp 10: học sinh chưa học xét dấu tam thức bậc hai, chưa giải bất phương trình bậc hai; chưa học cách giải hệ phương trình bậc hai ta đưa biểu thức bậc đơn giản phương pháp đặt ẩn phụ đơn giản

- Học kỳ II lớp 10: ta cho học sinh giải cách áp dụng nhiều phương pháp khác có phương pháp đánh giá theo bất đẳng thức

- Lớp 11 học xong phương trình lượng giác ta hướng dẫn cho học sinh giải theo phương pháp lượng giác hóa giải phương trình, bất phương trình chứa thức sau đạo hàm

- Lớp 12 học biến thiên hàm số ta có phương pháp giải cách áp dụng đạo hàm

- Khi ôn thi ĐH, CĐ ta dạy cho học sinh tất phương pháp B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP I. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ

Áp dụng cho học sinh lớp 10

Để biến đổi tương đương phương trình ta phải có điều kiện hai vế khơng âm

√f(x)=g(x)⇔ g(x)≥0 f(x)=g2(x)

¿{

Học sinh hay quên điều kiện g(x)≥0 , phép bình phương hai vế phép biến đổi hệ quả, xuất nghiệm ngoại lai

Thường gặp dạng: √ax2

+bx+c=mx+n;√ax+b=mx+n

√ax+b+√mx+n=c ;√ax+b −√mx+n=c ;√ax+b+√cx+d=√mx+n Ví dụ: Giải phương trình:

1, √4x2−12x

+9=x+1 , đặt ĐK hai vế khơng âm bình phương hai vế 2, √x+1+√4− x=√2x+3 đặt ĐK để có nghĩa bình phương hai vế

3, 2 x2  x2 8 4 (nghiệm x1) Đặt ĐK để có nghĩa, bình phương hai vế

4, 6 x  x

Phương trình tương đương

4

5

2 or

6 16

x x

x

x x

x x x

 

 

  

 

 

    



5, x2 2x x2 5x  x23x (nghiệm x = 0, x = 6) Đặt điều kiện để thức có

nghĩa bình phương hai vế 6,

2

3

3

x

x x

x     nghiệm x=1

7, x 8 x7  x 1 x7 4 ( Biến đổi thành đẳng thức) 8, Xác định giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

6 m x x x x

x      

9, √5

4− x

2

+√1− x2+√5

4− x

2−

√1− x2

=x+1 (nghiệm x=35 )

10, x+ x

√x2−1= 35

12 Đặt t=√x2−1 bình phương đặt, nghiệm x=54,53

II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

Dạng 1: m.f(x)+n.√f(x)+p=0 m ,n ≠0, f(x)=ax2+bx+c Đặt t=√f(x),t ≥0 đưa phương trình bậc hai t

Áp dụng cho học sinh lớp 10 Ví dụ: Giải phương trình:

1, 11x2+14x=4√11x2+14x+5

2,   

2

5 10

x  x  x  x 

nghiệm x = -1 3, x23x10 x x( 3)

4, Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm: (4x)(6 x) x2  2x m Đặt ẩn phụ, ý điều kiện ẩn phụ 0   t 24m6

5,

1

( 3)( 1) 4( 3)

3

x

x x x

x



    



Bài học sinh hay xét thiếu trường hợp đưa (x - 3) vào căn, nên đặt

t=(x −3)√x+1

x −3⇒t

2

=(x −3)(x+1)⇒PT:t2+4t −5=0⇔t=1 ort=−5

6,

7

7

12 12 64

12

x x

x x

 

 

Dạng 2: √a+cx+√b −cx+k√(a+cx)(b−cx)=m Trong k ≠0, a , b , c , k , m số, a+b ≥0

Đặt t=√a+cx+√b −cx , điều kiện: √a+b ≤ t ≤√2(a+b)

Tìm điều kiện t cách bình phương đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy t2=a+b+2√(a+cx)(b −cx)⇒√(a+cx)(b −cx)=t

2

−a − b

2

Ví dụ: Giải phương trình

1, 3(√x+√1− x)=3+2√x − x2

Điều kiện: 0≤ x ≤1 , Nghiệm x = 0, x =

2, √2x+3+√x+1=3x+2√2x2+5x+3−16 Nghiệm x = 3, Cho phương trình: √x+1+√3− x −√(x+1)(3− x)=m

4, 3x 2 x2 (3 x 2)(x2)

5, Cho phương trình: 3x  6 x  (3x).(6 x) m a Giải phương trình với m =

b Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm

Dạng 3: xn+b=a√nax−b ; a≠0, n=2,3,4 Cách giải: đặt y=√nax− b⇔yn

=ax− b đưa hệ phương trình:

¿

xn+b=ay yn

+b=ax

¿{

¿

Là dạng hệ phương trình đối xứng loại

Áp dụng cho học sinh khối 10 học kỳ Ví dụ: Giải phương trình

1, x3+1=2√32x −1 có nghiệm x = 1; x=−1±√5

2

2, x −3¿3+6=√3 x −9

¿ nghiệm x =

3, x2 x 5 5 nghiệm

1 21 17

,

2

x  x 

dx+e¿2+mx+n

√ax+b=c¿

4, x23 x6 8 Điều kiện: x6

Đặt

2

2

2

3

6, :

6

x y

y x y PT x x y y

y x

  



          

  



Xét phương trình ẩn x, coi y tham số,  (2y 3)2  x y or x y1 KL nghiệm:

3 29 17

;

2

x  x 

5, x2−2√2x −1+1=0 nghiệm x =

Cách giải: Đặt t=f(x)+√a − f2(x) tính t2 đặt ẩn phụ đưa hệ phương

trình

¿

v=√a − f2(x) u=f(x)

⇒

¿u+v+kuv=b u2+v2=a

¿{

¿

giải hệ hai ẩn đối xứng với u, v; v ≥0

Ví dụ: Giải phương trình:

1, x+√17− x2+x√17− x2=9 nghiệm x = 1, x = 4

2, x+√10− x2+x√10− x2=7 nghiệm x = 1, x = 3

3, x+√4− x2=2+3x√4− x2 nghiệm x = 0, x = 2, x=−2−√14

3

Dạng 5: p.√na − f(x)+q.m√b+f(x)=c , m, n=2,3

Đặt hai ẩn phụ đưa hệ phương trình:

¿

u=√na− f(x) v=m√b+f(x)

⇒

¿p.u+q.v=c un+vm=a+b

¿{

¿

Với u, v ẩn Nếu bậc chẵn điều kiện u ≥0, v ≥0

Ví dụ: 1, √1

2+x+√

2− x=1 có nghiệm x= 2, −

1 2, −

17

2, √x −1+√32− x=1 có nghiệm x = 1; 2; 10

3, 33 x 5  x 0 ( đề thi ĐH năm 2009) nghiệm x = -2 Dạng 6: ax2+bx+c=(a1x+b1)√mx2+nx+p , a1≠0, a , m≠0

Đặt ẩn phụ t=√mx2+nx+p , biểu thị phần ax2+bx+c theo t x, đưa phương trình bậc ẩn t, coi x tham số

Ví dụ:

1, x2+3x+1=(x+3)√x2+1

Đặt t=√x2+1, t ≥1 ta phương trình: t2−(x+3)t+3x=0

Tính Δ=(x+3)2−12x=(x −3)2⇒t=xort=3 ( nhóm phân tích thành nhân tử)

2, x2−2x −1=2(1− x)√x2+2x −1

3, 2x2 3x 2 x 3x Nghiệm x = 1, x = 2 4, (4x1) x2 1 2x22x1 nghiệm

4

x

III PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ THEO BẤT ĐẲNG THỨC, THEO SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Xét phương trình: f x( )g x( ) f x g x( ), ( ) có chứa thức, không áp dụng phương pháp nêu trên, ta xem xét đánh giá vế

Sử dụng Bất đẳng thức biết: u2n( ) 0,x  u2nv2mw2k 0, (u v )2k 0 Bất đẳng thức Cauchy;

Đánh giá:

( ) ( )

VP g x a VT f x a

 

 

 

 với x thuộc tập xác định,

( )

( ) ( )

( )

f x a f x g x

g x a

 

  

 

Đối với học sinh lớp 12 học xét biến thiên hàm số theo đạo hàm giải toán đánh giá theo biến thiên hàm số

Phương trình F x( )k, F(x) hàm số đồng biến nghịch biến khoảng, tùy vào tập xác định chia thành 2, khoảng để xét

Ví dụ: Dành cho học sinh lớp 10: 1, 1 x 1 x x4x22

Đánh giá vế phải: VP x 4x2 2 2 xảy dấu x = 0

Vế trái: T2  2 (1x)(1 x) (1    x x) T2  4 T 2 xảy dấu x = KL: phương trình có nghiệm x =

2, 2x 3 2 x 3x212x14

Đánh giá VT 2, VP2 kết nghiệm x = 2 3, √4x − x2+√4x − x2−3−√2x − x2=3 nghiệm x = Dành cho học sinh lớp 12 học sinh ôn thi ĐH-CĐ 1, 3x2  x 3 (nghiệm x = 1)

2, x215 x2 8 3x3 2 nghiệm x = 1

3, x274x10 x2 5 nghiệm x = 3

5, √2x+1+√3−2x=1

2(2x −1)

nghiệm x=−1

2; x=

IV PHƯƠNG PHÁP KHÁC

1, Nhân hai vế với biểu thức liên hợp  u v  u  v u v

Nhân hai vế với tổng u v 0, nhân với hiệu phải xét trường hợp khác 0 2, Phương pháp lượng giác hóa: biểu thức phương trình có chứa

2 2, 0

a  x a ta đặt x a.sin ,t t 2;

 

 

   

 

Nếu chứa a2x2 ta đặt

.tan , ;

2

x a t t    

 

1, 3(√4x+1−√3x −2)=x+3 điều kiện: x ≥2

3

Nhân hai vế với √4x+1+√3x −2>0 ta

3(√4x+1−√3x −2) (√4x+1+√3x −2)=(x+3)(√4x+1+√3x −2) ⇔3(x+3)=(x+3)(√4x+1+√3x −2)⇔3=√4x+1+√3x −2 dox+3>0

Nghiệm x =

2, 3(2+√x −2)=2x+√x+6 điều kiện: x ≥2 Viết lại phương trình dạng:

6−2x=√x+6−3√x −2⇔(6−2x)(√x+6+3√x −2)=(√x+6−3√x −2)(√x+6+3√x −2)

⇔(6−2x)(√x+6+3√x −2)=4(6−2x) Kết quả: x=3, x=11−√15

2

3, √8x+1+√3x −5=√7x+4+√2x −2

Cách 1: Bạn đọc có nhận xét biểu thức ( tổng, hiệu chúng)

√8x+1−√7x+4=√2x −2−√3x −5

⇔(x −3)(√2x −2+√3x −5)=(3− x)(√8x+1+√7x+4)

¿

u+v=z+t u2− v2=z2− t2 u , v , z>0;t ≥0

⇔

¿u+v=z+t u − v=z− t

⇔

¿u=z v=t

¿{ {

¿

nghiệm x =

4, √2x2−1

+√x2−3x+2=√2x2+2x −3+√x2− x nghiệm x =1 5, Giải phương trình:

  ) x ( x x x x x ) b x x x 1 ) a 2 2 2                 

c¿√1− x=2x2−1+2x√1− x2

Sử dụng cách đặt theo hàm số lượng giác Dành cho học sinh lớp 12:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG LỜI GIẢI CĨ BƯỚC PHẢI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1, Tìm GTLN, GTNN hàm số sau tập xác định: a f x( ) x 4 x2 b

2

3

( )

4

f x  x  x x 2, Chứng minh bất đẳng thức:

√17≤√cos2a

+4 cosa+6+√cos2a −2cosa+3≤√2+√11

Xét hàm số f (t)=√t2+4t+6+√t2−2t+3,t∈[−1;1]

Đạo hàm f'(t)= t+2

√t2+4t+6

+ t −1

√t2−2t+3

Vì t  1;1 nên

       

2

2

' 2

2

2

( ) ( 1) ( 2)

2 2

t t

f x t t t t

t t                                             

⇔t+2=1−t⇔t=−1

Tính giá trị: f(−1)=√3+√6;f(1)=√2+√11;f(−1

2)=√ 4+4+√

1

4+4=√17

Từ kết luận đpcm

Một số hệ phương trình:

35

1, 2,

30

x x y y x y x y

x y y x x y x y

                     

nghiệm hệ (1) (4; 9); Nghiệm hệ (2) (x; y)=(1; 2)

2

2

2

1

2

3 2

3, 4, 5,

1 3 2

2 1

y x

x

x y x x y x x x

y y y

y y x

y x y                                                     

Các hệ phương trình (3), (4), (5) có nghiệm (x; y)=(1; 1)

8

6,

3

x x y y x y

x y         

 nghiệm (9; 1)

                                                  12 x y x y 12 x y x ) y x y x ) y x y x y x y x ) x y y tan x tan y x 1 y ) 2 2 2 2

C KẾT LUẬN

Trên số toán giải phương trình, hệ phương trình có chứa thức mà sưu tầm, lựa chọn để giảng dạy cho học sinh Hệ thống dạng tập phong phú, đa dạng, viết chắn việc thống kê xếp chưa đầy đủ, tác giả mong nhận góp ý, bổ sung thầy cô đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn !