Gioi han nguyen phu khanh

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC 4n2 + n + Để dãy số cho có giới hạn , giá trị a Câu Cho dãy số ( un ) với un = an + A a= - B a= Lời giải tự luận C a= D a= 4+ + 4n2 + n + n n = ( a= = limun = lim = lim / 0) Û a = 2 an + a a+ n Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên : 2 4n + n + 4n : = Û a = an2 + an2 a 5n2 - 3an4 Câu Tìm tất giá trị tham số a để L = lim 1- a n4 + 2n +1 > ( ) A ( - Ơ ;0] ẩ [1;+Ơ ) B aẻ ( 0;1) C aẻ ( - Ơ ;0) ẩ ( 1;+Ơ ) D aẻ [ 0;1) Li gii tự luận - 3a 5n2 - 3an4 - 3a n2 L = lim = lim = >0Û ( 1- a) n + 2n +1 ( 1- a) + + ( 1- a) n n éa < ê êa > ë Chọn C 5n - 3an - 3an - 3a Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên 1- a n4 + 2n +1 : 1- a n4 = 1- a ( ) ( ) ( ) an + n2 + n +1 = Khng 2n- aẻ ( - Ơ ;- 1) B [- 1;1) Câu Biết lim A Lời giải tự luận định sau đúng? an + n2 + n +1 = lim = lim 2n- C [1;2) D aẻ [ 2;+Ơ ) 1 a+ 1+ + n n = a+1 ắắ đ a = 2n Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên an + n + n +1 a + : 2n- ùỡ a = X đ+Ơ nờn ta xem n = Y lúc Lời giải CASIO Ta xem ïíï n = Y Tại lại xem vy ? Vỡ n ắắ ùợ sau ta cho Y = 100 , cịn a tham số cần tìm nên gán X Nhập vào hình MTCT XY + Y +Y +1 - 2Y - Tiếp đến bấm q r hình hỏi Y , ta cho Y = 100 , bấm = hình hỏi X ta mặc kệ tiếp tục bấm = cho kết Điều chứng tỏ X = tức a= Câu Biết lim an3 + 5n2 - 3n2 - n + A b = a = b B b = 3a C b = 27a D a = 27b3 a+ - 3 3 an + 5n - a n n = a = a ắắ lim = lim đ b= 3 3n - n + 3- + n n Lời giải tự luận Ta có Khẳng định sau đúng? 3 Chọn D Lời giải trắc nghiệm Nhận thấy bậc tử = bậc mẫu nên 3 an + 5n - 3n - n + : an 3n : a 5n- 3( a2 - 2) n3 ù =- ¥ ? Câu Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng ( - 10;10) để lim é ê ú ë û A B C 16 D 19 ổ5 ộ5 ự 3ỗ 5n- 3( a2 - 2) n3 ù - 3( a2 - 2) ú ÷ Lời giải tự luận Ta cú lim ộ ỗ - 3( a - 2) ữ ỳ= limn ỗ ữ= lim n lim ê ë û ê ú èn ø ën û Mà ìï lim n3 = +¥ ïï ïí é ù ïï lim ê52 - 3( a2 - 2) ú= - 3( a2 - 2) ê ú ïïỵ ën û ộa > 2 aẻ Â ắắ ắ ắđ a = { - 9;L ;- 2;2;L 9} Do u cầu tốn Û - 3( a - 2) < Û a - > Û ê ( - 10;10) ê ê ëa 0 ïï lim 5- n n ïï ỉ2 ÷ ùù 1+ỗ ữ ỗ ữ +1 ỗ ố92 ứ ùùợ Chọn D Câu 11 Biết 2 n æ ỗ - 2n+1 +1 2n2 + 3ữ ữ a ỗ ữ ữ limỗ + = +c ỗ ữ n+1 ỗ ữ n n b ỗ ữ 5.2 + ữ ỗ ố ứ ( ) ( ) vi a, b, cẻ Â Tớnh giỏ trị biểu thức S = a +b + c A S = 21 B S = 26 Lời giải tự luận Ta có C S = 30 D S = 31 ổ ỗ - 2n+1 +1 2n2 + 3÷ - 2n+1 +1 ÷ 2n2 + ỗ ữ ỗ ữ= lim limỗ + + lim ÷ n + n + ỗ ữ n n - ỗ ữ - n - 1ø 5.2n + - ÷ ç è5.2 + ( ) n ( ) n ( ) ( ) n  n ỉ2 ỉ1 ữ ữ 1- 2.ỗ ữ +ỗ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ - 2n+1 +1 - 2.2n +1n ç 5ø ç 5ø è è lim = lim = lim = n+1 n n n ỉ2 æ1 ö 5.2n + - 5.2n + 5 - 3.1n ữ ữ ỗ 5.ỗ ữ ữ ç ç ÷ + - 3.è ÷ ç 5ø ç 5ø è ( ) n ( ) n ( ) ( ) 2+ 2n2 + n = lim = =  lim n - 1 1- n n ỉ ùỡù a = ỗ - 2n+1 +1 2n2 + 3ữ ữ ỗ ù ữ ỗ ữ= + +2= + ắắ đ ùớ b = ® S = 12 + 52 + 22 = 30 Suy limỗỗ n ữ n+1 ùù ữ ç ÷ - n - 1ø ÷ ç5.2 + ïïỵ c = è ( ) ( ) Chọn C n n ìï ïï - 2n+1 +1 - 2.2n +1n ïï = : ïï 5.2n + n+1 - 5.2n + 5 n - 3.1n í ïï ïï 2n2 + 2n2 ïï : = n2 ïỵ n - ( ) Lời giải trắc nghiệm Ta có Câu 12 Kết giới hạn lim ( ) ( ) 2n+1 + 3n +10 3n2 - n + 2 B ( ) ( 5) 5.( 5) n = 2X +1 + 3X +10 Lời giải CASIO Nhập vào hình MTCT 3X - X + Tiếp đến bấm r hình hỏi X , ta cho X = 100 bấm A - ¥ n D +¥ C = hình Điều chứng tỏ giới hạn +¥ Chọn D Lời giải tự luận Áp dụng tính chất '' Nếu q> qn lim = +¥ '' n ỉ nư ÷ 10 ç ÷ 10 2.ç ÷+ + ç ữ 2 + + ỗ n+1 n ữ n n n Ta có lim + 3n +10 = lim 2.2 + 3n+10 = lim n n n = lim ỗố ứ 2 3n2 - n + 3n2 - n + 3- + 3- + n n n n ìï ộ ổ n ử2 ự ùù ỗ ữ 10ỳ ữ ùù lim ờ2.ỗ + + ỳ= +Ơ ữ ỗ ữ ỗ ỗ ù 2n+1 + 3n +10 ÷ n n ú è n ø ê ỳ ắắ đ lim = +Ơ Vỡ ùớù û 3n2 - n + ïï ỉ ùù limỗ ữ ỗ3- + ữ ữ= ç ïïỵ è n n ø n Lời giải tự luận thực thầy NGUYỄN VĂN QUÝ – Bắc Ninh Nhận xét Bài tốn hồn tồn dùng MTCT làm trên, mục đích tác giả hướng đến bạn đọc cách trình bày t lun 2n nđ+Ơ ắắ ắđ+Ơ nh sau: n2 n n( n- 1) ( n- 2) n 2n n( n- 1) ( n- 2) nđ+Ơ 2n = ( 1+1) = Cnk ắắ đ 2n Cn3 = ắắ ắđ+Ơ Suy ³ n 6n2 k=0 Ta chứng minh trực tiếp Vì Câu 13 Kết giới hạn lim A - ¥ 3n - 4.2n+1 - 3.2n + 4n B D +¥ C X - 4.2 - 6X + 4X ta cho X = 100 bấm Lời giải CASIO Nhập vào hình MTCT Tiếp đến bấm r hình hỏi X , X +1 = hình Điều chứng tỏ giới hạn Chọn B n q Lời giải tự luận Từ tính chất '' Nếu q> lim = +¥ '' , ta suy lim n n n n = qn n ổ3ử ổử ổ1ử 1ữ ữ ữ ỗ - 8.ỗ - 3.ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ứ n n+1 n n n ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố4ứ è2ø è - 4.2 - 3 - 8.2 - 3.1 4÷ Ta có lim = lim = lim n 3.2n + 4n 6n + 4n n +1 n nù éỉ3ưn ïìï ỉư ỉ1ư 1÷ ú ữ ỗ ữ ỗ ỗ ùù lim ữ ữ ữ ỗ ỗ ờỗ ữ - 8.ố ữ - 3.ố ữỳ= ỗ4ứ ỗ2ứ ỗ4ứ ố ùù 3n - 4.2n+1 - ỳ ỷ ắắ đ lim = Vì íï 3.2n + 4n ỉ n ïï +1ữ ữ ùù limỗ ỗ ữ= ỗ 4n è ø ïỵ Lời giải tự luận thực thầy NGUYỄN VĂN QUÝ – Bắc Ninh 4n + 2n+1 Câu 14 Tìm tất giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng ( 0;2018) để lim n n+a £ +4 A 2007 B 2008 C 2016 D 1024 2017 n Lời giải tự luận Ta có lim u cầu tốn Û Vậy có 2008 giá trị n n+1 +2 3n + 4n+a ổử 1ữ 1+ 2.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2ứ + 2.2 = lim n = lim = a = a n n + 4 ỉ3ư a ữ ỗ ữ ỗ ữ+4 ỗ ố4ứ n n a (2 ) = 2a 1 aẻ Â Ê 2a 1024 = 210 a 10 ắắ ắ ắđ a ẻ {10;11;12;L 2017} ( 0;2018) a 1024 a Chọn B n n+1 +2 n n + 2.2 Lời giải trắc nghiệm Ta có 3n + 4n+a = 3n + 4a.4n : n = a = 4a.4n a (2 ) = 2a an2 - 1 - n số Câu 15 Có giá trị nguyên tham số a thuộc khoảng ( 0;20) để lim 3+ 3+ n nguyên A B C D Lời giải tự luận Ta có ìï ïï a- 2 ïï lim an - = lim n =a ïï 3+ n2 an2 - 1 ùớ +1 ắắ đ lim + = 3+ a n ïï 3+ n2 2n n ïï 1÷ ùù lim = limổử ỗ ữ ỗ ữ=0 ùù ỗ ố2ứ 2n ợ ỡù a ẻ Â ùù ùớ a ẻ ( 0;20) ắắ đ a ẻ {1;6;13} ùù ùù a + ẻ Â ùợ Yờu cầu toán Chọn C GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2x3 + = a + b với a, bẻ Â Tớnh P = a2 + b2 3- x2 B P = C P = D P = 10 3ù é3 êx + ú x + x2 - 3x + x2 - 3x + ê ú û có lim ë = lim = lim x®- x®- x®- 3- x2 3- x 3- x + x Câu 16 Biết lim x®- A P = Lời giải Ta é êê = ë ( ) ( ) ( )( ( ( - )( ( ) ) ù + 3ú ïì a = ú û= 18 = 3 + ¾¾ ® ïí ¾¾ ® P = a2 + b2 = ïïỵ b = 3 ) - ( ) ) 3- - Chọn C Câu 17 Tính giới hạn L = lim ( x® A L = x +1) - x9 + x8 80 B L = 11 C L = D L = +¥ Sáng tác thầy PHONG HONG – Lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM n n n- n- n- n- Lời giải tự luận Áp dụng đẳng thức a - b = ( a- b) ( a + a b+ a b +L + b ) , ta có ù é( x8 +1) +( x8 +1) +L +( x8 +1) +1ù - 1= é ú ê( x +1) - 1ú ë ûê ë û ìï x8 +1 - 1= x8.A x ìï A x = x8 +1 + x8 +1 +L + x8 +1 +1 ( ) ï( ) ïï ( ) ( ) ( ) ( ) ắắ đ ùớ í ïï B ( x) = x +1 ïï x9 + x8 = x8.B ( x) ïỵ ïỵ ( x8 +1) Đặt Khi ( x8 +1) - x +x = x8.A ( x) x B ( x) = A ( x) B( x) ắắ đ lim xđ ( x8 +1) - x +x = lim x® A ( x) B ( x) = = Chọn C Câu 18 Tính giới hạn L = lim x® 1+ x - x8 + x7 A L = Lời giải tự luận Ta có B L = L = lim x® 11 C L = D L = +¥ 1+ x7 - x7 = lim = lim x® x8 + x7 ( x8 + x7 ) 1+ x7 +1 x®0 ( x +1) ( ) ( 1 = 1+ x7 +1 ) Chọn C ax +1- 1- bx = Khẳng định sau Câu 19 Cho a, b số thực thỏa mãn b> 0, a + b = lim x® x sai? A 1< a < B b> C a2 + b2 > 10 D a- b> Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM æ3 ax +1- 1ax +1- 1- bx ỗ = limỗ + ç x® è x x ỉ ax bx ữ = limỗ + ữ ỗ ữ xđ ỗ ữ 3 x + bx ỗ ÷ x ax + + ax + + ( ) ỗ ữ ỗ ố ứ ổ a b a b ữ = limỗ + ữ= + = ỗ ữ xđ ỗ ữ 3 1+ 1- bx ữ ỗ ỗ ữ ç ( ax +1) + ax +1+1 è ø Lời giải tự luận Ta có lim x® ( ) ( ) Vậy ta có ïìï a + b = ï Û ía b ïï + = ùợ ( 1- bx ữ ữ ữ ø x ) ( ) ìï a + b = Û íï ïỵï 2a + 3b = 12 ìï a = ắắ đ A sai ớù ùợù b = Chọn A Câu 20 Tính giới hạn L = xlim ®a + A L = 2a x- a + x- a B L = - Lời giải tự luận Ta có L = xlim ®a 2a x- C L = a + x- a + Vì với a tham số thực dương x2 - a2 x - a = lim+ x® a a x- a 2 x - a D L = + lim+ x® a x- a x2 - a2 a ìï x- a x- a ïï lim x - a = lim = lim+ =0 ïï x®a+ 2 x® a+ x® a x +a x + a x - a ( x - a) ( x + a) x + a ïï ắắ đL = ùù 2a x- a 1 ïï lim x - a = lim = lim = ïï x®a+ x2 - a2 x®a+ ( x - a) ( x + a) x®a+ x + a 2a ïỵ ( ) ( ) Chọn A a Lời giải CASIO Vì tham số thực dương nên ta chọn tùy ý a= 100 chẳng hạn Nhập vào hình MTCT ® a mà ta cho a= 100 Tiếp đến bấm r hình hỏi X , ta cho X = 100 + 0,000001 (vì x ¾¾ ) tiếp tục bấm = cho kết Ta lưu kết vào biến A cách bấm q J z Bây ta dùng kết để thử đáp án Ví dụ với đáp án A L = 2a Tiếp đến bấm = hình Kết gần với số Vậy đáp án A Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số a để xlim ( 2x2 +1+ ax) l +Ơ đ- Ơ A a> B a< C a> D a< é æ ê x2 ỗ2 + Li gii t lun Ta cú xlim ỗ ( 2x2 +1+ ax) = xlim ỗ đ- Ơ đ- Ơ ố ự 1ử ữ+ axỳ= lim 2ữ ỳ xđ- Ơ ữ x ứ ỳ ỷ ộ ự êx 2+ + axú ê ú x ê ú ë û ê ë é ù é ù æ ỉ 1 ÷ú= lim x lim ỗ ữ ỗ ỗ = lim - x 2+ + axỳ = lim x.ỗ - 2+ + a÷ - 2+ + a÷ ÷ ÷ ỳ ỗ ỗ ỳ ữ ữ xđ- Ơ x đƠ x đƠ x đƠ ỗ x x x ố ứỳ ố ứ ỳ ỗ ỷ ỷ ỡù lim x = - Ơ ùù xđ- ¥ ï ỉ Vì íï nên u cầu toán Û - + a < Û a < ữ ỗ ỗ2+ + aữ ùù xlim ữ= - + a ỗ đ- Ơ ỗ ÷ x è ø ïïỵ Câu 22 Biết hàm số f ( x) = ( 2- a) x - x2 +1- x Chọn B (với a tham s thc) cú gii hn l +Ơ x đ +¥ Khẳng định sau đúng? A aẻ ( - Ơ ;2) B a ẻ ộ ê2;2 2) ë C a Ỵ é D [ 4;+¥ ) ê2 2;4) ë Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM Lời giải tự lun Gi thit bi toỏn xlim đ+Ơ ( 2- a) x - x2 +1- x = +¥ Nhận thấy mẫu có dạng ¥ - ¥ nên ta liên hợp é ỉ ứ ( 2- a) x - 3ửổ ộ ự ỗ ỳ ữ ỗ = lim êé 2- a) x - 3ù ( x2 +1+ x) ỳ= lim x2 ỗ 2- a- ữ 1+ +1ữ ( ữ Ta cú xlim ỗ ữ ỗ ỷ ữ ỗ ữỳ đ+Ơ xđ+Ơ ố ỷ xđ+Ơ xứỗ x x +1- x Vỡ ố ê ë ìï ïï ïï lim x2 = +¥ ïï xđ+Ơ ùù 3ử ùớ lim ổ ỗ 2- a- ữ ữ ỗ ữ= 2- a ỗ ùù xđ+Ơ ố xứ ùù ổ ùù ữ ỗ ùù lim ỗ 1+ +1ữ = 2> ữ ỗ ữ ỗ x ùùợ xđ+Ơ ố ứ ứỳ ỷ nờn yờu cu toán Û 2- a > Û a < Chọn A Câu 23 Biết L = xlim đ- Ơ 4x - 2x +1+ 2- x ax2 - 3x + bx >0 hữu hạn (với a, b tham số thục) Khẳng định sau sai? A a³ B L = - a+ b C L = a- b D b> Sáng tác & lời giải thầy ĐẶNG VĂN TÂM ®- ¥ mà để ax - 3x có nghĩa a³ Do A Lời giải tự luận Khi x ¾¾ 4x2 - 2x +1+ 2- x Ta cú xlim đ- Ơ = lim xđ- Ơ ax2 - 3x + bx 2 + + 2- x - x 4- + + 2- x x x x x = lim xđ- Ơ 3 x a- + bx - x a- + bx x x x 4= lim xđ- Ơ 2 + + - - 2- x x2 x = = - a +b a- b - a- + b x 4- ® bTheo giả thiết ta lại có L > ¾¾ Vậy có đáp án B sai Do C a > b> a ắắ đ b> Do D Chọn B Câu 24 Biết xlim ( 5x + 2x + x 5) = a + b vi a, bẻ Ô Tớnh S = 5a+b đ- Ơ A S = B S = - C S = ¥ ¥ Lời giải tự luận Nhận thấy có dạng nên ta liên hợp D S = - Ta có lim xđ- Ơ ) 2x 5x2 + 2x + x = lim 2x = lim xđ- Ơ ( - x 5+ - x x 5x + 2x - x = lim xđ- Ơ xđ- ¥ - 5+ x = = lim x®- ¥ - 5+ - 2x ỉ 2ư x2 ỗ 5+ ữ ữ- x ỗ ữ ỗ ố xứ =- =- = lim xđ- Ơ 2x x 5+ - x x 5 ỡù ù a =- ắắ đ ùớ đ S = 5a+ b = - ¾¾ ïï ïỵ b = Chọn B Câu 25 Cho a, b số thực thỏa mãn a + b = ỉ b a ÷ L = lim ỗ ữ ỗ ữ ỗ xđ1 ố1- x 1- xø A L = - B L = - ổa b ữ lim ỗ ỗ 3ữ ữ xđ1 ỗ ố1- x 1- x ứ C L = Lời giải tự luận Nhận thấy có dạng ¥ - ¥ Ta có hữu hạn Tính giới hạn D L = Sáng tác thầy ĐẶNG VĂN TÂM a( 1+ x + x2 ) - b æa b a + ax + ax2 - b ÷ ç lim ç = lim = lim ÷ ÷ xđ1 xđ1 ỗ xđ1 1- x 1+ x + x2 è1- x 1- x3 ø 1- x3 ( )( ) ổa b ữ ỗ ữ cú giỏ tr hu hạn nên a + ax + ax2 - b phải nhận x = Vì giả thiết cho giới hạn lim ỗ xđ1 ỗ ố1- x 1- x3 ữ ứ làm nghiệm (mục đích làm xuất lượng 1- x kh) ắắ đ a + a.1+ a.12 - b = Û 3a- b = ìï a + b = ìï a = Do ta có ïíï 3a- b = Û ïíï b = ỵï ỵï Khi - ( x + 2) ỉa b x2 + x - ÷ L = - lim ỗ = lim = - lim = ữ ỗ ữ ỗ xđ1 ố1- x x®1 x®1 1+ x + x2 1- x ø ( 1- x) ( 1+ x + x ) Chọn C HẾT