Bài giảng số 2: Giải hệ phương trình bậc nhất bằng phương pháp thế

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang.. Bài giảng số 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: ThS Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 2: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Phương pháp thế: Hệ phương trình ax by c

a x b y c

 

 

     

Ta có: ax by c a x b y c

          a c y x b b

a x b y c

              a c y x b b a c

a x b x c

b b                     

Từ ta tìm nghiệm hệ phương trình

 Chú ý: Phương trình axb  1

+) Nếu a 0 phương trình  1 có dạng 0xb

- Khi b 0 phương trình  1 có dạng 0x 0 phương trình có vơ số nghiệm - Khi b 0 phương trình  1 vô nghiệm

+) Nếu a 0 phương trình  1 có nghiệm x b a



B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:

a)

4

x y x y        b)

3

4 a b a b           Giải

a)

4

x y x y         

4

y x x x            10 25 y x x        2, y x x        2,5 x y       Vậy nghiệm hệ phương trình là: 2, 5; 2

b)

3

4 a b a b          

3

2 a b a a                      20 a b a             40 a b a             40 32 a b            Vậy nghiệm hệ phương trình là: 40; 32

3

 



 

(2)

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình ( 1) (1)

( 1) (2)

m x my

x m y m

   

 

   



a) Giải hệ phương trình với m  2 b) Giải biện luận hệ phương trình

c) Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x0, y0

d) Tìm m   để hệ phương trình có nghiệm x y ,

Giải:

a) Thay m  vào hệ phương trình ta được:

 

2 2

x y

    

 

   

 

    

 

2 2 2

2 2

y y

x y

       

  

    



 

3 2

2 2

y

x y

   

  

   

 

 

2

3

2 2

y

x y

 

 

 

 

    

 

2

18 14

y

x

 

 

 

 

 



 



Vậy nghiệm hệ phương trình là: 18 14 2; 2 6

   

 

   

 

b)  2  x m 2 m1y Thế vào  1 ta được:

     2  

1

m m  m y my   m y m  m

Với m   1  3 có dạng 0.y  y0  Hệ phương trình có vơ số nghiệm thoả mãn x2y

Với m   , hệ có nghiệm 1

  

 

2

2 2

1

m m m

x

m m

m m m

y

m m

   

 



 

 



  

  



c)

 

2

0 1

1

0

m m

x

m m m

m

m m

m y

m m

   



   

       



    

 

   

      

 



(3)

4 2

4

1

1:

1

m x

m m

m y

m m

 

   

  



     

    

  





Ư(1),(2)

Để x y, nguyên 1

1

m m

    

 

 

  

 

Vậy hệ phương trình có nghiệm ngun    m  2, 1, 0

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình ( 1) (1)

3 (2)

m x y

x my

  

 

 



a) Chứng tỏ với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm b) Tìm m để nghiệm hệ thoả mãn x y lớn

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệmx0, y0

Giải:

a)  1  1

m x

y  

  Thế vào  2 :  1 1 (3)  6 2

m x

x m     m m  x m 

Vì

2

2 23

6

2

m m m    m

  nên hệ phương trình ln có nghiệm nhất:

2

6

m x

m m

m y

m m

 



  

 

  

  



b) 2 6 24

23

6 23

4

x y

m m

   

  nên xy nhỏ 24 23



m 

c)

2

4

m x

m m

y

m m

 

 

  



    



  

  



(Vì m2m 6 0 ) m

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình:

2

mx y x y

  



  

Giải biện luận hệ theo m

Giải:

2

mx y x y

  



  

   

 

2

m x x y

  

  

  



+) Xét phương trình   1 : 2m x 3

Nếu 2m0m 2 phương trình  1 có dạng 0.x 3 (vơ nghiệm) Do hệ vơ nghiệm Nếu 2m0m 2 phương trình  1 có nghiệm

2

x

m

(4)

+) Thay

x

m



 vào phương trình  2 ta có: y2x1

1 2 m

 



4

m m

 



Vậy với m  2 hệ có nghiệm

3

4

x

m m y

m

  

 



  

 



Ví dụ 5: Cho hệ phương trình ( 1) 2 (1)

2 ( 1) (2)

m x my

mx m y m

   

 

   



a) Giải biện luận hệ phương trình

b) Trong trường hợp hệ có nghiệm nhất, tìm hệ thức x y, khơng phụ thuộc m

c) Tìm giá trị m   cho x y  ,

Giải:

a) Nếu m  hệ phương trình: 0 2

1

x x

y y

   

 



 

   

 

Nếu : (1)  1

2

m x

m y

m

  

   Thế vào  2 3m1m1x2m21  3 Với

3

m   3 trở thành: 16

x   (Vô nghiệm)  Hệ vô nghiệm

Với m   hệ có nghiệm 1 xy

Với

1

m m

      

hệ có nghiệm nhất:

 

2

3

1

3

m x

m m y

m

 

 

 



 

 

 



b) Với

1

m m

       

 

2

3 3 1

1 4

3 3

x

m

x y

y

m



 

 



   

   

 



không phụ thuộc vào m

c)

4

3

4

3

x

m y

m



 

 

 

   

 



Nếu x y,  3 , 3x y3m 1 Ư(4) Có giá trị m thoả mãn:

1 1,

0 2,

1 0,

m x y

    

   

(5)

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình:      

2

1

m x y

mx y

   

 

  



Tìm m để hệ có nghiệm ngun

Giải:

Từ  2 ta có: ymx Thay vào  1 ta được: m2x2mx15

3mx 2x

  

3 2

3

m x m 

      

 

7

x m

  

Thay vào ymx1

y m

m

  



4

m y

m

  



Để x  

3m

 

  3m 2 Ư 7 7; 7;1; 1   +) 3m2  7 m 3

+)

3

m  m (loại)

+) 1

3

m  m  (loại) +) 3m   2 m 1

Thay m  3 vào

m y

m

 

  y (thỏa mãn) Thay m  1 vào

3

m y

m

 

  y (thỏa mãn) Vậy với m  3 m  1 hệ có nghiệm ngun

Ví dụ 7: Cho hệ phương trình:  

 

2

1

2 2

mx y m

x my m m

  

 

   

 

a) Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức

3

x  y nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị

Giải:

a) Do

0

m   m

2

m m

    hay

2

(6)

Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m

b) Rút y từ  1 ta có: ymxm2  3 Thế vào  2 ta được: 2xm mx m  2m22m

2

2x m x m m 2m

     

2x m x m m 2m

      x2m2  m32m  m22

 2     

2 2

x m m m do m

       xm1

Thay vào  3  ym m 1m2 m Thay xm1 ym vào

  5

min

4

x  y   khi m  ta được:

 2

1 5

m  m m  m

2

5 5

0

2 4

m do m 

   

           

 

     

Vậy   5

min

4

x  y   khi m 

Ví dụ 8: Cho hệ phương trình:

3

mx y

x my

 

 

  



a) Chứng minh hệ ln có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x y, không phụ thuộc m

Giải:

a) Để hệ có nghiệm ta xét hiệu:  

2 3m m3 1 6m  3 m

Vậy 6m2 3 m Hay hệ có nghiệm b) Rút m từ  1 ta được:

2

y m

x



 thay vào  2 ta có: 3.5

y x

x



   2x28x15y9y2 0 Đây hệ thức liện hệ x y, không phụ thuộc m

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải hệ phương trình phương pháp thế:

2

x y

 

 

  

ĐS: 2;1

2

6

x y

 

 

 



ĐS: Vô nghiệm

3

4 10

x y

 

 

 



(7)

4

5 14

x y

  

 

 



ĐS: 2; 2

5

3 14

x y

 

 

 



ĐS: 4; 1 

6 10 15 18

x y

 

 

 



ĐS: Vô nghiệm

Bài 2: Cho hệ phương trình:

2

1

3

x ay a a

ax y a a

    

 

  

 

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm x0,y ĐS:  1 a0

x y

mx y

 

 

  

Tìm m để hệ có nghiệm x0,y

ĐS: m  

Bài 4: Cho hệ phương trình:  

 

2

3

1 13

mx n y

m x ny

   

 

  

 

a) Giải hệ phương trình với m2;n ĐS: 5; 6  b) Giải hệ phương trình với m1;n  ĐS: 28;

5 10

 



 

 

Bài 5: Cho hệ phương trình: nx y 2n

nx ny n

  



 



Giải biện luận hệ theo n

ĐS: +) n 1: Vô nghiệm

+) n 1: Nghiệm ;

1

n n



 

 

 

 

Bài 6: Giải hệ phương trình sau

a)

12 10

1

4

3

x y

  

 

  

 

ĐS: Vô nghiệm

b)

2

1

2 2

x y

 

  

 

 

ĐS: Vô số nghiệm

Bài 7: Giải hệ phương trình sau:

a) ( 1)

( 1)

x y

   

 

  

 

(8)

b)

2

( 1)

a x a y a

ax a y

   

 

   

 

(a tham số) ĐS: a;1

Bài 8: Xác định m n để bốn đường thẳng sau đồng qui:  d1 :x2y 6,  d2 : 2xy3,

 d3 :mxny1,  d4 :nxmy13 ĐS:

61 47 ;

9

m n 

Bài 9: Cho hệ phương trình:  1

2

m x my m

x y m

    

 

  

 

a) Giải biện luận hệ theo m ĐS: +) m  1: Vô số nghiệm: y2x +) m  1: Nghiệm m1;m3 b) Với giá trị ngun m hệ có nghiệm x y;  cho x0, y

ĐS: m 0;1; 2 c) Định m để hệ có nghiệm x y;  mà Px2y2 đạt giá trị nhỏ

ĐS: Pmin  8 m

d) Xác định m để hệ có nghiệm x y;  thoả mãn x22y0 (Hoặc: cho M x y ;  nằm

parabol y 0,5x2) ĐS: m1;m 

e) Chứng minh hệ có nghiệm x y;  điểm D x y ;  ln ln nằm đường thẳng cố định m nhận giá trị khác ĐS: y  x

2

x my

mx y

 

 

 



a) Giải hệ phương trình m 2 ĐS: 1;1

 

 

 

b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm x y;  mà x 0 y  0

ĐS: m     3; 2; 1; 0 c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm x y;  mà x y, số nguyên

ĐS: m  

d) Tìm m để hệ có nghiệm x y;  mà S  x y đạt giá trị lớn

ĐS: max

2

S  m

2

m x y

mx y

   

 

 

 

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

(9)

2

3

2

mx y m m

x my m

    

 

 

 

Tìm hệ thức liên hệ x y, khơng phụ thuộc

vào m ĐS:

2

3 2 2

2

6

x y x y

x y

x y x y

 

   

   

     

 1

1

m x y

x y

    

 

  

 a) Giải hệ phương trình

2

m   ĐS: 1;

2

 



 

 

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm  2; 2 ĐS:

m 

Bài 14: Cho hệ phương trình:    

1

m x y m

x m y

   

 

  

 

Tìm hệ thức liên hệ x y, không phụ thuộc vào m

ĐS: 2

3

x  xyy  

2

5 12

3

x ay a a

ax y a a

   

 

   

 

Tìm hệ thức liên hệ x y, khơng phụ thuộc vào

a ĐS:  

2

30 30

5 12

3 73 73

x y x y

x y

x y x y

       

    

   

   

 

2

1

mx my m

x m y

  

  

  

 

a) Chứng minh hệ có nghiệm x y;  điểm M x y ;  thuộc đường thẳng cố định m

thay đổi ĐS: y   x

b) Tìm m để điểm M thuộc góc phần tư thứ ĐS: m 1

c) Xác định m để điểm M thuộc đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính

ĐS: 1;

2

m  m

 

3

3 1

x y

mx x y m

   

 

   

 

Tìm m để hệ có nghiệm x y;  thỏa mãn:

4x2y  ĐS: m   1

2

x my

 

 

 



Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn

 

1 10

m  x my m ĐS:

2

(10)

3

m x y

mx y

   

 

 

 

a) Giải hệ phương trình với m  1 ĐS: 5; 2

 

 

 

b) Tìm m để x0, y ĐS: m  3

2

mx my m

mx y m

 

 

  

Tìm m để nghiệm hệ thỏa mãn điều kiện x0, y ĐS:

2

m