Bài giảng số 2: Phương trình lượng giác dạng asinx + bcosx = c

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang.. Bài giảng số 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG a.sinx+b.cosx = c.[r]

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG

a.sinx+b.cosx = c

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Ta có: asinx b cosxc

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a b a b a b

  

  

Gọi  góc cho

2

2

os

sin

a c

a b

b

a b



 

 

 



 

 



Khi phương trình tương đương với:

2

os sin sin cos c

c x x

a b

   







2

sin x c

a b



  



 Điều kiện có nghiệm:

2

c

a b

 

2 2 2

c a b a b c

     

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sinx cosx 1 Giải

Ta có: sinx cosx1sinx cosx1 sin x 

 

   

 

1

sin sin

3

x  

 

    

 





2

3

7

2

6

3

x k x k

k

x k

x k

  

 



 

 

 

    

 

  

      

 





Ví dụ 2: Tìm nghiệm x   ,  

  phương trình cos x7  3sin x7   2. Giải

Phương trình cho tương đương với: os7 3sin 2c x x 

2 sin os7 os sin

6c x c x

 

    sin sin

6

x  

 

   

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang





7

6

,

7

6

x k

k h

x h

 



 

 

  



 

   









5

84

,

11

84

x k

k h

x h

 

 



 



 

  





Do

5 x   ,  

  nên ta có:





2

5 84 7

,

2 11

5 84 7

k

k h h

   

   



  



 

   









2

5 84 7

,

2 11

5 84 7

k

k h h



  



 

   



 k2;h1,

5 53

84 84

11 35

84 84

11 59

84 84

x

x

x

 



 



 

 

  

  

   

 

   



Vậy nghiệm phương trình là: 53 ;35 ;59

84 84 84

x   

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3sin 3x os9c x 1 4sin 33 x

 

Giải

Ta có:

 





3  3sin 3x4 sin 3x  os9c x1sin 9x os9c x

1sin os9

2 x c x

   sin sin

3

x  

 

    

 





9

3

5

9

3

x k

k

x k

 



 

 

  



 

   









2

18

7

54

x k

k

x k

 

 



 



 

  





Ví dụ 4: Giải phương trình sau: tan sin os2 2 cos 4

 

cos

x x c x x

x

 

     

 

Giải

Điều kiện: cosx 0

Khi đó:

 

4 sin sin cos cos

cos cos

x

x x x

x x

     

2

sinx sin cosx x cos cos 2x x cos x

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang





sinx cos x cos cos 2x x cos 2x

    

sin cos 2x x cos cos 2x x cos 2x

    





os2 sin cos

c x x x

    









2

2 2

os2 tm cos2 cos cos sin cos loai 1

c x x x x

x x

     

 

    











2

2



 x k kZ





4

k x   k

    

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:





 

2

sin os2 os x c x  c  x 

 

Giải

Đặt tsin 2x os2c x



  2 t 2



1

2 sin os2 cos

2

t  x c x  x  

       

   

 

Khi (5) trở thành:

5

t t  

 

2

5 ( )

2 10

2

t l

t t

t tm

  

    

   

Do

 

5 cos 2

6

x  x   k 

 

        

 

7 12

x  k

  

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 4sin 3 sin 6

 

cos sin

x x

x x

 

Giải

Điều kiện: sin 2





2

 

     

x x k x k k Z

Ta có:

 

6 4sin2xcosx sinx sin 3x





2 cos2x cosx sinx sin 3x

   

2 cos cosx x sinx cosx sin 3x

    



cos3x cosx



sinx cosx sin 3x

     

3 sin 3x cos3x sinx cosx

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang

3

sin os3 sin cos

2 x 2c x x x

   

sin sin

6

x  x 

   

      

   





3

6

3

6

x x k

k

x x k

 



 

 



   

 

 

 

     

 

  





 

 





3

x k l

k Z

x k tm



 

 



 

   





3

x  k k Z

   

Vậy nghiệm phương trình là:





3

x k k 

Ví dụ 7: Cho phương trình: 2sin2 xsin cosx x c os2xm 7

 

a) Tìm m cho phương trình có nghiệm

b) Giải phương trình m  1 Giải

Ta có:

 

7



1 os2



1sin 1



1 os2



2

c x x c x m

      sin 2x3cos 2x 2m1

a) (7) có nghiệm   1



1 2m



2

4m 4m

   

1 10 10

2 m

 

  

Vậy với 10 10

2 m

 

  phương trình có nghiệm

b) Khi m  1 ta phương trình: sin 2x3cos 2x3 7

 



+) Nếu



2 1



x k  sin

os2

x

c x

 



  

nên phương trình

 

7 khơng thỏa mãn

+) Nếu



2 1



x k  cosx 0, đặt ttanx Khi

 

7 trở thành:



2



2

3

3

1

t t

t t



 

 









2

2t t t

     6t2 2t 0 t

t    

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang

tan tan tan

x

x 

 

   







x k k

x k



 

 

 

  



C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 cos2x3sin cosx x3 ĐS: Vô nghiệm

2 sinxcosx os3c x ĐS:

3

16

3

x k

x k

 

  

 

 

    

3 3sin 3x4 cos 3x5sin 4x ĐS:

2

x k

k x

 

  

  

  

  

3

os ;sin

5

c  

 

 

 

 

4 3sin x cos x ĐS:

2

5

2

x k

x k



 



 



    



   



3 sin

6

 

 

 

 

 

5 5co s 2x 12 sin 2x 13 ĐS: x k

2 

   sin 12; cos

13 13

 

    

 

 

6 sin x2 cos x 4 ĐS: Vô nghiệm

7 os4c xsin 4x2 cos 3x0 ĐS:

2

2 42

x k

k x

 

 



  



  



Bài 2: Tìm nghiệm x



0;



phương trình: tan 2 cos sin os2

cos

x x x c x

x

 

    

 

ĐS: ;3

4

x 

Bài 3: Giải phương trình sau:

1 8sin

cos sin x

x x

  ĐS:

12

x k

k x

 

 



  



Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang

2 sinx6 cosx3sin 2xcos2x8 ĐS: 2

x k 

3 sin 2x2 cos 2x 1 sinx4 cosx ĐS:

x  k 

4 2sin 2x c os2x7 sinx2 cosx4 ĐS:

2

2

x k

x k

 

  

  



  



5 sin 2xcos2x3sinxcosx2 ĐS:

2

2

2

2

x k

x k

x k

x k 



 

 





 

 

  

 

  



 



6 cos3xcos2xsinx ĐS:

2

2

x k

x k

 

  

  



    

7 cot 2os2 sin

c x x

x



  ĐS:

4

x k

8 sin



4x c os4x



 sin 4x ĐS:

12

x k

x k

 

 



 

 

    

9 sin 23 os 23 1sin

x c x x

   ĐS:

2

x k

x k

 

  

   



  



10 tanx3cotx4 sin



x cosx



ĐS:

4

9

x k

x k

 

 



   



  



11 sin3x c os3xsinxcosx ĐS:



2 1



Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Nguyễn Thị Trang

12 os4 sin4

4

c x x 

  ĐS:

2

4

x k

x k

 

  

  



    

13 4sin3xcos 3x4 cos3xsin 3x3 os4c x ĐS: 24

8

x k

x k

 

 



   



  



14

sinxcos sin 2x x cos 3x2(cos 4xsin x)

15 (1 2sin ) cos (1 2sin )(1 sin )

x x

x x





 

Bài 4: Cho phương trình 2

3 sin

6 tan

sin tan

x

x 

 

 

   

  



a) Giải phương trình

4



   ĐS: os

2

x    k c    

 

b) Tìm  để phương trình có nghiệm ĐS:





4 k k

 

    

Bài 5: Tìm a để phương trình 2sinx cosx 1 a

sinx 2cosx 3

 



  có nghiệm

ĐS: a

2

  