Tổng hợp các bộ lọc số có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn (IIR) - Phần 2

Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 230 Ưu điểm của phương pháp này là ta có thể tạo ra lọc thông thấp rời rạc với bất kỳ phép chiếu nào, còn các bước tiếp theo không phụ thuộc vào phép chiếu. Trong phần này ta tập trung khảo sát vào phương pháp 2. Tuy nhiên cũng cần nhắc lại các đặc điểm chính trong phương pháp 1 mà ta có thể tham khảo trong giáo trình mạch lọc tương tự. Bảng biến đổi tần số trong miền tương tự được cho : Loại chuyển đổi Phép chuyển đổi Tần số ngắt mới Từ thông thấp → thông thấp s → ac ac 'ω ω s ω’ ac Từ thông thấp → thông cao s → s ' acac ωω ω’ ac Từ thông thấp → thông dải s → () 1ac2ac 2ac1ac 2 ''s ''s ω−ω ωω+ .ω ac ω’ ac1 , ω’ ac2 Từ thông thấp → chắn dải s → 2ac1ac 2 1ac2acac ''s )''(s ωω+ ω−ωω ω’ ac1 , ω’ ac2 ω ac là tần số ngắt của mạch lọc thông thấp. 6.4.1 Tổng Hợp Các Bộ Lọc Tương Tự • Bộ lọc tương tự Butterworth. Đây là mạch thông thấp có đáp ứng biên độ )(H a ω thỏa mãn : )(H aa ω = n2 a 1 1 ω + n gọi là bậc của bộ lọc ω a tần số chuẩn hoá theo tần số cắt ω ac 0 ω a n = 2 n = 8 n = 5 2 1 1 Hình 6.14 1 ( ) aa H ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 231 Đồ thò của bộ lọc cho bởi : Nhận xét : – Bậc của bộ lọc n càng tăng thì càng gần với bộ lọc lý tưởng. – Đáp ứng biên độ luôn bằng 2 1 ở tần số cắt với mọi giá trò của n. • Vò trí các điểm cực : Ta biết rằng s = jω a ⇒ 2 a ω = -s 2 Vì H a (s) = H a (-s) tính tại s = jω a cho 2 aa )(H ω nên : H a (s).H a (-s) = n2 )s(1 1 −+ Điểm cực được xác đònh bởi : 1 + (– )s 2 pk n = 0 ⇒ 1+ (-1) n n2 pk s = 0 – Nếu n chẵn n2 pk s = – 1 = e j(2k – 1)π s pk = n2 )1k2( j e π − k= 1, 2, 3, . . .2n – Nếu n lẻ n2 pk s = 1 = e j2(k – 1)π s pk = n2 )1k(2 j e π − = n )1k( j e π − Vậy các điểm cực của H a (s).H a (-s) sẽ nằm trên một vòng tròn trong mặt phẳng S. Vòng tròn này được gọi là vòng tròn Butterworth. Hai kết quả trên cũng có thể góp chung thành 1 kết quả duy nhất là : s pk =       − + n2 1k2 2 1 j e π k= 1, 2, 3. . . 2n Để bảo đảm hệ thống là ổn đònh thì các điểm cực của H a (s) phải nằm bên trái trục ảo. Vậy trong các điểm cực của H a (s).H a (-s) ta sẽ chọn ra các điểm cực nằm bên trái trục ảo để làm cực của H a (s) đối với bộ lọc ổn đònh. Ta có thể viết : H a (s) = ∏ = − n 1k pk 0 )ss( H Ở đây : - theo tần số chuẩn hóa ac a ω ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 232 H 0 = 1 s pk =       − + n2 1k2 2 1 j e π k= 1, 2, 3. . . n - theo tần số không chuẩn hoá H 0 = n ac ω s pk = ω ac       − +π n2 1k2 2 1 j e k= 1, 2, 3. . . n • Gọi δ là độ suy giảm của đặc tuyến mạch lọc tại tần số ω as : n2 as 1 1 ω + = δ 2 2 2 1 δ δ − = n2 as ω ⇒ 2n log 10 ω as = log 10       −1 1 2 δ n = as10 2 10 log2 1 1 log ω δ       − Ví dụ 6.3 : Xác đònh bậc và điểm cực của mạch lọc thông thấp Butterworth tại tần số cắt 500 Hz và độ suy hao 40 dB tại 1000 Hz. Giải : • Gọi tần số cắt là ω ac tại ω a = 500 1000 = 2 thì δ = - 40 dB = 0,01 Vậy bậc của bộ lọc n = () 2log2 110log 10 4 10 − = 6,64 0 Cực của H(–s) Cực của H(s)       + n2 1 2 1 π Hình 6.15 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 233 Chọn n = 7 Vò trí điểm cực là s pk = ω ac       − +π n2 1k2 2 1 j e Với ω ac = 2πf ac = 2π 500 = 1000π ⇒ s pk = 1000π       − + 14 1k2 2 1 j e π k = 1, 2, . . . 7 6.4.2 Bộ lọc Chebyshev Đối với bộ lọc này ta có 2 loại : – Loại 1 : đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải thông, giảm đơn điệu ở dải chắn. – Loại 2 : đáp ứng biên độ giảm đơn điệu ở dải thông, gợn sóng ở dải chắn. Trước hết ta xét đa thức Chebyshev Theo đònh nghóa : Ta có các hệ thức: T n+1 (x) + T n-1 (x) = 2xT n (x) Vậy n = 0 → T 0 (x) = cos0 =1 n = 1 → T 1 (x) = cosθ =x n = 2 → T 2 (x) = 2xT 1 (x) – T 0 (x) = 2x 2 – 1 n = 3 → T 3 (x) = 2xT 2 (x) – T 1 (x) = 4x 3 – 3x – Bộ lọc Chebyshev loại 1: là loại có đáp ứng biên độ thỏa: 2 aa )(H ω = )(T1 1 a 2 n 2 ωε + n : bậc của đa thức Chebysher chính là bậc của bộ lọc ε : là 1 tham số xác đònh biên độ gợn sóng ở dải thông Về mặt toán học hàm T n (ω a ) được đònh nghóa : Với đònh nghóa này, T 2 n (ω a ) dao động giữa 0 và 1 đối với a ω ≤ 1 và tăng một cách đơn T n (x) = cosnθ x = cosθ T n (ω a ) = cos(n.arcosω a ) với a ω ≤ 1 cosh(n.arcoshω a ) với a ω > 1 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 234 điệu với a ω > 1. Như vậy 2 aa )(H ω sẽ gợn sóng giữa 1 và 2 1 1 ε + đối với a ω ≤ 1 và giảm một cách đơn điệu đối với a ω > 1. Ta phân biệt trường hợp n lẻ và n chẳn để vẽ đáp ứng tần số H a (ω a ): – Trường hợp n lẻ : T n (0) = 0 2 a )0(H = 1 – Trường hợp n chẳn : )0(T n = 1 2 a )0(H = 2 1 1 ε + Tại tần số ω a = 1 , T n (1) = 1 từ đó ta có hình vẽ trình bày đáp ứng tần số H a (ω a ) theo ω a như sau : Nếu gọi δ 1 là độ gợn sóng dải thông, ta có : δ 1 = 1 2 1 1 ε + − ⇒ 2 1 1 ε + = 1 - δ 1 ⇒ 2 ε = () 2 1 1 1 δ − - 1 – Bộ lọc tương tự Chebysher loại 1 ở tần số không chuẩn hóa : 2 aa )(H ω =         + ac a 2 n 2 T1 1 ω ω ε Với T n         ac a ω ω = cos(n.arccos ac a ω ω ) với ac a ω ω ≤ 1 cosh[n.arccosh ac a ω ω ) với ac a ω ω > 1 Hình 6.16 2 1 1 ε+ 0 Trường hợp n lẻ 1 ac as ω ω 2 2 δ 1 2 1 δ () 2 aa H ω 0 2 1 1 ε+ 2 2 δ 1 2 1 δ ( ) 2 aa H ω 1 ac as ω ω ω a Trường hợp n chẳn ω a Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 235 • Tính toán bậc n của bộ lọc: → Ở dải chắn ta có ω a = ω as (chưa chuẩn hoá) )(H asa ω = δ 2 ⇒         + ac as 2 n 2 T1 1 ω ω ε = δ 2 ⇒ T n         ac as ω ω = ε δ 1 1 2 2 − = cosh[n.arccos         ac as ω ω ] n.arccosh ac as ω ω = arccosh ε δ 1 1 2 2 − n = ac as 2 2 coshar 1 1 coshar ω ω ε δ − – Bộ lọc Chebyshev loại 2 : đây là loại bộ lọc trái ngược loại 1, tức là có đáp ứng biên độ gợn sóng ở dải chắn và giảm đơn điệu ở dải thông. Về mặt toán học, đáp ứng biên độ cho bởi : 2 aa )(H ω = 2 a as asn 2 Tn )(T 1 1                       + ω ω ω ε trong đó : ω as là tần số chuẩn hóa ở đó đáp ứng biên độ là δ 2 (trong miền dải chắn) Nhận xét : • ε và ω a là hằng số vậy T n         a as ω ω sẽ dao động giữa 0 và 1 với a as ω ω ≤ 1 nghóa là a ω ≥ as ω . Vậy T n         a as ω ω dao động trong dải chắn. T n (x) = cos(n.arcosx) với x ≤ 1 cosh[n.arcoshx) với x > 1 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 236 • 2 aa )(H ω sẽ dao động giữa hai giá trò 0 và )(T1 1 as 2 n 2 ωε + • Khi ω a = ω as ⇒ 2 aa )(H ω = )(T1 1 as 2 n 2 ωε + = δ 2 2 (T n (1) = 1) Vậy δ 2 còn gọi là biên độ tối đa của gợn sóng ở dải chắn. • Trong dải thông a ω < as ω hay a as ω ω > 1 thì T n         a as ω ω tăng đơn điệu khi ω a giảm dần về không tại ω a = 0 →T n         a as ω ω → ∞ , 2 aa )(H ω → 1 • Tại ω a = 1, 2 aa )(H ω = 2 1 1 ε + ⇒ )(H aa ω = 2 1 1 ε + Về bậc n của bộ lọc từ hệ thức: 2 aa )(H ω = )(T1 1 as 2 n 2 ωε + = 2 2 δ Ta cũng suy ra kết quả như trường hợp loại 1 : n = as 2 2 coshar 1 1 coshar ω ε δ − Ở đây ω as là tần số đã được chuẩn hoá so với ω ac là tần số cắt của bộ lọc. • Bây giờ ta xét phương pháp 2 : Trước hết ta xét nguyên tắc biến đổi tần số số. 1 δ 2 1 – δ 1 1 ω as 2 ω as ω a 0 Hình 6.17 () aa H ω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 237 Cũng giống như trong miền tương tự, trong miền số chúng ta cũng có thể thực hiện phép biến đổi tần số để biến đổi bộ lọc số thông thấp cơ bản ban đầu thành bộ lọc số thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Chúng ta ký hiệu hàm truyền lọc thông thấp rời rạc là H lp (z) còn hàm truyền rời rạc được tìm sau biến đổi là H(Z). Giữa 2 biến Z và z này có quan hệ : z –1 = G(Z –1 ) lúc đó : H(Z) = )Z(Gz lp 11 )z(H −− = Hãy giả thiết H lp (z) là hàm hữu tỷ theo z, tương ứng với lọc thông thấp rời rạc ổn đònh, nhân quả. Tất nhiên ta chỉ dùng các biến đổi G(Z -1 ) sẽ cho các hàm H(Z) là các hàm hữu tỷ theo Z và có thể thực hiện chúng bằng các mạch ổn đònh, nhân quả. Từ đó ta đòi hỏi biến đổi G(Z –1 ) cần phải : * Chiếu trên vòng tròn đơn vò trong mặt phẳng z thành trên vòng tròn đơn vò mặt phẳng Z. * Chiếu bên trong vòng tròn đơn vò mặt phẳng z thành bên trong vòng tròn đơn vò mặt phẳng Z. * G(Z –1 ) là hàm hữu tỷ theo Z –1 . Gọi θ và ω là tần số góc trong mặt phẳng z và Z trên vòng tròn đơn vò, ta cóù z = e jθ , Z = e jω . Vậy để các điều kiện ổn đònh ở trên được thoả mãn, ta phải có : e –jθ = )e(G j ω − e jα (với α là đối số của G(e -jω ) Vậy )e(G j ω − = 1 và –θ = α Dạng tổng quát của hàm số G(Z –1 ) để thoả những yêu cầu này là : z –1 = G(Z –1 ) = ∏ = − − − − ± N 1k 1 k k 1 Z1 Z α α Ta thấy ngay : )e(G j ω − = 1 Để thoả điều kiện ổn đònh k α < 1 : Bằng cách chọn giá trò thích hợp N và α k , nhiều ánh xạ có thể thực hiện. Đơn giản nhất là phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông thấp khác. Dạng ánh xạ đơn giản được chọn là : z –1 = 1 1 Z1 Z − − − − α α với z = e jθ , Z = e jω Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 238 e -jθ = ω ω α α j j e1 e − − − − ⇒ α =       +       − 2 )( sin 2 )( sin ωθ ωθ Vậy nếu θ p là tần số cắt của lọc thông thấp chuẩn và ω p là tần số cắt của lọc thông thấp được thiết kế (đã biến đổi) ta có : α =       +       − 2 )( sin 2 )( sin pp pp ωθ ωθ • Đối với phép biến đổi từ một bộ lọc thông thấp chuẩn tới 1 bộ lọc thông cao. Ta nhận xét là : – Đối với bộ lọc thông thấp, hàm truyền đạt là : H lp (Z) = ∑ ∑ − − − k k k k Za1 Zb – Đối với bộ lọc thông cao : H HP = ∑ ∑ − − −− − k k k k k k Za)1(1 Zb)1( Vậy ta suy ra ngay, nếu ánh xạ từ lọc thông thấp sang thông thấp là : z -1 = 1 1 Z1 Z − − − − α α Thì ánh xạ từ lọc thông thấp sang thông cao là : z -1 = 1 1 Z1 Z − − + −− α α = - 1 1 Z1 Z − − + + α α Cũng thực hiện phép tính nội suy như trên ta có : α = –       +       − 2 )( cos 2 )( cos pp pp θω θω θ p : tần số cắt của bộ lọc thông thấp chuẩn ω p : tần số cắt của bộ lọc thông cao Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 239 • Để biến đổi lọc thông thấp thành thành thông dải ta dùng công thức biến đổi tần số số sau : z –1 =– 1Z 1 k k2 Z 1 k 1k 1k 1k Z 1k k2 Z 12 12 + + − + − + − + + − −− −− α α Với α =       −       + 2 )'''( cos 2 )'''( cos pp pp ωω ωω và k = cotg 2 tg 2 '''( ppp θωω       − Với ω’ p và ω’’ p là tần số cắt của lọc thông dải được thiết kế, θ p là tần số cắt của lọc thông thấp chuẩn. • Để biến đổi lọc thông thấp thành lọc chắn dải ta dùng công thức sau : z -1 = 1Z 1 k 2 Z k1 k1 k1 k1 Z 1k 2 Z 12 12 + + − + − + − + + − −− −− α α Với α =       −       + 2 )'''( cos 2 )'''( cos pp pp ωω ωω 1 0 θ ρ π () ω j eH ω 1 0 ω ρ π ( ) ω j eH ω Lọc thông thấp chuẩn Lọc thông cao Hình 6.18 [...]... 2 2 1+ Cấu trúc song song : H(z) = − 14,75 − 12, 90z −1 24 ,50 + 26 ,82z −1 + 7 3 2 1 1 − z −1 + z 1 − z −1 + z 2 8 32 2 – 14.75 x(n) + + – 12. 90 z-1 7 8 z-1 – 3 32 + 24 .50 + + 26 . 82 z-1 1 – 1 2 + Hình 6 .24 Xử Lý Tín Hiệu Số 24 6 z-1 + y(n) Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) BÀI TẬP CHƯƠNG VI Bài Tập 6.1 Hãy tính toán thời gian truyền nhóm của một bộ lọc số IIR có. .. + 2M2 Bậc của tử k N = N1 + 2N2 Xử Lý Tín Hiệu Số 24 3 −1 )(1 − p* z −1 ) k Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) • Trường hợp hàm truyền đạt H(z) là tổng hợp của các hàm truyền đạt Hk(z) của các khâu bậc 2 : ( N +1) H(z) = A ( N +1) 2 ∏ H k (z) = A k =1 2 ∏ k =1 b ok + b1k z −1 + b 2 k z 2 1 − a 1k z −1 − a 2 k z 2 Thực hiện từng khâu bậc 2 ghép nối tiếp nhau, các. .. Khai triển H(z) thành tổng các phân số riêng phần có dạng : ( N +1) H(z) = C + 2 ∏H k (z) k =1 H(z) là 1 khâu cơ bản có dạng : Xử Lý Tín Hiệu Số 24 4 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) H(z) = b ok + b1k z −1 1 + a1k z −1 + a 2 k z 2 C b01 + + b11 z-1 – a11 x(n) z-1 – a21 + y(n) + b 02 + + b 12 z-1 – a 12 z-1 – a 22 + Hình 6 .23 : Cấu trúc song song Ví dụ 6.5 : Xác đònh... = 20 lg và LO s = 20 lg 1 H (e jω p ) 1 H ( e jω s ) = 0,1 dB = 50 dB với ωp = 0 ,2 ; ωs = 0,3 π Hãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp 25 0 Xử Lý Tín Hiệu Số Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) - Bất biến xung Biến đổi song tuyến Tương đương vi phân Bài Tập 6.19 Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp như sau... Bài Tập 6. 12 Cho hàm truyền đạt Ha(s) của một hệ thống tương tự như sau : H a (s) = s 2 + 7s + 10 1 (s + )(s 2 + 4s + 3) 2 - Hãy tìm hàm truyền đạt H(z) của bộ lọc số tương tự bằng phương pháp biến đổi z thích ứng - Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống số Xử Lý Tín Hiệu Số 24 9 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Bài Tập 6.13 Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp...  2  101 − z −1  1 − z −1  1 + 2z −1  2  3  H(z) = 1  −1    1 1  −1   3 −1   1 −1    1 1 − 4 z  1 − 8 z  1 −  2 + j 2 z  1 −  2 − j 2 z           Giải : Cấu trúc nối tiếp : Xử Lý Tín Hiệu Số H(z) = 10H1(z).H2(z) 24 5 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Với 2 1 − z −1 3 H1(z) = 7 −1 3 2 1− z + z 8 32 3 −1 z − z 2 2 H2(z)... = 0,5 π Hãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp - Bất biến xung - Biến đổi song tuyến - Tương đương vi phân Bài Tập 6 .20 Cho các chỉ tiêu kỹ thuật của bộ lọc số thông thấp như sau : δ1 = 2 = 0,1; ωp = 0,4π ; ωs = 0,6 π Hãy tổng hợp bộ lọc số thông thấp trên từ bộ lọc tương tự Cauer bằng các phương pháp - Bất biến xung - Biến đổi song tuyến - Tương đương... bậc 2 này có sơ đồ cấu tạo dựa trên dạng trực tiếp 2 (H .20 ) A x(n) b01 + b 02 + -1 a11 z + + z-1 b11 + + z-1 + + a 12 z-1 a21 a 22 b21 b 12 b 22 Khâu 1 Khâu 2 Hình 6 .22 : Cấu trúc nối tiếp Nếu có 1 khâu cơ bản bậc 1, thì đó là trường hợp đặc biệt b2k hay a2k = 0 Ở trên là cách thực hiện cấu trúc nối tiếp Bây giờ ta thực hiện cấu trúc song song 6.5 .2 Cấu Trúc Song Song Khai triển H(z) thành tổng các phân số. .. 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR)  (ω ' 'p −ω ' p  θ p  tg 2   2 và k = tg  Tóm lại : Phương pháp thiết kế mạch lọc số bằng phương pháp đổi tần số số cho bởi : 1 Bằng một phép chiếu nào đó ta sẽ tạo ra hàm truyền thông thấp HLP(z) rời rạc từ lọc thông thấp tương tự HA(s) 2 Biết các thông số α và k ta xác đònh được phép biến đổi z-1 = G(Z-1) G(Z-1) vào vò trí z-1... để chứa các mẫu trước đầu ra và đầu vào Vậy ta phải dùng M bộ ghi dòch lên phía trước chứa ngõ vào và N bộ ghi dòch phản hồi chứa ngõ ra Do vậy phải dùng N + M bộ ghi dòch, số phần cứng dùng thêm quá lớn Để khắc phục ta dùng dạng thứ 2 z-1 x(n-1) b1 b0 x(n) x(n -2 ) z-1 + + + + + + z-1 z-1 bM + an -2 an-1 z-1 x(n-M) bM - 1 b2 aN y(n- N) z-1 + y(n) a1 y(n- 1) z-1 Hình 6 .20 • Dạng trực tiếp loại 2 : Thực . z -1 + + + z -1 + z -1 + + b 01 b 11 b 12 b 02 – a 12 – a 22 – a 11 – a 21 x(n) C y(n) Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn. 6 .21 Chương 6 - Tổng Hợp Các Bộ Lọc Số Có Đáp ng Xung Chiều Dài Vô Hạn (IIR) Xử Lý Tín Hiệu Số 24 4 • Trường hợp hàm truyền đạt H(z) là tổng hợp của các