Phân tích phi tuyến tĩnh và động lực học của tấm chữ nhật FGM trên nền đàn hồi (tt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ PHẠM HỒNG CƠNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN TĨNH VÀ ĐỘNG LỰC HỌC CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI Chuyên ngành: Cơ Kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 2017 Cơng trình đƣợc hồn thành tại: Trƣờng Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Đình Đức Phản biện: Phản biện: Phản biện: Luận án đƣợc bảo vệ trƣớc Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thƣ viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin – Thƣ viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Vật liệu có tính biến đổi hay gọi vật liệu chức (Functionally Graded Material-FGM) có tính chất lý biến đổi trơn liên tục từ mặt đến mặt nên kết cấu FGM tránh tập trung ứng suất bề mặt tiếp xúc lớp, tránh bong tách rạn nứt kết cấu Nhờ tính chất ưu việt so với composite vật liệu truyền thống, kết cấu FGM ứng dụng ngày nhiều công nghiệp hàng khơng vũ trụ, lò phản ứng hạt nhân lĩnh vực làm việc môi trường nhiệt độ cao chịu tải trọng phức tạp Do nghiên cứu ổn định phi tuyến tĩnh động lực học kết cấu FGM có khơng có gân gia cường, FGM áp điện nano FGM thu hút ý cộng đồng nhà khoa học nước Với lý trên, tác giả chọn đề tài luận án “Phân tích phi tuyến tĩnh động lực học chữ nhật FGM đàn hồi” Mục tiêu luận án Mục tiêu luận án phân tích phi tuyến tĩnh động lực học chữ nhật FGM đàn hồi Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu đối tượng chữ nhật mỏng dày có tính biến đổi FGM có khơng có gân gia cường, có gắn lớp áp điện Phạm vi nghiên cứu luận án phân tích phi tuyến tĩnh động lực học làm vật liệu có tính biến đổi FGM đàn hồi Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp luận án phương pháp giải tích Sử dụng lý thuyết cổ điển biến dạng trượt với tính phi tuyến hình học von karman, phương pháp san tác dụng gân Leckhnitsky công thức gân tổng quát để thiết lập phương trình chủ đạo Trong luận án, áp dụng phương pháp Galerkin để giải toán ổn định phi tuyến tĩnh phương pháp Galerkin với phương pháp Runge-Kutta để giải toán động lực học Các kết phân tích so sánh với kết biết nhiều cách tiếp cận tác giả khác để kiểm tra độ xác luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Bài toán phân tích phi tuyến tĩnh động lực học vấn đề quan tâm có ý nghĩa quan trọng, thiết thực lĩnh vực học kết cấu Các kết nhận dạng giải tích nghiên cứu cung cấp sở khoa học cho nhà thiết kế, chế tạo kết cấu FGM Bố cục luận án Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, phần kết luận, danh mục cơng trình nghiên cứu tác giả liên quan đến nội dung luận án, tài liệu tham khảo phụ lục CHƢƠNG TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.1 Vật liệu có tính biến đổi FGM 1.1.1 Khái niệm FGM Vật liệu FGM phát triển đặt tên nhóm nhà khoa học vật liệu Viện Sendai Nhật Bản vào năm 1984 vật liệu tạo thành từ hai loại vật liệu thành phần gốm kim loại Thành phần gốm với mô đun đàn hồi cao hệ số dãn nở nhiệt truyền nhiệt thấp làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao trơ với nhiệt Trong thành phần kim loại làm cho vật liệu chức có tính dẻo dai, khắc phục rạn nứt có xảy tính dòn gốm mơi trường nhiệt độ cao Các tính chất hiệu dụng vật liệu FGM biến đổi qua chiều dày thành kết cấu từ mặt giàu gốm đến mặt giàu kim loại để phù hợp với chức thành phần vật liệu 1.1.2 Phân loại FGM Phụ thuộc vào thay đổi liên tục tỉ lệ thể tích ceramic kim loại theo bề dày thành kết cấu h theo hàm lũy thừa biến theo chiều dày z , chia vật liệu composite FGM thành loại: vật liệu P-FGM, S-FGM E-FGM 1.1.3 Chế tạo FGM Để chế tạo vật liệu FGM có nhiều phương pháp khác nhau: Phun phủ nhiệt, luyện kim bột - biến dạng tạo hình, lắng đọng hố học, lắng đọng vật lý, tổng hợp nhiệt độ cao, công nghệ ly tâm Trong nội dung luận án không sâu vào vấn đề 1.1.4 Ứng dụng FGM Do tính chất kháng nhiệt ưu việt, vật liệu FGM lựa chọn lý tưởng kết cấu làm việc môi trường nhiệt độ cao chịu truyền nhiệt lớn phần tử kết cấu máy bay, tàu vũ trụ, tên lửa, lò phản ứng hạt nhân, thiết bị thí nghiệm, luyện kim, 1.2 Phân loại tiêu chuẩn ổn định tĩnh Xuất phát từ hai quan niệm khác trạng thái tới hạn Euler Poincarre, chia thành hai loại ổn định ổn định theo kiểu rẽ nhánh ổn định theo kiểu cực trị, luận án xét đến ổn định theo kiểu rẽ nhánh 1.3 Tình hình nghiên cứu đƣợc công bố vỏ FGM 1.3.1 Phân tích phi tuyến vỏ FGM khơng có gân gia cường Trong năm gần có nhiều nhóm tác giả giới nước nghiên cứu ổn định phi tuyến tĩnh phân tích động lực học vỏ FGM khơng có gân gia cường Đầu tiên kể đến nhóm tác giả Hui Shen Shen cộng Tác giả Shen cộng nghiên cứu ứng xử tấm, vỏ trụ tròn panel trụ FGM giai đoạn sau tới hạn [102-110, 113 – 116, 154, 155] Trong nghiên cứu tác giả sử dụng phương pháp khai triển tiệm cận theo tham số bé kết hợp với phương pháp lặp để xác định tải tới hạn đường cong liên hệ độ võng - tải trọng phi tuyến tải vượt giá trị tới hạn Các tác giả Javaheri Eslami [80-82] Shariat Eslami [93] nghiên cứu ổn định chữ nhật FGM chịu tải tải nhiệt dựa lý thuyết cổ điển [80, 82] lý thuyết biến dạng trượt bậc cao [67, 81] Họ sử dụng phương pháp hàm lượng tìm lời giải giải tích tải tới hạn Tác giả Samsam Eslami [94, 95] nghiên cứu trạng thái tới hạn FGM chịu tải nén tải nhiệt, nghiên cứu có xét đến tính khơng hồn hảo hình dáng tấm, sử dụng lý thuyết cổ điển kết so sánh trường hợp phẳng không phẳng Tác giả Alijani Amabili [12] phân tích ổn định tham số phi tuyến FGM môi trường nhiệt cách tiếp cận hàm lượng đa bậc tự sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao phi tuyến Tác giả Amabili cộng [13, 15] nghiên cứu dao động phi tuyến vỏ thoải hai độ cong FGM lý thuyết biến dạng trượt bậc cao phương pháp hàm lượng Nghiên cứu dao động phi tuyến vỏ trụ Amabili nghiên cứu tài liệu [14] Công bố FGM nước kể đến nghiên cứu tác giả Nguyễn Đình Đức Hoàng Văn Tùng Các tác giả tập trung nghiên cứu trạng thái tới hạn sau tới hạn khơng hồn hảo sử dụng lý thuyết cổ điển [143] lý thuyết biến dạng trượt bậc [144], vỏ trụ, panel trụ [47] vỏ cầu thoải đối xứng [18] Tác giả Đào Huy Bích cộng [22, 23] nghiên cứu dao động, ổn định tĩnh động học phi tuyến vỏ cầu thoải FGM có tính đến ảnh hưởng nhiệt độ Trong sử dụng lý thuyết vỏ Donnell tính phi tuyến hình học von Karman tính khơng hồn hảo kết cấu Nghiên cứu ổn định tĩnh dao động composite áp điện sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu tác giả Trần Ích Thịnh Lê Kim Ngọc [9, 87, 141] 1.3.2 Phân tích phi tuyến vỏ FGM có gân gia cường Năm 2009, tác giả Najafizadeh cộng [85], nghiên cứu trạng thái tới hạn vỏ trụ FGM gia cường gân dọc gân vòng chịu nén dọc trục giả thiết gân vỏ làm vật liệu FGM Năm 2011, tác giả Đào Huy Bích cộng đề xuất phương pháp gân gia cường cho kết cấu FGM Để đảm bảo tính liên tục mặt vật liệu đơn giản công tác chế tạo, gân gia cường đề xuất làm vật liệu đồng nhất, gân gia cường mặt ceramic làm hoàn toàn ceramic, ngược lại gân gia cường mặt kim loại làm hồn hồn kim loại [25] Năm 2013, nhóm tác giả Nguyễn Đình Đức cộng lần nghiên cứu ổn định tĩnh động kết cấu FGM có gân gia cường chịu tải trọng nhiệt Từ đề xuất tác giả Đào Huy Bích năm 2011 cách đặt gân để đảm bảo tính liên tục vật liệu, tác giả Nguyễn Đình Đức cộng đề xuất phương pháp tính ứng suất nhiệt gân công bố tài liệu [39] Nhóm tác giả Đào Văn Dũng cơng sử dụng giả thiết gân làm vật liệu FGM mặt tiếp xúc gân FGM để đảm bảo tính liên tục vật liệu Trong [52-44, 59], tác giả Đào Văn Dũng Lê Khả Hòa có loạt ổn định phi tuyến vỏ trụ tròn FGM có gân gia cường chịu áp lực ngồi [52], tải xoắn [53, 59] hay chịu tải xoắn trường nhiệt độ [54] 1.4 Mục tiêu nghiên cứu luận án Luận án đặt mục tiêu giải toán ổn định tĩnh động lực học, bao gồm xác định giá trị tải tới hạn, đường cong độ võng tải trọng sau tới hạn (bài toán phân tích ổn định tĩnh) xác định tần số dao động tự tuyến tính, quan hệ thời gian – độ võng quan hệ biên độ - tần số FGM CHƢƠNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM MỎNG FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT CỔ ĐIỂN 2.1 Đặt vấn đề Chương luận án sử dụng lý thuyết cổ điển nghiên cứu lời giải giải tích cho tốn: Bài tốn 1: Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM đàn hồi, tính chất vật liệu FGM gân T-D, chịu kiểu đặt tải: tải nén, nhiệt – nhiệt kết hợp Bài toán 2: Phân tích động lực học mỏng S-FGM đàn hồi 2.2 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM đàn hồi 2.2.1 Mơ hình mỏng ES-FGM đàn hồi Xét mỏng chữ nhật làm vật liệu FGM có chiều dài a , chiều rộng b chiều dày h đặt đàn hồi hình 2.2 Tấm đặt hệ tọa độ Đề Các Oxyz có gốc tọa độ góc tấm, mặt phẳng  x, y  trùng với mặt z tọa độ chiều dày  h /  z  h /  Một mặt gia cường hệ thống gân dọc ngang đẳng hướng theo phương x y tương ứng, hình dáng thơng số gân cho hình 2.3 z x h z1 h1 d1 s1 z y h z2 h2 d2 s2 Hình 2.2 Hình dáng tọa độ mỏng Hình 2.3 Hình dáng gân gia cường ES-FGM đàn hồi 2.2.2 Các phương trình Hệ phương trình cân cho mỏng ES-FGM hồn hảo đàn hồi sử dụng lý thuyết cổ điển cho [11, 91] N x N xy   0, x y N xy N y   0, x y  M xy  M y 2M x 2w 2w 2w    N  N  N x xy y x xy 2 y x xy y (2.14) k1w  k2 w  Phương trình tương thích biến dạng FGM hồn hảo viết sau (2.20)  2 y0  2 xy0   w   w  w  y x  x  xy    2  xy  x y 2.2.3 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM đàn hồi 2.2.3.1 Điều kiện biên dạng nghiệm toán Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề tự dịch chuyển (freely movable – FM) mặt phẳng Đây trường hợp cạnh tựa tự điều kiện biên tương ứng w  N xy  M x  , N x  N x x  0, a, (2.25) w  N xy  M y  , N y  N y y  0, b , Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề dịch chuyển (immovable-IM) mặt phẳng Đây trường hợp cạnh tựa cố định điều kiện biên tương ứng w  u  M x  , N x  N x x  0, a, (2.26) w  v  M y  , N y  N y y  0, b , Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề Hai cạnh x  0, a tự dịch chuyển hai cạnh y  0, b dịch chuyển mặt phẳng Trong trường hợp điều kiện biên tương ứng w  N xy  M x  , N x  N x x  0, a, (2.27) w  v  M y  , N y  N y y  0, b, N x0 ,N y0 lực tác dụng cạnh trường hợp cạnh tự dịch chuyển phản lực cạnh trường hợp cạnh dịch chuyển mặt phẳng Để giải phương trình (2.21) (2.24) hàm w f , xem xét điều kiện biên (2.25)–(2.27), giả sử nghiệm xấp xỉ chọn sau [26, 84]  w, w*   W ,  h  sin m x sin  n y, (2.28) 1 f  A1 cos 2m x  A2 cos 2 n y  A3 sin m x sin  n y  N x y  N y x , 2 Áp dụng phương pháp Bubnov – Galerkin ta nhận phương trình dùng để nghiên cứu ổn định tĩnh phi tuyến ES-FGM khơng hồn hảo đàn hồi 2.2.3.2 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM chịu tải nén Phương trình thể mối quan hệ tải trọng biên độ độ võng ES-FGM đàn hồi chịu tải nén W W  2 W (2.32) Fx  b11 W  b12  b13  b14 W W  2 , W W 2.2.3.3 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM chịu tải nhiệt Phương trình thể mối quan hệ tải trọng biên độ độ võng ES-FGM đàn hồi chịu tải nhiệt  W W  2  W T  b2 W  b2  b2  b2 W W  2  (2.38) H  W+ W           2.2.3.4 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM chịu tải -nhiệt kết hợp Phương trình thể mối quan hệ tải trọng biên độ độ võng ES-FGM đàn hồi chịu tải – nhiệt kết hợp Fx  b31W  b32 W W    ( A11  A12 ) Ln T  A11 m B  A12 n / A11   2 a A12 / A111x n h m Ba2  A12 n / A11  b33       b W W  2    W    W W  2  1 y n h m B  A12 n / A11 2 a  (2.40) 2.2.4 Kết giải số thảo luận 2.2.4.1 Kết so sánh Trong trường hợp v=const, luận án so sánh với kết với nghiên cứu [61] cho trường hợp FGM có gân gia cường chịu tải nén hình 2.6 Các tham số gân gia cường z1  z2  0.019(m), s1  0.15(m), s2  0.15(m) , h1  0.03(m), h2  0.03(m), d1  0.003(m), d2  0.003(m) Hình 2.6 So sánh đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn FGM có gân gia cường chịu tải nén với nghiên cứu [61] 2.2.4.2 Phân tích phi tuyến tĩnh mỏng ES-FGM Hình 2.7 so sánh đáp ứng sau tới hạn phi tuyến (đường cong độ võng – tải trọng) mỏng ES-FGM FGM khơng có gân gia cường tác dụng tải nén Từ hình vẽ ta nhận thấy gân gia cường làm tăng đáng kể khả mang tải mỏng FGM chịu tải nén +uQK6RViQKÿѭ ӡQJFRQJÿ ӝvõng ±tҧ i Hình 2.8 ҦQKKѭ ӣng cӫa hӋsӕ trӑ ng sau tӟi hҥ n cӫ a tҩ m mӓ ng ES-FGM 3RLVVRQOrQÿѭ ӡQJFRQJÿ ӝvõng ±tҧ i tҩ P)*0NK{QJFyJkQJLDFѭ ӡQJGѭ ӟi tác trӑ ng sau tӟi hҥ n cӫ a tҩ m mӓng ESdө ng cӫ a tҧ LFѫ7 ҩ m ES-FGM; 3, 4: Tҩ m FGM NK{QJFyJkQJLDFѭ ӡng) 3KkQWtFKÿӝQJOӵFKӑFFӫDWҩPPӓQ -)*0WUrQQӅQÿjQKӗL 0{KuQKW̭PP͗QJ6 -)*0WUrQQ͉QÿjQK͛L Mơ hình phân bӕvұ t liӋ u I: BӅmһ t cӫa tҩ m giàu ceramic mһ t giӳa kim loҥ i thuҫ QW~\QKѭKuQK Mơ hình phân bӕvұt liӋ u II: BӅmһ t cӫ a tҩ m giàu kim loҥ i mһ t giӳa ceramic thuҫ QW~\QKѭKuQK Hình 2.17 Tҩ m S-FGM nӅ n Hình 2.18 Tҩ m S-FGM ÿj n hӗi (Mơ hình I) nӅ QÿjQK ӗ i (Mơ hình II) &iFSK˱˯QJWUuQKF˯E̫Q HӋSKѭѫQJWUuQKFKX\ Ӈ Qÿ ӝng cho tҩ m FGM sӱdө ng lý thuyӃ t tҩ m cәÿL Ӈ Qÿѭ ӧc cho bӣi [64]: N x N xy  2u 3w   J  J1 , x y t xt N xy N y  2v 3w   J  J1 , x y t yt  M xy  M y 2M x 2w 2w 2w    N  N  N  k1w x xy y x xy y x xy y  k2 w  q0  J   3u  4w 2w  3v  4w  ,  J1     J2  2  t yt  y 2t   xt  x t (2.48) 2.3.3 Phân tích động lực học mỏng S-FGM đàn hồi W(t )  m1W(t )  m2 W3 (t )  m3w  m4q0 t  , (2.58) Tần số dao động tự tuyến tính mỏng S-FGM rút từ phương trình (2.58), nhận   m1 , (2.59) Phương trình (2.58) phương trình chủ đạo phân tích động lực học S-FGM với điều kiện đầu Việc giải số phương trình tiến hành theo phương pháp số Runge-Kutta bậc 2.3.4 Kết giải số thảo luận Xét mỏng S-FGM không hồn hảo có thơng số hình học: a  b  1m , h  0.02m Vật liệu thành phần bao gồm aluminum ( Em  70 10 N / m , m  2702kg / m ) alumina ( Ec  380 109 N / m2 , c  3800 kg / m ) Hệ số  chọn 0.3 Chịu tác dụng lực cưỡng q0 (t )  p sin t 2.3.4.1 So sánh đáp ứng động lực học mơ hình phân bố vật liệu x 10 -4 Mơ hình I Mơ hình II w(m) -1 -2 -3 -4 -5 a/b=1,a/h=50,N=1,K1=K2=0,q0(t)=1600sin(700t) 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t(s) Hình 2.19 So sánh đường cong thời gian - độ võng mỏng S-FGM hai trường hợp: Mơ hình I mơ hình II Hình 2.19 thể ảnh hưởng phân bố thành phần ceramic kim loại tới đường cong thời gian – độ võng mỏng S-FGM Như quan sát hình, FGM theo mơ hình I (ceramic – kim loại – ceramic) có biên độ đường cong thời gian – độ võng nhỏ so với mơ hình II (kim loại – ceramic – kim loại), cho thấy khả chịu tải trọng động mỏng S-FGM theo mơ hình I tốt đáng kể so với mơ hình II 2.3.4.2 Phân tích động lực học S-FGM (sử dụng mơ hình I) Hình 2.20 thể đường cong thời gian – độ võng S-FGM tần số lực cưỡng tiến sát tới tần số dao động tự tuyến tính (bảng 2.3) Như quan sát được, tượng phách điều hòa xuất hiện, biên độ phách chiều dài phách tăng nhanh tần số lực cưỡng tiến sát tần số dao động tự tuyến tính Hình 3.5 Ảnh hưởng phụ thuộc nhiệt độ tính chất hiệu dụng lên đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn dày ES-FGM Hình 3.5 ảnh hưởng phụ thuộc nhiệt độ tính chất lên đường cong độ võng – tải trọng dày ES-FGM chịu tải nhiệt Các đường cong độ võng – nhiệt độ hồn hảo khơng hồn hảo với tính chất T-D so sánh với đường cong tính chất T-ID Rõ ràng, tính chất vật liệu T-D làm cho dày ES-FGM yếu cách đáng kể tác dụng tải nhiệt Có thể hiểu rằng, ảnh hưởng nhiệt độ cách tiêu cực lên tính chất vật liệu làm giảm mô đun đàn hồi E tăng hệ số dãn nở nhiệt  Bởi vậy, để kết tính tốn xác, toán ổn định kết cấu FGM trường nhiệt độ cần xem xét đến tính chất T-D vật liệu Hình 3.8 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi Hình 3.9 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên đường cong độ võng – tải trọng sau tới lên đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn dày ES-FGM chịu tải nén hạn dày ES-FGM chịu tải nhiệt 3.3 Phân tích động lực học ES-FGM áp điện đàn hồi 3.3.1 Tấm ES-FGM áp điện đàn hồi Xét chữ nhật ES-FGM áp điện với chiều dài a , chiều rộng b , chiều dày h đàn hồi Một mặt gia cường hệ thống gân dọc ngang tương ứng theo phương x y mặt gắn lớp áp điện có chiều dày Mơ hình ES-FGM áp điện hình 3.16 z x z1 h h1 d1 s1 y z2 h h2 d2 s2 Hình 3.16 Mơ hình ES-FGM áp điện đàn hồi 3.3.2 Các phương trình Định luật Hooke cho FGM áp điện tác dụng nhiệt độ định nghĩa sau 0     x       0 e31    x   Q11 Q12           Q Q 0 y 12 22       y   a    0 e32   Ex  Q44 0    yz        e24   E y  ,  yz      (3.27)      0 Q55    zx      e15 0   Ez  zx           0 Q66   xy      xy      0  E vE E , Q  , Q  Q  Q  12 44 55 66  v2  v2 1  v  Độ cứng lớp áp điện e31 , e32 , e15 , e24 biểu diễn theo số điện môi d31 , d32 , d15 , d24 Q11  Q22  Độ cứng đàn hồi Qija  ij  11, 22,12, 44,55,66  lớp áp điện e31  d31Q11a  d32Q12a , e32  d31Q12a  d32Q22a , e24  d24Q44a , e15  d15Q55a (3.28) (chú ý lớp áp điện có Qija  Qij ) Chỉ có thành phần điện trường chiếm ưu vỏ vật liệu áp điện Nếu điện áp Va tác dụng lên lớp áp điện theo hướng chiều dày [110]  Ex        Ey     ,  E  V / h   z  a a (3.29) Va điện áp đặt vào lớp áp điện 3.3.3 Phân tích động lực học ES-FGM áp điện Xét hai trường hợp điều kiện biên (3.13) (3.14) Dạng nghiệm chọn để giải phương trình (3.36) (3.37) thỏa mãn điều kiên (3.13) (3.14) cho sau w  x, y, t   W  t  sin  x sin  y, w*  x, y, t    h sin  x sin  y, (3.38) x  x, y, t    x  t  cos  x sin  y,  y  x, y, t    y  t  sin  xcos y, Đặt phương trình (3.38) vào phương trình tương thích biến dạng (3.37), thu dạng nghiệm hàm ứng suất f : 1 f  x, y, t   A1  t  cos 2 x  A2  t  cos 2 y  A3  t  sin  x sin  y  N x y  N y x , 2 (3.39) 2     A1  W W  2 h  , A  W W  2 h  , A  D1 x  D2 y ,  32 A11  32 A22 3.3.3.1 Phân tích động lực học ES-FGM áp điện chịu tải nén l11W+l12 x  l13 y  l14  W+ h   x  l15  W+ h   y  l16  W+ h  l17W  W+ h W  2 h    Px  Py   h  W+ h   l18q0  t   I  I12   2 x l21 x  l22 y  l23  W+ h   l24W W  2 h    I   , I  t   I12    y l31 x  l32 y  l33  W+ h   l34W W  2 h    I   I  t   2W , t (3.41) Xét phần tuyến tính phương trình (3.41) đặt q0  t   , tần số dao động tự tuyến tính xác định trực tiếp cách giải định thức sau l11  l16   Px  Py   h  I 0 l12 l13 l23 l33 l21  1 l31 l22  l32  1 (3.42) 3.3.3.2 Phân tích động lực học ES-FGM áp điện chịu tải nhiệt 3.3.3.3 Quan hệ tần số - biên độ Từ phương trình (3.48), tần số dao động tự tuyến tính ES-FGM áp điện xác định sau mn    a1  a2  I0 (3.49) Xác định quan hệ tần số - biên độ dựa phương pháp cân điều hòa, chọn W  t   A sin t , sau thay vào phương trình (3.50) áp dụng phương pháp   / 2  cân điều hòa   X sintdt   , mối quan hệ tần số - biên độ xác định   sau R   MA  NA2    0,  (3.51) 3 mn  Amn Trường hợp R  , tức khơng có ngoại lực tác động lên tấm, ta thu mối     1  quan hệ biên độ - tần số trường hợp dao động tự   2 NL  mn 1   MA  NA2  3  (3.52) 3.3.4 Các kết số thảo luận Bảng 3.5 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên tần số dao động tự tuyến tính   rad / s  dày ES-FGM với a / b  1, a / h  20, N  , Px  0, Py  0, T  k1  GPa / m  , k2  GPa.m   m, n  0; 0.3; 0.3; 0.02 0.0001; 0.04 1,1 2885 3076 3310 3363 1,3 14075 14116 14375 14591 1,5 31575 33545 33828 34091  3,5 41101 41115 41414 41699  5,5 55925 55935 56257 56569 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi đến tần số dao động tự tuyến tính dày ES-FGM bảng 3.5 Giá trị tần số dao động tự tuyến tính tăng tăng giá trị hệ số đàn hồi  k1 , k2  Hơn nữa, ảnh hưởng hệ số Pasternak đến tần số dao động tự tuyến tính lớn hệ số Winkler Bảng 3.5 cho thấy giá trị tần số dao động tự tuyến tính nhỏ trường hợp cặp giá trị mode  m, n   1,1 Hình 3.25 cho thấy ảnh hưởng tải trọng điều hòa đến quan hệ biên độ-tần số trường hợp tải trọng động Ta xét trường hợp Q  (dao động tự do), Q  2000 Q  4000 Có thể thấy đường cong tần số biên độ trường hợp có biên độ lực cưỡng phía ngồi đường dao động tự đường cong biên độ tần số có biên độ lực lớn có xu hướng tiến dần phía đường cong dao động tự  Q   Hình 3.26 cho thấy ảnh hưởng đàn hồi đến quan hệ tần số - biên độ ES-FGM áp điện dao động tự Hình 3.26 cho thấy tần số dao động ES-FGM áp điện đàn hồi có biên độ đường cong thời gian – độ võng nhỏ so với không đặt đàn hồi 0.04 0.04 Q=0 Q=2000 Q=4000 0.035 0.03 0.025 Bien A Bien A 0.03 0.035 0.02 0.015 0.4 k1=0, k2=0 k1=0.3 GPa/m, 2=0 k1=0.3 GPa/m, k2=0.01 GPa.m V, k1=0, k2=0 0.005 0.02 0.015 a/b=1, b/h=20, N=1, Va=200 0.01 0.025 0.01 k1=0.1 GPa/m, k2=0.05 GPa.m 0.005 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 a/b=1, b/h=20, Va=200V, N=1, Q=0 Ty le tan so 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Ty le tan so Hình 3.25 Ảnh hưởng tải trọng bên đến quan hệ biên độ-tần số trường hợp chịu tải trọng động Hình 3.26 Ảnh hưởng đàn hồi tới quan hệ tần số - biên độ ESFGM áp điện dao động tự 3.5 Kết luận chƣơng Trong chƣơng 3, luận án giải số vấn đề sau Thiết lập phương trình chủ đạo cho tốn phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM, xét loại tải trọng: cơ, nhiệt – nhiệt kết hợp đàn hồi Thiết lập phương trình chủ đạo xác định đường cong thời gian – độ võng, tần số dao động tự tuyến tính đường cong quan hệ tần số - biên độ dày ES-FGM áp điện trường nhiệt độ đàn hồi Lập trình khảo sát ảnh hưởng tham số đến đáp ứng phi tuyến tĩnh dày ES-FGM; đến đường cong thời gian – độ võng, tần số dao động tự tuyến tính đường cong quan hệ tần số - biên độ dày ES-FGM áp điện Một số kết luận đáng ý đƣợc rút từ kết khảo sát nhƣ Gân gia cường có ảnh hưởng tích cực tốn phân tích động lực học, gân gia cường làm tăng tần số dao động tự tuyến tính làm giảm biên độ đường cong thời gian – độ võng dao động cưỡng phi tuyến cách rõ rệt Nhiệt độ có ảnh hưởng tiêu cực đến khả mang tải động ES-FGM áp điện, cụ thể làm tăng biên độ đường cong thời gian – độ võng Trong trường hợp ES-FGM áp điện chịu tải trọng động, tăng điện áp đặt vào làm cho biên độ đường cong thời gian – độ võng giảm, ảnh hưởng điện áp tới đáp đường cong thời gian – độ võng nhỏ Kết so sánh toán động lực học trường hợp sử dụng quán tính góc xoay  x ,  y bỏ qua thảo luận chi tiết, từ rút kết bỏ qua qn tính góc  x ,  y Trong trường hợp bỏ qua qn tính góc xoay  x ,  y ta xác định biểu thức hiển quan hệ tần số - biên độ Đường cong tần số biên độ trường hợp có biên độ lực cưỡng phía ngồi đường dao động tự đường cong tần số - biên độ có biên độ lực lớn có xu hướng tiến dần phía đường cong dao động tự Các kết định tính nhận khảo sát ảnh hưởng tham số đầu vào khác đến đường thời gian – độ võng, tần số dao động tự tuyến tính, quan hệ tần số biên độ (phân tích động lực học) tải tới hạn, đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn (phân tích phi tuyến tĩnh) nhận kết tương tự phân tích mỏng CHƢƠNG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN CỦA TẤM DÀY ES-FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG TRƢỢT BẬC BA 4.1 Đặt vấn đề Trong mục luận án sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc để nghiên cứu lời giải giải tích cho tốn Bài tốn 1: Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM khơng hồn hảo đàn hồi, chịu loại tải trọng: tải cơ, tải nhiệt – nhiệt kết hợp Bài toán 2: Phân tích động lực học dày ES-FGM khơng hoàn hảo đàn hồi chịu tải nhiệt 4.2 Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM đàn hồi 4.2.1 Tấm dày ES-FGM đàn hồi phương trình Các thành phần nội lực mơ men tính qua thành phần ứng suất gân viết dạng sau  d1  h /2 s   s   x dz    h /2h   d  h /2 s     y dz   Nx   x   s2  h /2 h  N        y  y     N xy    xy   d1  h /2 s   x zdz         M x  h /2  z x   s1  h /2h   M y    z y dz   d  h /2 , s     h /2      y zdz   M xy   z xy   s2  h /2 h  P   z 3    x    x    Py  z y   d1  h /2 s  P   z 3   h  x z dz  s  xy   xy   h /2    d  h /2     ys z 3dz   s2  h /2 h      h /2 h /2 d  Qx , Rx     j 1, z  dz    j 1, z  dz, j  xz, yz s1  h /2h  h /2 2 (4.4) h /2 h /2 Q , R     1, z  dz  ds  y y j  h /2  h /2  h2  j 1, z  dz, j  xz , yz 4.2.2 Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM đàn hồi Xét chữ nhật ES-FGM khơng hồn hảo chịu tác dụng tải: nén, nhiệt nhiệt đồng thời với ba loại điều kiện biên sau Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề tự dịch chuyển (freely movable, FM) mặt phẳng Đây trường hợp cạnh tựa tự điều kiện biên tương ứng w  N xy  y  M x  Px  0, N x  N x x  x  a, (4.12) w  N xy  x  M y  Py  0, N y  N y y  y  b Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề dịch chuyển (immovable, IM) mặt phẳng Đây trường hợp cạnh tựa cố định điều kiện biên tương ứng w  u  y  M x  Px  0, N x  N x x  x  a, (4.13) w  v  x  M y  Py  0, N y  N y y  y  b Trƣờng hợp Tất bốn cạnh tựa lề Hai cạnh x  0, a tự dịch chuyển hai cạnh x  0, b dịch chuyển mặt phẳng Trong trường hợp điều kiện biên tương ứng w  N xy  y  M x  Px  0, N x  N x x  x  a, (4.14) w  v  x  M y  Py  0, N y  N y y  y  b, N x , N y lực tác dụng cạnh trường hợp cạnh dịch chuyển phản lực cạnh trường hợp cạnh khơng thể dịch chuyển mặt phẳng 4.2.2.1 Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM chịu nén cạnh Xét chữ nhật ES-FGM tựa tự bốn cạnh (điều kiện biên (4.12)) chịu tải nén Fx and Fy (Pascal), cạnh x  0, a y  0, b Trong trường hợp lực nén xác định (2.31) Đặt (2.31) vào (4.16), nhận W  W  2  W Fx  g1  g W  g3  g W  W  2  , (4.17) W   W       4.2.2.2 Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM chịu tải nhiệt Đặt phương trình (4.19) vào phương trình (4.16), nhận W  W  2  W T  e1  e2 W  e3  e4 W  W  2   e5 W W    W    (4.21) e6 W , hệ số ei  i    xác định phụ lục E Khi   , phương trình (4.21) dẫn phương trình mà nhiệt độ điểm rẽ nhánh Tb làm tới hạn lên thu cách lấy giới hạn đạo hàm   T W W  , nhận Tb  e1 4.2.2.3 Phân tích phi tuyến tĩnh dày ES-FGM chịu tải – nhiệt kết hợp Thực số phép biến đổi phương trình thứ hai (4.18) để thu biểu thức xác định N y Sau thay biểu thức N y vừa tìm N x   Fx h vào phương trình (4.16), nhận Fx  j1 W W    j2 W  j3    j W W  2   W   W W  2 (4.22) + j5 W  j6 W  j7 T , 4.2.3 Kết giải số thảo luận 12 T(K) Fx(GPa) 1200 =0 =0.1 10 1000 (4) (3) (4) (3) 800 (2) (1) =0 =0.1 (2) 600 (1) (1): k1=0 GPa/m, k2=0 GPa.m (2): k1=0.3 GPa/m, k2=0 GPa.m (3): k1=0.3 GPa/m, k2=0.03 GPa.m (4): k1=0.15 GPa/m, k2=0.06 GPa.m 400 (1): k1=0 GPa/m, k2=0 GPa.m (2): k1=0.3 GPa/m, k2=0 GPa.m (3): k1=0.3 GPa/m, k2=0.03 GPa.m (4): k1=0.15 GPa/m, k2=0.06 GPa.m 200 b/a=1, b/h=20, (m,n)=(1,1), N=1 0.5 W/h 1.5 Hình 4.6 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn dày ES-FGM chịu tải trọng nén a/b=1, b/h=20, (m,n)=(1,1), N=1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 W/h Hình 4.7 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi lên đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn dày ES-FGM chịu tải nhiệt Hình 4.6 4.7 ảnh hưởng hệ số mơ hình đàn hồi lên đáp ứng phi tuyến dày ES-FGM trường hợp tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ Nền đàn hồi có ảnh hưởng tích cực lên ổn định tĩnh hai trường hợp chịu tải nén tải nhiệt độ Hơn nữa, hệ số theo mơ hình Pasternak có ảnh hưởng mạnh so với hệ số theo mơ hình Winkler Hình 4.12 đánh giá ảnh hưởng tỷ số cạnh a / b lên ứng xử ổn định phi tuyến FGM có gân gia cường tựa cố định bốn cạnh chịu tải nhiệt Trong hình hai giá trị tỷ số cạnh a / b  1,  xét kết so sánh phẳng, khơng hồn hảo kể đến không kể đến ảnh hưởng nhiệt độ lên tính chất vật liệu hiệu dụng Kết hình cho thấy tính chất vật liệu T-D tăng tỷ lệ cạnh a / b làm giảm khả mang tải nhiệt FGM đường cong độ võng – nhiệt độ trở nên thấp 1200 T(K) =0 =0.1 1000 (1): a/b=1, T-ID (2): a/b=1, T-D (3): a/b=2, T-ID (4): a/b=2, T-D 800 600 (1) (2) 400 (3) (4) 200 b/h=20, (m,n)=(1,1), N=4, k1=0, k2=0 0 0.2 0.4 0.6 W/h 0.8 1.2 Hình 4.12 Ảnh hưởng tỷ lệ a / b lên ổn định dày ES-FGM 4.3 Phân tích động lực học dày ES-FGM đàn hồi 4.3.1 Các phương trình Hệ phương trình chuyển động dày ES-FGM đàn hồi xác định sau [91] N x N xy  2x  2u 3w x  y  I0 t  J1 t  c1I xt ,  y  2v 3w   I  J1  c1I , x y t t yt  Rx Ry  Qx Qy 2w 2w 2w   c2    Ny   N x  N xy x y y  x xy y  x   Px  Pxy  Py  c1      x  x  y y    2w 2w  2w w k1w  k2     q0  t   I  2 I  y  t t  x N xy N y    3u   3x  3 y    4w 4w   3v  c I  2  2   c1  I     ,   J4  2 y t  yt  yt    x t   xt  xt (4.22)  Px Pxy  M x M xy  2x  2u 3w   c1   ,   Qx  c2 Rx  J1  K 2  c1 J x y y  t t xt  x M xy M y  2 y  Pxy Py   2v 3w   c1   ,   Qy  c2 Ry  J1  K 2  c1 J x y y  t t yt  x 4.3.2 Phân tích động lực học dày ES-FGM đàn hồi Thay phương trình (4.28) vào phương trình chuyển động (4.26), có l11  e15 21  e25  21  e16 21x  e26  21 y  W l12 x  l13 y  l14 x W  l15 y W +l16W  l17W  16 q0  t  mn 2 2W W m  2x n   y   I     , 2 t t a t b t 2 x m  W l21W  l22  x  l23  y  1  2 , t a t 2 y n  W l31 W  l32  x  l33  y  1   , t b t hệ số l1i  i    xác định phụ lục F  n2 (4.29) Giữ lại số hạng tuyến tính phương trình (4.29) đặt q0  t   , tần số dao động tự tuyến tính xác định giải định thức sau l11  e15 1  e25  1 m n l12    l13    2 a b e16 1x  e26  1 y  n2 l21   2 l31    l22  1 l32 l23 l33  1  (4.30) Tấm đặt môi trường có nhiệt tăng từ giá trị Ti đến giá trị T f , chênh lệch nhiệt độ T  Tf  Ti số 4.3.3 Kết giải số thảo luận 4.3.3.1 Kết so sánh Trong trường hợp FGM khơng có gân gia cường tương ứng với điều kiện: A1 = A2  I1 = I2 = , luận án so sánh kết giải số với trường hợp không gân với nghiên cứu Ungbhakorn Wattanasakulpong [147] Trong [147] tác giả sử dụng hàm lượng sử dụng phương pháp hàm chuyển vị Từ bảng 4.3, thấy kết luận án khơng có khác nhiều so với kết nghiên cứu [108] Bảng 4.3 So sánh tần số dao động tự tuyến tính khơng thứ ngun    h Al / Al2O3 ,  a / b  1,  m, n   (1,1), T   a  10h N  0.5 Tài liệu 0.0490 [147] Luận án 0.05 c Ec cho a  5h N  1.0 N  10.0 N  0.5 N  1.0 N  10.0 0.0442 0.0364 0.1807 0.1631 0.1301 0.0440 0.0369 0.1829 0.1640 0.1300 4.3.3.2 Tần số dao động tự tuyến tính Bảng 4.5 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi, gân gia cường mode tới hạn  m, n  đến tần số tần số dao động tự tuyến tính dày ES-FGM 3 5 1 2 4 k1  GPa / m  (m  1, n  1) (m  1, n  3) Có Khơn Có Khơn Có Khơn Có gân Khơn Có gân Khơn gân g gân gân g gân gân g gân 0.1 (m  5, n  5) g gân g gân 2881 2409 4381 11153 8123 27734 10828 35561 15063 50421 0.3 2 2883 2651 4382 11207 8124 27756 10828 35576 15063 50434 0.35 2883 2708 4383 11220 8124 27761 10828 35580 15063 50436 8 2885 2872 4384 11261 8124 27777 10829 35593 15063 50446 0.7 (m  3, n  5) 2880 2278 4380 11126 8123 27723 10827 35552 15062 50417 0.5 (m  1, n  5) 2887 3079 4385 11316 8125 27798 10829 35611 15064 50457 5 Ảnh hưởng hệ số đàn hồi tới tần số dao động tự tuyến tính dày ES-FGM thể bảng 4.5, tăng k1 làm tăng giá trị tần số dao động tự tuyến tính Bảng 4.5 cho thấy tần số dao động tự tuyến tính nhỏ ứng với cặp mode  m, n   1,1 4.4 Kết luận chƣơng Trong chƣơng 4, luận án giải số vấn đề sau Thiết lập phương trình chủ đạo cho tốn phân tích phi tuyến tĩnh ES-FGM, xét loại tải trọng: cơ, nhiệt – nhiệt kết hợp đàn hồi sử dụng TSDT Thiết lập phương trình chủ đạo cho tốn phân tích động lực học ES-FGM chịu tải nhiệt đàn hồi sử dụng TSDT Lập trình khảo sát ảnh hưởng tham số đầu vào đến đáp ứng phi tuyến tĩnh động lực học dày ES-FGM Một số kết luận đáng ý đƣợc rút từ kết khảo sát Kết so sánh sử dụng FSDT TSDT cho dày cho thấy có khác Tính chất T-ID tăng tỷ lệ cạnh a/b làm giảm khả mang tải nhiệt dày ES-FGM, làm đường cong độ võng – nhiệt độ trở nên thấp Tham số đàn hồi có ảnh hưởng tích cực đến ổn định tĩnh ES-FGM (làm tăng giá trị tải tới hạn làm đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn cao hơn) đến đáp ứng động lực học ES-FGM (làm tăng giá trị tần số dao động tự tuyến tính, làm giảm biên độ đường cong thời gian – độ võng) Khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên ràng buộc dịch chuyển cạnh lên đường cong độ võng – tải trọng cho thấy: Tấm hoàn hảo bị vồng sớm cạnh y  0, b tựa cố định nói chung khả mang tải giai đoạn sau tới hạn hồn hảo khơng hồn hảo tốt cạnh y  0, b bị ngăn dịch chuyển độ võng đủ lớn Các kết định tính nhận khảo sát ảnh hưởng tham số đầu vào đến phân tích phi tuyến tĩnh phân tích động lực học ES-FGM rút tương tự chương KẾT LUẬN Những đóng góp luận án Đã góp phần đề xuất cơng thức tính thay đổi tham số hình học gân gia cường theo biến thiên nhiệt độ môi trường chứa xây dựng công thức tổng quát để tính thành phần lực mơ men kết cấu FGM có gân gia cường Dựa lý thuyết cổ điển, biến dạng trượt bậc bậc ba Reddy với tính phi tuyến hình học Von Karman kết hợp với kỹ thuật san tác dụng gân Lekhnitskii công thức gân tổng quát, luận án thiết lập phương trình tốn phân tích phi tuyến tĩnh động lực học FGM có khơng có gân gia cường tựa đàn hồi có kể đến tính khơng hồn hảo hình dáng ban đầu tấm, tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ xét đến trường hợp hệ số Poisson hàm tọa độ theo hướng chiều dày Bằng cách tiếp cận giải tích, phương pháp hàm ứng suất sử dụng phương pháp Galerkin luận án xây dựng phương trình chủ đạo nghiên cứu ổn định tĩnh động lực học FGM chịu tải cơ, nhiệt – nhiệt kết hợp Cụ thể, xây dựng biểu thức hiển xác định tải tới hạn đường cong độ võng – tải trọng sau tới hạn (phân tích phi tuyến tĩnh) biểu thức xác định tần số dao động tự tuyến tính quan hệ thời gian – độ võng (phân tích động lực học), tốn phân tích động lực học sử dụng thêm phương pháp Runge-Kutta bậc bốn để giải hệ phương trình vi phân Bằng cách tiếp cận giải tích lý thuyết biến dạng trượt bậc Reddy xây dựng phương trình phương trình chủ đạo cho tốn phân tích động lực học FGM khơng hồn hảo, mặt gia cường hệ thống gân tương ứng theo phương x, y mặt gắn lớp áp điện Đã nhận biểu thức hiển tần số dao động tự tuyến tính, liên hệ hiển tần số - biên độ dao động tự dao động cưỡng phi tuyến đường cong quan hệ thời gian – độ võng Sử dụng thuật tốn lặp để phân tích phi tuyến tĩnh ES- FGM chịu tải trọng nhiệt tính chất vật liệu thành phần FGM gân phụ thuộc vào nhiệt độ Khảo sát số cách chi tiết ảnh hưởng tham số đầu vào như: gân gia cường, hệ số tỉ lệ thể tích, độ khơng hồn hảo, hệ số đàn hồi, tính chất vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ điều kiện biên đến đáp ứng động học FGM có khơng có gân gia cường, ES-FGM áp điện Từ rút số kết luận có ý nghĩa khoa học giúp ích cho người thiết kế lựa chọn phù hợp với thực tế Nội dung chủ yếu luận án cơng bố cơng trình (7 cơng trình tạp chí ISI) DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2014) Nonlinear postbuckling of an eccentrically stiffened thin FGM plate resting on elastic foundation in thermal environments J Thin Walled Structures, Vol.75, pp.103-112 (Elsevier, SCIE, IF=2.063) Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2015) Nonlinear dynamic response of imperfect symmetric thin S-FGM plate with metal- ceramic-metal layers on elastic foundation Journal of Vibration and Control, Vol 21(4), pp.637-646 (SAGE, SCIE, IF=1.643) Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong (2015) Nonlinear vibration of thick FGM plates on elastic foundation subjected to thermal and mechanical loads using the first order shear deformation plate theory Cogent Engineering, 2, pp.1-17; http://dx.doi.org/10.1080/23311916.2015.1045222 Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Ngo Duc Tuan, Phuong Tran, Vu Minh Anh, Vu Dinh Quang (2015) Nonlinear vibration and dynamic response of imperfect eccentrically stiffened shear deformable sandwich plate with functionally graded material in thermal environment Journal of Sandwich Structures and Materials, 0(00) 1-29 doi:10.1177/1099636215602142 (SAGE, SCIE, IF=2.852) Pham Hong Cong, Pham Thi Ngoc An, Nguyen Dinh Duc (2015) Nonlinear stability of shear deformable eccentrically stiffened functionally graded plates on elastic foundations with temperature-dependent properties Sci Eng Compos Mater; aop Doi 10.1515/secm-2015-0225 (De Gruyter, SCIE, IF=0.593) Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang (2016) Nonlinear dynamic and vibration analysis of piezoelectric eccentrically stiffened FGM plates in thermal environment International Journal of Mechanical Sciences http://dx.doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2016.07.010, (Elsevier, SCI, IF=2,48) Nguyen Dinh Duc, Pham Hong Cong, Vu Dinh Quang (2016) Thermal stability of eccentrically stiffened FGM plate on elastic foundation based on Reddy’s third-order shear deformation plate theory J Thermal Stresses 39 (7), 772-794 Doi: 10.1080/01495739.2016.1188638, (Taylor & Francis, SCI, IF=1.169) Pham Hong Cong, Nguyen Dinh Duc (2016) Thermal stability analysis of eccentrically stiffened sigmoid-FGM plate with metal-ceramic-metal layers based on FSDT Cogent Engineering, 3: 1182098 http://dx.doi.org/10.1080/23311916.2016.1182098 Pham Hong Cong, Vu Minh Anh, Nguyen Dinh Duc (2016) Nonlinear dynamic response of eccentrically stiffened FGM plate using Reddy’s TSDT in thermal environment J Thermal Stresses, http://dx.doi.org/10.1080/01495739.2016.1261614, (Taylor & Francis, SCI, IF=1.169) ... phi tuyến tĩnh mỏng ES -FGM đàn hồi, tính chất vật liệu FGM gân T-D, chịu kiểu đặt tải: tải nén, nhiệt – nhiệt kết hợp Bài toán 2: Phân tích động lực học mỏng S -FGM đàn hồi 2.2 Phân tích phi tuyến. .. cấu FGM có khơng có gân gia cường, FGM áp điện nano FGM thu hút ý cộng đồng nhà khoa học nước Với lý trên, tác giả chọn đề tài luận án Phân tích phi tuyến tĩnh động lực học chữ nhật FGM đàn hồi ... trọng sau tới hạn dày ES -FGM chịu tải nén hạn dày ES -FGM chịu tải nhiệt 3.3 Phân tích động lực học ES -FGM áp điện đàn hồi 3.3.1 Tấm ES -FGM áp điện đàn hồi Xét chữ nhật ES -FGM áp điện với chiều dài