DÃY SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Câu (u n ) Cho a, b, c ba số dãy số xác định công thức: un = a n + + b n + + c n + (∀n ∈ ¥ *) lim un = a + b + c = n →∞ Chứng minh Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Hướng dẫn un n+2 n+3 = = a +b +c ⇒ → a + b + c n +1 n +1 n +1 n → +∞ Đặt lim un (= ∞) ≠ un = n + a+b+c ≠ n →+∞ Ta có: cho nên: a + b + c = ⇒ a = −b − c n → +∞ Ngược lại ta có b 2c un = b n + − n + + c n + − n + = + →0 n + + n +1 n + + n +1 ( ) ( ) u1 = a, u2 = b, u3 = c Gọi ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q; (vn) cấp số v1 = a, v3 = b, v9 = c cộng có cơng sai d với Khi ta có: u = v = a 1 u1 = v1 = a aq = a + 2d u = v = b (1) ⇔ u3 = v9 = c aq = a + 8d (2) u1 + u2 + u3 = 26 3a + 10d = 26 (3) Dễ thấy q = ⇔ d = 0, nên: u1 = a, u2 = b, u3 = c Gọi ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q; (vn) cấp số v1 = a, v3 = b, v9 = c cộng có cơng sai d với Khi ta có: u1 = v1 = a u1 = v1 = a aq = a + 2d u = v = b (1) ⇔ u3 = v9 = c aq = a + 8d (2) 26 a=b=c= u1 + u2 + u3 = 26 3a + 10d = 26 (3) ⇔ Dễ thấy q = ⇔ d = 0, nên: q = Câu Cho dãy số ( un ) u1 = un+1 = un + + + 2un ( xác định un Tìm công thức số hạng tổng quát Hướng dẫn dãy số ) ∀n ∈ N * xn = + 2un ∀n ∈ N * Đặt xn2 = + 2un , ∀n ∈ N * xn ≥ Ta có Thay vào giả thiết, ta được: hay xn2 − un = xn2+1 − 1 xn2 − 2 = + + xn ÷ ⇔ xn2+1 − = xn2 − + + xn ⇔ ( 3xn +1 ) = ( xn + ) 9 Suy ra: xn +1 = xn + ∀n ∈ N * ( Do xn+1 = xn + 4.3 , ∀n ∈ N n +1 Hay xn ≥ , ∀n ∈ N * n n yn = 3n xn , ∀n ∈ N * Đặt Ta có: ) * yn+1 = yn + 4.3n , ∀n ∈ N * yn+1 = y1 + ( + 3n −1 + + 3) , ∀n ∈ N * n Từ Hay yn+1 = y1 − + 2.3n +1 , ∀n ∈ N * x1 = ⇒ y1 = ⇒ yn = + 2.3n Theo cách đặt ta có: xn = + Suy ra: , ∀n ∈ N * n −1 Câu Cho dãy số Do (un ) xác định bởi: 1 un = + n−1 + n− ÷ , ∀n ∈ N * 2 3 u1 = n(n − 1)un = u1 + 2u2 + + (n − 1)u n−1 , ∀n > 1, n ∈ ¥ un Tìm Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn Ta thấy { xn } xác định sau: xn > ∀n ∈ N * Mặt khác, từ nên 3xn < xn +1 < 3xn + xn+1 > 3xn ⇒ xn > 3n−1 (un ) Do đó: Câu Cho dãy số xác định bởi: un n số hạng tổng quát theo Hướng dẫn x1 = * xn+1 = xn + 11xn + , ∀ n ∈ N ⇒ 3< Tìm xn+1 < 3+ xn xn 2 lim + ÷ = n →+∞ xn u1 = 1; un+1 = xn +1 n→+∞ x n lim xn+1 =3 n →+∞ x n lim Vậy 2n n+2 un + , ∀n ∈ N * n +1 n ( n + 1) Tìm cơng thức u1 = 1, un +1 = ( un ) Câu Cho dãy số Hướng dẫn un un + xác định bởi: lim Tính 2014 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2015n n +1 + 1÷ + 1÷ + 1÷ = = n +1 u1 > ⇒ un > 0, ∀n ∈ ¥ * n 1 n ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) = Do un +1 = un 1 ⇔ − = ⇒ un = un + un +1 un n n = 1, 2, , 2014 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2014 ( n + 1) lim = lim = lim 2015n 2015n Suy lim Vậy 2014 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2014 = 2015n 2015 Câu Cho dãy số (un) xác định Hướng dẫn u1 = un + un +1 = − u * n (n ∈ N ) Câu lim a) Tính giới hạn dãy số: ( b) Cho dãy số S = u1 + u2 + + u2016 Tính tổng : n4 + n + − n6 + ( un ) xác định sau: a) Ta có: lim ( ( ) n + n + − n6 + = lim n + n + − n2 ) Do ( (n ≥ 1) ( un ) ? n4 + n2 + − n − ( n6 + − n2 ) ) 1 + ÷ n +1 n ÷= = lim = lim ÷ 2 1 ÷ n + n +1 + n 1+ + +1÷ n n lim( n + − n ) = lim lim ( ) u1 = 2013 n un+1 = n +1 un + 2013n Tìm cơng thức số hạng tổng quát giới hạn dãy số Hướng dẫn lim 1 2014 1 + ÷ n = 2014 2015 2015 ( n + 1) + n ( n6 + 1) + n4 ) n + n2 + − n6 + = =0 Ta có b) un > 0, ∀n ∈ N * unn++11 = unn + 1 ⇒ unn++11 − unn = n 2013 2013n u22 − u11 = 20131 u33 − u22 = 20132 Do đó: unn − unn−−11 = 2013n −1 n −1 unn − u11 = Suy ra: 1 + + + 2013 2013 2013n −1 1− ÷ 2013 = 2012 n −1 1− ÷ n 2013 un = 2013 + 2012 n −1 1− ÷ n 2013 < un = 2013 + 2012 < n 2014 < + + + + 2014 2013 = 1+ n n (Cô si) Mặt khác 2013 lim 1 + ÷= n lim un = Vậy n u = 2017 = ∑ un +1 = un − 5un + k =1 uk − Câu Cho (un) xác định Xét dãy (vn) xác định Tính limvn Hướng dẫn Ta có un+1-un=(un-3)2>0 suy (un) dãy tăng Giả sử (un) bị chặn đặt a=lim(un) Từ giả thiết suy a=a2-5a+9 suy a=31 (un) dãy tăng n lim ∑ i =1 2014 i u +2 b Tìm Hướng dẫn Câu 11 Cho dãy số xác định Hướng dẫn : u0 = (k = 1, 2, , n) u = u + u k −1 k −1 k n n(uk − uk −1 ) = uk2−1 ⇒ ( n + uk −1 ) ( uk − uk −1 ) = uk uk −1 ⇒ 1− Chứng minh 1 − = uk −1 uk n + uk −1 < un < n Ta có (1) < u0 < u1 < Do 1 1 − < ⇒ − < ⇒ un < uk −1 u k n u0 u n Từ (1) suy 1 1 n n +1 n −1 − > ⇒ − > ⇒ un > > = 1− un < uk −1 uk n + u0 un n + n+2 n n Do nên từ (1) suy ... ( un + 1) 2014 = 2015n 2015 Câu Cho dãy số (un) xác định Hướng dẫn u1 = un + un +1 = − u * n (n ∈ N ) Câu lim a) Tính giới hạn dãy số: ( b) Cho dãy số S = u1 + u2 + + u2016 Tính tổng... −1 Câu Cho dãy số Do (un ) xác định bởi: 1 un = + n−1 + n− ÷ , ∀n ∈ N * 2 3 u1 = n(n − 1)un = u1 + 2u2 + + (n − 1)u n−1 , ∀n > 1, n ∈ ¥ un Tìm Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn... Mặt khác, từ nên 3xn < xn +1 < 3xn + xn+1 > 3xn ⇒ xn > 3n−1 (un ) Do đó: Câu Cho dãy số xác định bởi: un n số hạng tổng quát theo Hướng dẫn x1 = * xn+1 = xn + 11xn + , ∀ n ∈ N ⇒ 3