ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI - ỨNG DỤNG A KIẾN THỨC CẦN NHƠ: 1/ Định nghĩa tam thức bậc hai: Tam thức bậc hai (đối với x) biểu thức dạng ax2+bx+c a, b, c số cho trước với a �0 2/ Định lí dấu tam thức bậc hai: ' ' Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a �0) Với b 4ac (b ) ac ' -Nếu 0 f(x) có hai nghiệm x1 x2 (x10 x�� tam thức f(x) có = - < a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -x+1 -� +� + Ví dụ 2: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= -x2-2x+3 Giải Vì a=-1 (trái dấu với a) x � 3;1 Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x -x -2x+3 -� -3 - +� + - Ví dụ 3: Xét dấu tam thức bậc hai f(x)= x2-2x+1 Giải f(x)= x -2x+1 > x �1 tam thức f(x) có =0 nghiệm kép x = 1, a = > Có thể ghi kết bảng xét dấu sau: x x -2x+1 -� Bài Xét dấu biểu thức sau: f(x)= x x f(x)= x x f(x)= x + f(x)= x x 4 f(x)= x f(x)= x x +� + f ( x) x x f(x) x x Bài Lập bảng xét dấu biểu thức sau: f(x)= (x - 4)(5x -4x-1) f ( x) (3x 10 x 3)(4 x 5) 3x x 4 x 12 x x 3x3 x f ( x ) x x 30 f ( x ) f(x)= x (2-x-x )(x+2) f ( x ) 2 x x 12 x DẠNG II : Bất phương trình tích, chứa ẩn mẫu Cách giải: - Đối với bất phương trình bậc hai ta xét dấu vế trái dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình tích xét dấu nhân tử nhân dấu lại với nhau, dựa vào dấu bất phương trình kết luận nghiệm - Đối với bất phương trình chứa ẩn mẫu ta phải đưa dạng �P x � P x P x P x 0;� 0; �0; �0�, xét dấu vế trái dựa vào dấu bất phương trình kết �Q x � Q x Q x Q x � � luận nghiệm 1/ - x2 + 2x + < Ta có: - x2 + 2x + = có hai nghiệm x1=-1, x2=3, a=-1 Ta có: x2 + 2x + =0 có nghiệm kép x = -1, a=1>0 Bảng xét dấu: X vt -� + +� -1 + Vậy nghiệm bất phương trình là: S= �\{-1} 3/ - x2 + 2x – > Ta có: - x2 + 2x – = vô nghiệm, a=-1 (x - 2)(x2 + 5x + 4) 2 x x 1 x x 10 x 3x x 2 x �4 x x2 10 x � x x x2 x 0 1 2x x x x x 15 14 � 1 x x 1 x2 1 2x � 16 x 1 x x 1 x 1 x3 3x x 0 18 x x 12 x 1 x x 3 x x2 x 20 15 2 22 x x 1 � x x 1 x x2 24 0 x 4x x2 x 26 �x x4 �0 27 x 3x x 2 x �4 29 x x2 28 x 47 x 47 3x 2x 1 30 x 1 x x x x 2 DẠNG III : Hệ bất phương trình � 3x2 7x Ví dụ 1: Giải hệ bất phương trình sau � �2x x Giải � 1� �; �� 2; � Bất phương trình thứ có tập nghiệm S1= � � 3� � 3� Bất phương trình thứ hai có tập nghiệm S2= �1; � � 2� � 1� 1; � Tập nghiệm hệ S S1 �S2 � � 3� �x x 12 � �x � �4 x x � �x x �0 � x x �0 � � 17 x x �0 � � x 10 x � �x x 16 � �x x � �x x �x x 12 � �2 x � x x �0 � � 17 x x �0 � �x x �0 � 2 x x 10 �0 � � x2 5x � �x x 0 � � x �x x � 10 x2 x 11 4 � �1 x 1 12 13 1 10 x x 1 x 3x �x x 12 15 � �2 x �4 x x 17 � �x x �0 14 16 18 x x �0 � 19 � 17 x x �0 � 20 x2 x 21 4 � �1 x 1 22 �2 x �1 � �x � � x x �0 x 1 � x 2x � �1 13 x x �2 x �1 � �x � � x x �0 � x 1 � x 10 x �2 �x x 16 �x x �2 �x x �x x �0 � 2 x x 10 �0 � � x2 5x � x2 x � �1 13 x x �0 23 1 10 x x 1 x 3x 2 �x x 0 � 24 � x �x x � �x x 0 � x � � 25 �x �x x �0 � � �x x DẠNG IV : Tập xác định hàm số y x 3x x 1 x 7x x 2x 3x y 1 x x 15 y 2 y y y x2 x 2x 1 x x x 14 x 2x x 5x 4 DẠNG V : Tìm tham số m để f(x) dương, âm, không âm, không dương Đề bài: Cho BPT: ax bx c (1) Tìm giá trị Đề bài: Cho BPT: ax bx c �0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm với x tham số để (1) nghiệm với x Phương pháp: Phương pháp: ● Xét a � m ? (nếu a chứa tham số) ● Xét a � m ? (nếu a chứa tham số) � xét cụ thể � xét cụ thể ● Xét a �0 � m ? ● Xét a �0 � m ? Khi đó, (1) nghiệm với x Khi đó, (1) nghiệm với x a0 a0 � � �� � m? �� � m? 0 �0 � � Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Đề bài:Cho BPT: ax bx c (1) Tìm giá trị Đề bài:Cho BPT: ax bx c �0 (1) Tìm giá trị tham số để (1) nghiệm với x tham số để (1) nghiệm với x Phương pháp: Phương pháp: ● Xét a � m ? (nếu a chứa tham số) ● Xét a � m ? (nếu a chứa tham số) � xét cụ thể � xét cụ thể ● Xét a �0 � m ? ● Xét a �0 � m ? Khi đó, (1) nghiệm với x Khi đó, (1) nghiệm với x a0 a0 � � �� � m? �� � m? 0 �0 � � Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Tổng hợp hai trường hợp, kết luận giá trị m cần tìm Ví dụ 1: Với giá trị m đa thức f(x) = (2-m)x2 - 2x + dương với x thuộc � Giải Với m = f(x)= -2x+1 lấy giá trị âm Do m = khơng thỏa mãn điều kiện đề Với m �2, f(x) tam thức bậc hai với ' m Do đó: a � m � m � x, f x � � ' �� �� � m m 1 m 0 � � � Vậy với m < tam thức ln dương Bài 1: Tìm giá trị m để biểu thức sau dương với x 2 x m x 8m 1 x x m x x m 3m 1 x 3m 1 x m 2 m 1 x m 1 x m x 2(m 1) x m x (m 1) x 2m (m2 + 2)x2 – 2(m + 1)x + x (m 2) x m 10 (m + 2)x2 + 2(m + 2)x + m + Bài 2: Tìm giá trị m để biểu thức sau âm với x 2 m x m 1 x 2m m x x mx 12 x 2 x m 1 x m x 2m x 2m mx mx - x2 + 2m x – 2m2 – (2 m) x 2(m 3) x m 10 (m - 2)x2 - 2(m - 3)x + m – m x m 3 x m Bài : Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau nghiệm với giá trị x: 2 m 1 x m 1 x 3m �0 m 4m 5 x m 1 x �0 x x 20 0 mx m 1 x 9m 3x x 0 m x m x 2m x mx 1 x2 x x 5x m 1 � 7 x 3x x mx m �0 11 (2m2 – 3m - 2)x2 + 2(m - 2)x – �0 13 x m 1 x m ; 4 x mx 6 x2 x x (m 1) x m 10 mx mx �0 12 (m + 4)x2 < 2(mx - m + 3) 14 m 1 x m 1 x 3m �0 ; x x 20 0; mx m 1 x 9m 2 15 m 4m 5 x m 1 x 16 3x x 17 m x m x 2m x2 x �2 x 18 x mx CHÚ Ý: ◦ ax bx c ◦ ax bx c �0 ◦ ax bx c ◦ ax bx c �0 vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm � � � � ax bx c �0 ax bx c ax bx c �0 ax bx c nghiệm với x nghiệm với x nghiệm với x nghiệm với x Ví dụ: Tìm giá trị m để bất phương trình sau vơ nghiệm (m-2)x2+2(m+1)x+2m > Giải Đặt f(x)=(m-2)x2+2(m+1)x+2m Để bất phương trình vơ nghiệm f(x) �0 x�� Với m = ta có f(x)=6x+4 Khi f(x) nhận giá trị dương Giá trị m=2 không thỏa mãn điều kiện địi hỏi Với m�2 ta có: m a m � � � f x �0, ���� x R � ' m � � �0 � m 6m 1�0 � m�3 10hoa� cm�3 10 � Vậy bất phương trình vơ nghiệm m�3 10 Bài 4: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình sau vơ nghiệm 10 x m x m �0 ; (2m2 + m - 6)x2 + 2(m - 3)x – > 2 m 1 x m 1 x 3m (m + 2)x2 – 2(m-1)x + �0 Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm f ( x) (m 2) x 2mx 3m >0 m 1 x m 1 x 3m Bài 6: Cho bất phương trình: x x m �0 Định m để: a Bất phương trình vơ nghiệm (m>2) b Bất phương trình có nghiệm (m=2) c Bất phương trình có miền nghiệm đoạn trục số có độ dài ( m= ) Bài Tìm m hàm số xác định với x y = - m(m 2) x 2mx 2 y = 3x (m 1) x 2mx 9m Bài Cho a1x2 + 2b1x + c1 �0 với x a2x2 + 2b2x + c2 �0 với x Chứng minh: a1a2x2 + 2b1b2 x + c1c2 �0 với x Bài Gọi a, b, c cạnh tam giác ABC Chứng minh: x(1 – x)c – xa2 + (x – 1)b2 < với x Bài 9: Định m cho: x y y mx 0, x, y �R Bài 10: Định m cho: x 20 y z 12 xy xz myz Với x, y, z không đồng thời không (ĐS: 4 m 4 ) DẠNG VI : Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình bậc hai có nghiệm với giá trị thuộc khoảng ( đoạn ) cho trước 2 Ví dụ : Tìm m để bất phương trình: x 2 m 1 x m 2m�0 (2) nghiệm với x � 0;1 Lời giải : Bất phương trình (2) có tập nghiệm x1; x2 , với x1 , x2 hai nghiệm tam thức f x x m 1 x m 2m (vì tam thức ln có hai nghiệm m m+2) �x1 x2 m 1 Theo Vi – ét ta có: � �x1.x2 m 2m Do đó, để bất phương trình (2) nghiệm với x � 0;1 ۣۣ �x��� x2 x1 x2 �0 � � x1 1 x2 1 �0 � x1 x2 �0 � � �x1 x2 x1 x2 �0 � m 2m �0 �2 m 2m m 1 �0 � 2 �m �0 � �� � �m �0 �1 �m �1 Vậy, với 1 �m �0 bất phương trình nghiệm x � 0;1 Ví dụ : Cho bất phương trình: m x 3m x 10m 11 �0 (1) Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm với x