Bài giảng số 4: Phương trình đối xứng tổng tích đối với sinx và cosx

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang.. Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TỔNG TÍCH ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX.[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TỔNG TÍCH ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

 Nhận dạng: Phương trình có dạng f sin , cosx x  0 f sin , cosx  x0,

 , 

f x y hàm đối xứng theo x y, , tức f x y ,  f y x , 

 Hai dạng phương trình:

(sin cos ) sin cos

a x b x b x x c 

 Cách giải: Đặt sin cos sin os

4

t x x x  c x 

   

hoặc đặt sin cos sin

4

t x x x 

 

Trong hai trường hợp điều kiện t  2 t

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: sinxsin2 xcos3x0 1 

Giải:

Ta có:  1 sinx1 sin xcosx1 sin 2x 1 sinxsinx cosx sin cosx x

    

    sin

sin cos sin cos

x

x x x x



  

 



  



 1  

2

 

 x  k kZ

Xét  1 : đặt sin cos os

t  x x c x 

 , điều kiện:   t

t2  1 sin cosx x Khi đó:  

2

1

2

t

t 

   

2

t t

     

 

1

t tm

t l

    

  

2 os

4

c x  

    

 

2

os os

4

c x   c 

     

(2)

 

2

4

 

   

x   k x  k kZ

Vậy nghiệm phương trình là:

2

; os

2

4

 

 



  

  

  

  

     



x k

k Z c

x k

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 cot xcosx5 tan xsinx2 2 

Giải

Với điều kiện sin 2x 0, nhân vế phương trình với sin cosx x 0 ta được:

     

2 3cos x sin x 5sin x cos x 2 sin cosx x

   

2

3cos x sinx 5sin x cosx 5sin cosx x 3sin cosx x

     

   

3cosxcosx sinx sinx 5sinxsinx cosx cosx

        

   

3cosx cosx sin cosx x sinx 5sinx sinx sin cosx x cosx

      

    sin cos sin cos

3cos 5sin

x x x x

x x



   

 



 



Giải  2 : đặt sin cos sin

t  x x x 

 

1 sin cos

t   x x

với điều kiện: t  t  1 Khi đó:

 

2

t

t 

    t2 2t 1  

 

1

t l

t tm

    

  

 

1

sin sin

4

x     

 

      

 

 

2

4

3

2

4

 

   

 

    

 

     

 

  

        

 

 

x k x k

k Z

x k x k

Giải  2 : tan tan  

5   

     

(3)

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 2sin3xsinx2 cos3xcosxcos2 3x  

Giải

   3    2

3 2 sin x c os x  sinxcosx sin x c os x

   

sin cos

2 sin cos sin cos

x x

x x x x

 

  

    



    sin cos

sin cos sin

x x

x x x



  

  

   



Giải  3 : tan  

 

    

x x k k Z

Giải  3 : đặt sin cos os

t x x c x 

 (t  2)

1 sin

t x

   Khi đó:

   

3  t t 1  1 0t t 10

t

   

  

os

4

1 os

4

c x



  

 

 



 

 

  

  

  

 



2 1

4

3

4

x k

 





  

  

    



 

3

2

 



 

 

   



   



x k

x k k Z

x k

Ví dụ 4: Giải phương trình sau: sinxcosx2sin 2x 1 4 

Giải

Đặt sin cos sin

t x x x 

 t  2

1 sin

t x

  

Khi đó:

 

4   t 2t  12t2   t

 

3

t tm

t l

    

  

1 sin

4

x  

 

   

 

2

4

3

4

x k

 



 





    

 

    



 

2

 



  

 

    

x k

k Z

(4)

Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2sinxcotx2 sin 2x1 5 

Giải Điều kiện: sinx0cosx 1

Khi  5 sin cos sin cos sin

x

x x x

x

   

2

2 sin x cosx sin xcosx sinx

   

2 sin2 xsinxcosx4 sin2 x1

sinx2 sinx1cosx2sinx1 sin  x10

 

  sin

sin cos sin

x

x x x



  

 



  



Ta có:  5 sin x

   (nhận sinx 0)  

2

x k

k

x k

 



 



 

  





Xét  5 : đặt sin cos sin

t x x x 

 , điều kiện: t  t  1

2

1 sin

t x

   Khi đó:

   2

5  t 1t 0 t2  t

 

1

t tm

t l

      

  

  

sin

4

x   

 

   

 

1

sin sin

4 2

x    

 

    

 

2

x k



 



  



  

  

     

 

2

5

2

x k

k

x k



 



 



  



 

   





Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 3 tan2 x4 tanx4 cotx3cot2 x 2 6  Giải

Đặt tan cot

sin

t x x

x

(5)

   

6 3 t 2 4t 2 03t24t 4

 

2

t tm

t l

    

  

2

2 sin 2x

   sin 2x 1

2

x  k 

     

4

x  k k      

Vậy nghiệm phương trình  

x  k k 

Ví dụ 7: Cho phương trình: msinxcosx1 1 sin 7x  

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0,

2



 

 

 

Giải

Đặt sin cos sin

t x x x 

 , điều kiện: t  2

1 sin

t x

  

Khi phương trình (7)  

m t t

   (7’)

Nếu

2 x 

 

4 x 4

  

   Do sin

2 x



 

   

    1 t

Vì t = -1, khơng nghiệm (7’) nên ta có:

(7’)

2

1

t m

t

 



Xét hàm số

2

1

t y

t



 1, 2   

2

0 1,

t t

y t

t

  



    

 



y

 tăng 1, 2 

Do (7) có nghiệm đoạn 0,



 

 

   y 1 m y 2  

2 2 m

   

Vậy: 2 1 2m 

Ví dụ 8: Cho f x cos 22 x2 sin xcosx33sin 2xm a) Giải phương trình f x   0 m  3

b) Tính theo m giá trị lớn giá trị nhỏ f x 

(6)

Giải

Đặt sin cos os

t x x c x 

  (t  2)

2

1 sin

t x

  

 2

2 2

os sin 1

c x x t t t

        

Vậy f x  trở thành g t  t42t22t33t2 1m

a) Khi m  3 thì:

  2 

0

g t   t t  t 

0

1

t

   

 

os

4

1 os

4

c x



  

 

 



 

 

  

 

  

 



2 1

4

2

4

x k

 





  

  

     

 

3

2

x k

x k k R

x k

 





 

 

  



 

 

b) Ta có: g t  4t36t22t 2 2t t23t1

Khi  

0

1 2;

1

t g t

t t

t

   

  



 

 

 

 

   



  

Mà g 0  3 mg 1 , 47 16

g   m

  ,

 2

g    m, g 2 m 3

   

2 ,

ax ax

x R t

m f x m g t m

   

    ,    

2 ,

min

x t

f x g t m

     

   



Do 2 

36 x

f x   R  6 f x 6 x  

   

ax

min

m f x

f x

 

  

  

 



3

m

  

  

   

 

4 m

   

(7)

a) Giải phương trình m 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0,

2



 

 

 

Giải

Ta có:  9 2cos2xsin2xsin cosx xsinxcosxmsinxcosx

 

   

cos sin

2 cos sin sin cos

x x

x x x x m



  

 



  



Đặt cos sin os

t x x c x 

  (điều kiện: t  2)

1 sin cos

t x x

  

Ta có:  9 tan  

4

x x  k k

         

Ta có:  

2

9

2

t

t  m

     

4 *

t t m

    

a) Khi m 2  * trở thành: t24t 3    

3

t tm

t l

 

   

2

os

4 4

c x   x   k 

        

   

2

x k

k

x k

 



  

 

    



Vậy nghiệm phương trình là:  

2

4

x k

k

x k

 



 

  

   

 



   





b) Ta có: 0, ,3

2 4

x x  

   

2

os

2 c x



 

     

     1 t

Do nghiệm 0, ,

4

x  k   k Z

  nên yêu cầu toán  *

có nghiệm đoạn 1,1

Xét y t24t1y 2t40 t   1,1 y tăng 1,1

Do u cầu tốn   4 y 1 2m y 1 4  2 m2

(8)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 1 sin cos sin cos  2

x x x x

   ĐS: 2;

2

t 

2 cos sin 10

cos sin

x x

    ĐS: 19

3

t 

3 sin3 os3 3sin 2

x c x x

    ĐS:

2

2 3 2

sin

2

4

2

x k

 



 



 

 



  

   

   

  

  

 

   



4 sin xcosxtanxcotx ĐS: x k 

5 sin 2 sin

x x 

  ĐS: t 0;1

6 sinxcosx  1 4sin 2x ĐS:

2 xk

7 tan3 tan sin 2  cos2

os

x x

c x



  

     

  ĐS:

6

2 sin

4

x k

x 





   





  

 

 



 



8 sinxsin2 xsin3xsin4 xcosxcos2xcos3x c os4x ĐS:

4

2

x k

 



 

 

  



   

(9)

9 tan2 x1 sin 3xcos3x  ĐS:

2

4

2 os

4

x k

c x

 





 

 

 

 

   

 

 



 



Bài 2: Giải phương trình sau:

1 cos2x 5 2 cos  xsinxcosx ĐS: 2

x k

 



 

 

  

2 cos3xsin3xcos2x ĐS:

4

3 2

x k

 





   

   

 

 

3 tanxtan2xtan3xcotxcot2 xcot3x ĐS: x k

4 22 tan2 tan 5cot

sin x x x x  ĐS: x k

 

  

5 3sin x2 tanx ĐS:

3 17 tan

4

x k

x

 



   



 

 

6 tanxcotx2 sin 2 xcos2x ĐS:

8

x k

 



 

 

   

7 sin3x c os3xsin 2xcosxsinx ĐS:

2

sin

4

x k

x 





   





  

 

 



 



8

2

4sin sin 3cos cos

x x x

x

  

 ĐS:

(10)

9

2 cos xsin 3x ĐS:

6

3

x k

 



 

   

   



   

10.8 cos3 os3

x  c x

 

 

 

  ĐS: x k2

 

 

Bài 3: Cho phương trình: cos3xsin3xmsin cosx x

a) Giải phương trình m  ĐS:

2

1

4

os

2

4

x k

c

x k

 

 



 

   



  

     

 b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: m

Bài 4: Cho phương trình: sin cos  1 tan cot 1

2 sin cos

m x x x x

x x

 

       

 

a) Giải phương trình

m  ĐS:

4 x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0,

2



 

 

  ĐS: m   1

Bài 5: Cho phương trình: cos3xsin3xm

a) Giải phương trình m 1 ĐS:

2

x k

 



  

    

b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm , 4

x   

  ĐS:

1 m

Bài 6: Cho phương trình: 12 cot2 tan cot 

os x m x x

c x    

a) Giải phương trình

m  ĐS:

4 x  k

b) Tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: m 