Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 1

Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 212 CHƯƠNG VI TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI VÔ HẠN ( I I R) 6.1 Mở Đầu Bộ lọc số có độ dài đáp ứng xung vô hạn (IIR = Infinitive Impulse Response) có phương trình sai phân được viết dưới dạng : ∑ = N 0k k a y(n – k) = ∑ = M 0r r b x(n – r) (6.1) Đây là một phương trình đệ quy bởi vì ta có thể rút ra được : y(n) = o a 1       −−− ∑∑ == M 0r N 1k kr )kn(ya)rn(xb Tín hiệu đầu ra không những phụ thuộc các tín hiệu đầu vào x(n) mà còn phụ thuộc các mẫu tín hiệu ra trước đó : y(n – 1), y(n -2). . . Vì vậy lọc IIR còn gọi là lọc đệ quy và lọc FIR còn gọi là lọc không đệ quy. Thực hiện biến đổi Z phương trình (6.1), ta có hàm tryền đạt H(z) : H(z) = )z(X )z(Y = ∑ ∑ = − = − + N 1k k k M 0r r r za1 zb (ta chuẩn hoá a o = 1) Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các phương pháp tổng hợp bộ lọc số, tức là tìm ra các hệ số của bộ lọc số IIR sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc. 6.2 Các Tính Chất Tổng Quát Của Bộ Lọc Để thực hiện được về mặt vật lý, bộ lọc số phải có tính chất ổn đònh và nhân quả, nghóa là ta có điều kiện sau đây : h(n) = 0 với n < 0 và ∑ ∞ =0n )n(h < ∞ Hàm truyền đạt H(z) có dạng tổng quát H(z) = ∑ ∑ = − = − N 0k k k M 0r r r za zb Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 213 Đáp ứng tần số H(e jω ) chính là H(z) khi z = e jω . Nếu a k và b r là các số thực thì ta có thể viết : 2 j )e(H ω = H(e jω ). [ ] * j )e(H ω = H(e jω ).H(e -jω ) mà H(e jω ) = ∑ ∑ = − = − N 0k jk k M 0r jr r ea eb ω ω = ∑ ∑ = − = − N 0k jk k M 0k jk k ea eb ω ω ta thấy ngay : • 2 j )e(H ω =                         ∑∑ ∑∑ == − == − N 0k jk k N 0k jk k M 0k jk k M 0k jk k eaea ebeb ωω ωω = ∑ ∑ = = N 0i i M 0i i icosA icosB ω ω Trong đó các hệ số B i , A i được xác đònh như sau : B 0 = ∑ = M 0k 2 k b ,B i = 2 ∑ − = + iM 0k kik bb (i ≠ 0) A 0 = ∑ = N 0k 2 k a ,A i = 2 ∑ − = + iN 0k kik aa (i ≠ 0) Cần lưu ý là để thỏa mãn điều kiện ổn đònh, các điểm cực của H(z) phải nằm bên trong vòng tròn đơn vò. Đối với bộ lọc IIR cần thiết kế và thực hiện riêng rẽ đặc tuyến biên độ và đặc tuyến pha. • Góc pha của H(e jω ) là ϕ (ω), ta có : H(e jω ) = )e(H j ω )(j e ωϕ H * (e jω ) = H(e -jω ) = )e(H j ω )(j e ωϕ − Suy ra )(2j e ωϕ = )e(H )e(H j j ω ω − 2j ϕ (ω) = ln       − )e(H )e(H j j ω ω ϕ (ω)= j2 1 ln       − )e(H )e(H j j ω ω • Thời gian truyền nhóm T(ω) được đònh nghóa như sau : T(ω) = ω ωϕ d )(d − = - j2 1 ω d d ln       − )e(H )e(H j j ω ω = - j2 1 je jω )e(d d j ω ln       − )e(H )e(H j j ω ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 214 = - 2 1 e jω [ ] [ ]       − − )e(d )e(Hlnd )e(d )e(Hlnd j j j j ω ω ω ω = - 2 1 e jω ()           + − − )e(H )e('H e 1 )e(H )e('H j j 2 j j j ω ω ω ω ω với H’(e jω ) = )e(d )e(dH j j ω ω H’(e -jω ) = )e(d )e(dH j j ω ω − − Vậy T(ω) = – 2 1       + − − − )e(H )e('H ee )e(H )e('H j j jj j j ω ω ωω ω ω = – 2 1                 + * j j j j j j e )e(H )e('H e )e(H )e('H ω ω ω ω ω ω T(ω) = – Re       ω ω ω j j j e )e(H )e('H = - Re [ ] ω j eZ dz )z(Hlnd Z =       Vì đặc tuyến pha của bộ lọc IIR không tuyến tính, nên thời gian truyền nhóm được dùng để đặc trưng cho sự phụ thuộc vào tần số của hàm truyền tốt hơn là dùng pha. 6.3 Thiết Kế Bộ Lọc IIR Bằng Phương Pháp Biến Đổi Từ Bộ Lọc Tương Tự Thiết kế bộ lọc đơn giản nhất là xuất phát từ bộ lọc tương tự rồi từ đó dùng các phép biến đổi xác đònh các hệ số lọc của bộ lọc IIR. Một mạch lọc tương tự có thể biểu diễn bởi hàm truyền đạt : • H a (s) = )s(A )s(B = ∑ ∑ = = N 0k k k M 0k k k s s α β với {α k } và { β k } là các hệ số của mạch lọc. • Hoặc có thể biểu diễn bởi đáp ứng xung được tính từ hàm truyền đạt bằng biến đổi Laplace : H a (s) = ∫ ∞ ∞− )t(h e -st dt (6.2) • Cũng có thể biểu diễn bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng : ∑ = N 0k k α k k dt )t(yd = ∑ = M 0k k β k k dt )t(xd (6.3) Với x(t) là tín hiệu tác động ngõ vào, và y(t) là ngõ ra của mạch lọc. Ba phương trình trên cho ta 3 cách chuyển đổi 1 mạch lọc tương tự thành 1 mạch lọc số. Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 215 • Công cụ toán học dùng để khảo sát tính chất mạch lọc tương tự là phép biến đổi Laplace : h a (t) → H a (s) = ∫ ∞ ∞− )t(h a e -st dt (6.4) với s = σ+ jω a • Công cụ toán học dùng để khảo sát tính chất mạch lọc số là phép biến đổi Z : h(n) → H(z) = ∑ ∞ −∞=n )n(h z -n • Mạch lọc tương tự với hàm truyền đạt H(s) là ổn đònh nếu tất cả các điểm cực của nó nằm bên trái mặt phẳng S. Vì vậy ta cần lưu ý những đặc điểm sau : → Trục jω a trong mặt phẳng S có ánh xạ là vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng Z. Vì vậy có thể thiết lập quan hệ trực tiếp giữa 2 biến tần số trên 2 miền. → Mặt phẳng trái của mặt phẳng S có ánh xạ là miền nằm trong vòng tròn đơn vò trên mặt phẳng Z. Vì vậy mạch lọc tương tự ổn đònh sẽ được chuyển đổi thành mạch lọc số ổn đònh. 6.3.1 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Bất Biến Xung Phương pháp này dựa trên quan hệ của đáp ứng xung h A (t) của lọc tương tự và dãy h(n) rời rạc được xác đònh bởi lấy mẫu h A (t) : h(n) = h A (nT) Có nghóa là dãy đáp ứng xung của bộ lọc rời rạc được nhận từ việc lấy mẫu đáp ứng xung của bộ lọc tương tự, T là chu kỳ lấy mẫu. Theo trên ta có : h(n) = h A (nT) = ∑ ∞ −∞=n h A (t) δ (t – nT) 0 jω a σ σ > 0 σ < 0 Mặt phẳng S trong biến đổi Laplace Hình 6.1 0 1 1 –1 –1 Vòng tròn đơn vò Re(Z) Mặt phẳng Z trong biến đổi Z Hình 6.2 I m (Z) Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 216 Với hàm h A (t) ta có ảnh Laplace là H A (s) , δ (t – nT) là hàm xung Dirac. Với hàm h(n) ta có ảnh Z là H(z) và biến đổi Fourrier là H(e jω ) h(n) = ∑ ∞ −∞=n h A (t) δ (t – nT) = h A (t) ∑ ∞ −∞=n δ (t – nT) Trong miền thời gian liên tục, gọi : – Biến đổi Fourier của h A (t) là H a (ω a ) – Biến đổi Fourier của ∑ ∞ −∞=n δ (t – nT) là T 1 ∑ ∞ −∞=n δ (ω a - T 2n π ) Như vậy gọi biến đổi Fourier của h(n) là H(e jω ), ta có : H(e jω ) = H a (ω a ) *       − ∑ ∞ −∞=n a ) T 2n ( T 1 π ωδ = T 1 ∑ ∞ −∞=n H a (ω a ) * δ (ω a - T 2n π ) Mà H a (ω a ) * δ (ω a - T 2n π ) = T n2 ( π δ −Ω ∫ ∞ ∞− ).H a (ω a - Ω)dΩ = H a (ω a - T 2n π ) Vậy H(e jω ) = T 1 ∑ ∞ −∞= n H a (ω a - T 2n π )(6.5) Về mối quan hệ giữa 2 tần số ω và ω a ta nhận xét : → Đối với tín hiệu số : x(n) = Acosnω thì n được hiểu là số nguyên không đơn vò nên ω phải có đơn vò góc là radian, ω gọi là tần số số → Đối với tín hiệu tương tự : x(t) = Acosω a t, trong đó ω a là tần số góc ( ) s rad , khi lấy mẫu đều ở các thời điểm t = nT (với T là chu kỳ lấy mẫu) thì ta được tín hiệu số: x(n) = Acosnω a T. Vậy đối chiếu với tín hiệu số : x(n) = Acosnω Ta có quan hệ: ω = ω a T Trở lại kết quả trên ta có các đồ thò sau : h A(t) 0t 0T2T 3T-T () ∑ −δ nTt t h(n) 01 2 3-1 -2 n Hình 6.3 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 217 • Để tránh hiện tượng chồng phổ ta phải có điều kiện : ω a max ≤ T 2 π - ω a max ω a max ≤ T π ⇒ H a (ω a ) = 0 khi ω a ≥ T π • Lúc đó đối với đáp ứng tần số H(e jω ) của bộ lọc rời rạc, ta có thể viết : H(e jω ) = T 1 H A ( T ω ) và là hàm số tuần hoàn chu kỳ 2π. • Thiết kế xung bất biến có thể tóm tắt theo các bước sau : → Cần đặt chỉ tiêu cho bộ lọc rời rạc bằng đặc tuyến tần số H(e jω ), và cần thiết lập chỉ tiêu tương tự tương ứng với việc lựa chọn tần số lấy mẫu đúng (ω a ≤ T π = 2 s ω hay là f s ≥ 2f a ) f s là tần số lấy mẫu, f a là tần số tín hiệu liên tục vào. → Cần tìm hàm truyền đạt tương tự H A (s) thỏa mãn các chỉ tiêu tương tự đã đặt ra. Trong nhiều trường hợp H A (s) coi như được cho và chỉ cần thực hiện các bước sau : → Từ hàm H A (s) với biến đổi ngược Laplace cần xác đònh hàm đáp ứng xung tương tự h A (t) → Từ h A (t) xác đònh dãy h(n) sau đó xác đònh ảnh H(z) có thể thực hiện được bởi một mạch chuẩn nào đó Để xét sự ánh xạ giữa mặt phẳng Z và mặt phẳng S trong quá trình lấy mẫu, ta xét bài toán sau đây : Xét hàm liên tục f(t), ta sẽ có hàm rời rạc f(nT) với chu kỳ lấy mẫu T. H a (ω a ) ω a H(e jω ) ω a – ω a max ω a max0 – ω a max ω a max0 T 2 π – ω a max T 2 π T 4 π Hình 6.4 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 218 f(nT) = ∑ ∞ −∞=n )t(f δ (t – nT) với δ (t – nT) là hàm xung Dirac. Biến đổi Laplace của hàm f(nT), ký hiệu là : F * (s) F * (s) = ∫ ∞ ∞− )nt(f e -st dt = ∫ ∑ ∞ ∞− ∞ −∞=       − )nTt(.)t(f n δ e -st dt = ∑ ∫ ∞ −∞= ∞ ∞− n )t(f δ (t – nT) e -st dt F * (s) = ∑ ∞ −∞=n )nT(f e -snT Đặt z = e sT với s = σ + jω Ta có biến đổi Z của hàm f(t) tại thời điểm t = nT (hàm rời rạc) : F * (s) = F(z) = ∑ ∞ −∞=n )nT(f z -n Vậy phép ánh xạ thực hiện trên đặc điểm chung là biến đổi biến giữa 2 miền z = e sT . Thay s = σ+ jω a và biểu diễn z theo dạng toạ độ cực z = r e jω . Ta có : r e jω = e σT Tj a e ω ⇒ r = T e σ , ω = ω a T Vậy khi σ < 0 tương ứng với 0 < r < 1 σ > 0 tương ứng với r > 1 σ = 0 tương ứng với r = 1 Từ kết quả này ta rút ra kết luận : 0 Vòng tròn đơn vò R e Z Mặt phẳng Z Hình 6.5 ω σ Mặt phẳng S 0 I m (Z) jω a 1 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 219 • Nữa mặt phẳng trái trong miền S sẽ cho kết quả ánh xạ trong miền Z là miền nằm trong vòng tròn đơn vò. • Nữa mặt phẳng phải trong miền S cho kết quả ánh xạ trong miền Z là miền nằm ngoài vòng tròn đơn vò • Các điểm trên trục jω a sẽ chiếu lên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng Z • Tuy nhiên phép ánh xạ này không phải là một_một vì ω là đơn trò trên khoảng (–π , π), phép ánh xạ ω = ω a T tương ứng với khoảng : T π − ≤ ω a ≤ T π sẽ chiếu lên các giá trò tương ứng trong khoảng – π ≤ ω ≤ π. Hơn nữa khoảng tần số T π ≤ ω a ≤ T 3 π cũng cho kết quả của phép ánh xạ là chiếu các điểm lên khoảng – π ≤ ω ≤ π. Nói chung là các giá trò trong khoảng (2k – 1) T π ≤ ω a ≤ (2k+1) T π đều chiếu lên khoảng -π ≤ ω ≤ π với k là số nguyên. Hình vẽ sau minh hoạ kết quả này : Để khai thác hết hiệu quả của phương pháp đáp ứng xung bất biến, ta biểu diễn hàm truyền đạt của mạch lọc tương tự H(s) dưới dạng khai triển thành các phân thức tối giản như sau : H A (s) = ∑ = N 1k pk k ss A − s pk : là các điểm cực đơn của H A (s) Lấy biến đổi ngược Laplace, ta có : jω a (2k+1) T π (2k–1) T π ≈ Miền ổn đònh σ T π – T π Miền ổn đònh Re(Z) I m (Z) Hình 6.6 1 1 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 220 h a (t) = ∑ = N 1k A k ts pk e u(t) u(t) : là hàm nhảy bậc đơn vò Nếu ta lấy mẫu h a (t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta có : h(n) = h a (nT) = ∑ = N 1k A k nTs pk e u(nT) Hàm truyền đạt H(z) của mạch lọc số IIR trở thành : H(z) = ∑ ∞ −∞= n h(n) z -n = ∑ ∞ −∞= n ∑ = N 1k A k nTs pk e u(nT) z -n Vì Nên H(z) = ∑ = N 1k ∑ ∞ = 0n A k nTs pk e z -n = ∑ = N 1k A k ∑ ∞ = −       0n n 1 Ts ze pk Vì điều kiện hội tụ khi điểm cực nằm bên trái mặt phẳng S, nghóa là s pk < 0 nên : () ∑ ∞ = − 0n n 1 Ts ze pk = 1 Ts ze1 1 pk − − Vậy H(z) = ∑ = N 1k 1 Ts k ze1 A pk − − (6.6) Vậy mạch lọc số có các điểm cực là z k = Ts pk e (k = 1, 2, . . .N) Ví dụ 6.1 : Hãy xác đònh hàm H(z) bằng biến đổi xung bất biến từ hàm truyền đạt bộ lọc tương tự : H A (s) = )3s)(1s( 2 ++ Giải : H A (s) = )3s)(1s( 2 ++ = 1s 1 + - 3s 1 + Theo công thức (6.6), ta suy ra : H(z) = 1T ze1 1 −− − - 1T3 ze1 1 −− − = 2T4T3T1 T3T1 ze)ee(z1 )ee(z −−−−− −−− ++− − 6.3.2 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Biến Đổi Song Tuyến Tính Biến đổi song tuyến tính là công cụ đắc lực nhất của thiết kế bộ lọc IIR. Phép chiếu dùng trong biến đổi song tuyến tính là phép chiếu dễ dùng nhất, chiếu trục jω a trên mặt phẳng S lên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng Z, chiếu nữa mặt phẳng trái bảo đảm ổn đònh của mặt phẳng S thành bên trong vòng tròn đơn vò bảo đảm ổn đònh của mặt phẳng Z, chiếu nữa mặt phẳng phải của mặt phẳng S thành bên ngoài của vòng tròn đơn vò của mặt phẳng Z. Phép biến đổi này cho phép ánh xạ các giá trò trên trục u(nT) = 0 khi n< 0 1 khi n≥ 0 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 221 jω a lên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng Z mà không bò chồng chập tần số như phép biến đổi xung bất biến. • Biến đổi song tuyến tính gắn các hàm truyền đạt tương tự H A (s) và hàm truyền đạt số H(z) trên cơ sở tích phân các phương trình vi phân và tính tích phân gần đúng bằng phương pháp số. • Để xác đònh quan hệ, chúng ta bắt đầu từ phương trình vi phân bậc 1 có dạng : C 1 dt )t(dy A + C 0 y A (t) = D 0 x A (t) (6.7) Hàm truyền tương tự : H A (s) = )s(X )s(Y A A = 01 0 CsC D + (6.8) Có thể xác đònh hàm y A (t) bằng cách lấy tích phân đạo hàm của nó : y A (t) = ∫ t t A o dt )t(dy dt + y A (t 0 ) Nếu chúng ta lấy tích phân trên đoạn ngắn, hoặc trong khoảng thời gian giữa hai mẫu tín hiệu kế tiếp nhau, lúc đó với các biến : t = nT và t 0 = (n – 1)T ,ta có phương trình : y A (nt) = ∫ − nT T)1n( A dt )t(dy dt + y A [(n-1)T] Thay vì lấy tích phân, chúng ta chọn cách tính gần đúng theo quy tắt hình thang, ta có : dt T)1n(dy A − dt )nT(dy A dt )t(dy A T nT(n–1)T t 0 Hình 6.7 [...]... C1 C1  (6 .11 ) Dùng ký hiệu đơn giản hoá : y(n) = yA(nT) , x(n) = xA(nT)  C0 T  1 +  y(n)  C1 2    (6 .11 ) thành :  C0 T  D T 1 −  y(n – 1) = 0 [x(n) + x(n -1 ) ]   C1 2  C1 2  Biến đổi Z của phương trình sai phân này :  C0 T  1 +  Y(z)  C1 2     C 0 T  -1 D T 1 −  z Y(z) - 0 [X(z) + z-1X(z)]   C1 2  C1 2  ( ) D0 T 1 + z 1 D0 Y(z) C1 2 H(z) = = = C T X(z) 2C1  1 − z 1. .. hệ giữa các biến s và z : s = F(z) = hay z= (1 − z ) = 1 T z 1 zT 1 1 − sT • Đạo hàm bậc hai : d  dx ( t )  d 2 x A (t ) =  A  → 2 dt  dt  dt = Xử Lý Tín Hiệu Số x (n ) − x (n − 1) x (n − 1) − x (n − 2) − T T T x (n ) − 2 x (n − 1) + x (n − 2) T2 225 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Trong miền tần số ta có sự tương đương :  1 − z 1  1 − 2z 1 + z −2... 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) yA(nT) = T  dy A (nT ) dy A (n − 1) T  +  + yA[(n -1 ) T] dt 2  dt   (6.9) từ (6.7) thay t = nT vào, ta có : dy ( nT ) dt A D C0 yA(nT) + 0 xA(nT) C1 C1 =− (6 .10 ) thay (6 .10 ) vào (6.9), ta có phương trình sai phân sau : yA(nt) =  D C D T  C0 y A (nT) + 0 x A (nT) − 0 y A [(n − 1) T ] + 0 x A [(n − 1) T ] + yA[(n -1 ) T] − 2  C1 C1... quan hệ z = σ + jωa vào ta có : z= 1 1 − σ T − jω a T ⇒ z = 1 1 − sT thay s= 1 (1 − σT )2 + (ω a T )2 – Nếu bộ lọc tương tự là ổn đònh thì σ < 0 (các điểm cực H(s) nằm bên trái mặt phẳng S) dẫn đến σT < 0 và 1- T > 1 Vậy luôn luôn ta có z < 1 Xử Lý Tín Hiệu Số 226 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) – Do đó các điểm cực của Ha(s) nằm bên trái mặt phẳng S thì ánh xạ... lấy mẫu, do đó mỗi phần tử (s – a) trong HA(s) được ánh xạ thành S T phần từ (1 - e z 1 ) pk Ví dụ 6.2 : HA(s) = s(s + 1) (s + 2)(s + 3) Giải : Dùng phương pháp biến đổi Z phối hợp, hàm truyền đạt của hệ thống số tương ứng là : H(z) = 6.4 (1 − z 1 ) (1 − e −1T z 1 ) (1 − e −2 T z 1 ) (1 − e −3T z 1 ) Các Biến Đổi Tần Số Số Để nghiên cứu một mạch lọc số thông cao, thông dải chúng ta có hai phương pháp... ) H e jω H A ( jω a ) 0 ωa1 ωa ω 0 1 ω ω ωa 0 0 Hình 6.9 : Thiết kế mạch lọc với phép chiếu song tuyến tính Xử Lý Tín Hiệu Số 224 ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) 6.3.3 Thiết Kế Bằng Phương Pháp Tương Đương Vi Phân – Ta biết rằng một bộ lọc tương tự được đặc trưng bởi một phương trình vi phân tuyến tính hệ số bằng, còn một bộ lọc số IIR được đặc trưng bởi... T=0.5 T =1 ωaT 0 -2 0 -1 5 -1 0 -5 10 15 20 - Hình 6.8 Có thể thấy là với các giá trò nhỏ của ωaT (ωaT < 0,3) thì phép chiếu được coi gần như tuyến tính → Từ tính chất không tuyến tính của phép biến đổi song tuyến tính ta thấy rằng đặc tuyến tần số bộ lọc tương tự cần có dạng bằng phẳng theo từng đoạn để cho méo tần số không làm hỏng dạng đặc tuyến tần số và các tính chất của nó Như vậy trường hợp bộ lọc. .. Hiệu Số 223 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) 2 +s 2 + sT T z= = 2 − s 2 − sT T ⇒ z -1 = 2 − sT 2 + sT Ta dễ dàng suy ra : 1 2  2 2 2   T + σ  + ωa    r =  2 −σ 2 +ω2  a    T    ω = 2arctg ωaT (6 .14 ) 2 Từ (6 .14 ) ta nhận thấy : Nếu • ωa = 0 thì ω =0 • ωa → ∞ thì ω →π • ωa → - thì ω → - Nhận xét : • Điểm gốc toạ độ được chiếu lên z = 1+ j0... từ mạch lọc tương tự thông cao thành mạch lọc số thông cao tương ứng • Phép chiếu Euler tiến xuất phát từ điều kiện : dx A ( t ) x (n + 1) − x (n ) → T dt Quan hệ giữa s và z được viết : Xử Lý Tín Hiệu Số s = F(z) = 227 z 1 T Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Hay sT z = 1 +sT • Trục ảo jωa của mặt phẳng S chiếu lên mặt phẳng Z theo phương trình z = 1 + thay... 1  1 − z 1 + 0 1 + z 1   + C0 C1 2 T  1 + z 1    ( ) (6 .12 ) So sánh (6 .12 ) với (6.8), ta có : s= 2 1 − z 1 T 1 + z 1 (6 .13 ) phép biến đổi này gọi là song tuyến tính • Các tính chất cơ bản của phép biến đổi song tuyến tính Thay thế z = rejω , s = σ+ jωa (6 .13 ) trở thành: s= 2 T 2  re jω − 1   jω  = T  re + 1 Vậy σ= 2 T   r2 1   2 1 + r + 2r cos ω  ωa = Xử Lý Tín Hiệu Số 2 T . 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số 212 CHƯƠNG VI TỔNG HP CÁC BỘ LỌC SỐ CÓ ĐÁP ỨNG XUNG CHIỀU DÀI VÔ HẠN. 0 -5 10 15 20 ω a T T =1 T=2 T=0.5 -1 0 -1 5-2 0 π - Hình 6.8 ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (I I R) Xử Lý Tín Hiệu Số