DÃY số TRONG đề HSG

DÃY SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Câu 1 Cho a, b, c ba số (un ) dãy số xác định công thức: un  a n   b n   c n  (n ��*) lim un  Chứng minh n�� a  b  c  Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số nhân có tổng 26 Tìm số đó, biết rằng: cấp số cộng có a số hạng thứ nhất, b số hạng thứ ba c số hạng thứ chín Hướng dẫn un n2 n3 +   a b c  vn a b c n 1 n 1 n 1 Đặt n � � lim un ( �) �0 cho nên: a  b  c �0 n�� Ngược lại a  b  c  � a  b  c n � � ta có b 2c un  b n   n   c n   n    �0 n   n 1 n   n 1 Gọi u1  a, u2  b, u3  c ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q; (v ) cấp số Ta có: un  n      n cộng có cơng sai d với v1  a, v3  b, v9  c Khi ta có: u1  v1  a u1  v1  a � � �aq  a  2d � (1) u2  v3  b � � �� � u3  v9  c aq  a  8d (2) � � � � u1  u2  u3  26 3a  10d  26 (3) Dễ thấy q =  d = 0, nên: � � Gọi u1  a, u2  b, u3  c ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội q; (vn) cấp số cộng có cơng sai d với v1  a, v3  b, v9  c Khi ta có: u1  v1  a u1  v1  a � � � � aq  a  2d (1) u2  v3  b � � �� � u3  v9  c aq  a  8d (2) � � 26 a  b  c  � � u1  u2  u3  26 3a  10d  26 (3) Dễ thấy q =  d = 0, nên: q = � � � u1  � � � un1  un    2un � u Câu Cho dãy số  n  xác định � Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số   n �N * Hướng dẫn Đặt xn   2un n �N * x   2un , n �N * Ta có xn �0 n Thay vào giả thiết, ta được: xn2  un  hay xn21  1 �xn2  � 2  �   xn �� xn21   xn2    xn �  3xn 1    xn   9� � x  xn  n �N * ( Do xn �0 , n �N * ) Suy ra: n 1 n 1 Hay xn1  3n xn  4.3n , n �N * Đặt yn  3n xn , n �N * Ta có: yn1  yn  4.3n , n �N * yn1  y1   3n  3n 1   3 , n �N * Từ Hay yn1  y1   2.3n 1 , n �N * Theo cách đặt ta có: x1  � y1  � yn   2.3 n Suy ra: xn   1� � * u    , n �N * ,  n � N n � n  n2 � n 1 2� 3 � Do Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  � � n(n  1)un  u1  2u2   (n  1)u n1 , n  1, n �� � Tìm un Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn  xn  � �x1  x � lim n 1 * �xn1  xn  11xn  ,  n �N Tìm n�� xn xác định sau: � �3 xn1 3 xn xn Ta thấy xn  n �N nên 3xn  xn 1  3xn  � 2� xn1 lim   lim 3 � � n 1 n�� n �� x xn � x  x � x  � n n  n n Mặt khác, từ Do đó: Vậy * Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi: số hạng tổng quát un theo n u1  1; un1  2n n2 un  , n �N * n 1 n  n  1 Tìm cơng thức Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn Do  un  xác định bởi: 1 � � �2 u1  1, un 1  � �n un 2014  u1  1  u2  1  un  1 lim un  Tính 2015n n 1  n 1 u1  � un  0, n ��* Ta có n � � � �� � �  1�  u1  1  u2  1  un  1  � �  1� �  1� un 1  un 1 �   � un  un  un 1 un n , n  1, 2, � 1� 2014 � 1 � 2014  u1  1  u2  1  un  1 2014  n  1 n � 2014 � lim  lim  lim  2015n 2015n 2015 2015 Suy 2014  u1  1  u2  1  un  1 2014 lim  2015n 2015 Vậy � u1  � u 1 � un 1  n �  un ( n �N * ) Câu Cho dãy số (un) xác định � Tính tổng : Hướng dẫn S  u1  u2   u2016 Câu a) Tính giới hạn dãy số: lim  n4  n   n6   u1  2013 � � � un1  n 1 unn  � u   2013n b) Cho dãy số n xác định sau: � u  Tìm cơng thức số hạng tổng quát giới hạn dãy số n ? Hướng dẫn lim a) Ta có:   n  n   n6   lim  (n �1) n4  n2   n  ( n6   n2 )  � � 1  � �1 � � n 1 n � � lim n  n   n2  lim �  lim � 2 1 � � � n  n 1  n � � 1  1� n n � � lim( n   n )  lim 0 ( n6  1)  n ( n6  1)  n4 lim n  n   n6   Do     b) un  0, n �N 1 unn11  unn  � unn11  unn  n 2013 2013n u22  u11  20131 Do đó: u33  u22  20132 unn  unn11  2013n 1 * n 1 Suy ra: unn  u11  1    2013 2013 2013n 1 �1 � 1 � � 2013 �  � 2012 n 1 �1 � 1 � � n 2013 � un  2013  � 2012 n 1 �1 � 1 � � n     2014 2013 2013 �  un  2013  �  n 2014   1 2012 n n (Cô si) � 2013 � lim � 1 � n � � Vậy lim un  Mặt khác � u  2017 � un 1  un2  5un  � n  � k 1 uk  Xét dãy (vn) xác định Tính limvn Câu Cho (un) xác định Hướng dẫn Ta có un+1-un=(un-3)2>0 suy (un) dãy tăng Giả sử (un) bị chặn đặt a=lim(un) Từ giả thiết suy a=a2-5a+9 suy a=31 (un) dãy tăng n lim � 2014 2 i 1 ui b Tìm Hướng dẫn � u0  � � (k  1, 2, , n) � 1 � uk  uk 1  uk 1   un  � n n Câu 11 Cho dãy số xác định Chứng minh Hướng dẫn : 1 n(uk  uk 1 )  uk21 �  n  uk 1   uk  uk 1   uk uk 1 �   uk 1 uk n  uk 1 (1) Ta có  u0  u1  Do 1 1   �   � un  u0 un Từ (1) suy uk 1 uk n 1 1 n n 1 n 1   �   � un    1 n2 n n Do un  nên từ (1) suy uk 1 uk n  u0 un n  ... Câu Cho dãy số (un) xác định � Tính tổng : Hướng dẫn S  u1  u2   u2016 Câu a) Tính giới hạn dãy số: lim  n4  n   n6   u1  2013 � � � un1  n 1 unn  � u   2013n b) Cho dãy số n... Do đó: Vậy * Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi: số hạng tổng quát un theo n u1  1; un1  2n n2 un  , n �N * n 1 n  n  1 Tìm cơng thức Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn Do  un ... n  n2 � n 1 2� 3 � Do Câu Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  � � n(n  1)un  u1  2u2   (n  1)u n1 , n  1, n �� � Tìm un Hướng dẫn Câu Cho dãy số Hướng dẫn  xn  � �x1  x � lim