Phân bố Poisson quan tâm đến số lần xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời gian (không gian, khoảng cách, hay một độ đo nào đó) xác định trước. Ví dụ:[r]
(1)Giảng viên: PGS.TS Lê Sỹ Vinh Khoa CNTT – Đại học Công Nghệ
Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
(2)Nội dung
Đại lượng ngẫu nhiên Phân bố xác suất
Kì vọng, Phương sai Phân bố nhị thức
(3)Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Đại lượng (biến) ngẫu nhiên (ĐLNN) X biểu diễn định lượng kết phép thử C X ánh xạ kết quả phép thử C sang giá trị thực
X(Ω): tập hợp giá trị ĐLNN X
Ví dụ:
Gieo xúc xắc Gọi X số nốt xuất xúc xắc, X ĐLNN, kí hiệu X(Ω) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(4)Đại lượng ngẫu nhiên
Đại lượng ngẫu nhiên
(5)Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Có miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm Ví dụ:
- Tung xúc xắc lần Đặt X số lần mặt điểm xuất X nhận giá trị 0, 1,
- Tung đồng xu lần Đặt Y số lần xuất mặt hình
(6)Phân bố xác suất
Phân bố xác suất (probability mass distribution) ĐLNN rời rạc X bảng bao gồm tất giá trị mà
ĐLNN X nhận kèm theo xác suất để nhận giá trị
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
ở pi = P(X = xi) Lưu ý p1+p2+…+pn =
Hàm phân bố tích lũy (cumulative distribution function)
(7)Ví dụ 1
Một túi chứa ba thẻ đánh số 1, 2, túi chứa
thẻ đánh số 4, 5, Chọn ngẫu nhiên thẻ từ túi tính tổng thẻ chọn Gọi X kết quả, lập bảng phân bố xác suất, hàm phân bố tích lũy X
Chọn ngẫu nhiên ba đứa trẻ từ nhóm gồm bé trai
bé gái Gọi X số bé gái nhóm chọn Lập bảng phân bố xác suất X
(8)Kì vọng
Cho X ĐLNN rời rạc có bảng phân bố xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
Kì vọng (hay gọi giá trị trung bình) X, kí hiệu EX tính sau:
å
= xi pi
(9)Ví dụ 2
Bảng phân bố xác suất độ tuổi vào đại học Việt Nam cho sau
Tính kì vọng tuổi vào đại học Việt Nam
EX = ?
(10)Ví dụ 3
Bảng phân bố xác suất lương sinh viên CNTT sau trường
Tính kì vọng lương sinh viên CNTT sau trường
X <3 10 >10
(11)(12)Tính chất kỳ vọng
1) EC = C C số
2) E(CX) = C.EX C số 3) E(X + Y)=EX + EY
(13)Phương sai độ lệch chuẩn
Cho X ĐLNN rời rạc có bảng phân bố xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
và kì vọng EX = µ Độ lệch khỏi giá trị trung bình X-µ
Phương sai X, kí hiệu DX:
DX = E(X-µ)2 = Σ x
i2 * pi – (EX)2
Độ lệch chuẩn X, kí hiệu σX bậc hai phương
(14)Ví dụ 4
Lương nhân viên cơng ty TechQ
Tính kì vọng, phương sai lương nhân viên công ty TechQ
X <3 10 200 >200
(15)Ví dụ 5
Bảng phân bố xác suất lương sinh viên CNTT sau trường
Tính phương sai, độ lệch chuẩn lương sinh viên CNTT sau trường
X <3 10 >10
(16)Ví dụ 6
Bảng phân bố xác suất độ tuổi vào đại học Việt Nam cho sau
Tính phương sai, độ lệch chuẩn tuổi vào đại học Việt Nam
(17)Tính chất phương sai
1) D(c)=0 c số
2) D(cX)=c2DX c số
D(X+c)=DX
(18)Nội dung
Đại lượng ngẫu nhiên
Phân bố xác suất
Kì vọng, Phương sai
(19)Phân bố nhị thức
Xét phép thử ngẫu nhiên C có kết thành công hay thất bại Xét biến cố A phép thử thành công với P(A) = p Phép thử C tiến hành lặp lặp lại n lần Gọi X số lần biến cố A xuất
X ĐLNN với X(Ω) = {0,1,…n} Theo công thức Becnuli:
P{X=k} = Ck
n pk (1-p)n-k
ĐLNN X gọi có phân bố nhị thức với tham số
n p kí hiệu X ~ B(n, p)
(20)(21)Tính chất phân bố nhị thức
Phép thử C có kết thành cơng hay thất bại Phép thử C tiến hành n lần.
Xác suất thành công hay thất bại cố định n lần thử
Kết phép thử độc lập lần thử khác
Xác suất tích lũy:
Với giá trị k khác tính sẵn Bảng (Phụ lục 2)
P{X ≤ k} = Cni pi(1− p)n−i
i=0 k
(22)Ví dụ 7
Tỉ lệ sinh thứ ba tỉnh A 10% Chọn ngẫu nhiên gia đình gọi X số gia đình có thứ
a) Tính xác suất P{X=1}
b) Tính xác suất P{X <= 3} c) Tính xác suất P{ X >= 5} d) Tính kì vọng X (EX=?)
(23)Ví dụ 8
Tỉ lệ động tô bị hỏng thời gian bảo
hành năm 1% Theo dõi 12 xe ô tô thời gian bảo hành Gọi X số xe hỏng thời gian bảo
hành Tính
Tính P{X = 1} Tính P{X = 2} Tính P{X > 10}
Tính kì vọng X
(24)Phân bố Poisson
Phân bố nhị thức quan tâm đến xác suất số lần thử thành công sau n lần thử
Phân bố Poisson quan tâm đến số lần xuất biến cố khoảng thời gian (không gian, khoảng cách, hay độ đo đó) xác định trước
Ví dụ:
Số bệnh nhân xuất đêm bệnh viện để bố trí số
bác sỹ trực
Số khách hàng vào cửa hàng tiếng để bố trí nhân viên
bán hàng
(25)Phân bố Poisson
Kì vọng phân bố Poisson số lượng xuất trung bình biến cố khoảng thời gian
Số lượng xuất biến cố khoảng thời gian khác độc lập với
Gọi X ĐLNN biểu diễn số lần xuất biến cố khoảng thời gian xác định Xác suất ĐLNN X theo phân bố Poisson:
Trong μ kì vọng X
P{X = k} = e
−µ
(26)(27)Phân bố Poisson
Xác suất tích lũy
Các giá trị μ k khác tính sẵn Bảng
(Phụ lục 2)
(28)Ví dụ 9
Một gara cho thuê ô tô thấy số lượng người đến thuê xe ĐLNN theo phân bố Poisson Trung bình có người đến th vào thứ bảy Giả sử gara có xe, tính xác suất sau đây:
a) Tất xe thuê b) Không xe thuê c) Ít xe thuê
d) Gara cần có xe để xác suất khơng đáp ứng nhu cầu thuê xe bé 1%
P{X = k} = e
−µ
(29)Ví dụ 10
Ở tổng đài chăm sóc khách hàng, điện thoại xuất ngẫu nhiên với tần suất trung bình khoảng phút Hãy tính xác suất sau:
a) Có 10 cú điện thoại phút b) Khơng có cú điện thoại phút
c) Có cú điện thoại thời gian 30 giây
P{X = k} = e
−µ
(30)Nội dung
Đại lượng ngẫu nhiên Phân bố xác suất
Kì vọng, Phương sai Phân bố nhị thức
(31)Phân bố đồng thời
Gọi X Y hai ĐLNN rời rạc với X(Ω) = {x1,…,xm}
Y(Ω) = {y1,…,yn)
Kí hiệu Pij= P{X=xi, Y=yj} xác suất đồng thời X=xi Y=yj Bảng phân bố xác suất đồng thời X Y:
Y
y1 y2 yj yn
X
x1 p11 p12 p1j p1n
x2 p21 p22 p2j p2n
xi pi1 pi2 pij pin
(32)
Ví dụ 11
Ba đồng tiền cân đối A, B, C gieo Gọi X, Y ĐLNN xác định sau:
X: Số mặt ngửa đồng tiền A B
Y: Số mặt ngửa đồng tiền A, B C Hãy lập bảng phân bố đồng thời X Y