Bài giảng số 4: Phương trình vô tỷ quy về bậc hai lớp 10

[r]

(1)BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ QUY VỀ BẬC HAI A CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Phương trình vơ tỷ quy bậc hai phép biến đổi tương đương Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a) 2 1 3 x x x x x x       b)   2 x  x x  Giải: a) Ta có: 2 1 3 x x x x x x       (1) Đk: 2 2 0 (*) 0 x x x x x x x x                Với điều kiện (*) (1)   2 0 0 0 0 0 4 4 4 x x x x x x x x x x x x                              Kết hợp với (*) ta x = nghiệm phương trình b) Ta có:   2 x  x x  (1) Đk: x 1 (1) 2 ( ) 2 ( 2) 2 1 1 x l x x x x x x x x                       (2)Dạng 2: Phương trình vơ tỷ đưa bậc hai phép đặt ẩn phụ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) x2 - 6x + = 6 x x d)  xx  x 1x 2 1 b) 2 3 3 x  x  x  x  e)   2 2 1x x 2x 1 x 2x1 c) 24 12 x  x  f) 2     x x x Giải: a) Ta có: x2 - 6x + = 6 x x (1) Đk: 3 3 x x        (*) Khi (1) 2 6 6 x x x x         Đặt 6 x  x  t ( ) 4 3 ( ) t tm t t t tm           2 2 1 6 6 5 6 6 3 x x x x x x x x x x x                             ( thỏa mãn (*)) Vậy nghiệm phương trình là: x 1;5; 3  6 b) Ta thấy 2 2 3 3 2 x  x x    x   đặt 2 3 3 x x u x x v             (3) ta có hệ: 2 23 ( ) ( ) u v u v u tm u v v tm u v                        2 3 3 1 x x x x x x x x                     Vậy nghiệm phương trình x = x = c) 24 12 x  x  Đk: x 12 (*) Đặt 12 ( 0) 24 u x u v x            2 2 3 3 6 6 36 36 12 4 10 v u u v u v u v v u u v v v v v v v u                                                  24 88 x x x            ( thỏa mãn (*)) Vậy nghiệm phương trình x   88; 24;3  d)  xx  x 1x 2 1 (1) Đk: 0x1 Đặt x 1x t 2 2 2 1 2 t t x x x x         Khi (1) 2 2 2 1 1 3 3 t t t t t t              2 3 1 t t t t           Với 2 2 (4) Với 1 1 x t x x x           Vậy nghiệm phương trình x x      e)   2 2 1x x 2x 1 x 2x1 Đk: 1 x x         Đặt 2 x  x  t x22x 1 t2 x2 t22x1 Khi   (*)2 1x tt 2x 1 2x1        2 2 2 2 2 2 t xt t x t t x t t t x t t x                      f) 2x2 6x1 4x5 (1) Đk: 4 x  2 (1)4x 12x 2 4x5 2x3 2 4x 5 11 Đặt 2y 3 4x5 ta hệ sau        2 2 2 1 2 x y x y x y y x                 Với x y2x 3 4x5 x 2 Với xy 1 0 y  1 x x 1 Vậy nghiệm phương trình x 1 2;1 3 Dạng 3: Phương trình vơ tỷ đưa bậc hai cách phân tích thành nhân tử Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (5)b) 4x 5x2 x 1 Giải: a) x2 x1(x1) x x2 x 0 (1) Đk: x 1     1 x 1 x  1 x1 x x x0        2 1 ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 (2) 1 ( 1) (3) x x x x x x x x x x x x                             Giải (2)  x  1 x  1 x2 (t/m) Giải (3): Đặt 2 1 1 x  t x t xt  Khi   3   t t t  1 1 t t t     2 4 2 4 2 t t t t t t t t                ( vô nghiệm) Vậy nghiệm phương trình x = b) 4x 5x2 x 1 (1) Đk: x 1 2 (6)       1 1 1 (2) 1 (3) x x x x x x x x x                          Giải (2) x 1 0x1 Giải (3) 1 x x        1 1 5 4 4 4 1 16 16 24 x x x x x x x x x                       Vậy nghiệm phương trình x 1 x  Dạng 4: Giải phương trình vơ tỷ phương pháp đánh giá nhận xét Ví dụ 4: Giải phương trình sau: a)      2x1 2 4x 4x4 3x 2 9x 3 0 b) 3 4 x  x  x  x  x Giải: a)        2  1  2x1 2 (2x1) 3  ( ) 2x  3x 3 (2 1) ( ) f x f x     Xét hàm số   ( ) (7)1 2 5 x   x x   x  Vậy 5 x nghiệm phương trình b) Đặt 7 y x  x , ta có hệ     3 3 2 4 1 7 x x x y y y x x x x y                   Xét hàm số ( ) f t t t hàm đơn điệu tăng nên ta có: 3 5 ( ) ( 1) 1 5 2 x f y f x y x x x x x                    Vậy nghiệm phương trình 1 x x         Dạng 5: Phương pháp bình phương để khử thức Ví dụ 5: Giải phương trình sau: a) x2 4x32x5 c) x22x4 2x b) 15x - 3x= d) 5x 1 3x 2 x 1 Giải: a) Ta có: x2 4x32x5 (1) Đk: 1x3   2 2 2 5 5 2 14 1 14 5 4 20 25 5 24 28 2 x x x x x x x x x x x x                                   (8) Vậy nghiệm phương trình 14 x  b) Ta có: 15x - 3x= (1) Đk: x 3 (*) (1) 15x  3x2 15 4 x x x x            3x 2 3 x4x 1 (tm (*)) Vậy nghiệm phương trình x = -1 c) 5x 1 3x 2 x 1 (1) Đk: 1 5 2 3 3 1 x x x x x x x                           Khi  1  5x 1 3x 2 x1   2 2 5 (3 2)( 1) 2 (3 2)( 1) 4 4 4 12 20 2 11 24 2 ( ) 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l                                    Vậy nghiệm phương trình x = d) Ta có: 5x 1 3x 2 x 1 (1) Đk: x 1 (9) 2 2 2 2 5 3 2 4 12 20 11 24 2 ( ) ( ) 11 x x x x x x x x x x x x x x tm x l                              Vậy nghiệm phương trình x = Dạng 6: Phương pháp đưa tổng bình phương Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) x 3 x 1 x 8 x 1 b) 1 1 x x + 2x2 = c) x2 2x2 2x1 Giải: a) Ta có: x 3 x 1 x 8 x 1 (1) Đk: x 1  1  x 1 x 1 4 x 1 x 1 91  2   1 x x        1 x x        Nếu x 10  1  x  1 x  1 2 x 1 6 x  1 x 1 9x10 (tm) Nếu x 5  1  2 x  1 x 1  2 x   1 x 1 2 x 1 4 x5 (tm) Nếu 5 x10  1  x   1 x  1 0x0(luôn đúng) Vậy nghiệm phương trình 5x10 b) 1 (10)Đk:  1 x1 (*)   2 2 1  x 2x 1x  1 x 2x 1  2 2 2 1 1 x x x x x x             2 2 2 2 3 4 2 3 1 1 1 1 4 1 1 (**) 1 2 2 2 0 2 2 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                            Giải 2x 2x 1x 0     2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 2 1 1 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                Kết hợp với (**) có nghiệm phương trình 0, x x c) 2 2    x x x Đk: x  2 (1) x 2x 1 2x 1  2 2 1 x x     (11) 2 1 1 2 2 x x x x x x x x x x                       Vậy nghiệm phương trình x  2 Dạng 7: Phương pháp nhân liên hợp Ví dụ 7: Giải phương trình sau: 4 ( 3) 5 x   x  x Giải : 1 4 ( 3) 5 x   x  x (1) Đk : x  Nhân vế (1) với  4x 1 3x20, ta được:    1 4 3 5 x  x  x x  x       1 3 5 5 7 25 x x x x x x x x x                   2 2 12x 5x 26 7x      2 2 26 26 7 48 20 676 98 49 78 684 x x x x x x x x                    26 7 ( ) 39 837 x vn x          Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình sau 2 15 3 2 8 (1) x   x  x  Giải (12)2 2 15 3 15 x x x x x          2 7 3 (*) 15 x x x       (*)  có nghiệm 2 x   x Mặt khác: (1) x215 4 3x 3 x2  2 2 1 3( 1) 15 x x x x x           2 1 ( 1) 15 x x x x x                 2 1 1 3 (**) 15 x x x x x                  Do x  nên x2154 x2 8 x   1 2 1 15 x x x x         (**) (**) VT    vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x 1 Dạng 8: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 9: Giải phương trình sau: a) 2 2 7x 11x 25x12x 6x1 b) 2 11 x  x x  x c) 2 3x 6x7 5x 10x14  4 2xx (13)a) Viết lại pt dạng: (7x4)(x2  x 3) x26x1 Đk: 4 x  x Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: 2 2 (7 4)( 3) VT  x x  x  x x   x x  x VP Dấu “=” xảy : 2 7 7 x x x x x x x               Vậy phương trình có nghiệm x x      b) 2 11 x  x x  x Đk: 2x4 (*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:      2 2 2 1 4 VT  x  x   x  x  2 VT   Dấu “=” xảy 1 x x x       2 6 11 2 VPx  x  x   Dấu “=” xảy x 3 0x3 Vậy x = nghiệm phương trình c) 2  2  2 3 10 14 9 (14)Dấu “=” có x 1 0 x 1  2 4 5 VP  xx   x  Dấu “=” có x 1 0 x 1 Vậy để phương trình có nghiệm VT VP5x 1 Dạng 9: Phương trình vơ tỷ chứa tham số Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x2 mx2 2x1 (1) Giải:   2 2 1 2 4 ( ) ( 4) (2) x x x mx x x f x x m x                       Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2 x x    Trường hợp 1: (2) có nghiệm 2  nghiệm lớn  Thay nghiệm  vào (2) suy m  , thử lại ta thấy với m  phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu tốn Trường hợp 2: (2) có nghiệm phân biệt 1 2 2 x x    2 1 1 ( 4) 12 1 ( )( ) 2 m x x x x                  9 m (15)Vậy: m  B BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình sau: (biến đổi tương đương) a)   2 1 2 1 x x x x x        ĐS: x = Bài 2: Giải phương trình sau:(ẩn phụ) a) x 3+ x1= 3x + 2   x x - 16 f) 3x2 + 15x + 2 1 x x = b) 3x2 x14x92 3x2 5x2 g) (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) 3   x x = -3 c) (x + 1) (x + 4) – 5 x  x  h) 2x 1 x 3x 1 d) x3+ 6x - (3x)(6x) = i) 2 3x23 5 x 8 e) 2 1 x x x  x     j) 2 3 ( 3) x  x  x x  k) 2 2 x  x x ĐS: a) b) c)7; 2 d) 3;6 e) 1;3 f) 5;0 g) vô nghiệm h) 1; 2 2 i) -2 j) vô nghiệm k) 2 Bài 3: Giải phương trình sau: (nhân tử chung) a)                3 1 1 1 x x x = + 1x b) (x3) 10x2 x2 x12 x = - c) 1 23 2(1 2) x x x x     d) 2x1x2 3x10 (16)a) x 1x 3x 2 x2 1 b) 2 2 40 73 x  x  x  x  c) 4x 1 4x  1 ĐS: a) x = b) Bài 5: Giải phương trình sau: (nhân liên hợp) a) 10x 1 3x5 9x4 2x2 b) 1 4 2 x  x  x  x  c) 9 4x 1 3x2x3 d) 1 x   x  x e) 3 3 x x x x x x x         ĐS: a) x = b) x = c) x = 6, x = 1122 d) x  e) x = Bài 6: Giải phương trình sau: ( tổng bình phương) a) x2 x1 + x2 x1= 3  x b) x2 x1 + x2 x1= ĐS: a) x = 1, x = b) 1 x2 Bài 7: Giải phương trình sau:( bình phương) a) 4 6 x x = x + b) 3x29x 1 | x2 | c) x2 x4+ x2  x1= 2x2  x2 9 d) 16x17238x e) x 5+ 10 x 5= 15 x 10 ĐS: a) x = 6  b) 3, (17)Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm a) 1 1 1     m x x x (ĐH A_2006) b)  2  2 1 2 1 m x  x   x  x  x (B_2004) ĐS: a) 1 3 m    b) 1 m1 Bài 9: Chứng minh với giá trị m phương trình sau ln có hai nghiệm thực phân biệt: ) ( 2     x m x