Tính toán dao động tuần hoàn của một số hệ giao động phi tuyến bằng phương bắn

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học bách khoa hµ néi luận văn thạc sĩ khoa học Tính toán dao động tuần hoàn số hệ dao động phi tuyến phơng pháp bắn Ngành: Cơ học kỹ thuật Mà số: Phạm Thành Chung Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Khang Hà Nội - 2005 Mục lục Mở đầu Chơng Tìm nghiệm tuần hoàn hệ dao động phi tuyến phơng pháp bắn 1.1 NghiƯm tn hoàn hệ động lực 1.1.1 Các hệ ôtônôm 1.1.1.1 Nghiệm tuần hoàn chu trình giới hạn 1.1.1.2 Tiªu chuÈn Bendixson 1.1.2 C¸c hƯ kh«ng «t«n«m 13 1.2 Phơng pháp bắn đơn tìm nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm 16 1.2.1 Mở đầu phơng pháp bắn đơn giải toán giá trị biên 16 1.2.2 Phơng pháp bắn đơn tìm nghiệm toán giá trị biên với biên tự 20 1.2.2.1 ThÝ dô më ®Çu 20 1.2.2.2 Nội dung phơng pháp bắn đơn 22 1.2.2.3 ThuËt gi¶i tìm nghiệm toán giá trị biên phơng pháp bắn đơn 23 1.2.3 Phơng pháp bắn đơn tìm nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm 24 1.2.3.1 Nội dung phơng pháp 25 1.2.3.2 ThuËt gi¶i tìm nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm phơng pháp bắn đơn 27 1.2.3.3 Sơ đồ khối tìm nghiệm tuần hoàn phơng pháp bắn đơn 28 1.3 Tìm nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm phơng pháp bắn đơn 29 1.3.1 Hệ ôtônôm bậc tự 29 1.3.2 HƯ «t«n«m nhiỊu bËc tù 31 1.4 Sù æn định nghiệm tuần hoàn 33 1.4.1 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính hệ số tuần hoàn 33 ii 1.4.1.1 Định lý Floquet 33 1.4.1.2 C¸c kh¸i niƯm ma trận đơn đạo, nhân tử Floquet, số mũ Floquet 34 1.4.1.3 Phơng pháp số xác định nhân tử Floquet 34 1.4.2 Nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm 35 1.4.3 Nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm 41 1.4.4 Thuật giải khảo sát ổn định nghiệm tuần hoàn 42 Chơng Tính toán dao động tuần hoàn chu kỳ ngoại lùc cđa hƯ kh«ng «t«n«m 46 2.1 Dao ®éng tuần hoàn mô hình rôto - móng máy bËc tù 46 2.1.1 TÝnh to¸n dao động tuần hoàn 46 2.1.2 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 54 2.2 Dao ®éng tuần hoàn mô hình rôto - móng máy hai bậc tự 56 2.2.1 Tính toán dao động tuần hoàn 56 2.2.2 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 67 2.3 Dao động tuần hoàn mô hình tự kích - cỡng tải trọng băng tải 69 2.3.1 Tính toán dao động tuần hoàn 69 2.3.2 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 76 2.4 Dao động tuần hoàn mô hình tự kích - cỡng hai tải trọng băng tải 77 2.4.1 Tính toán dao động tuần hoàn 77 2.4.2 Sù ổn định nghiệm tuần hoàn 86 Chơng Tính toán dao động tuần hoàn hệ ôtônôm 88 3.1 Dao động tuần hoàn hệ ôtônôm bậc tự 88 3.1.1 ThÝ dô 3.1 88 3.1.1.1 Tính toán dao động tuần hoµn 88 3.1.1.2 Sù ổn định nghiệm tuần hoàn 96 iii 3.1.2 Hệ phơng trình Van der Pol mét bËc tù 97 3.1.2.1 Tính toán dao động tuần hoàn 97 3.1.2.2 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 102 3.2 Dao động tuần hoàn hệ ôtônôm hai bậc tù 103 3.2.1 HƯ ph−¬ng tr×nh Van der Pol hai bËc tù 103 3.2.1.1 Tính toán dao động tuần hoàn 103 3.2.1.2 Sù æn định nghiệm tuần hoàn 111 3.2.2 ThÝ dô 3.2 112 3.2.2.1 Mô số tính toán dao động tuần hoàn 113 3.2.2.2 Sự ổn định nghiệm tuần hoàn 118 Kết luËn 121 Tài liệu tham khảo 123 Phụ lục Mở đầu Dao động tợng phổ biến tự nhiên kỹ thuật Căn vào phơng trình vi phân chuyển động ngời ta phân thành dao động tuyến tính dao động phi tuyến Dao động tuyến tính dao động đợc mô tả phơng trình vi phân tuyến tính Dao động phi tuyến dao động đợc mô tả phơng trình vi phân phi tuyến Từ năm ®Çu cđa thÕ kû 20 dao ®éng phi tun u bắt đầu đợc quan tâm nghiên cứu Các phơng pháp giải tích nh phơng pháp trung bình hóa, phơng pháp tiệm cận, phơng pháp tham số bé, đà đợc nghiên cứu cách chặt chẽ mặt toán học đợc áp dụng tính toán dao động phi tuyến yếu hệ học hệ điện Với phát triển tin học, phơng pháp số đợc nghiên cứu để tính toán dao động hệ phi tuyến mạnh Nhiều kết lý thuyết dao động ổn định phi tuyến, lý thuyết rẽ nhánh, lý thuyết dạng chuẩn phi tuyến, nghiệm tuần hoàn, chuyển động hỗn độn, v.v đà đợc công bố Một loạt phơng pháp tìm nghiệm tuần hoàn hệ phi tuyến mạnh đà đợc nghiên cứu nh phơng pháp bắn (shooting method), phơng pháp sai phân hữu hạn (finite-difference method), phơng pháp cân điều hoà gia lợng (incremental harmonic balance method), phơng pháp ánh xạ ô (cell mapping method), phơng pháp ánh xạ Poincaré (Poincaré map method), v.v Trong luận văn tác giả trình bày phơng pháp bắn đơn để tính toán dao động tuần hoàn hệ ôtônôm hệ không ôtônôm phi tuyến, đồng thời nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn lý thuyết Floquet; so sánh kết tìm đợc với kết tính toán phơng pháp khác (phơng pháp mô số, phơng pháp cân điều hòa gia lợng, số phơng pháp giải tích gần đúng, ) Luận văn đợc chia làm chơng Chơng giới thiệu phơng pháp bắn tìm nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm với tần số tần số lực kích động, tìm nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm lý thuyết ổn định nghiệm tuần hoàn (lý thuyết Floquet) Chơng trình bày việc tính toán dao động tuần hoàn với chu kỳ ngoại lực phơng pháp bắn đơn số mô hình học có phơng trình vi phân không ôtônôm nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn Chơng trình bày việc áp dụng phơng pháp bắn đơn tìm nghiệm tuần hoàn số hệ ôtônôm phi tuyến nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn Phần mềm đợc sử dụng để tính toán mô số phần mềm đại số computer Maple Trong trình thực hiện, kiến thức thời gian có hạn nên luận văn tránh đợc sai sót Tác giả luận văn xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TSKH Nguyễn Văn Khang, ngời thầy hớng dẫn khoa học đà tận tình bảo giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Trung tâm đào tạo bồi dỡng sau đại học, thầy cô Bộ môn Cơ học ứng dụng, Trờng Đại học Bách khoa Hà Nội đà giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để luận văn hoàn thành thời gian quy định Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, ngời thân bạn bè đà giúp đỡ, động viên, quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Chơng Tìm nghiệm tuần hoàn hệ dao động phi tuyến phơng pháp bắn Trong chơng này, khảo sát nghiệm tuần hoàn (periodic solutions) hệ động lực (chơng 3, [15]) Khác với nghiệm cân (equilibrium solutions), nghiệm tuần hoàn đặc trng trạng thái thay đổi theo thời gian Nghiệm tuần hoàn nghiệm hệ động lực đợc xác định tần số f Phổ tín hiệu tuần hoàn bao gồm đỉnh tần số đỉnh số nguyên lần tần số f Biên độ vài thành phần tần số không Sau phần 1.1 (nghiệm tuần hoàn hệ động lực), tìm nghiệm tuần hoàn hệ không ôtônôm hệ ôtônôm phơng pháp bắn đơn (the simple shooting method) phần 1.2 1.3 Cuối chơng sử dụng lý thuyết Floquet nghiên cứu ổn định nghiệm tuần hoàn 1.1 Nghiệm tuần hoàn hệ động lực Một nghiệm x = x(t) hệ liên tục đợc gọi tuần hoàn với chu kỳ T x(t + T ) = x(t ) vµ x(t + τ ) ≠ x(t ) víi < τ < T 1.1.1 Các hệ ôtônôm Xét hệ phơng trình (1.1) x& = f ( x, ) Một nghiệm tuần hoàn x(t) chu kú T > cđa hƯ (1.1) t−¬ng ứng với quỹ đạo kín R n thoả mÃn điều kiện x(t0 + T ) = x(t0 ) , x(t0 + τ ) ≠ x(t0 ) với < < T Tại thời điểm đầu t0, xác định vị trí x = x0 quỹ đạo Nghiệm khoảng t tơng ứng với quỹ đạo dơng + (x0 ) , nghiệm khoảng t < tơng ứng với quỹ đạo âm (x0 ) Trong trờng hợp nghiệm tuần hoàn, ta có + ( x0 ) = γ − ( x0 ) = Theo đó, nghiệm tuần hoàn (1.1) đợc coi nh điểm cố định ánh xạ xác định cách gần gọi ánh xạ Poincaré Chú ý nghiệm tuần hoàn hệ ôtônôm thí dụ tập bất biến 1.1.1.1 Nghiệm tuần hoàn chu trình giới hạn Một nghiệm tuần hoàn (1.1) đợc gọi chu trình giới hạn (limit cycle) nghiệm tuần hoàn khác tiến dần sát đến Nói cách khác, chu trình giới hạn nghiệm tuần hoàn cô lập (isolated periodic solution) tơng ứng với quỹ đạo kín cô lập không gian trạng thái Mọi quỹ đạo xuất phát từ gần chu trình giới hạn tiến lại gần t t Thí dụ 1.1 Xét hệ phơng trình x& = µ x − ω y + (α x − β y )( x + y ) (1.2) y& = ω x + µ y + ( β x + α y )( x + y ) (1.3) x y biến trạng thái, , , số Bằng cách sử dụng biến đổi x = r cosθ vµ y = r sin θ (1.4) Hệ (1.2) (1.3) đợc đa dạng đơn giản r& = r + r (1.5) & = + r (1.6) Nhân hai vế (1.5) với 2r ta đợc rr& = µ r + 2α r d (r ) = µ r + 2α r dt (1.7) Giả thiết sử dụng phân ly biến số, tích phân phơng trình (1.7) r2 r02 ( + r ) = exp(−2 µ t ) r ( µ + α r02 ) t d (r ) = µ ∫ dt ⇒  α 2 r 1 + r  µ   µ r02 ⇒ + α r02 = ( µ + α r02 )exp(−2 µ t ) r r02  ( µ + α r02 )exp(−2 µ t ) − α r02  ⇒ r =  µ r02  Cuối thu đợc α  α r =  +  e −2 µt −  µ  µ r0  (1.8) r0 giá trị r t = Đặt = ωt + φ , (1.6) trë thµnh φ& = β r (1.9) Theo (1.7) vµ (1.9), víi r ≠ − µ α ta cã dφ β = dr 2 µ + 2α r Víi α ≠ tích phân biểu thức ta đợc = ln ( µ + 2α r ) + C (1.10) Trong C số Thế r vào (1.4), thu đợc mét nghiƯm cđa hƯ (1.2) vµ (1.3) Khi µ > vµ α < , tõ (1.8) ta suy lim r = ( − µ α ) 12 t Giá trị giới hạn không phụ thuộc vào giá trị r0 với r0 Theo (1.6) ta cã limθ& = ω − βµ α t Từ ta có   µ lim x =  −  cos  ω − t + θ0   t →∞ α   α   12   βµ   µ lim y =  −  sin  ω − t + θ0   t →∞ α   α   12 (1.11) Trong ®ã giá trị đầu Hệ phơng trình (1.11) mô tả quỹ đạo kín mặt phẳng Oxy Quỹ đạo đờng tròn có tâm gốc toạ độ bán kính Phơng trình biểu diễn: x2 + y2 = − µ α (1.12) y y a b x x Hình 1.1: Nghiệm tuần hoàn quỹ đạo lân cận hệ (1.2) (1.3): (a) = 1, α = −1, ω = 1, β = (b) µ = −1, α = 1, ω = 1, = Trong hình 1.1a quỹ đạo kín tơng ứng với nghiệm tuần hoàn hệ (1.2) (1.3) µ > vµ α < Hình vẽ quỹ đạo dơng, mũi tên quỹ đạo chiều vòng xoáy Bởi quỹ đạo kín đủ gần nghiệm tuần hoàn (trong thực tế, quỹ đạo kín khác toàn không gian pha), quỹ đạo kín hình 1.1a chu trình giới hạn Nó tập bất biến quỹ đạo điểm đờng cong kín nằm quỹ đạo toµn bé miỊn thêi gian Ngoµi ra, chóng ta thÊy quỹ đạo dơng xuất phát từ điểm kh¸c ... nghiệm tuần hoàn 86 Chơng Tính toán dao động tuần hoàn hệ ôtônôm 88 3.1 Dao động tuần hoàn hệ ôtônôm bậc tự 88 3.1.1 ThÝ dô 3.1 88 3.1.1.1 Tính toán dao động tuần hoàn. .. nghiệm tuần hoàn 42 Chơng Tính toán dao động tuần hoàn chu kỳ ngoại lực hệ kh«ng «t«n«m 46 2.1 Dao động tuần hoàn mô hình rôto - móng máy bậc tự 46 2.1.1 Tính toán dao động tuần hoàn. .. mặt toán học đợc áp dụng tính toán dao động phi tuyến yếu hệ học hệ điện Với phát triển tin học, phơng pháp số đợc nghiên cứu để tính toán dao động hệ phi tuyến mạnh Nhiều kết lý thuyết dao động