Bài giảng số 5: Cung chứa góc và một số ứng dụng

(vì trong tam giác đều ACD đường cao AH cũng là đường trung tuyến). A là điểm di động trên nửa đường tròn đó. C là điểm di động trên cung nhỏ AB. Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc vớ[r]

BÀI GIẢNG SỐ 5: CUNG CHỨA GĨC

I Tóm tắt lý thuyết

i) Cho đoạn thẳng AB, quĩ tích điểm M cho góc AMB có số đo  không đổi

0

0 180 là hai cung có số đo 36002 đối xứng qua AB (được gọi cung chứa góc  dựng đoạn AB)

ii) Trường hợp đặc biệt: Qũy tích điểm nhìn đoạn AB góc vng đường kính AB iii) Muốn chứng minh tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta chứng minh hai phần sau:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T Giới hạn quĩ tích kết luận

II Bài tập mẫu

Bài tập mẫu 1: Cho tam giác ABC vng A có cạnh BC cố định Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm I A thay đổi

Giải:

a) Phần thuận:

Vì tam giácABC A ta có C B900 nên C 1 B1 90 : 20 450

Xét tam giác BIC cóC 1 B1 450 Suy ra: BIC  1800 450 1350

Nên điểm I nhìn đoạn BC cố định góc BIC  1350 khơng đổi

Vậy quỹ tích điểm I cung chứa góc 1350 khơng đổi

b) Phần đảo:

Lấy I thuộc cung chứa góc ' 1350dựng đoạn thẳng BC Ta cần chứng minhI' giao điểm ba đường phân giác tam giác vuôngABC cạnh huyềnBC

Dựng hai tia Bt Ck, nửa mặt phẳng bờ chứa điểm I': tBI' I BC kCI' ; 'I CB' Hai tia Bt Ck, cắt A'

Vì I B I C' ; ' tia phân giác tam giác A BC' nên A I tia phân '

giác góc BA C' Mà BI C ' 1350 nên B 1C1 1800 1350 450 Do đó: B C 900 BA C' 900 Vậy tam giác A BC' vuông A '

t k

2

1

I'

B C

A'

2 1 2

1

I

B C

Bài tập mẫu 2: Cho đường tròn ( )O và dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC

của đường tròn ( )O (A khác B , A khác C) Tia phân giác góc ACB cắt đường tròn ( )O điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI DB Đường thẳng BI cắt đường tròn ( )O điểm K khác điểm B

a) Chứng minh tam giác KAC cân

b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm Jcố định

c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM  AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn ( )O

Giải:

a) Ta có 

DBK  (sđ DA + sđ AK )



DIB  ( sđ BD + sđ KC )

Vì sđ BD = sđ DA DIB cân D nên sđKC = sđ AK Suy AK CK hay AKC

cân K

b) Từ kết câu a) ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thằng

AI qua điểm J(điểm cung



BC khơng chứa A ) Ta thấy J điểm cố định

c) Phần thuận:

Do AMCcân A , nên  1

BMC BAC Giả sử số đo góc BAC  (khơng đổi) A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc  dựng đoạn BC phía điểm O

Phần đảo:

Tiếp tuyến Bxcắt với đường trịn ( )O cung chứa góc  vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M Cx (một phần cung chứa góc  vẽ đoạn BC, M khác X M khác C) Nếu MB cắt đường tròn ( )O A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường trịn ( )O Vì

 2 ,

BAC  AMC suy AMC cân A hay AC AM

Kết luận: Qũy tích điểm M cung Cx , phần cung chứa góc  vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X

Bài tập mẫu 3: Cho trước điểm A đường thẳng dvà hai điểm C D, thuộc hai nửa mẳ phẳng đối nhau, bờ d Hãy dựng điểm B đường thẳng dsao cho  ACB ADB

Giải:

 Phân tích:

Giả sử dựng điểm B d cho ACBADB Gọi D điểm đối xứng D qua ' d Khi ADBAD B' Vậy: ACB AD B'

Suy C D nằm cung chứa góc dựng đoạn AB Từ ta thấy B giao ' điểm d với đường tròn ngoại tiếp ACD'

I A

O

M

B C

K

 Cách dựng:

Dựng điểm D điểm đối xứng D qua đường thẳng ' d Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác

'

ACD Dựng giao điểm B đường thẳng d với đường tròn (ACD')

 Chứng minh:

Rõ ràng với cách dựng trên, ta có:

ADBAD B' ACB

 Biện luận:

+) Nếu ba điểm A C D, , không thẳng hàng, ba điểm thẳng hàng CD khơng vng góc với d tốn có nghiệm hình

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng d đường trung trực đoạn CD tốn có vơ số nghiệm hình

+) Nếu ba điểm A C D, , thẳng hàng, d CD

nhưng d đường trung trực

CD tốn khơng có nghiệm hình.

Bài tập mẫu 4: Giả sử AD đường phân giác góc A tam giác ABC (D thuộc đoạn BC) Trên AD lấy điểm M N choABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai

E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM điểm thứ hai F a) Chứng minh bốn điểm B C E F, , , nằm đường tròn b) Chứng minh ba điểm A E F, , thẳng hàng

c) Chứng minh BCFACM, từ suy ACN BCM. Giải:

a) Ta có: BFCBAN (cùng chắn cung BN ) 

 

BFCBAN (cùng chắn cung BN ), mà

 

BFCBAN, suy BFCBAN (cùng chắn cung BN ) 

Bốn điểm B C E F, , , nằm đường tròn

b) Từ kết ta có: CFENFA Do hai tia FE FA trùng nhau, nghĩa ba điểm

, ,

A E F thẳng hàng

c) Vì BCFBEF ACM BEF nên

 

BEF  ACM Từ suy ACM BCF, dẫn đến ACN BCM (dpcm)

Bài tập mẫu 5: Cho nửa đường tròn tâm ( )O đường kính AB C điểm di động nửa đường trịn Vẽ tam giác đểuACD với D thuộc nửa mặt phẳng bờ ACkhông chứa B Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn CD

Giải:

d B

D A

D' C

k M

N A

B D C

a) Phần thuận:

Giả sử ( )O giao điểm đường thẳng CD

với nửa đường tròn ( )O Từ giả thiết ACD

đều ta thấy ACE 1200 nên sđBE 600 Vì E điểm cố định Lại M trung điểm CD, mà ACD nên AM CD

hay AME 900 Từ M nằm nửa đường trịn đường kính AE

Khi C trùng A M trùng A , C trùng B M trùng E Vậy M nằm nửa đường trịn đường kính AE

b) Phần đảo:

Lấy điểm M nửa đường trịn đường kính AE Đường thẳng EM cắt nửa đường tròn ( )O

tại C Vẽ tam giác ACD, D thuộc nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B Khi sđ



60

BE  , nên ta thấy ABE 600, dẫn đến ACE 1200

Suy ACD ACE6001200 1800 nên bốn điểm D M C E, , , thẳng hàng Rõ ràng MDMC

(vì tam giác ACD đường cao AH đường trung tuyến)

c) Kết luận: Qũy tích trung điểm M CD nửa đường trịn đường kính AE nằm nửa mặt phẳng bờ AE không chứa B

III Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Cho nửa đường trịn tâm ( )O đường kính BC2R A điểm di động nửa đường tròn GọiD E theo thứ tự trung điểm dâyACvà AB Tìm quỹ tích giao điểm M đoạn BD

CE

Hướng dẫn: Qũy tích giao điểm M BD CE nửa đường

tròn tâm O bán kính R

Bài tập 2: Cho đường trịn tâm ( )O bán kính R dây cung ACR C điểm di động cung nhỏ AB Vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với AB Từ A B kẻ tiếp tuyến khác AB với đường tròn tâm M ,chúng cắt M Tìm quỹ tích điểm M

Hướng dẫn: Qũy tích giao điểm M cung chứa góc 600vẽ đoạn AB thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa cung nhỏ AB đường tròn ( )O

Bài tập 3: Dựng tam giác ABC, biết

a) BC3cm, độ dài đường trung tuyến AM 3cm

b) BC3cm, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 2, 5cm, bán kính đường trịn nội tiếp tam giác 1cm

Hướng dẫn:

a) Điểm A thuộc cung chứa góc 500 vẽ đoạn BCvà A thuộc đường tròn tâm M bán kính R3cm (M trung điểm BC)

b) Dựng đường tròn ( ; 2, 5O cm)

M C

O

A B

Bài tập 4: Cho bốn điểm A B C D, , , theo thứ tự nằm đường trịn ( )O cho AC vng góc với BD H ( khác O) Gọi M Nlần lượt chân đường vng góc kẻ từ H xuông đường thẳng AB BC, P Q giao điểm đường thẳng MH NH với đường thẳng CD DA

a) Chứng minh PQ/ /AC

b) Chứng minh bốn điểm M N P Q, , , nằm đường tròn Hướng dẫn:

a) Chứng minh Qlà trung điểm đoạn AD P trung điểm đoạn

CD

b) Chứng minh NQH NMH NMP

Bài tập 5: Cho tam giác ABC, gọi D E theo thứ tự tiếp điểm đường tròn tâm O nội tiếp tam giác với cạnh AB AC, H giao điểm đường thẳng BO đường thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm O E H C, , , nằm đường tròn

b) Chứng tỏ đường phân giác góc ABC , đường trung bình tam giác ABC song song với cạnh AB đường thẳng DE đồng quy

Hướng dẫn:

a) Chứng minh OHEECO