Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông

Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới những câu hỏi khởi đầu sau đây :  Làm thế nào hình thành ở học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm giới hạn của một Giải tích đại số hó

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

*********************

NGUYỄN THÀNH LONG

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM

GIỚI HẠN TRONG DẠY HỌC TOÁN

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành :LÝLUẬNVÀPHƯƠNGPHÁPDẠYHỌCMÔNTOÁN

Người hướng dẫn : TS LÊ VĂN TIẾN

Năm 2004

ĐẶT VẤN ĐỀ

1 NHỮNG GHI NHẬN BAN ĐẦU VÀ CÂU HỎI XUẤT PHÁT

Giới hạn là một khái niệm cơ sở của Giải tích – nội dung chiếm vai trò quan trọng trong dạy học toán ở trường phổ thông cũng như ở bậc đại học

Theo nghiên cứu của Lê Văn Tiến (2000), dù đã trải qua nhiều cuộc cải cách, nhưng giải tích cần giảng dạy ở trường THPT Việt Nam vẫn là một giải tích “Đại số hóa tăng cường”, nghĩa là một Giải tích đặt cơ sở chủ yếu trên những kĩ thuật bản chất đại số Người ta tránh đến mức tối đa những quy trình, những kĩ thuật đặc trưng của giải tích như : chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ Dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ , N hay , 

Thế nhưng, đến lượt mình, dấu ấn này cũng bị loại bỏ khỏi chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 hiện hành Bản đề cương chỉnh lí hợp nhất ba bộ sách giáo khoa Toán THPT (trang 7) yêu cầu một cách rõ ràng rằng : không dùng ngôn ngữ (, ) để định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số cũng như giới hạn của hàm số, định nghĩa giới hạn hàm số thông qua giới hạn của

dãy số

Quan điểm này một lần nữa được nhấn mạnh trong chương trình đang thí điểm hiện nay (2004)

Như vậy, vấn đề xấp xỉ gần như hoàn toàn bị loại bỏ trong dạy học Giải tích

Tuy nhiên, như M.Legrand (1991) và M.Artigue (1993) đã làm rõ : Đi vào Giải tích, đó là hiểu rằng xấp xỉ là trung tâm của những vấn đề lớn của giải tích, đồng thời là trung tâm của phương pháp và kỹ thuật của phạm trù này

Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới những câu hỏi khởi đầu sau đây :

 Làm thế nào hình thành ở học sinh tư tưởng xấp xỉ qua việc dạy học khái niệm giới hạn của một Giải tích đại số hóa, mà không cần đưa vào một cách tường minh các định nghĩa theo ngôn ngữ ,  ?

 Vấn đề toán học nào có thể làm căn cứ cho việc xây dựng những tình huống cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?

 Những tình huống cụ thể nào cần thiết lập ?

 Các yếu tố xấp xỉ trên nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các tình huống này

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Tìm câu trả lời cho những câu hỏi đặt ra ở trên là mục đích nhắm tới của luận văn này Cụ thể hơn, nhiệm vụ của chúng tôi là :

 Tìm kiếm một số kiểu bài toán làm điểm tựa cho việc xây dựng các tình huống đã nêu ở trên

 Tiến hành xây dựng một số tình huống cụ thể cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ

 Thiết lập và triển khai các công đoạn học tập đặt cơ sở trên các tình huống đã xây dựng

 Quan sát, thu thập và phân tích số liệu thực nghiệm để làm rõ xem các yếu tố xấp xỉ nảy sinh như thế nào ở học sinh trong các tình huống đó

3 PHẠM VI LÝ THUYẾT THAM CHIẾU, PHƯƠNG PHÁP VÀ GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

Nhiều nghiên cứu khoa học luận lịch sử toán học chứng tỏ rằng đối với một khái niệm toán học nào đó, những nghiên cứu này cho phép làm rõ không chỉ một số kiểu bài toán, kiểu tình huống trong đó khái niệm xuất hiện và tác động một cách ngầm ẩn hay tường minh, mà còn cả những đối tượng, những khái niệm khác có mối quan hệ qua lại mật thiết với khái niệm này và góp phần vào sự nảy sinh và phát triển của nó Tổng quát hơn, nó cho phép làm rõ những đặc trưng khoa học luận của khái niệm

Việc xây dựng các tình huống và công đọan học tập thông qua các tình huống này không những bị ràng buộc bởi các đặc trưng khoa học luận của đối tượng toán học liên quan, mà còn bị chi phối bởi những ràng buộc của hệ thống dạy học toán ở trường phổ thông

Do vậy, làm rõ các yếu tố khoa học luận và ràng buộc sư phạm trên khái niệm giới hạn là cần thiết trong nghiên cứu này

Để làm được điều đó, chúng tôi thấy cần thiết đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán Cụ thể, điểm tựa lý thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết trường quan niệm, lý thuyết nhân chủng học và lý thuyết tình huống như là các khái niệm : Trường quan niệm của một khái niệm toán học, quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học, hợp đồng didactic, biến didactic,tình huống, …

Từ đó, có thể trình bày lại những câu hỏi đã đặt ra ở trên như sau :

 Những đặc trưng khoa học luận nào của khái niệm giới hạn có thể được phân tích, tổng hợp và làm rõ qua các công trình nghiên cứu đã có ? Những kiểu bài toán, kiểu tình huống nào cho phép khái niệm giới hạn xuất hiện và tác động ? Những đối tượng toán học nào khác góp phần vào việc nảy sinh và tiến triển của khái niệm này ? Vấn đề toán học nào là điểm tựa cho việc xây dựng những tình huống cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ ?

 Mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn đã được hình thành và tiến triển ra sao ? nó ràng buộc như thế nào trên đối tượng giới hạn ?

 Dưới những ràng buộc khoa học luận và ràng buộc sư phạm đã được làm rõ ở trên, làm thế nào xây dựng và triển khai các tình huống ? Với sự lựa chọn các biến tình huống nào ?

 Các yếu tố xấp xỉ nảy sinh như thế nào ở học sinh khi đối diện với các tình huống đã thiết lập ?

Từ phân tích trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi đã chọn là :

 Tổng hợp một số nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn để làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, đặc biệt là các bài toán, các tình huống trong đó khái niệm giới hạn đã nảy sinh và tác động một cách ngầm ẩn hay tường minh, các đối tượng đặt điều kiện cho sự nảy sinh của khái niệm giới hạn

 Phân tích chương trình và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 hiện hành, để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn, và qua đó những ràng buộc sư phạm trên đối tượng này Các kết quả đạt được từ hai nghiên cứu trên cho phép chúng tôi đề ra giả thuyết công việc sau đây :

Về mặt toán học, vấn đề tính diện tích hình phẳng là cơ sở của việc thiết lập những tình huống cho phép làm nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ

Giả thiết này là tiền đề cho công việc tiếp theo sau đây của luận văn

 Thiết lập các tình huống và công đọan didactic cho phép nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ

Các tình huống và công đoạn trên dựa trên tình huống cơ sở sau :

“Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b] với a  0 Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho, trục hoành Ox và hai đường thẳng x =a và x = b.”

 Thực nghiệm : Triển khai trong một lớp 11 các công đoạn học tập dựa trên các tình huống đã xây dựng Quan sát, thu thập và phân tích các số liệu

Thực nghiệm này có mục đích đưa vào kiểm chứng tính thích đáng của giả thuyết nghiên cứu sau :

“Các tình huống tính diện tích hình phẳng đã chọn cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ, trong sự vắng mặt của định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ , ”

4 TỔ CHỨC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn này bao gồm 5 phần :

 Đặt vấn đề

 Chương 1 : Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn

 Chương 2 : Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn trong dạy học

Toán ở trường trung học phổ thông

 Chương 3 : Thực nghiệm

 Kết luận chung

CHƯƠNG I

ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

I.- MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH

Chương này không có mục đích thực hiện một nghiên cứu gốc về khoa học luận lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn Chúng tôi chỉ tổng hợp và phân tích các kết quả có được từ một số công trình nghiên cứu về khoa học luận, nhằm làm rõ các đặc trưng cơ bản của khái niệm này, cụ thể để tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau :

 Khái niệm giới hạn đã xuất hiện và tác động trong những kiểu bài toán, những kiểu tình huống nào ? Nó có những đặc trưng cơ bản nào ?

 Những đối tượng, những khái niệm toán học nào có liên quan và góp phần làm nảy sinh và phát triển khái niệm giới hạn ?

 Phạm vi toán học nào mà từ đó có thể xuất hiện các tình huống tạo nên nghĩa của khái niệm giới hạn ? đặc biệt nghĩa gắn liền với quan điểm xấp xỉ ?

 Có những quan niệm khác nhau nào về khái niệm giới hạn ?

Các công trình nghiên cứu về khoa học luận mà chúng tôi tiến hành phân tích là : CORNU B (1982) , CORNU B (1983) , ROBINET J (1983) , TROUCHE L (1996) , FICHTENGÔN G.M (1977)

II.- ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN

Có thể nói, lịch sử hình thành khái niệm giới hạn bắt đầu từ sự xuất hiện của khái niệm vô hạn (thế kỷ VI trước công nguyên) cho đến chương trình số học hóa giải tích của Weierstrass (thế kỷ XIX)ø Lịch sử này có thể chia thành ba giai đoạn chủ yếu mà chúng tôi sẽ đề cập dưới đây

1 Giai đoạn 1 : Từ thời Hi Lạp cổ đại đến đầu thế kỷ XVII

Tiến trình của khái niệm vô hạn

Ngay từ thế kỷ VI TCN, thời trường phái Pythagore, sự kiện khám phá ra số vô tỉ đã phá vỡ sự tương ứng giữa số hữu tỉ và độ dài, đồng thời dẫn đến phát hiện ra các đoạn thẳng vô ước Đó là lần đầu tiên toán học gặp phải khái niệm vô hạn : khi dùng thuật toán Euclide để tìm ước chung d của a và b là độ dài các đoạn thẳng vô ước với nhau thì thuật toán trên sẽ trở nên vô hạn Để giải quyết vấn đề này, các nhà Pythagoriste đã giả thiết rằng các đoạn thẳng vô ước có một ước chung rất bé, đó là những phần tử đơn giản nhất, xem là những điểm (đoạn thẳng là tập hợp vô hạn những yếu tố “không chia nhỏ được”) Đây là một thể hiện của quan niệm nguyên tử (atomiste) cho rằng một số, không gian, thời gian và vật chất có những yếu tố ban đầu không thể chia nhỏ được

Tuy nhiên, cũng có quan niệm ngược lại  quan niệm liên tục (continuiste), cho rằng các đối tượng này có thể chia được vô hạn

Zénon (495 – 430 TCN) đã đưa ra các nghịch lý vạch ra những mâu thuẫn trong cả hai quan niệm trên Ở đây chỉ đơn cử 2 nghịch lý :

+ Nghịch lý “Mũi tên đang bay nhưng đứng yên tại mỗi thời điểm” :

Nếu thời gian được tạo bởi các khoảng nguyên tử không thể chia được thì một mũi tên chuyển động luôn luôn bị đứng yên vì ở bất kỳ khoảng thời gian nào mũi tên cũng ở một vị trí cố định Vì điều này đúng đối với mỗi khoảng thời gian nên suy ra mũi tên đứng yên (dù đang bay)

+ Nghịch lý “Chia đôi” : Nếu một đoạn thẳng chia nhỏ vô hạn được thì không thể có

chuyển động được Vì để đi hết được đoạn thẳng đó, trước hết cần phải đi đến được trung điểm, và để làm được việc này thì trước hết phải đi đếán điểm một phần tư, và để làm được việc này thì lại phải đi đếán điểm một phần tám trước, và cứ tiếp tục đến vô hạn Suy ra chuyển động đó không bao giờ có thể có được kể cả ngay từ lúc bắt đầu

Những nghịch lý này hoàn toàn không có ý định giải quyết những mâu thuẫn đó, nhưng dẫn đến hậu quả là các nhà toán học thời đó đã loại bỏ tính vô hạn và các nguyên tử (vô cùng bé) khỏi các chứng minh trong hình học

Vấn đề tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn đã rất được chú ý Vào khoảng năm

430 TCN, Antiphon cho rằng bằng cách cứ liên tiếp nhân đôi số cạnh của một đa giác đều nội tiếp trong một đường tròn thì hiệu số giữa diện tích hình tròn với diện tích đa giác cuối cùng sẽ không còn nữa Cùng thời gian đó, với ý tưởng tương tự, Hippocrate de Chios đã ngầm ẩn “cho qua giới hạn” để chứng minh rằng tỉ số diện tích S1/S2 của hai đường tròn bằng bình phương tỉ số hai đường kính d1/d2 của chúng : S1/S2 = d12/d22 (*)

Eudoxe (408 – 355 TCN) đề xuất một phương pháp (sau này được gọi là phương pháp vét cạn) để tính diện tích và thể tích (như chứng minh hệ thức (*) nêu trên, chẳng hạn) Phương pháp này thừa nhận tính chia hết vô hạn của các đại lượng theo nguyên tắc (sau này được đặt tên là tiên đề Archimède) : “Nếu từ bất kỳ một đại lượng nào đó mà bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần nữa không nhỏ hơn một nửa của nó, v.v thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào cho trước cùng loại”

Archimède (287 – 212 TCN) đã áp dụng rất xuất sắc phương pháp vét cạn để giải các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích mà một thí dụ điển hình là tính diện tích S của hình viên phân parabol (segment parabolique) như sau :

GG

Ông chứng minh rằng diện tích s của tam giác ABC bằng ½ diện tích hình bình hành bBCc nên lớn hơn ½ diện tích S Ông tiếp tục dựng tam giác HAC có HK//AM Khi đó diện tích tam giác AHC bằng 1/8 diện tích s nên tổng diện tích hai tam giác AHC và BGA bằng ¼ diện tích s Sau đó cứ tiếp tục như thế

Như vậy diện tích của đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol là tổng các diện tích tam giác đã dựng, nghĩa là : s + ¼ s + 1/42 s + + 1/4n-1 s +

Nhưng ông chỉ tính tổng của n số hạng đầu : U = s + ¼ s+ 1/42 s + +1/4n-1 s rồi thêm vào phần dư 1/3 1/4n-1 s và sử dụng tính chất :

s + ¼ s + 1/42 s + + 1/4n-1 s + 1/3 1/4n-1 s = 4/3 s Nếu số cạnh của đa giác nội tiếp tăng lên thì phần dư 1/3 1/4n-1 s sẽ bé như mong muốn và diện tích S = 4/3 s Ông chứng minh công thức này bằng phản chứng:

 Nếu S > 4/3 s : Có n tam giác để cho U > 4/3 s Điều này mâu thuẫn với U = 4/3 s  1/3 1/4n-1 s < 4/3 s

 Nếu S < 4/3 s : nghĩa là 4/3 s  S > 0

Có tam giác thứ m có diện tích sm = 1/4m-1 s < 4/3 s  S

Mà sm > 1/3 sm = 4/3 s  U

Dẫn đến S < U

Điều này mâu thuẫn, vì U là diện tích đa giác nội tiếp trong hình viên phân parabol có diện tích S

Thế nhưng phương pháp vét cạn chỉ có thể dùng để chứng minh một kết quả

đã được biết trước Vậy làm thế nào mà Archimède đã biết được các kết quả đó (công thức tính diện tích hình viên phân parabol chẳng hạn) để rồi chứng minh bằng phương pháp vét cạn ? Đó là một bí ẩn mà mãi đến đầu thế kỷ XX mới được khám phá Ông đã dùng một phương pháp tính mà ý tưởng chính là : Để tìm một diện tích (hoặc một thể tích) thì cắt nó ra thành một số rất lớn các dải phẳng mỏng song song (hoặc các lớp mỏng song song) Như vậy một độ lớn được xem như là hợp bởi một số rất lớn các bộ phận nguyên tử mà trước đây tư tưởng đó đã được hình thành bởi Démocrite (460-380 TCN) dù chưa chặt chẽ (So với phương pháp hiện đại về giới hạn thì phương pháp này có thể được chặt chẽ hóa và về cơ bản cũng giống như phép tính tích phân hiện nay)

Nhưng các cách biểu diễn và phương pháp như vậy cũng bị người đương thời phê phán gay gắt Ngay cả Archimède cũng cho rằng các kết quả thu được bằng phương pháp này của mình vẫn chưa đủ sức thuyết phục, nhất thiết phải được chứng minh lại bằng phương pháp vét cạn

Cách chứng minh, theo phương pháp vét cạn, bao hàm ý tưởng của lý thuyết giới hạn về

sau này Nó còn chứa đựng yếu tố rất quan trọng của khái niệm giới hạn là : có thể tìm được giá trị gần đúng của một đại lượng với độ chính xác bao nhiêu cũng được

Nhưng trong phương pháp vét cạn chỉ đề cập đến đại lượng hình học chứ không nêu bật được ý tưởng về đại lượng biến thiên bất kỳ, cũng không có ý tưởng cho qua giới hạn (do lẫn tránh sự vô hạn)

Quả thực, phương pháp vét cạn cho phép họ tránh sử dụng vô hạn trong chứng minh (bằng lập luận phản chứng) Ngay cả đến cuối thế kỷ XVIII, mà Lagrange vẫn còn cho rằng

giới hạn không làm tác động sự vô hạn (“La limite ne met pas en jeu l’infini”, theo CORNU B (1983), trang 52) Đó là điều khác với lý thuyết giới hạn được xây dựng vào thế kỷ XIX

Sau Archimède, lịch sử xảy ra dồn dập những biến cố tưởng chừng như đã vùi lấp các tư tưởng của các nhà toán học cổ Hi Lạp Mãi đến thế kỷ XVI các tư tưởng đó mới được nhà toán học châu Aâu biết đến, kế thừa và phát triển Từ đây bắt đầu thời kỳ mà đề cập đến khái niệm vô hạn không còn bị coi là cấm kỵ như trước đây

Képler (1571 – 1630) đồng nhất đường tròn với một đa giác đều có số cạnh vô hạn và tính diện tích hình tròn bằng cách lấy tổng vô hạn các diện tích tam giác

vô cùng bé (có cạnh đáy là cạnh của đa giác đều và đỉnh là tâm hình tròn)

S(hình tròn) =  S(tam giác) = ½ ( cạnh đa giác đều) R = ½ 2R R = R2

Cavaliéri (1598-1647) đề xuất phương pháp những cái không thể chia được (indivisibles) vào năm 1635, có nguồn gốc từ ý tưởng của Démocrite, để tính diện tích và thể tích Do ông không xác định rõ nên ta chỉ có thể tạm hiểu rằng : Cái không thể chia được của một mẫu phẳng cho trước là một dây của mẫu đó và cái không thể chia được của một hình khối cho trước là một thiết diện phẳng của khối đó Một mẫu phẳng được coi là được tạo bởi một tập hợp vô hạn các dây song song và một hình khối được tạo bởi một tập hợp vô hạn các thiết diện phẳng song song So sánh những cái không thể chia được tạo nên các hình, mà việc xác định tỉ số kích thước của chúng là cơ sở của phương pháp những cái không thể chia được

Roberval (1602 – 1675) để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một cung cycloit đã đề

ra phương pháp những cái không thể chia được (độc lập với Cavaliéri) bằng cách xem xét các cấp số cộng vô hạn Khác với các tiền bối là tăng số cạnh của đa giác nội tiếp hay ngoại tiếp cho đến khi sự chênh lệch giữa nó và hình cần xét (về mặt diện tích) là nhỏ hơn một lượng cho trước, Roberval cho rằng một số vô hạn các đa giác sẽ phủ kín toàn thể hình phẳng đang xét

Có nguồn gốc từ phương pháp vét cạn, việc tính tổng vô hạn (tổng của chuỗi số), đã có từ thời Archimède (tính tổng của chuỗi 1/4n), được kế tục bởi Oresme (1323 – 1382) khi ông tính

tổng ½ + 2/4 + 3/8 + và chuỗi 3n/4n Đặc biệt Stevin (1586) dùng phương pháp của Archimède để xác định trọng tâm của hình phẳng và lập chuỗi 1 + ¼ + 1/16 + Nhưng trong khi Archimède dừng lại ở số hạng thứ n rồi thêm vào một lượng dư thì Stevin bổ sung các số hạng tiếp theo của chuỗi cho đến khi sự khác biệt giữa hình phẳng và đa giác xấp xỉ với nó đủ bé

Việc tính tổng vô hạn là một mầm mống cho sự nảy sinh khái niệm giới hạn, được phát triển rất mạnh vào thế kỷ 17

Grégoire de Saint Vincent (1584-1667) là người đầu tiên phát biểu rằng một chuỗi vô hạn xác định một đại lượng, mà ông đặt tên là “terminus” (mút cuối cùng, không vượt qua được) và áp dụng chuỗi để giải quyết nghịch lý “Achille không đuổi kịp rùa” của Zénon

Gregory (1638-1675) bắt đầu khai triển hàm số thành chuỗi : ông đưa vào từ “hội tụ” (vay mượn từ quang học)

***

Tóm lại, trong giai đoạn này, giới hạn chủ yếu vẫn liên quan đến các đại lượng hình học

khi tính diện tích, thể tích, Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ định sang khẳng định : việc tính tổng của chuỗi được phát triển và bắt đầu khai triển hàm số thành chuỗi Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật ngữ “terminus” , “hội tụ” Mầm mống của tư tưởng vô cùng bé (“cái không thể chia được”) cũng đã xuất hiện Nhưng các nhà toán học quan tâm nhiều đến việc tính tổng của các chuỗi hơn là suy nghĩ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi Những đối tượng dù không được định nghĩa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu quả của chúng Nói cách khác, khái niệm giới hạn chỉ mới là công cụ (ngầm ẩn) để giải toán, chưa phải là đối tượng để nghiên cứu

2 Giai đoạn 2 : Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII

Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé

Vào năm 1637, René Descartes (1596  1650) cho ra đời tác phẫm Discours de la méthode trong đó ông trình bày một phương pháp mới để nghiên cứu hình học: phương pháp kết hợp giữa hình học và đại số Phương pháp này là một khâu quan trọng trong việc chuyển đối tượng toán học từ các đaiï lượng không đổi trước đây sang đại lượng biến thiên Tác phẫm này

đã đặt nền móng cho Hình học giải tích và tạo ra một bước ngoặt trong Toán học Những bài toán mới đã tạo nên những phương pháp nghiên cứu mới (phương pháp chia nhỏ vô hạn), liên quan đến việc khảo sát các lượng vô cùng bé

Ban đầu khái niệm vô cùng bé thường được hiểu là một đại lượng tĩnh, tức là không thay đổi, không bằng 0 và đồng thời có giá trị tuyệt đối bé hơn mọi lượng hữu hạn Khái niệm vô cùng bé như vậy là vô cùng bé “thực tại” Về sau này , Newton mới có quan niệm về vô cùng bé “tiềm năng”, đó là đại lượng biến thiên mà chỉ trong quá trình biến thiên mới trở nên (về giá

trị tuyệt đối) bé hơn lượng hữu hạn bất kỳ (Theo FICHTENGÔN G M (1977), Cơ sở giải tích toán học, tập I)

Fermat (1601 – 1665) xây dựng một phương thức tổng quát để tính diện tích các parabol và hyperbol nhờ cấp số nhân Ông cũng giải bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu , xác định tiếp ảnh của một điểm thuộc đường cong Được xây dựng trên quan điểm Hình học giải tích mà ông là người sáng lập cùng với Descartes, phương thức của ông cho phép phát huy khía cạnh thuật toán của Giải tích các vô cùng bé

Thí dụ như, để tính diện tích dưới parabol y2 = x giữa 0 và x (xem hình vẽ)

lập nên một cấp số nhân vô hạn có số hạng đầu tiên là x x(1e), công bội là e e< 1 Do đó tổng diện tích các hình chữ nhật này cũng là tổng

S =

e e - 1

) e 1 ( x

=

) e e 1 )(

e - (1

) e 1 )(

e 1 ( x x

) e 1 ( x x

Pascal (1623 – 1662) đánh giá cao tầm quan trọng của phương thức giải tích và thay thế những cảm nhận trực giác của Cavaliéri bằng các lý luận số học về chuỗi Khi tính diện tích của parabol y = x2, (xem hình vẽ)

Ông chọn các điểm trên trục Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng (có công sai d) : d, 2d, 3d , , nd rồi dựng các hình chữ nhật có diện tích là d.(d), d.(2d)2 , d.(3d)2 , , d.(nd)2 Tổng diện tích các hình chữ nhật này là

S = d3 + 4d3 + 9d3 + + n2d3 = d3(12 + 22 + 32 + + n2) = d3[n/6 (n + 1)(2n + 1)] = d3(n3/3 + n2/2 + n/6) Nếu số hình chữ nhật (là n) tăng vô hạn, Pascal cho phép bỏ qua các số hạng n2/2 và n/6 khi so sánh tương quan với số hạng đầu tiên n3/3 (có thể hiểu là khi n rất lớn thì n2/2 và n/6 trở nên không đáng kể khi so sánh với n3/3) Khi đó tổng diện tích các hình chữ nhật sẽ tương đương với S = d3n3/3 = (nd)3/3 = x3/3

0.1 0.1

Sự bỏ qua các số hạng này do ông đối chiếu các quan điểm hình học với quan điểm số học, so sánh “cái không thể chia được” trong hình học với số 0 trong số học Sự đối chiếu này sẽ mang tính hệ thống trong các phương pháp vô cùng bé ở nửa sau tk 17

Newton (1642-1727) coi một đường không phải do những điểm kề nhau mà do một điểm chuyển động liên tục mà thành Nếu tại mỗi thời điểm của chuyển động, ta có khái niệm vận tốc tức thời thì tương ứng tại mỗi điểm của đường ta có khái niệm mà sau này gọi là đạo hàm Quan điểm này của động học (cinématique) đã nêu bật bản chất của chuyển động (so với nghịch lý “mũi tên” của Zénon ta thấy quan niệm về chuyển động ở đó còn sơ sài nên đã dẫn đến có mâu thuẫn)

Theo Newton thì hoành độ và tung độ của điểm chuyển động là những đại lượng biến thiên theo thời gian (Ở đây thời gian được hiểu không phải theo nghĩa đen của nó, mà có thể được hiểu là lượng bất kỳ t chẳng hạn, tăng dần đều theo thời gian thực sự) Mỗi đại lượng biến thiên x,y như thế gọi là một đại lượng chảy (fluenta) và vận tốc của nó , ký hiệu là x  ,y , gọi là sự chảy của đại lượng chảy (fluxi) Newton đưa ra khái niệm moment của lượng fluenta Đó là một đại lượng vô cùng bé mà một đại lượng chảy như x chẳng hạn sẽ tăng được trong một khoảng thời gian vô cùng bé là o (không phải 0, mà là số gia vô cùng bé “thực tại” của thời gian) Những moment này tỉ lệ với vận tốc (fluxi) : moment của đại lượng chảy x được cho bởi tích xo

Trong công trình lớn nhất của mình là Principia (xuất bản năm 1686-1687), Newton công bố quan điểm về vô cùng bé mà về nguyên tắc gần với quan điểm hiện đại : các vô cùng bé

“tiềm năng” (và các giới hạn của các tổng và các tỉ số của chúng) được đưa vào khảo sát thay cho các vô cùng bé “thực tại” Ông dành cho lý thuyết giới hạn độc đáo dưới đề mục “Phương pháp các tỉ số đầu và tỉ số cuối” Những tỉ số này của hai đại lượng là tỉ số giới hạn (tỉ số biến thiên) của chúng “Tỉ số đầu” biểu thị giới hạn tỉ số của hai đại lượng “phát sinh” (các vô cùng

bé) nghĩa là dạng vô định 0

0 “Tỉ số cuối” biểu thị tỉ số của cả các đại lượng “biến mất” (có thể là vô cùng bé, đại lượng hữu hạn hay vô cùng lớn) nghĩa là kết quả của việc khử dạng vô định

0

0 Newton cũng nói tới “tổng đầu của các đại lượng phát sinh” hay “tổng cuối của các đại lượng biến mất” Các khái niệm này đều không được định nghĩa và nội dung của chúng chỉ được làm sáng tỏ do phương pháp áp dụng chúng

Giả sử S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) không âm, các trục tọa độ và đường thẳng x = xo (xo > 0) Newton xét moment diện tích oS khi xo tăng thêm một lượng vô cùng bé o rồi tính tỉ số biến thiên của diện tích oS/o tại điểm có hoành độ xo và nhận thấy rằng tỉ số này bằng f(xo)

Leibniz xuất phát từ tiếp tuyến và tam giác đặc trưng (do Pascal đặt ra) để định nghĩa vi phân Đối với “các hiệu” (hiệu của hai giá trị gần nhau của đại lượng, ký hiệu bằng chữ d (differentia)) ; “các vi phân” (quantitas differentialis) của các lượng biến thiên x, y được ông ký hiệu là dx, dy Vi phân dy tỉ lệ với dx theo định nghĩa dy/dx = y/tiếp ảnh trong đó dx là lượng biến thiên bất kỳ của x

Đối với Leibniz, phép tính tích phân là phép tính tổng các diện tích hình chữ nhật vô cùng bé “thực tại” ydx (Quan niệm này của ông sẽ được kế tục bởi Cauchy, người đầu tiên đưa ra một định nghĩa chính xác của tích phân vào năm 1823)

y

Trong giai đoạn này, giới hạn đã được chính thức đặt tên (limit) bởi Newton Các nhà giải tích đã có ý tưởng trực giác về khái niệm giới hạn và họ đã sử dụng điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác Tuy nhiên vẫn chưa có một định nghĩa giới hạn nào chấp nhận được từ quan điểm của các nhà toán học đương thời Giới hạn là giới hạn của đại lượng biến thiên Đặc biệt lý thuyết về giới hạn của Newton đã mở rộng phạm vi của giới hạn Nó liên quan đến cả vô cùng lớn và tỉ số hai vô cùng bé mà đột phá là khái niệm “fluxi” (đạo hàm) Giới hạn bắt đầu chuyển từ hình học, cơ học sang lĩnh vực số qua các công trình của Leibniz về vi phân và tích phân Ông đã thiết lập được một hệ ký hiệu tổng quát và một hệ thống các qui tắc giải tích hình thức giúp ích rất nhiều cho sự phát triển giải tích từ nay về sau

Bài toán tính đạo hàm là khởi đầu cho sự phát triển của khái niệm giới hạn Chính trong phép tính vi phân, sự xuất hiện của khái niệm giới hạn như là không thể thiếu được Không thể nghiên cứu khái niệm giới hạn của một “tỉ số giới hạn” mà lại không tìm cách định nghĩa một

cách chính xác giới hạn của một đại lượng biến thiên (Theo CORNU B (1982), trang 640)

3 Giai đoạn 3 : Từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế kỷ XIX

Xây dựng lý thuyết giới hạn

Trong nửa sau tk 18, dù thái độ của các nhà toán học có khác nhau đối với giới hạn, vô cùng bé nhưng đều có cùng mục đích làm phát triển Giải tích

Đối tượng nghiên cứu của Euler (1707-1783) không phải là các đại lượng, cũng không phải những đặc tính hình học mà là những hàm số (biểu thức giải tích của hàm số) Ông là người

đầu tiên xây dựng phép tính các vô cùng bé thành một lý thuyết nhất quán một lớp rộng rãi các hàm số và bắt đầu trình bày nó như là một bộ môn giải tích thực thụ mà không phụ thuộc gì ở

cơ học và hình học (về mặt logic)

Lagrange (1736-1813), từ năm 1797, đã nổ lực làm cho Giải tích được chặt chẽ hơn trong quyển sách nhan đề “Lý thuyết các hàm giải tích” Đối với ông, khái niệm giới hạn không có tính thuyết phục và những phép toán trên số không bắt buộc phải sử dụng giới hạn Oâng cố gắng xây dựng toàn bộ phép tính vi phân mà không dùng đến các vô cùng bé, có tính chất thuần đại số, bằng cách biểu diễn hàm dưới dạng khai triển ra chuỗi lũy thừa và xác định đạo hàm như là hệ số ở số hạng thứ hai của khai triển ấy : Với mọi hàm số f(x) với biến số x bất kỳ, ông thay x bởi x + i , với i là lượng không xác định bất kỳ, khai triển thành chuỗi

f(x + i) = f(x) + pi + qi2 + ri3 +

các hệ số p,q,r, sẽ là những hàm số mới theo x, được phát sinh từ nguyên hàm f(x) và độc lập với i Ông lập luận được : p = f’(x) , q = f”(x)/2! , r = f”’(x)/3! ,

Đạo hàm của hàm số trở thành “một phép toán đại số mới”

Trong giai đoạn này, cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới hạn đã được chuyển hẳn sang lĩnh vực số Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái niệm giới hạn và vô cùng bé Trong khi Euler hết sức phát triển phép tính vô cùng bé thì Lagrange lại “tẩy chay” khái niệm giới hạn trong các công trình của mình Đặc biệt D’Alembert đã nhìn thấy được bản chất vấn đề cơ sở của giải tích khi kêu gọi phải xây dựng lý thuyết hoàn chỉnh về giới hạn

D’Alembert (1717-1783) là một thành viên soạn bộ Bách khoa toàn thư Ông tỏ ra rất quan tâm tới cơ sở của Giải tích và năm 1754 ông đã có một gợi ý quan trọng rằng lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững chắc cho Giải tích Oâng tin tưởng rằng “Lý thuyết giới hạn là siêu hình học chân chính của phép tính vi phân” (“la notion de

limite est la vraie métaphysique du calcul différentiel”, dans l’article Limite, Encyclopédie)

Nhưng những người cùng thời với ông lại ít chú ý tới gợi ý đó của ông

Cauchy (1789-1857) đã thực hiện thành công gợi ý của D’Alembert bằng cách phát triển một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ,” mà ngày nay vẫn thường được dùng Trước tiên, ông định nghĩa khái niệm hàm số Sau đó ông định nghĩa sự hội tụ, vô cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về giới hạn

Nhưng lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác đơn giản về hệ thống số thực Muốn trình bày thật chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì phải

có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực

Từ đó, Weierstrass (1815-1897) đã vận động thực hiện một chương trình “số học hóa giải tích”, trong đó trước hết bản thân hệ thống số thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của giải tích Ông đã định nghĩa giới hạn hàm số bằng khái niệm lân cận (năm 1880)

Như vậy, giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực, đã được định nghĩa tường minh Lý thuyết giới hạn chính thức trở thành nền tảng cho giải tích

III MỘT VÀI YẾU TỐ KẾT LUẬN

Việc tổng hợp, phân tích các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn cho phép chúng tôi rút ra một số đặc trưng khoa học luận chủ yếu sau đây của đối tượng này

1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Như nhiều khái niệm toán học khác, khái niệm giới hạn đã trải qua ba giai đoạn

phát triển chủ yếu, tương ứng với ba cơ chế khác nhau của nó

– Trong giai đoạn đầu tiên (Từ cổ Hy Lạp đến đầu thế kỷ XVII) nó lấy cơ chế của một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán (chủ yếu thuộc phạm vi hình học)

– Giai đoạn thứ 2 (Từ thế kỷ XVII đến nửa đầu thế kỷ XVIII) : Thuật ngữ giới hạn (limit) xuất hiện lần đầu ở Newton, nhưng vẫn chưa có một định nghĩa chính thức nào Giới hạn vẫn lấy

cơ chế công cụ mà chưa phải là đối tượng nghiên cứu Nói cách khác, nó xuất hiện dưới hình thức paramathématique

– Giai đoạn thứ 3 (từ nửa sau thế kỷ 18 đến thế kỷ 19) : Giới hạn chính thức có cớ chế của một khái niệm toán Nó đã được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học và là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán của Giải tích

2 Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn và các bài toán chủ yếu có liên quan

Khái niệm giới hạn đã ngầm ẩn xuất hiện đầu tiên trong phạm vi hình học từ phương pháp vét cạn của thời cổ Hi Lạp cho đến phương pháp những cái không thể chia được ở thế kỷ

16 để giải các bài toán về độ dài, diện tích, thể tích Từ các bài toán hình học này làm xuất hiện việc tính tổng vô hạn, khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số, nhưng chỉ ở mức độ kỹ thuật (tính chuỗi hội tụ) Sau đó khái niệm giới hạn thoát khỏi phạm vi hình học để đi vào phạm vi cơ học nhờ vào những nghiên cứu của Newton với lý thuyết các fluxi và tỉ số biến thiên

Theo một hướng khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại số các vô cùng bé”, Euler và Lagrange đã có nhiều công trình nhằm đại số hóa giải tích vào thế kỷ XVIII tuy vẫn còn nhiều hạn chế Đến thế kỷ XIX, với các công trình của Cauchy và Weierstrass khái niệm giới hạn xuất hiện trong phạm vi số thực và được định nghĩa một cách chính xác

 Như vậy, có thể tóm tắt là phạm vi tác động của khái niệm giới hạn gồm :

Hình học  Cơ học  Đại số  Số

 Các bài toán trong đó khái niệm giới hạn có cơ hội tác động là :

 Tính độ dài, diện tích hay thể tích (gắn liền chủ yếu với phương pháp vét cạn và với suy nghĩ về bản chất của các đại lượng hình học - ngầm hiểu là tìm giới hạn của các yếu tố hình học như

đa giác nội tiếp trong đường tròn,…) Ta có thể kể ra như :

Xấp xỉ hình viên phân parabol bằng các tam giác, hợp thành đa giác nội tiếp trong hình viên phân (Archimède)

Xấp xỉ tam giác cong parabol bằng các hình chữ nhật, hợp thành hình bậc thang ngoại tiếp tam giác cong đó (Fermat)

Xấp xỉ tam giác cong parabol bằng các hình chữ nhật có cùng chiều rộng, hợp thành hình bậc thang ngoại tiếp tam giác cong đó (Pascal)

Dùng tỉ số biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm là giá trị hàm số đó (Newton)

Diện tích hình thang cong là ý nghĩa hình học của khái niệm tích phân xác định (giới hạn của một tổng tích phân) (Cauchy)

Có thể nói, hình học là động lực đầu tiên thúc đẩy sự nảy sinh và phát triển của khái niệm giới hạn Nhưng đồng thời cũng chính hình học gây nên sự gò bó cho khái niệm này, vì khó khăn dứt bỏ quan điểm hình học để chuyển sang lĩnh vực số, dẫu rằng đó là quá trình hết sức cần thiết

– Tính tổng của chuỗi số Dạng toán này xuất xứ từ hình học nhưng đã nhanh chóng trở thành dạng toán độc lập, giúp củng cố các kỹ thuật tính toán, chuyển sang lĩnh vực số

– Tính đạo hàm (giới hạn của cát tuyến, vận tốc tức thời,…) Nếu như điều thường thấy trong dạy học toán ở nhiều nước là : khái niệm đạo hàm thường xuất hiện như một áp dụng của khái niệm giới hạn, thì ở đây chính ý muốn tính đạo hàm, chính xác hơn là ý muốn biết kết quả của tỉ số của hai đại lượng biến thiên (vô cùng bé) đã là nhân tố cốt yếu cho khái niệm giới hạn phát triển Công trình của Newton là một minh họa rõ ràng cho điều này Liên quan đến dạng toán này, cũng cần kể đến các bài toán tìm cực đại và cực tiểu (thường có xuất xứ từ hình học)

3 Các đối tượng có liên quan

Sự nảy sinh và phát triển khái niệm giới hạn gắn liền với các khái niệm khác phát triển đồng thời với nó

Vị trí đầu tiên dành cho khái niệm vô hạn Lịch sử của giới hạn gắn bó với lịch sử của khái niệm này Ngay cả khi ngờ vực và chối bỏ thuật ngữ ‘’vô hạn’’ thì trong bản thân phương pháp vét cạn của các nhà toán học cổ Hy Lạp cũng ngầm chứa sự tác động của khái niệm vô hạn

Vô hạn có vai trò như vừa như một chướng ngại vừa như một động cơ Không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan niệm thỏa đáng về vô hạn Nhưng vô hạn cũng là một nhân tố tiến bộ, thí dụ như chính vì “nỗi sợ” sự vô hạn, sự do dự khi sử dụng vô hạn trong toán học đã

khiến người Hi Lạp tìm đến phương pháp vét cạn và thúc đẩy D’Alembert tìm cách định nghĩa minh bạch khái niệm giới hạn

Những khái niệm khác có vai trò quyết định trong lịch sử của giới hạn như : diện tích, thể tích, cấu trúc của các đại lượng này, khái niệm thời gian (nhiều nhà toán học đã chuyên tâm nghiên cứu vai trò của thời gian trong khái niệm toán học, và đặc biệt là sự kiện “giới hạn có đạt được hay không ?”)

Những khái niệm có tính kỹ thuật như dãy số, chuỗi số (vào thời D’Alembert, các thuật ngữ dãy số và chuỗi số là đồng nghĩa với nhau), vô cùng bé hay những khái niệm cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng với lịch sử của giới hạn

Chắc chắn là khái niệm hàm số có vai trò quan trọng Để làm cho giới hạn thành một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số, phải làm rõ khái niệm hàm số Euler và Lagrange đã có những đóng góp chính trong việc này Khái niệm hàm số được phụ thêm vào bởi khái niệm đạo hàm Sau đó là các bài toán về liên tục, về tích phân cho phép xác định rõ hơn nữa khái niệm giới hạn Đặc biệt là mối liên hệ sâu xa giữa khái niệm giới hạn với số thực mà Weierstrass đã chứng tỏ : có làm chặt chẽ hệ thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được khái niệm giới hạn

Chúng ta còn có thể kể ra những khái niệm của động học : chuyển động của chất điểm và đặc biệt nhất là vận tốc tức thời

Khi quan tâm đến mặt số lượng của khái niệm giới hạn, người ta đã phát triển các khái niệm tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới

Cuối cùng, về sau này, các khái niệm như cận trên, cận dưới, điểm tụ dần dần được xác định rõ, phân biệt với khái niệm giới hạn

4 Các quan điểm về khái niệm giới hạn

Theo TROUCHE L (1996) có thể nhóm lại 3 quan điểm chủ yếu sau đây về

khái niệm giới hạn

a) Quan điểm xấp xỉ (approximation)

Quan điểm này thể hiện trong nhiều phạm vi tác động của khái niệm giới hạn :

 Xấp xỉ hình học, chẳng hạn qua phương pháp vét cạn của Eudoxe, qua phép phân hoạch của Fermat và Pascal để tính diện tích parabol

 Xấp xỉ đại số (khi tính tổng của chuỗi số,…)

 Xấp xỉ số (khi xấp xỉ một số vô tỉ bởi dãy các số thập phân, )

Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ

 - , như BKOUCHE R (1996) đã phân tích :

‘’Định nghĩa theo (,) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ này.’’

b) Quan điểm động học (cinématique)

Quan điểm này thể hiện rõ nét qua lý thuyết các fluxi của Newton Ngoài ra nó cũng hiện diện ở các nhà toán học ở thế kỷ 19 khi tìm cách định nghĩa giới hạn bằng vô cùng bé, định nghĩa giới hạn hàm số bằng giới hạn dãy số

Theo phân tích của BKOUCHE R (1996) :

‘’Đúng như tên gọi của nó, quan điểm này gắn liền với chuyển động Nếu một đại lượng biến x dần về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa là nó lấy những giá trị càng ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghĩa là một hàm số của x) dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá trị a thì đại lượng y cũng gần tới b ’’

BKOUCHE R (1996) cũng làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan điểm động học :

‘’Nếu trong khái niệm động học chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm xấp xỉ, chính độ xấp xỉ mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến.’’

c) Quan điểm đại số hóa (opératoire)

Manh nha từ khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa của Newton, quan điểm này đã xuất hiện ở Leibniz khi đề ra những thuật toán, ngôn ngữ hình thức trong phép tính vi phân Đến thế kỷ 18 nó được Euler và Lagrange phát triển rất mạnh trong cố gắng đại số hóa giải tích

Trong quan điểm này, vấn đề là tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm tới bản chất của những đối tượng này

Khái niệm giới hạn đã được đưa vào trong chương trình và sách giáo khoa toán trung học phổ thông như thế nào ? Nó xuất hiện trong những kiểu tình huống và dạng bài tập nào ? Đặc trưng của những tình huống và dạng bài tập đó ? Đối tượng này lấy nghĩa như thế nào qua những tình huống trên ?

Việc phân tích để có được câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ dựa trên những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn mà chúng tôi đã làm rõ trong chương trước

Các tài liệu dùng cho phân tích trong chương này là :

1 Chương trình và sách giáo khoa môn Toán THPT giai đoạn 1990  1999

2 Chương trình và sách giáo khoa môn toán THPT hiện hành (2000  2004)

3 Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 Bộ giáo dục và đào tạo, NXBGD 2000

II.- PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH

1 Chương trình những năm 1990

Việc dạy học khái niệm giới hạn được tổ chức trong 2 cấp lớp :

– Lớp 11 : Dãy số ; Giới hạn của dãy số ; Giới hạn của hàm số (20 tiết)

Mức độ yêu cầu cần đạt về khái niệm giới hạn là :

”Bước đầu hiểu được khái niệm giới hạn hàm số, sử dụng được các định lý về giới hạn, tìm giới hạn một dãy số khi n  ; giới hạn các hàm số thường gặp khi x  a, x ”

– Lớp 12 : Hàm số và giới hạn của hàm số (15 tiết)

Ứng với chương trình này có ba bộ sách giáo khoa được lưu hành song song

2 Chương trình năm 2000 (chương trình chỉnh lý hợp nhất)

Theo Tài liệu hướng dẫn giảng dạy Toán 11 (TLHDGD), trang 3, quan điểm cơ bản của Bộ Giáo dục và Đào tạo về xây dựng chương trình hợp nhất là :

 Không thay đổi chương trình năm 1991

 Giảm tải, nghĩa là giảm nhẹ mức độ yêu cầu, đồng thời giản lược những nội dung quá phức tạp xét thấy không cần thiết

Theo đó khái niệm giới hạn được giới thiệu chủ yếu trong năm học lớp 11, cụ thể trong chương II : Giới hạn của dãy số và của hàm số Chương này được giảng dạy trong 14 tiết

Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng chương trình năm 2000 vẫn giữ nguyên cấu trúc của tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn như chương trình năm 1991 :

Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số  Hàm số liên tục

Trình tự này có tính truyền thống : Giới hạn dãy số luôn là xuất phát điểm của khái niệm giới hạn Những trình tự như :

Giới hạn hàm số  Giới hạn dãy số  Hàm số liên tục hay : Hàm số liên tục  Giới hạn hàm số  Giới hạn dãy số

hoàn toàn vắng bóng trong chương trình Toán THPT ở Việt nam

Ngoài ra trong chương trình năm 2000 này, “Giới hạn dãy số” còn được khẳng định là công cụ để định nghĩa “giới hạn hàm số” mà chúng tôi sẽ trình bày tiếp theo đây

Đặc biệt, chương trình năm 2000 nêu rõ hơn những yêu cầu về tri thức cần giảng dạy so với chương trình năm 1991 :

- Không dùng ngôn ngữ , khi định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số

- Định nghĩa giới hạn hàm số thông qua giới hạn dãy số

- Thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn

Do đâu mà định nghĩa của Cauchy (dùng ngôn ngữ -) đã không được chọn để định nghĩa giới hạn hàm số ? Trong TLHDGD , trang 62, có giải thích rõ :

“Kinh nghiệm lịch sử của Toán học gần 200 năm nay chứng tỏ rằng định nghĩa đó đáp ứng đầy đủ

các yêu cầu của Giải tích Song về mặt sư phạm, thì học sinh lớp 11 rất bỡ ngỡ và cảm thấy khó hiểu, khó nắm được nội dung quá phức tạp của định nghĩa trên.”

Vì lý do đó, bản đề cương chỉnh lý hợp nhất Đại số và Giải tích 11 qui định : “Định nghĩa

giới hạn của hàm số thông qua giới hạn của dãy số , không dùng ngôn ngữ - Cách trình bày lý thuyết giới hạn theo ngôn ngữ “dãy số” dễ hiểu hơn và do đó dễ tiếp thu hơn Chắc chắn đây là biện pháp giảm tải quan trọng nhất, có hiệu quả nhất”

Nhận định này không phải đến lúc này mới có Trước đây, trong sách “Phương pháp dạy học môn Toán, phần hai” (1994), trang 160, tác giả Đinh Nho Chương đã từng viết :”Hiện nay trên phạm vi quốc tế cũng đã có những ý kiến cho

rằng không được dùng ngôn ngữ ,  đối với học sinh phổ thông” ”Về mặt trừu tượng, định nghĩa 1 cũng “không kém” trừu tượng hơn so với định nghĩa 2 Tuy nhiên vì nó dựa trên khái niệm giới hạn của dãy số đã trình bày trước đó, nên học sinh dễ chấp nhận hơn mà thôi”1

Như vậy, điểm tựa sư phạm là tránh quan điểm xấp xỉ và nhấn mạnh trên quan điểm đại số hóa Về mặt lý thuyết, giới hạn hàm số trở nên gần như là hệ quả của giới hạn dãy số và mất

đi sự độc lập vốn có của nó như trong trong lịch sử

III. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA HIỆN HÀNH

Phân tích này dựa trên sách giáo khoa : Đại số và Giải tích 11 - Trần văn Hạo và Ngô Thúc Lanh (chủ biên), NXBGD 2000 Đây là cuốn sách giáo khoa duy nhất được dùng trong trường THPT ở Việt Nam

Khái niệm giới hạn được trình bày trong chương IV, nhan đề ‘’Giới hạn’’, bao gồm ba phần :

§1 Giới hạn của dãy số

§2 Giới hạn của hàm số

§3 Hàm số liên tục

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ phân tích §1 và §2

1 Phần lý thuyết

1

Định nghĩa 1 : “Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến a nếu với mọi dãy số (xn ) hội tụ về a (x n  a) thì dãy số tương ứng (f(x n )) luôn luôn hội tụ về b”

Định nghĩa 2 : “Số b được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến a nếu với số  > 0 tùy ý tồn tại số  > 0 ( phụ

thuộc vào  ) sao cho với mọi x  a thỏa điều kiện x  a<  thì f(x)  b <  “

(Đại số và Giải tích 11 – Sách giáo viên , Trần văn Hạo (chủ biên), 1991)

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1) Về định nghĩa giới hạn của dãy số

Xuất phát từ một ví dụ cụ thể với dãy số un =3 1

3

n n

Với mục đích giải thích cho cụm từ ’’có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là

n đủ lớn.’’, một vài trường hợp cụ thể đã được xét đến và ký hiệu  xuất hiện với tư cách là số

dương nhỏ tùy ý

Tiếp theo, định nghĩa theo ngôn ngữ -N sau đây được trình bày :

“Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là a nếu với mọi số dương  cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n >N thì u na < 

Việc kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với -N và một định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ -N bao hàm trong đó các quan niệm khác nhau về khái niệm giới hạn : quan niệm động học (hình ảnh các điểm un tiến dần về 1 khi n tăng dần) và quan niệm xấp xỉ

Đồng thời trong bước định nghĩa này, một số khái niệm đã xuất hiện ngầm ẩn như : vô cùng bé, xấp xỉ

2) Về các định lý

Sau khi định nghĩa giới hạn của dãy số, SGK đưa vào một loạt các định lý Đầu tiên là 3 định lý nhằm nêu lên điều kiện tồn tại giới hạn của dãy số :

ĐL1 : (điều kiện cần để dãy số có giới hạn)

“Nếu một dãy số có giới hạn thì nó bị chặn”

Định lý này tương đương logic với điều kiện đủ để dãy số không có giới hạn

“Nếu dãy số không bị chặn thì không có giới hạn”

ĐL2 : (tính duy nhất của giới hạn)

“Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất”

ĐL3 : (điều kiện đủ để dãy số có giới hạn - ĐL Weirstrass)

“Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn”

Tiếp theo là 3 định lý và các ví dụ áp dụng nhằm nêu lên cách tìm giới hạn của một dãy số đã cho , điều mà không thể chỉ vận dụng định nghĩa mà tìm được :

ĐL4 : (Giới hạn của một dãy số kẹp giữa hai dãy số dần tới cùng một giới hạn) :

“Cho ba dãy số (u n ) , (v n ) và (w n )

Nếu n N* ta có v nu nw n và lim v n = lim w n = A thì lim u n = A.’’

ĐL5 : (Các phép toán trên các giới hạn của dãy số) :

Nếu có lim un và lim vn thì :

lim (un  vn) = lim un  lim vnlim (un vn) = lim un lim vn lim (un / vn) = lim un / lim vn (nếu lim vn 0) lim un  lim un (un  0 , n  N* ) ĐL6 : Nếu q< 1 thì lim qn = 0 (ngầm ẩn là một dạng vô cùng bé)

Các định lý này đều được SGK thừa nhận, không chứng minh

Muốn chứng minh các định lý này (không kể những định lý mà phép chứng minh cần đến những kiến thức nằm ngoài chương trình toán phổ thông nên phải thừa nhận) phải vận dụng định nghĩa của giới hạn dãy số Sách TLHDGD, trang 58, có giải thích :

« Phép chứng minh các định lý ấy tất nhiên phải dựa vào định nghĩa của giới hạn của dãy số Riêng các định nghĩa đó cũng đã phức tạp rồi Hơn nữa khi tìm giới hạn thì chỉ cần vận dụng các định lý, chứ không cần sử dụng các phép chứng minh Vì những lý do đó, để giảm tải, chúng tôi thừa nhận, không chứng minh một số định lý »

Việc chỉ thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn cũng đồng nghĩa với việc quan điểm xấp xỉ không có cơ hội được thể hiện ngay từ buổi đầu dạy học giải tích Điều đó có thể sẽ làm giảm thiểu ấn tượng về tinh thần của Giải tích toán học đối với học sinh Cùng với

« Yêu cầu đối với học sinh là phải biết cách vận dụng các định lý này để tìm giới hạn của các dãy số thường gặp » (TLHDGD, trang 58), SGK đã mở đường cho quan điểm đại số hóa lấn át quan điểm xấp xỉ, chiếm lĩnh việc dạy học khái niệm giới hạn

3) Ứng dụng của các định lý

 ĐL6 được ứng dụng để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q (với q< 1) : S =

u1 + u2 + u3 + + un + = lim (u1 + u2 + u3 + + un)

= lim u1(1qn / 1q) = u1 / 1q Vậy giới hạn 0 của dãy số qn là cơ sở để tính tổng của chuỗi số u1 + u2 + u3 + + un + Đây là một kiểu bài toán đã được phân tích trong khoa học luận (Chương I)

 ĐL3 được ứng dụng để định nghĩa số e : e = lim(1+ 1/n)n

e là một số vô tỉ và SGK cũng cho biết e  2,71828

Ta nhận thấy, giá trị gần đúng này của số e có thể tìm được bằng cách xấp xỉ , chẳng hạn khi cho n = 800000 thì số hạng tương ứng của dãy số (1+ 1/n)n sẽ xấp xỉ với 2,71828013 (kết quả này theo máy tính bỏ túi)

4) Định nghĩa dãy số dần tới vô cực :

Bắt đầu từ dãy số un = (-1)n 2n mà dạng khai triển của nó cho thấy un có thể lớn bao

nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn Và để giải thích cho cụm từ ’’có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.’’, một trường hợp cụ thể đã được xét đến

Sau đó, SGK định nghĩa dãy số dần tới vô cực bằng ngôn ngữ (M,N) :

“Ta nói rằng dãy số (u n ) dần tới vô cực nếu với mọi số dương M (lớn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n > N thì u n > M

Đến đây, xuất hiện ngầm ẩn khái niệm vô cùng lớn

Tiếp đóù SGK thừa nhận, không chứng minh định lý (ĐL7) về sự liên quan giữa dãy số có giới hạn 0 và dãy số dần tới vô cực :

Nếu lim u n = 0 (u n 0 , n  N*) thì lim 1/u n =  Ngược lại , nếu lim u n =  thì lim 1/u n = 0

ĐL7 bổ sung cho ĐL5 trong việc tìm lim un/vn :

 Ở ĐL5 : Chỉ tìm được lim un/vn khi lim vn  0

 Đến ĐL7 : Khi lim vn = 0 và lim un 0 thì lim un/vn =  Các định lý 5,6,7 đã tạo nên cơ sở đầy đủ để đại số hóa việc tìm giới hạn của dãy số

§2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1) Định nghĩa giới hạn của hàm số :

Sau khi đưa ra một ví dụ minh họa, SGK định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần tới

a, thông qua giới hạn của các dãy số (f(xn)) và(xn) :

“Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K, có thể trừ ở điểm a K

Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L (hay dần tới L) khi x dần tới a, nếu với mọi dãy số (x n ) (x nK, x n a ,n  N*) sao cho khi limx n = a thì lim f(x n ) = L »

Như vậy, người ta đã né tránh hoàn toàn quan điểm xấp xỉ và nhấn mạnh quan điểm động học trong việc định nghĩa khái niệm giới hạn của hàm số Hơn nữa ẩn đàng sau đó vẫn là sự coi trọng quan điểm đại số hóa, vì bây giờ việc tìm giới hạn của hàm số chỉ quy về tìm giới hạn của dãy số nhờ vào các phép toán bản chất đại số

2) Các định lý

Tiếp theo là các định lý được SGK thừa nhận, không chứng minh (như đối với các định lý về giới hạn của dãy số) :

ĐL1 : (Tính duy nhất của giới hạn)

‘’Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới a thì giới hạn đó là duy nhất’’

ĐL2 : (Các phép toán trên các giới hạn của hàm số)

lim

 [f(x) / g(x)] =

a x

lim

 f(x) /

a x

lim

 g(x) (nếu

a x

lim

 g(x)  0)

a x

lim



f(x) lim f(x)

a

x 

ĐL3 : (Giới hạn của một hàm số kẹp giữa hai hàm số cùng dần tới một giới hạn)

“Cho ba hàm số f(x) , g(x) và h(x) cùng xác định trên một khoảng K chứa điểm a (có thể trừ

ở điểm a K) Nếu với mọi điểm x của khoảng đó g(x) f(x) h(x) và nếu

a x

lim

 g(x) =

a x

lim

 h(x) = L thì

3) Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số

Đối với hàm số, khái niệm giới hạn cần được mở rộng trong các trường hợp sau : a)

b) f(x)  L (hữu hạn hoặc vô hạn) (x  )

c) f(x)  L (hữu hạn hoặc vô hạn) (x  a hay x  a+) Các định nghĩa này đều có chung một cấu trúc, dựa trên định nghĩa tổng quát của giới hạn theo ngôn ngữ “dãy số” (bằng lời văn hoặc bằng ký hiệu)

BẢNG THỐNG KÊ CÁC GIỚI HẠN ĐÃ ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA TRONG PHẦN LÝ THUYẾT

Tiếp theo SGK thừa nhận, không chứng minh ĐL5 (tương tự ĐL7 của giới hạn dãy số) và ĐL6 :

ĐL5 : Nếu

a x

lim

 f(x) = 0 (và f(x)  0 với mọi x đủ gần a) thì

a x

lim

 1/f(x) =  Ngược lại , nếu

a x

lim



f(x) =  thì

a x

lim

 1/f(x) = 0

ĐL6 :

a x

lim f(x) =



 a x

lim f(x) = L

BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC ĐỊNH LÝ CỦA GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ

NỘI DUNG CỦA ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN

DÃY SỐ

GIỚI HẠN HÀM SỐ

Đk cần của giới hạn dãy số ĐL1

Đk đủ của giới hạn dãy số ĐL3

4) Các dạng vô định :

d) lim [u(x) v(x)] khi lim u(x) = lim v(x) = + (hay ) [dạng ]

(Trong giới hạn dãy số cũng ngầm ẩn có các dạng vô định này)

SGK cũng nêu phương pháp chung để khử các dạng vô định là biến đổi các hàm số u(x) và v(x) về các trường hợp có thể áp dụng các định lý về giới hạn

Đặc biệt, SGK đưa vào một Chú ý : +  () = + ngầm ẩn rằng không phải một

phép toán về  nhất thiết là dạng vô định

Về vấn đề này, chúng tôi tự hỏi : Thế còn đối với các giới hạn khác nữa có liên quan đến

 thì sao ? Rõ ràng là một “chú ý” như trên chưa bao hàm hết tất cả các trường hợp

2 Các tổ chức toán học

Chúng tôi hệ thống và phân tích các bài toán về giới hạn (bao gồm các ví dụ, bài tập, bài tập ôn chương, bài tập làm thêm) trong SGK và sách bài tập theo các nhóm Trong mỗi nhóm, sẽ trình bày các kiểu nhiệm vụ Ti, kỹ thuật i và các yếu tố công nghệ i tương ứng với kỹ thuật này

 T1 : Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là số a

1 :  Lấy  > 0 tùy ý

 Biến đổi bất đẳng thức un  a <  về dạng n > A

 Kết luận, với N  A thì un  a <  với mọi n > N

1 : Định nghĩa giới hạn dãy số

Ví dụ về T1(SGK,ví dụ 3, tr108) : Chứng minh rằng lim 2n - 3

n = 2

Giải : Với  > 0 cho trước (nhỏ bao nhiêu tùy ý), ta có :

 T2 : Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số

2 Chứng minh dãy số (un) tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới)

2 ĐL3 của giới hạn dãy số

 Phạm vi hoạt động của kỹ thuật 2 : Một số dãy số truy hồi

 T3 : Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số

*31  Đặt L = lim un = lim un+1

 Lấy giới hạn hai vế của công thức truy hồi để có được một phương trình

theo L

 Giải phương trình tìm L

31 ĐL2 của giới hạn dãy số

 Phạm vi hoạt động của kỹ thuật 31 : Một số dãy số truy hồi

Ví dụ về T2 + (T3,31) (SGK, bài tập 4, tr115 & Sách bài tập, tr119) :

Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 , un+1 = un+1

2 (*) Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn Tìm giới hạn đó

Giải : Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được dãy số này giảm

Bằng phương pháp qui nạp, ta cũng chứng minh được dãy số này bị chặn dưới bởi 1 Vậy theo ĐL3, dãy số này có giới hạn

Đặt a = lim un  lim un+1 = lim un = a (ĐL2)

Lấy giới hạn hai vế của (*) ta được : a = a+1

2  a = 1 Vậy lim un = 1

*32  Tìm chặn trên, chặn dưới của f(n) : m  f(n)  M

 Chứng minh : m/g(n)  un  M/g(n)

 Chứng minh : m/g(n)  L , M/g(n)  L

 Kết luận un L

32 Các ĐL kẹp giữa

Phạm vi hoạt động của kỹ thuật 32 :

Các dãy số (hay hàm số) có dạng f(n) /g(n) với f(n) bị chặn

Ví dụ về (T3,32) (SGK, ví dụ e, tr111) : Tìm lim sinn

*33B Biến đổi biểu thức để khử dạng vô định và đưa về dạng 33A

Phạm vi hoạt động của kỹ thuật 33B : Các giới hạn dãy số, giới hạn hàm số (kể cả giới hạn một bên) thuộc dạng vô định

33 * Các ĐL đại số giới hạn

* Các ĐL về giới hạn 0 và 

* ĐL của hàm số liên tục

*

x

sinx lim

0

x 

= 1 (thừa nhận trong bài tập ôn chương, tr138)

Ví dụ về (T3,33a) (SGK, ví dụ 3 , tr120)

2 x

Ví dụ về (T3,33b) (SGK, ví dụ b , tr127) Tìm



 x

lim x3 + 2x - 1 2x2 + 1 (dạng  /  )

Giải : Chia cả tử và mẫu cho x3 , ta được :

(vì tử dần tới 1 và mẫu dần tới 0 khi x   )

*34  Tính giới hạn bên trái L1

 Tính giới hạn bên phải L2

 So sánh L1 và L2 : L1 = L2 Suy ra

a x

lim

f(x) = L1

 T4 : Chứng minh tồn tại hay không tồn tại giới hạn hàm số

4  Tính giới hạn bên trái L1

 Tính giới hạn bên phải L2

 So sánh L1 và L2 : Nếu L1 = L2 thì tồn tại

a x

lim

f(x) = L1

Nếu L1  L2 thì không tồn tại

a x

lim

f(x)

 T5 : Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số

5  Tính giới hạn bên trái L1

 Tính giới hạn bên phải L2

 Giải phương trình L1 = L2 để tìm giá trị tham số

 Các kỹ thuật 34, 4, 5 đều có phạm vi hoạt động : các hàm số cho bởi nhiều biểu thức và có cùng công nghệ 34 = 4 = 5 : ĐL6 của giới hạn hàm số

Ví dụ về T5 (SGK, ví dụ 3 , tr125) Cho hàm số f(x) =

a x

1

x khi 3 x

lim f(x) =



1 x

lim (x2  x + 3) = 3



1 x

lim f(x) =



1 x

lim f(x) =



1 x

 T6 : Phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số (mở rộng)

6 Phát biểu tương tự với các định nghĩa đã có trong SGK

6 Các định nghĩa giới hạn hàm số đã có trong SGK

Ví dụ về T6(bài tập 8, tr130) Hãy định nghĩa : Hàm số f(x) dần tới vô cực khi x dần tới vô cực (ký hiệu là

 T7 : Tính tổng cấp số nhân

7  Xác định số hạng đầu tiên u1 và công bội q (thỏa q< 1) của cấp số nhân

- Nhận dạng cấp số nhân lùi vô hạn (nếu nó chưa được chỉ rõ)

 Thay u1 và q vào công thức tính tổng

7 ĐL6 (của giới hạn dãy số)

Phạm vi hoạt động của kỹ thuật 7 : Các cấp số nhân lùi vô hạn

Chú ý : Trong phần bài tập có duy nhất một bài tập sau đây thuộc dạng bài tập về “mô hình hóa” mà việc tìm kết quả chính là tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn Vì thế, chúng tôi xếp luôn bài tập này vào kiểu nhiệm vụ T7

Ví dụ về T7 : : (SGK, bài tập 7, tr116 & Sách bài tập, tr121)

Trong một hình vuông cạnh a, người ta nối với nhau các trung điểm của 4

cạnh và được một hình vuông mới, lại làm như thế đối với hình vuông mới và cứ

tiếp tục làm như thế mãi (xem hình) Tìm giới hạn tổng các diện tích của tất cả các hình vuông tạo thành

D2

Giải : Các hình vuông tạo thành có diện tích lập thành cấp số nhân (Sn) có số hạng đầu tiên S1 = a2 , công bội q = ½ (q < 1)

Vậy tổng Tn = S1 + S2 + S3 + + Sn  2dt(ABCD)

Ta nhận thấy Tn và 2dt(ABCD) có chênh lệch bé tùy ý với n đủ lớn

Nói cách khác : S = S1 + S2 + S3 + + Sn + = lim Tn = 2dt(ABCD) = 2a2

Các định nghĩa, định lý về giới hạn hầu như vừa có vai trò nêu kỹ thuật giải của kiểu nhiệm vụ tương ứng, vừa có vai trò công nghệ giải thích cho các kỹ thuật đó Ngoài ra còn có vài định lý (ĐL1, ĐL4 trong giới hạn hàm số) có vai trò “công nghệ tiềm tàng”, không giải thích cho kỹ thuật của một kiểu nhiệm vụ nào cả (trong chương trình Toán lớp 11)

HỆTHỐNGCÁCKIỂUNHIỆMVỤ,KỸTHUẬTVÀPHẠMVIHOẠTĐỘNG

T1 : Chứng minh dãy số (un) có giới hạn là số a

T2 : Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy số

2 có phạm vi hoạt động là các dãy số truy hồi

T3 : Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số

31 có phạm vi hoạt động là các dãy số truy hồi

32 có phạm vi hoạt động là các dãy số (hàm số) có dạng f(n)/g(n) với

f(n) bị chặn

33A có phạm vi hoạt động là các giới hạn không thuộc dạng vô định

33B có phạm vi hoạt động là các giới hạn thuộc dạng vô định

34 có phạm vi hoạt động là các hàm số cho bởi nhiều biểu thức

T4 : Chứng minh tồn tại hay không tồn tại giới hạn hàm số

4 có phạm vi hoạt động là các hàm số cho bởi nhiều biểu thức

T5 : Tìm giá trị của tham số để tồn tại giới hạn của hàm số

5 có phạm vi hoạt động là các hàm số cho bởi nhiều biểu thức

T6 : Phát biểu định nghĩa giới hạn hàm số (mở rộng)

T7 : Tính tổng cấp số nhân

7 có phạm vi hoạt động là các cấp số nhân lùi vô hạn

PHÂN LOẠI CÁC KIỂU NHIỆM VỤ THEO QUAN ĐIỂM KHOA HỌC LUẬN

Loại 1 : Cho phép thao tác các kỹ thuật bản chất giải tích : T1, T2, T3(31 hay 32)

Loại 2 : Cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm động học : T6

Loại 3 : Chỉ dùng đến phép toán đại số giới hạn : T3(33A , 33B hay 34),T4, T5,T7

BẢNG THỐNG KÊ CÁC BÀI TOÁN THEO PHÂN LOẠI

KIỂU

NHIỆM VỤ

KỸ THUẬT

VÍ DỤ

TỈ LỆ

%

BÀI TẬP

BÀI TẬP ÔN

BÀI TẬP LÀM THÊM

Nhận xét Phân tích các tổ chức toán học chứng tỏ rằng :

 Các nhiệm vụ thuộc loại 3 chiếm một vị trí gần như độc quyền : 80,6% trong các ví dụ và 87,0% trong phần bài tập Đặt biệt chúng chiếm 100% bài tập ôn tập chương - nơi quy tụ các bài tập có tính định hướng về nội dung cần ưu tiên trong các bài kiểm tra và bài thi Điều này chứng tỏ thể chế dạy học nhấn mạnh trên quan điểm đại số hóa trong việc xây dựng và tổ chức các kiến thức cần giảng dạy về giới hạn

Số bài tập thuộc nhóm 1 chỉ chiếm 16,1% trong các ví dụ của phần lý thuyết, nhưng lại chỉ 9,1% trong tổng số các bài tập Mặt khác chúng lại không xuất hiện trong phần bài tập ôn tập chương Như vậy, dường như thể chế chỉ mong muốn tư tưởng xấp xỉ thể hiện một cách thoáng qua ở học sinh và dường như các em không có trách nhiệm phải tính đến các nhiệm vụ cho phép thao tác với các kỹ thuật bản chất giải tích

Quan điểm động học giữ vị trí yếu nhất, thể hiện qua tỉ lệ mà các nhiệm vụ thuộc nhóm 2 có có được (3,2% ví dụ và 3,9% bài tập)

IV  KẾT LUẬN

1) Nhìn từ quan điểm khoa học luận

Việc xây dựng và tổ chức các kiến thức cần giảng dạy về khái niệm giới hạn dựa gần như tuyệt đối trên quan điểm đại số hóa Quan điểm xấp xỉ chỉ được thể hiện khá sơ sài trong phần đầu của chương “Giới hạn”, cụ thể là qua tiến trình định nghĩa giới hạn của dãy số và qua một vài định lý thể hiện kỹ thuật chặn trên, chặn dưới Về quan điểm động học, nếu không kể việc minh họa giới hạn dãy số trên trục số trong ví dụ mở đầu, SGK chỉ thể hiện quan điểm động học khi định nghĩa các trường hợp giới hạn của hàm số và chỉ gói gọn trong lĩnh vực đó

Phân tích chương trình, sách giáo khoa cũng cho thấy một sự phân vùng về mặt quan điểm trong tổ chức khái niệm giới hạn : Quan điểm xấp xỉ thể hiện trong định nghĩa giới hạn

BÀI TẬP LÀM THÊM

dãy số, quan điểm động học thề hiện qua định nghĩa giới hạn hàm số và quan điểm đại số trong thực hành tìm giới hạn nhờ vào các định lý đại số giới hạn

Một điểm khác đáng được lưu ý là : SGK không tuân thủ yêu cầu của chương trình trong việc định khái niệm giới hạn dãy số Bằng chứng là một định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ (,

) và vài ví dụ vận dụng định nghĩa này vẫn hiện diện trong sách giáo khoa

Sự không tuân thủ này dường như thể hiện một sự lưỡng lự nào đó của các tác giả SGK về việc xây dựng một giải tích gần như hoàn toàn đại số hóa hoặc về tính không chặt chẽ của một định nghĩa giới hạn không dùng ngôn ngữ xấp xỉ (, )

2) Về phạm vi tác động của khái niệm giới hạn

Có thể nói, khái niệm giới hạn xuất hiện gần như độc quyền trong phạm vi số và đại số Tồn tại duy nhất có 2 bài toán thuộc phần bài tập cho phép khái niệm giới hạn tác động trong phạm vi hình học Tuy nhiên lời giải lại đòi hỏi việc chuyển từ phạm vi hình học sang phạm vi số

3) Về các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn

 Đối tượng vô hạn là một khái niệm không định nghĩa Nó xuất hiện và tác động một cách tựï nhiên trong các tình huống liên quan tới giới hạn

 Vô cùng lớn và vô cùng bé xuất hiện ngầm ẩn qua một số định nghĩa giới hạn của dãy

số và hàm số Đặc biệt, chúng xuất hiện ngầm ẩn qua các giới hạn đặt biệt (như lim1 0

nn  , …) để làm cơ sở cho việc tính các giới hạn khác nhờ vào định lý giới hạn

4) Từ khía cạnh hợp đồng didactic

 Hợp đồng didactic chỉ dựa trên các định lý đại số về giới hạn (luôn được thừa nhận không chứng minh), nói một cách khác trên đại số giới hạn Cụ thể hơn, thể chế mong muốn học sinh nắm và vận dụng được các dạng giới hạn đặc biệt và các định lý này để tính giới hạn khác bằng thao tác các phép toán bản chất đại số

Hệ quả của việc nhấn mạnh trên đại số giới hạn kéo theo một ràng buộc khác của hợp đồng : Hạn chế phạm vi các dãy số và hàm số cần nghiên cứu giới hạn Cụ thể hơn, phần rất lớn các dãy số hay hàm số xuất hiện trong SGK hay sách bài tập được chọn sao cho các phép toán đại số giới hạn này cho phép đạt được kết quả, chẳng hạn dạng đa thức, phân thức hữu tỉ,…

Như vậy việc dạy học Giải tích quy tụ chủ yếu vào nhiệm vụ “tính giới hạn” và dường