TAM THỨC bậc HAI PHẦN 1

ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI - ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC CẦN NHƠ: 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai (đối với x) biểu thức dạng ax2+bx+c a, b, c số cho trước với a ≠ 2/ Định lí dấu tam thức bậc hai: ' ' Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a ≠ 0) Với ∆ = b − 4ac ∆ = (b ) − ac ( ( ( ( ) ) ) ) ' -Nếu ∆ 0 ∆ > f(x) có hai nghiệm x1 x2 (x10 ∀x∈ ¡ tam thức f(x) có ∆ = - < a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -x+1 -∞ +∞ + Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3 Giải Vì a=-1 (trái dấu với a) x ∈ ( −3;1) Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -x2-2x+3 -∞ -3 - +∞ + - Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1 Giải f(x)= x2-2x+1 > ∀x ≠ tam thức f(x) có ∆ =0 nghiệm kép x = 1, a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -2x+1 -∞ Bài Xét dấu biểu thức sau: f(x)= − x − x + f(x)= x − x + f(x)= x + + f(x)= x − x + 4 f(x)= x − f(x)= − x + x +∞ + f ( x ) = x + x + f(x) = x − x − Bài Lập bảng xét dấu biểu thức sau: f(x)= (x - 4)(5x -4x-1) f ( x) = (3 x − 10 x + 3)(4 x − 5) 3x − x + −4 x + 12 x − x − 3x3 + x f ( x ) = x − x − 30 f ( x ) = f(x)= x (2-x-x )(x+2) f ( x ) = −2 x + x − 12 x + DẠNG II : Bất phương trình tích, chứa ẩn mẫu Cách giải: - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình tích xét dấu nhân tử nhân dấu lại với nhau, dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu ta phải đưa dạng  P ( x)  P ( x) P ( x) P ( x) < 0; > 0; ≤ 0; ≥ 0÷ , xét dấu vế trái dựa vào dấu bất phương trình kết  Q ( x) ÷ Q ( x) Q ( x) Q ( x)   luận nghiệm 1/ - x2 + 2x + < Ta có: - x2 + 2x + = có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1 Ta có: x2 + 2x + =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0 Bảng xét dấu: X vt -∞ + +∞ -1 + Vậy nghiệm bất phương trình là: S= ¡ \{-1} 3/ - x2 + 2x – > Ta có: - x2 + 2x – = vô nghiệm, a=-10 x − 5x + x2 + x + 5 ≥ x−3 x+4 x − 47 x − 47 > 3x − 2x −1 ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ≤ ( x − 7) ( x − 2) 2 11 ( − x + x − ) ( x − x + ) ≥ x − 3x + x + 13 + > x + x2 − x + x − −4 + ≤ x + 2 x + 2x x − 3x3 + x 17 >0 x − x − 30 15 x4 − x2 + 19 ≥0 x − x + 15 42 21 x ( x + 1) < x + x +1 x − 3x − x + >0 23 x ( − x) 25 2x −1 ≥0 4x − 7x + 2 (x - 3)(x2 + x - 6) > (x - 2)(x2 + 5x + 4) −2 x + x + < −1 x − x −10 x + 3x − > −x 2− x ≥4 x + x+2 10 x ≥ ( x + x + ) x2 + x + 0 18 x ( − x) 12 ( x − 1) ( x + ) ( x − 3) ( x + ) x2 ( x − 7) 20 22 x + ( x + 1) ≤ 15 x + x +1 x2 + x + −x 2− x ≥4 29 x + x+2 28 x − 47 x − 47 > 3x − 2x −1 30 ( x − 1) ( x + ) ( x + ) ( x − 7) ( x − 2) DẠNG III : Hệ bất phương trình 3x2 − 7x + > Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau   −2x + x + > Giải 1  Bất phương trình thứ có tập nghiệm S1=  −∞; ÷∪ ( 2; +∞ ) 3  3  Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm S2=  −1; ÷ 2  1  Tập nghiệm hệ S = S1 ∩ S2 =  −1; ÷ 3   x − x − 12 <   x − >  x − x − <   x − x − ≥ 3 x + x − ≤  17 x − − x ≥ 3 x − 10 x − >   x − x − 16 <  x + x + <   x − x + >  x − x − 12 <  2 x − > 3 x + x − ≤  17 x − − x ≥  x2 + x + ≥   x − x − 10 ≤ 2 x − x + >   x − 3x + >0   x −  x2 + x − <  10 x2 − x − 11 −4 ≤ ≤1 x2 + 12 13 −1 < 10 x − 3x −  x − x − < 17   x − x − ≥ 3 x + x − ≤ 19  17 x − − x ≥ 21 −4 ≤ x2 − x − ≤1 x2 + 14 16 18 20 22  2x +  x − ≥   ( x + 2) ( 2x − 4) ≤ x −1  x − 2x − ≤ ≤1 13 x − x +  2x +  x − ≥   ( x + 2) ( 2x − 4) ≤  x −1 3 x − 10 x − >   x − x − 16 <  x + x + <   x − x + >  x2 + x + ≥   x − x − 10 ≤ 2 x − x + >  x2 − x − ≤ ≤1 13 x − x + ≤0 23 −1 < 10 x − 3x − 0  24  x −  x2 + x − <   x + 3x  x2 −1 >  25  x + <  x4 + x2 − ≥   x − x − < DẠNG IV : Tập xác định hàm số y = x + 3x − − x + 1 − x − 7x + x + 2x + − 3x y = −1 − x − x + 15 y = 2 y = y = y = x2 + x + 2x −1 − x − x − x − 14 − x + 2x − x − 5x + 4 DẠNG V : Tìm tham số m để f(x) ln dương, âm, không âm, không dương Đề bài: Cho BPT: ax + bx + c > (1) Tìm giá trị Đề bài: Cho BPT: ax + bx + c ≥ (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm với x tham số để (1) nghiệm với x Phương pháp: Phương pháp: ● Xét a = ⇔ m ? (nếu a chứa tham số) ● Xét a = ⇔ m ? (nếu a chứa tham số) ⇒ xét cụ thể ⇒ xét cụ thể ● Xét a ≠ ⇔ m ? ● Xét a ≠ ⇔ m ? Khi đó, (1) nghiệm với x Khi đó, (1) nghiệm với x a > a > ⇔ ⇔ m? ⇔ ⇔ m? ∆ < ∆ ≤ Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Đề bài:Cho BPT: ax + bx + c < (1) Tìm giá trị Đề bài:Cho BPT: ax + bx + c ≤ (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm với x tham số để (1) nghiệm với x Phương pháp: Phương pháp: ● Xét a = ⇔ m ? (nếu a chứa tham số) ● Xét a = ⇔ m ? (nếu a chứa tham số) ⇒ xét cụ thể ⇒ xét cụ thể ● Xét a ≠ ⇔ m ? ● Xét a ≠ ⇔ m ? Khi đó, (1) nghiệm với x Khi đó, (1) nghiệm với x a < a < ⇔ ⇔ m? ⇔ ⇔ m? ∆ < ∆ ≤ Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Ví dụ 1: Với giá trị m đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + dương với x thuộc ¡ Giải Với m = f(x)= -2x+1 lấy giá trị âm Do m = không thỏa mãn điều kiện đề Với m ≠ 2, f(x) tam thức bậc hai với ∆ ' = m− Do đó: a > 2 − m> m< ∀x, f ( x) > ⇔  ' ⇔ ⇔ ⇔ m< m< ∆ < m− 1< Vậy với m < tam thức ln dương Bài 1: Tìm giá trị m để biểu thức sau dương với x 2 x − ( m + ) x + 8m + 1 x − x + m − x + x + ( m − ) ( 3m + 1) x − ( 3m + 1) x + m + 2 ( m − 1) x − ( m + 1) x + ( m − ) x + 2(m − 1) x + m + x + (m + 1) x + 2m + (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + x + (m − 2) x − m + 10 (m + 2)x2 + 2(m + 2)x + m + Bài 2: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm với x 2 ( m − ) x + ( m + 1) x + 2m − ( m + ) x + x − mx − 12 x − 2 − x + ( m + 1) x + − m − x + 2m x − 2m − mx − mx − - x2 + 2m x – 2m2 – (2 − m) x + 2(m − 3) x + − m 10 (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m – ( m − ) x − ( m − 3) x + m − Bài : Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với giá trị x: 2 ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − ≥ ( m + 4m − ) x − ( m − 1) x + ≤ x − x + 20 0 ( m − ) x + ( + m ) x + 2m − x + mx − ◦ ax + bx + c ≥ ◦ ax + bx + c < ◦ ax + bx + c ≤ vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ax + bx + c ≤ ax + bx + c < ax + bx + c ≥ ax + bx + c > nghiệm với x nghiệm với x nghiệm với x nghiệm với x Ví dụ: Tìm giá trị m để bất phương trình sau vơ nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > Giải Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m Để bất phương trình vơ nghiệm f(x) ≤ ∀x∈ ¡ Với m = ta có f(x)=6x+4 Khi f(x) nhận giá trị dương Giá trị m=2 khơng thỏa mãn điều kiện địi hỏi Với m≠ ta có:  m< a <  m− < f ( x) ≤ 0,∀x∈ R ⇔  ' ⇔ ⇔ ⇔ m≤ 3− 10 cm≥ 3+ 10  ∆ ≤ − m + 6m+ 1≤  m≤ 3− 10hoaë Vậy bất phương trình vơ nghiệm m≤ 3− 10 Bài 4: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm x + ( m + ) x − m − ≤ ; (2m2 + m - 6)x2 + 2(m - 3)x – > 2 ( m − 1) x + ( m − 1) x + 3m − > (m + 2)x2 – 2(m-1)x + ≤ Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm f ( x) = (m + 2) x − 2mx + 3m >0 ( m + 1) x − ( m − 1) x + 3m − > Bài 6: Cho bất phương trình: x + x + + m ≤ Định m để: a Bất phương trình vơ nghiệm (m>2) b Bất phương trình có nghiệm (m=2) c Bất phương trình có miền nghiệm đoạn trục số có độ dài ( m= ) Bài Tìm m hàm số xác định với x y = - m(m + 2) x + 2mx + 2 y = − 3x (m + 1) x + 2mx + 9m + Bài Cho a1x2 + 2b1x + c1 ≥ với x a2x2 + 2b2x + c2 ≥ với x Chứng minh: a1a2x2 + 2b1b2 x + c1c2 ≥ với x Bài Gọi a, b, c cạnh tam giác ABC Chứng minh: x(1 – x)c – xa2 + (x – 1)b2 < với x Bài 9: Định m cho: x + y + y + mx + > 0, ∀x, y ∈ R Bài 10: Định m cho: x + 20 y + z − 12 xy + xz + myz > Với x, y, z không đồng thời không (ĐS: −4 − < m < −4 + ) DẠNG VI : Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm với giá trị thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước 2 Ví dụ : Tìm m để bất phương trình: x − 2( m+ 1) x + m + 2m≤ (2) nghiệm với ∀x ∈ [ 0;1] Lời giải : Bất phương trình (2) có tập nghiệm [ x1; x2 ] , với x1 , x2 hai nghiệm tam thức f ( x ) = x − ( m + 1) x + m + 2m (vì tam thức ln có hai nghiệm m m+2)  x1 + x2 = ( m + 1) Theo Vi – ét ta có:   x1.x2 = m + 2m Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm với ∀x ∈ [ 0;1] x1 x2 ≤ x1 x2 ≤  m + 2m ≤   ⇔ x1 ≤ < ≤ x2 ⇔  ⇔ ⇔ m + 2m − ( m + 1) + ≤ ( x1 − 1) ( x2 − 1) ≤  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + ≤  −2 ≤ m ≤ ⇔ ⇔ −1 ≤ m ≤  −1 ≤ m ≤ Vậy, với −1 ≤ m ≤ bất phương trình nghiệm ∀x ∈ [ 0;1] Ví dụ : Cho bất phương trình: ( m − ) x + ( − 3m ) x + 10m − 11 ≤ (1) Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm với ∀x   m−2  m > m−2 m−2 ⇔ ⇔ ⇔ −2 ( − 3m )   12 − m <   m < 12 > −8   m−2  m−2   m >    m<  ⇔  m > ( 2) Từ (1) (2) ta có: ≤ m < (**) Từ (*) (**), ta có giá trị m cần tìm là: m < Bài tập vận dụng Cho phương trình: ( m − ) x − ( + m ) x + ( m − ) = (1) a) Với giá trị m PT (1) có nghiệm thuộc khoảng (-1; 1); b) Nghiệm lớn PT(1) thuộc khoảng (-2; 1) 2 Cho phương trình: ( m + ) x − x + m − = (1) a) Xác định m để PT(1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1); b) Xác định m để PT(1) có nghiệm thuộc khoảng (0; 1); c) Xác định m để PT(1) có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3); Cho phương trình: x − ( m + ) x + 5m + = a) Xác định m để phương trình có nghiệm thỏa mãn x ≥ ; b) Xác định m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (-1; ) Cho tam thức f ( x ) = x − 2mx + 3m − a) Tìm điều kiện m để BPT f(x) > nghiệm với ∀x ∈ (1; 2); b) Tìm điều kiện m để BPT f(x) > nghiệm với ∀x ∈ [0; 2] Tìm m để BPT ( m − ) x − ( m + 1) x + m − < nghiệm với ∀x ∈ (-1; 3)  ... − x ? ?10 x + 3x − > −x 2− x ≥4 x + x+2 10 x ≥ ( x + x + ) x2 + x + 0 18 x ( − x) 12 ( x − 1) (... − ≤  ? ?17 x − − x ≥  x2 + x + ≥   x − x − 10 ≤ 2 x − x + >   x − 3x + >0   x −  x2 + x − <  10 x2 − x − 11 −4 ≤ ? ?1 x2 + 12 13 ? ?1 < 10 x − 3x −  x − x − < 17   x − x − ≥ 3 x + x − ≤ 19  ? ?17 x − − x ≥ 21 −4 ≤ x2 − x − ? ?1 x2 + 14 16 18 20 22  2x +  x − ≥   ( x + 2) ( 2x − 4) ≤ x ? ?1  x − 2x − ≤ ? ?1 13 x − x +  2x +