Đang tải... (xem toàn văn)
Trở lại bài toán.[r]
(1)HAI BÀI TOÁN TRONG ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN SƯ PHẠM HÀ NỘI
2020 - 2021 Đỗ Xuân Trọng
Năm 2020
1 Đề bài
Bài (Bài - Ngày 1).Cho dãy số(an)xác định
a1= 1, an+1=
an
√
an+
, ∀n≥1
Chứng minh lim
n→+∞nan=
Bài (Bài - Ngày 2).Cho dãy số(xn)xác định
x0= 1, x1= 3, xn+2= 6xn+1−xn, ∀n≥0
a) Chứng minh với mỗinnguyên dương x2n−12+ 1là hợp số b) Gọiklà số nguyên dương vàplà số nguyên tố chop|x2k Nếup−1chia
hết cho4, chứng minh rằng2k+2|p−1.
2 Lời giải
Bài 1.Dễ thấyan>0, ∀n≥1và dãy(an)giảm thực Ta chứng minh
quy nạp với mọin≥1thì
an≤
1
n (∗)
Dễ thấy điều vớin= Giả sử vớin, ta có
an+1=
an
√
an+
= 1
an +
1
√
an
≤
n+√n ≤
1
n+ 1,
vìn≥1.Vì khẳng định(∗)cũng vớin+ 1, nên với mọin
(2)Vậy chon→+∞thì lim
n→+∞an= 0.Do dãy(yn)xác định
yn=
1
an
, ∀n≥1 dãy tăng thực (vì dãy(an)giảm thực sự) lim
n→+∞yn= +∞ Bây đặtxn =n, ∀n≥1 theo định lí Stolz ta có
lim
n→+∞nan=n→lim+∞
xn
yn
= lim
n→+∞
xn+1−xn
yn+1−yn
= lim
n→+∞
1 an+1−
1 an
= lim
n→+∞
√
an = Bài 2.Dễ chứng minh với mọin≥0thì
xn =
1 +√22n+ 1−√22n
vàx2n+x2n+1−6xnxn+1−8 =
a)Ta có
1 +√2
2n
−1−√2
2n
= 2√2bn
vớibn∈N∗ Vậy suy
x2n−1 =
"
1 +√22n
− 1−√22n
2
#2
= 2b2n
Vớin≥1 thìbn ≥2,
x2n−12
+ = 4b4n+ = 2b2n−2bn+ 2b2n+ 2bn+
là hợp số với mọin≥1
b)Ta cóplà số nguyên tố lẻ Nếup|x2k từ đẳng thức nêu ban đầu, ta suy
rax22k+1≡8 (modp) Do đó2 số phương modpnên
p|2p−12 −1.
Sử dụng tính chất
p−1
k
≡(−1)k, ∀k∈ {0,1,2, , p−1}
với số nguyên tốp, ta có +√2p−1− 1−√2p−1
2√2 =
1 2√2
"p−1
X
k=0
p−1
k
√
2
k
−
p−1
X
k=0
p−1
k
−√2
k#
(3)=
p−3
X
k=0
p−1
2k+
2k≡ −
p−3
X
k=0
2k =−2p−12 −1
≡0 (modp) Thế nên tập hợp
S=
(
m∈N∗ p|
1 +√2m
− 1−√2m
2√2
)
khác rỗng Từ dễ chứng minh phần tử nhỏ trongS ước tất phần tử cịn lại
Ta cóp|x2k tương đương với
p|1 +√2
2k+1
+1−√2
2k+1
,
do
p| + √
22k+2
− 1−√22k+2
2√2
Bây gọihlà phần tử nhỏ trongS cóh|2k+2.
Bổ đề.Với số nguyên dươngn, tồn số nguyên dươngAn,
Bn nguyên tố cho
1 +√2
n
=An+Bn
√
2,
1−√2
n
=An−Bn
√
2
Chứng minh.Hiển nhiên An,Bn tồn Do ta
cần chứng minh tính tồn
Vớin= ta đượcA1=B1= Giả sử đếnn, ta có
1 +√2
n+1
=An+Bn
√
2 +√2= (An+ 2Bn) + (An+Bn)
√
2,
1−√2
n+1
=An−Bn
√
2 1−√2= (An+ 2Bn)−(An+Bn)
√
2,
và dogcd (An, Bn) = 1nên dễ thấygcd (An+ 2Bn, An+Bn) = Ta có đpcm
Trở lại tốn.Nếup6= 2k+2 thì cóp|2k+1, suy ra
p| + √
22
k+1
− 1−√22
k+1
2√2
Sử dụng bổ đề ta có
p|1 +√2
2k+1
+1−√2
2k+1
⇔p|2Ak ⇔p|Ak,
(4)p| + √
22k+2
− 1−√22k+2
2√2 ⇔p|Bk Nhưng điều vơ lí doAk,Bk ngun tố
Vậy phải cóh= 2k+2, dop−1∈ S, nên2k+2|p−1, điều phải chứng minh