ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH THỊ HIỀN TÍNH TỐN DAO ĐỘNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM Chuyên ngành : Cơ học vật rắn Mã số : 8440109.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội – 2018 LỜI CẢM ƠN Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, Khoa Tốn – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý q báu q trình tác giả thực luận văn Tác giả đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS TS Vũ Đỗ Long tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, giáo, cán Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, người bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Trịnh Thị Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương MÔ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Tấm vật liệu tính biến thiên 1.2 Lý thuyết Mindlin - Reissner 1.3 Tấm đàn hồi 1.4 Lý thuyết dầm Timoshenko Chương MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phần tử 2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phần tử dầm 13 Chương CÁC BÀI TOÁN VÀ KẾT QUẢ GIẢI SỐ 16 3.1 Bài toán tĩnh 16 3.2 Bài toán dao động 20 KẾT LUẬN 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 PHỤ LỤC 29 DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH VẼ Bảng 1: Kết so sánh theo phương pháp giải 18 Bảng 2: Kết so sánh theo lý thuyết 19 Bảng 3: Ảnh hưởng độ võng tĩnh tâm FGM 20 Hình 1: Tấm FGM hệ tọa độ Đề-các Hình 2: Mơ hình phần tử Hình 3: Mơ hình phần tử dầm 13 Hình 4: Mơ hình rời rạc 16 Hình 5: Ảnh hưởng tỉ số a/h 22 Hình 6: Ảnh hưởng số tỉ lệ thể tích k 23 Hình 7: Ảnh hưởng hệ số đàn hồi K 23 Hình 8: Ảnh hưởng ngoại lực tác dụng 24 Hình 9: Ảnh hưởng gân gia cường 25 MỞ ĐẦU Vật liệu tính biến thiên FGM ngày ứng dụng nhiều thực tiễn, ngành cơng nghiệp đại Vì việc nghiên cứu độ bền ổn định kết cấu làm từ vật liệu tính biến thiên vấn đề nhiều nhà khoa học nước giới quan tâm Một loại vật liệu tính biến thiên thơng dụng vật liệu có thành phần biến đổi trơn từ ceramic sang kim loại Ceramic cung cấp tính kháng nhiệt bảo vệ kim loại khỏi bị oxi hóa Đồng thời hỗn hợp ceramic kim loại với tỉ lệ thể tích biến đổi trơn dễ dàng chế tạo Nhiều nghiên cứu phân tích ứng xử học vỏ làm từ vật liệu FGM cơng bố năm gần Có thể kể đến Della Croce Venini [9] trình bày phương pháp phần tử hữu hạn cho Reissner-Mindlin nội suy hàm dạng thứ bậc Dựa theo lý thuyết bậc nhất, Chi Chung [12] xây dựng lời giải giải tích cho chữ nhật FGM bốn biên tựa khớp chịu uốn tác dụng tải trọng ngang phân bố Reddy [8] phân tích ứng xử tĩnh FGM với lời giải giải tích theo lý thuyết chuyển vị bậc bậc cao Hosseini-Hashemi cộng [13] nghiên cứu dao động tự chữ nhật FG sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc Phân tích ổn định chữ nhật FG nằm đàn hồi tải trọng phi tuyến nghiên cứu Bodaghi Saidi [10] Ramu I Mohanty [11] phân tích mơ hình FGM sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với mục đích khảo sát tần số dao động tự nhiên Để giải toán đặt thực tế kỹ thuật với độ xác phù hợp phương pháp số trở thành cơng cụ khơng thể thiếu Các phương pháp số tìm nghiệm phương trình vi phân dạng hàm xấp xỉ theo giá trị gần số điểm ấn định miền xét Trong năm gần đây, với phát triển nhanh chóng máy tính điện tử xuất nhiều phương pháp số góp phần giải thành cơng tốn phức tạp vật lý kỹ thuật Sự ưu việt phương pháp số khơng thể tính phổ qt lĩnh vực mà tính đơn giản chương trình tính tốn so sánh với phương pháp truyền thống phương pháp giải tích (phương pháp giải xác nghiệm toán, phương pháp biến phân…) Các phương pháp số thông dụng sử dụng rộng rãi là: phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử biên, tích phân số phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn bắt nguồn từ yêu cầu giải toán phức tạp lý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu xây dựng kỹ thuật hàng không Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định Luận văn nghiên cứu dao động chữ nhật FGM có gân gia cường đặt đàn hồi theo lý thuyết biến dạng trượt bậc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Luận văn gồm phần mở đầu, danh mục bảng, hình vẽ, chương, phần kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục Nội dung chương bao gồm: - Chương 1: Đưa mơ hình tốn học tốn đồng thời trình bày phương trình dầm chữ nhật theo lý thuyết biến dạng trượt bậc - Chương 2: Mơ hình phần tử hữu hạn thiết lập cụ thể cho phần tử dầm phần tử chữ nhật - Chương 3: Giải toán tĩnh toán dao động FGM để tìm độ võng tĩnh vẽ đồ thị độ võng theo thời gian tâm chữ nhật So sánh kết số thu với kết phương pháp giải tích [14] đồng thời khảo sát ảnh hưởng yếu tố: tỉ số kích thước hình học, số tỉ lệ thể tích, hệ số đàn hồi, ngoại lực tác dụng, gân gia cường điều kiện biên đến độ võng tĩnh đồ thị độ võng theo thời gian tâm chữ nhật FGM Nội dung cụ thể chương trình bày đây: Chương MƠ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Tấm vật liệu tính biến thiên Xét chữ nhật làm từ vật liệu tính biến thiên FGM Cơ tính vật liệu biến thiên theo quy luật phân bố lũy thừa [7] 2z h E ( z ) EmVm EcVc Em ( Ec Em ) 2h 2z h ( z ) mVm cVc m ( c m ) 2h ( z ) const k k (1) Em , Ec , m , c mô-đun đàn hồi khối lượng riêng kim loại h h gốm; hệ số Poisson; k số tỉ lệ thể tích; z ; tọa độ chiều 2 dày E ( z ) Ec = const Trường hợp k Khi đó, chữ nhật FGM trở thành ( z ) const c chữ nhật 1.2 Lý thuyết Mindlin - Reissner Xét chữ nhật FGM kích thước a b h đặt hệ tọa độ Đề-các x, y, z hình Trong đó, mặt phẳng xy nằm mặt trung bình tấm, trục chiều dày z hướng xuống Hình 1: Tấm FGM hệ tọa độ Đề-các Giả sử chịu tác dụng tải trọng vng góc với mặt trung bình Khác với lý thuyết cổ điển Kirchhoff (các đoạn thẳng vng góc với mặt trung bình thẳng vng góc với mặt trung bình chịu uốn), lý thuyết Mindlin – Reissner hay gọi lý thuyết biến dạng trượt bậc dựa giả thiết: pháp tuyến mặt trung bình thẳng khơng thiết phải vng góc với mặt phẳng suốt q trình biến dạng Lý thuyết Mindlin – Reissner sử dụng để tính tốn biến dạng ứng suất dày lý thuyết Kirchhoff áp dụng cho mỏng Dựa theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, chuyển vị theo ba phương x, y, z điểm có khoảng cách z so với mặt trung bình xác định [6] u ( x, y, z, t ) z x ( x, y, t ) v( x, y, z, t ) z y ( x, y, t ) (2) w( x, y, z, t ) w0 ( x, y, t ) x , y tương ứng góc xoay theo phương x, góc xoay theo phương y w0 chuyển vị theo phương z điểm tương ứng nằm mặt trung bình Các biến dạng dọc trục biến dạng trượt xác định từ quan hệ chuyển vị - biến dạng [1] x u , x z x , x y v, y z y , y xy u , y v, x z ( x , y y , x ) (3) xz u , z w, x x w0, x yz v, z w, y y w0, y Trong lý thuyết đàn hồi, mối liên hệ ứng suất - biến dạng theo định luật Hook [1] biểu diễn: 1 x y E (z) 0 xy 0 xz yz 0 0 0 0 0 x y xy xz yz (4) Năng lượng biến dạng đàn hồi U tam x x y y xy xy xz xz yz yz dV V (5) đó, hệ số hiệu chỉnh trượt giả thiết / Động xác định T tam ( z) u v w2 dV (6) V Công ngoại lực q x, y vng góc với mặt trung bình sinh diện tích mặt S A q( x, y ).w dS (7) S Viết phương trình vi phân chủ đạo thu gọn biểu diễn qua chuyển vị để xác định hàm độ võng w x, y chữ nhật [14] 4w 4w w q x, y 2 2 x x y y D (8) Eh3 đó, độ cứng chịu uốn D 12 1 1.3 Tấm đàn hồi Xét chữ nhật đặt đàn hồi với hệ số K, chịu tác dụng tải trọng q x, y vuông góc với mặt phẳng Khi đó, bị uốn tác dụng lên áp lực đó; ngược lại trình biến dạng tấm, tác dụng lại phản lực p x, y ngược chiều với chiều chuyển động Khi phương trình uốn trường hợp có dạng [14] 4w 4w 4w q x, y p x, y x x 2y y D (9) Theo Winkler phản lực xác định p( x, y) K.w( x, y) (10) Thế (10) vào (9) thu phương trình uốn chữ nhật đàn hồi theo Winkler 4w 4w 4w D 2 Kw q( x, y ) x y y x (11) Phân tố đàn hồi xác định theo phân tố công phản lực sinh chuyển vị theo phương thẳng đứng dU nen w dp( x, y ) w KwdS = Kw2 dS (12) Do cơng thức đàn hồi U nen Kw2 dS S (13) Vậy chữ nhật đặt đàn hồi U U tam U nen (14) 1.4 Lý thuyết dầm Timoshenko Để tăng độ cứng hay khả chịu lực cho chữ nhật, phương pháp gia cường gân cho sử dụng Gân xét dầm thẳng làm vật liệu Dựa theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cho dầm hay gọi lý thuyết dầm Timoshenko chuyển vị dọc trục độ võng điểm dầm xác định PHỤ LỤC Chương trình Maple thực tốn Tính độ võng tĩnh vẽ đồ thị độ võng theo thời gian trường hợp cụ thể (Hình 5) Các trường hợp khác thay đổi yếu tố tương ứng restart; with(linalg); a := 0.4; b :=0 4; h := 0.04; k := 1; Em := 70*10^9; Ec := 380*10^9; Ez := Em+(Ec-Em)*((2*z+h)/(2*h))^k; p := 1000; nu :=0 3; kappa := 5/6; De := int(Ez/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h (1/2)*h); Dee := int(Ez*z^2/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h (1/2)*h); F1 := matrix(1, 24, [1, x, y, x^2, x*y, y^2, x^2*y, x*y^2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]); F2 := matrix(1, 24, [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, x, y, x^2, x*y, y^2, x^2*y, x*y^2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]); F3 := matrix(1, 24, [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, x, y, x^2, x*y, y^2, x^2*y, x*y^2]); F := blockmatrix(3, 1, [F1, F2, F3]); Fxy := map(unapply, F, x, y); F_i := Fxy(0, 0); F_j := Fxy((1/8)*a, 0); 29 F_k := Fxy((1/4)*a, 0); F_l := Fxy((1/4)*a, (1/8)*b); F_m := Fxy((1/4)*a, (1/4)*b); F_n := Fxy((1/8)*a, (1/4)*b); F_o := Fxy(0, (1/4)*b); F_p := Fxy(0, (1/8)*b); A := blockmatrix(8, 1, [F_i, F_j, F_k, F_l, F_m, F_n, F_o, F_p]); A_1 := inverse(A); Ma_tran_ham_dang; N := multiply(F, A_1); N1 := submatrix(N, 1, 24); N1_T := transpose(N1); N2 := submatrix(N, 2, 24); N2_T := transpose(N2); N3 := submatrix(N, 3, 24); N3_T := transpose(N3); Do_cưng_tam; D1 := matrix(3, 3, [1, nu, 0, nu, 1, 0, 0, 0, (1-nu)*(1/2)]); D2 := matrix(2, 2, [(1-nu)*(1/2), 0, 0, (1-nu)*(1/2)]); b1 := map(diff, N2, x); b2 := map(diff, N3, y); b3 := map(diff, N2, y); b4 := map(diff, N3, x); b5 := evalm(b3+b4); B1 := blockmatrix(3, 1, [b1, b2, b5]); b6 := map(diff, N1, x); b7 := map(diff, N1, y); b8 := evalm(N2+b6); b9 := evalm(N3+b7); 30 B2 := blockmatrix(2, 1, [b8, b9]); B1_T := transpose(B1); B2_T := transpose(B2); Kexy1 := multiply(B1_T, D1, B1); Kexy2 := map(int, Kexy1, x = (1/4)*a); Kexy3 := map(int, Kexy2, y = (1/4)*b); Ke1 := evalm(Dee*Kexy3); Kexy4 := multiply(B2_T, D2, B2); Kexy5 := map(int, Kexy4, x = (1/4)*a); Kexy6 := map(int, Kexy5, y = (1/4)*b); Ke2 := evalm(kappa*De*Kexy6); Ket := evalm(Ke1+Ke2); Do_cưng_nen; K := 5*10^8; Kexy7 := multiply(N1_T, N1); Kexy8 := map(int, Kexy7, x = (1/4)*a); Kexy9 := map(int, Kexy8, y = (1/4)*b); Ken := evalm(K*Kexy9); Ke := evalm(Ket+Ken); Vec_to_tai_phan_tu; Pe1 := map(int, N1_T, x = (1/4)*a); Pe2 := map(int, Pe1, y = (1/4)*b); Pe := evalm(-Pe2*p); Ma_tran_dinh_vi; IE1 := diag(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1); IE := diag(IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1, IE1); rank(IE); for i from to 65 H[i] := submatrix(IE, [3*i-2, 3*i-1, 3*i], 195): 31 od: L[1] := blockmatrix(8, 1, [H[1], H[2], H[3], H[11], H[17], H[16], H[15], H[10]]); L[2] := blockmatrix(8, 1, [H[3], H[4], H[5], H[12], H[19], H[18], H[17], H[11]]); L[3] := blockmatrix(8, 1, [H[5], H[6], H[7], H[13], H[21], H[20], H[19], H[12]]); L[4] := blockmatrix(8, 1, [H[7], H[8], H[9], H[14], H[23], H[22], H[21], H[13]]); L[5] := blockmatrix(8,1,[H[15], H[16], H[17], H[25], H[31], H[30], H[29], H[24]]); L[6] := blockmatrix(8,1,[H[17], H[18], H[19], H[26], H[33], H[32], H[31], H[25]]); L[7] := blockmatrix(8,1,[H[19], H[20], H[21], H[27], H[35], H[34], H[33], H[26]]); L[8] := blockmatrix(8,1,[H[21], H[22], H[23], H[28], H[37], H[36], H[35], H[27]]); L[9] := blockmatrix(8,1,[H[29], H[30], H[31], H[39], H[45], H[44], H[43], H[38]]); L[10] := blockmatrix(8,1,[H[31], H[32], H[33], H[40],H[47],H[46], H[45], H[39]]); L[11]:=blockmatrix(8,1,[H[33], H[34], H[35], H[41], H[49], H[48], H[47], H[40]]); L[12]:=blockmatrix(8,1,[H[35], H[36], H[37], H[42], H[51], H[50], H[49], H[41]]); L[13]:=blockmatrix(8,1,[H[43], H[44], H[45], H[53], H[59], H[58], H[57], H[52]]); L[14]:=blockmatrix(8,1,[H[45], H[46], H[47], H[54], H[61], H[60], H[59], H[53]]); L[15]:=blockmatrix(8,1,[H[47], H[48], H[49], H[55], H[63], H[62], H[61], H[54]]); L[16]:=blockmatrix(8,1,[H[49], H[50], H[51], H[56], H[65], H[64], H[63], H[55]]); 32 for i from to 16 Lt[i] := transpose(L[i]): od: for i from to 16 Kes[i] := multiply(Lt[i], Ke, L[i]): od: Ktt := matrix(195, 195, 0); Ktt:=evalm(Kes[1]+Kes[2]+Kes[3]+Kes[4]+Kes[5]+Kes[6]+Kes[7]+Kes[8]+Ke s[9]+Kes[10]+Kes[11]+Kes[12]+Kes[13]+Kes[14]+Kes[15]+Kes[16]); for i from to 16 Pes[i] := multiply(Lt[i], Pe): od: Ptt := matrix(195, 1, 0); Ptt:=evalm(Pes[1]+Pes[2]+Pes[3]+Pes[4]+Pes[5]+Pes[6]+Pes[7]+Pes[8]+Pes [9]+Pes[10]+Pes[11]+Pes[12]+Pes[13]+Pes[14]+Pes[15]+Pes[16]); KB_tua_don; Kn := submatrix(Ktt, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 33 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); rank(Kn); Pn := submatrix(Ptt, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [1]); Kn_1 := inverse(Kn); Qn := multiply(Kn_1, Pn); w_max := Qn[63, 1]; Matran_Khoi_Luong; rho[m] := 2702; rho[c] := 3800; rho := rho[m]+(rho[c]-rho[m])*((2*z+h)/(2*h))^k; rho1 := int(rho, z = -(1/2)*h (1/2)*h); rho2 := int(z^2*rho, z = -(1/2)*h (1/2)*h); M1 := multiply(N1_T, N1); M2 := map(int, M1, x = (1/4)*a); M3 := map(int, M2, y = (1/4)*b); Me1 := evalm(rho1*M3); M4 := multiply(N2_T, N2); M5 := map(int, M4, x = (1/4)*a); M6 := map(int, M5, y = (1/4)*b); Me2 := evalm(rho2*M6); M7 := multiply(N3_T, N3); 34 M8 := map(int, M7, x = (1/4)*a); M9 := map(int, M8, y = (1/4)*b); Me3 := evalm(rho2*M9); Me := evalm(Me1+Me2+Me3); for i from to 16 Mes[i] := multiply(Lt[i], Me, L[i]): od: Mtt := matrix(195, 195, 0); Mtt:=evalm(Mes[1]+Mes[2]+Mes[3]+Mes[4]+Mes[5]+Mes[6]+Mes[7]+Mes[8] +Mes[9]+Mes[10]+Mes[11]+Mes[12]+Mes[13]+Mes[14]+Mes[15]+Mes[1 6]); Mn := submatrix(Mtt, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); Mn_1 := inverse(Mn); Phuong_Phap_Newmark; Omega := 1650; 35 T := evalf(2*Pi/Omega); So_doan_chia; nn := 100; Delta := T/nn; Pet := evalm(Pe*sin(Omega*t)); for i from to 16 Pest[i] := multiply(Lt[i], Pet): od: Pttt := matrix(195, 1, 0); Pttt:=evalm(Pest[1]+Pest[2]+Pest[3]+Pest[4]+Pest[5]+Pest[6]+Pest[7]+Pest[8 ]+Pest[9]+Pest[10]+Pest[11]+Pest[12]+Pest[13]+Pest[14]+Pest[15]+Pest [16]); Pnt := submatrix(Pttt, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [1]); Pt := map(unapply, Pnt, t); Bn := matrix(127, 127, 0); Tai_thoi_diem_dau; q[0] := matrix(127, 1, 0); dq[0] := matrix(127, 1, 0); Mn_1 := inverse(Mn); d2q[0] := multiply(Mn_1, Pt(0)); A1 := evalm(Mn+(1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn); A2 := evalm(Delta*Kn+Bn); 36 A3 := evalm((1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn); A1_1 := inverse(A1); Vong_lap_tinh_toan_dao_dong; for n from to nn A5 := multiply(Kn, q[n]); A6 := multiply(A2, dq[n]); A7 := multiply(A3, d2q[n]); A4 := evalm(Pt((n+1)*Delta)-A5-A6-A7); d2q[n+1]:=multiply(A1_1,A4); dq[n+1]:=evalm(dq[n]+(1/2)*Delta*(d2q[n]+d2q[n+1])); q[n+1] := evalm(q[n]+Delta*dq[n]+(1/4)*Delta^2*(d2q[n]+d2q[n+1])); od: with(plots); line1 := [seq([i*Delta/T, -q[i][63, 1]], i = nn)]; plot(line1); h1 := 0.02; Ez1 := Em+(Ec-Em)*((2*z+h1)/(2*h1))^k; De1 := int(Ez1/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h1 (1/2)*h1); Dee1 := int(Ez1*z^2/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h1 (1/2)*h1); Ke11 := evalm(Dee1*Kexy3); Ke21 := evalm(kappa*De1*Kexy6); Ket1 := evalm(Ke11+Ke21); Kee := evalm(Ket1+Ken); for i to 16 Kes1[i] := multiply(Lt[i], Kee, L[i]) end do; Ktt1 := matrix(195, 195, 0); Ktt1:=evalm(Kes1[1]+Kes1[2]+Kes1[3]+Kes1[4]+Kes1[5]+Kes1[6]+Kes1[7]+K es1[8]+Kes1[9]+Kes1[10]+Kes1[11]+Kes1[12]+Kes1[13]+Kes1[14]+Kes1 [15]+Kes1[16]); 37 Kn1 := submatrix(Ktt1, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); Kn1_1 := inverse(Kn1); Qn1 := multiply(Kn1_1, Pn); w1_max := Qn1[63, 1]; rho0 := 2702+(3800-2702)*((2*z+h1)/(2*h1))^k; rho11 := int(rho0, z = -(1/2)*h1 (1/2)*h1); rho21 := int(z^2*rho0, z = -(1/2)*h1 (1/2)*h1); Me11 := evalm(rho11*M3); Me21 := evalm(rho21*M6); Me31 := evalm(rho21*M9); Mee := evalm(Me11+Me21+Me31); for i from to 16 Mes1[i] := multiply(Lt[i], Mee, L[i]): od: Mtt1 := matrix(195, 195, 0); 38 Mtt1:=evalm(Mes1[1]+Mes1[2]+Mes1[3]+Mes1[4]+Mes1[5]+Mes1[6]+Mes1[7] +Mes1[8]+Mes1[9]+Mes1[10]+Mes1[11]+Mes1[12]+Mes1[13]+Mes1[14] +Mes1[15]+Mes1[16]); Mn1 := submatrix(Mtt1, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); Mn1_1 := inverse(Mn1); Tai_thoi_diem_dau; q1[0] := matrix(127, 1, 0); dq1[0] := matrix(127, 1, 0); Mn1_1 := inverse(Mn1); d2q1[0] := multiply(Mn1_1, Pt(0)); A11 := evalm(Mn1+(1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn1); A21 := evalm(Delta*Kn1+Bn); A31 := evalm((1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn1); A11_1 := inverse(A11); Vong_lap_tinh_toan_dao_dong; 39 for n from to nn A51 := multiply(Kn1, q1[n]); A61:=multiply(A21,dq1[n]); A71:=multiply(A31,d2q1[n]); A41 := evalm(Pt((n+1)*Delta)-A51-A61-A71); d2q1[n+1]:=multiply(A11_1,A41); dq1[n+1]:=evalm(dq1[n]+(1/2)*Delta*(d2q1[n]+d2q1[n+1])); q1[n+1]:=evalm(q1[n]+Delta*dq1[n]+(1/4)*Delta^2*(d2q1[n]+d2q1[n+1])): od: with(plots); line2 := [seq([i*Delta/T, -q1[i][63, 1]], i = nn)]; plot(line2); h2 := 4/30; Ez2 := Em+(Ec-Em)*((2*z+h2)/(2*h2))^k; De2 := int(Ez2/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h2 (1/2)*h2); Dee2 := int(Ez2*z^2/(-nu^2+1), z = -(1/2)*h2 (1/2)*h2); Ke12 := evalm(Dee2*Kexy3); Ke22 := evalm(kappa*De2*Kexy6); Ket2 := evalm(Ke12+Ke22); Keee := evalm(Ket2+Ken); for i from to 16 Kes2[i] := multiply(Lt[i], Keee, L[i]): od: Ktt2 := matrix(195, 195, 0); Ktt2:=evalm(Kes2[1]+Kes2[2]+Kes2[3]+Kes2[4]+Kes2[5]+Kes2[6]+Kes2[7]+K es2[8]+Kes2[9]+Kes2[10]+Kes2[11]+Kes2[12]+Kes2[13]+Kes2[14]+Kes2 [15]+Kes2[16]); 40 Kn2 := submatrix(Ktt2, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); Kn2_1 := inverse(Kn2); Qn2 := multiply(Kn2_1, Pn); w2_max := Qn2[63, 1]; rho00 := 2702+(3800-2702)*((2*z+h2)/(2*h2))^k; rho12 := int(rho00, z = -(1/2)*h2 (1/2)*h2); rho22 := int(z^2*rho00, z = -(1/2)*h2 (1/2)*h2); Me12 := evalm(rho12*M3); Me22 := evalm(rho22*M6); Me32 := evalm(rho22*M9); Meee := evalm(Me12+Me22+Me32); for i from to 16 Mes2[i] := multiply(Lt[i], Meee, L[i]): od: Mtt2 := matrix(195, 195, 0); 41 Mtt2:=evalm(Mes2[1]+Mes2[2]+Mes2[3]+Mes2[4]+Mes2[5]+Mes2[6]+Mes2[7] +Mes2[8]+Mes2[9]+Mes2[10]+Mes2[11]+Mes2[12]+Mes2[13]+Mes2[14] +Mes2[15]+Mes2[16]); Mn2 := submatrix(Mtt2, [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192], [6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 83, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 110, 113, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 125, 128, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 152, 155, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 167, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192]); Tai_thoi_diem_dau; q2[0] := matrix(127, 1, 0); dq2[0] := matrix(127, 1, 0); Mn2_1 := inverse(Mn2); d2q2[0] := multiply(Mn2_1, Pt(0)); A12 := evalm(Mn2+(1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn2); A22 := evalm(Delta*Kn2+Bn); A32 := evalm((1/2)*Delta*Bn+(1/4)*Delta^2*Kn2); A12_1 := inverse(A12); Vong_lap_tinh_toan_dao_dong; for n from to nn 42 A52 := multiply(Kn2, q2[n]); A62:=multiply(A22,dq2[n]); A72:=multiply(A32,d2q2[n]); A42 := evalm(Pt((n+1)*Delta)-A52-A62-A72); d2q2[n+1]:=multiply(A12_1,A42); dq2[n+1]:=evalm(dq2[n]+(1/2)*Delta*(d2q2[n]+d2q2[n+1])); q2[n+1] := evalm(q2[n]+Delta*dq2[n]+(1/4)*Delta^2*(d2q2[n]+d2q2[n+1])); od: with(plots); line3 := [seq([i*Delta/T, -q2[i][63, 1]], i = nn)]; plot(line3); plot([line1, line2, line3], color = [green, blue, red], linestyle = [solid, dash, dashdot]); 43 ... theo thời gian tâm chữ nhật FGM Nội dung cụ thể chương trình bày đây: Chương MƠ HÌNH TỐN HỌC 1.1 Tấm vật liệu tính biến thiên Xét chữ nhật làm từ vật liệu tính biến thiên FGM Cơ tính vật liệu biến... võng tốt hơn, chẳng hạn chữ nhật có gân vng góc cho độ võng nhỏ chữ nhật có gân ngang 25 KẾT LUẬN Luận văn sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải toán dao động chữ nhật FGM có gân gia cường... 12.4609 6.6735 2.9155 9.9749 3.0766 0.9007 3.2 Bài toán dao động Sử dụng thuật toán Newmark để giải hệ phương trình dao động cưỡng (khơng cản) chữ nhật FGM chịu uốn đàn hồi: M d K d P(t