Bài giảng số 4: Phương trình vô tỷ quy về bậc hai lớp 10

[r]

BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ QUY VỀ BẬC HAI

A CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình vơ tỷ quy bậc hai phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a)

2

1

3

x x x x x x

 

   

b)  

2

x  x x 

Giải:

a) Ta có:

2

1

3

x x x x x x

 

   

(1)

Đk:

2

2

0 (*)

0

x x

x x x

x x x

   



  

 

  

 

Với điều kiện (*) (1)

  2

0

0 0 0

0

4 4

4 x

x x x

x

x x x x x x

x   

    

 

       

   



 

 

  Kết hợp với (*) ta x = nghiệm phương trình

b) Ta có:  

2

x  x x  (1)

Đk: x 1

(1)

2 ( )

2 ( 2)

2

1

1

x l

x x x x

x x

x

x  

      

   

 

  

  



Dạng 2: Phương trình vơ tỷ đưa bậc hai phép đặt ẩn phụ

Ví dụ 2: Giải phương trình sau:

a) x2 - 6x + =

6 x x d)  xx  x 1x

2

1

b) 2

3 3

x  x  x  x  e)   2

2 1x x 2x 1 x 2x1 c)

24 12

x  x  f) 2   

 x x

x

Giải:

a) Ta có: x2 - 6x + =

6 x x (1)

Đk: 3

3

x x    

  

(*)

Khi (1) 2

6 6

x x x x

        Đặt

6

x  x  t

( )

4

3 ( )

t tm

t t

t tm

 

     

 

2

2

1

6 6

5

6 6

3

x

x x x x

x

x x x x

x  

        

   

     

     



( thỏa mãn (*))

Vậy nghiệm phương trình là: x 1;5; 3  6

b) Ta thấy

2

2 3

3

2

x  x x    x

 

đặt

2

3

3

x x u

x x v

    

 

    

ta có hệ: 2 23 ( ) ( )

u v u v u tm

u v v tm

u v                        2

3

3

1

x x x

x x x x x                    

Vậy nghiệm phương trình x = x = c)

24 12

x  x  Đk: x 12 (*)

Đặt

12 ( 0)

24

u x u

v x          

 2

2 3

3

6

6

36 36 12

4 10 v u

u v

u v u v v

u

u v v v v v v

v u                                                  24 88 x x x           

( thỏa mãn (*))

Vậy nghiệm phương trình x   88; 24;3 

d)  xx  x 1x

2

1 (1)

Đk: 0x1

Đặt x 1x t

2

2 2

1

2 t

t x x x x 

      

Khi (1)

2

2

2 1

1 3

3

t t

t t t t

 

          

2

3

1 t t t t          

Với

2

2

Với

1

1 x

t x x

x        

 

Vậy nghiệm phương trình x x

    

e)   2

2 1x x 2x 1 x 2x1

Đk:

1

x x

   

   

Đặt

2

x  x  t x22x 1 t2 x2 t22x1

Khi  

(*)2 1x tt 2x 1 2x1

   

  

2

2

2 2

2

2

t xt t x

t t x t

t t x t

t x

    

    

   

     



f) 2x2 6x1 4x5 (1)

Đk:

4 x

 2

(1)4x 12x 2 4x5 2x3 2 4x 5 11 Đặt 2y 3 4x5 ta hệ sau

 

    

2

2

2

1

2

x y

x y x y

y x

   



    



  

 

Với x y2x 3 4x5 x 2 Với xy 1 0 y  1 x x 1

Vậy nghiệm phương trình x 1 2;1 3

Dạng 3: Phương trình vơ tỷ đưa bậc hai cách phân tích thành nhân tử

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

b)

4x 5x2 x 1

Giải:

a) x2 x1(x1) x x2 x 0 (1)

Đk: x 1

   

1 x 1 x  1 x1 x x x0

   

  

2

1 ( 1) 1

1 1 ( 1)

1 (2)

1 ( 1) (3)

x x x x

x x x x

x

x x x

       

       

     

    



Giải (2)  x  1 x  1 x2 (t/m)

Giải (3): Đặt 2

1 1

x  t x t xt 

Khi  

3   t t t  1

1

t t t

   

2 4 2 4

2

t t

t t t t t t

 

 

 

      

 

( vô nghiệm)

Vậy nghiệm phương trình x =

b)

4x 5x2 x 1 (1)

Đk: x 1

2

  

 

 

1 1

1 (2)

1 (3)

x x x

x x x

x

x x

     

 

         

 

    

Giải (2) x 1 0x1

Giải (3)

1 x

x   



  

1 1

5

4 4

4

1 16 16 24

x x

x

x x x x x x

 

 

 

   

         

 

Vậy nghiệm phương trình x 1 x 

Dạng 4: Giải phương trình vơ tỷ phương pháp đánh giá nhận xét

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

a)     

2x1 2 4x 4x4 3x 2 9x 3 0

b) 3

4

x  x  x  x  x Giải:

a)        2 

1  2x1 2 (2x1) 3  ( ) 2x  3x 3

(2 1) ( )

f x f x

   

Xét hàm số  

( )

1

2

5 x   x x   x 

Vậy

5

x nghiệm phương trình

b) Đặt

7

y x  x , ta có hệ

   

3

3

2

4

1

7

x x x y

y y x x

x x y

    



     



   



Xét hàm số ( )

f t t t hàm đơn điệu tăng nên ta có:

3

5

( ) ( 1) 1 5

2 x

f y f x y x x x x

x   

            

  

Vậy nghiệm phương trình

1 x

x   

    

Dạng 5: Phương pháp bình phương để khử thức

Ví dụ 5: Giải phương trình sau:

a) x2 4x32x5 c) x22x4 2x b) 15x - 3x= d) 5x 1 3x 2 x 1

Giải:

a) Ta có: x2 4x32x5 (1) Đk: 1x3

  2 2

2

5

5

2 14

1 14

5 4 20 25

5 24 28

2 x

x x

x x

x x x x

x x

x 

  

   

 

     

      

     

 

  

Vậy nghiệm phương trình 14 x 

b) Ta có: 15x - 3x= (1) Đk: x 3 (*)

(1) 15x  3x2

15 4

x x x

x

      

  

 3x 2 3 x4x 1 (tm (*)) Vậy nghiệm phương trình x = -1

c) 5x 1 3x 2 x 1 (1)

Đk:

1 5

2

3

3

1 x x

x x x

x

x 

   

 

 

     

 

   

  

 

Khi  1  5x 1 3x 2 x1

 

2

2

5 (3 2)( 1)

2 (3 2)( 1)

4 4

4 12 20

2

11 24 2

( ) 11

x x x x

x x x

x x x x

x x x x

x

x x

x l

      

    

     

     

  

    

   Vậy nghiệm phương trình x = d) Ta có: 5x 1 3x 2 x 1 (1)

Đk: x 1

2

2

2

2

5 3 2

4 12 20 11 24

2 ( )

( ) 11

x x x x

x x x

x x x x

x x

x tm

x l

      

    

     

   

   

  

Vậy nghiệm phương trình x =

Dạng 6: Phương pháp đưa tổng bình phương

Ví dụ 6: Giải phương trình sau: a) x 3 x 1 x 8 x 1

b)

1

1 x x + 2x2 = c) x2 2x2 2x1

Giải:

a) Ta có: x 3 x 1 x 8 x 1 (1) Đk: x 1

 1  x 1 x 1 4 x 1 x 1 91

 2  

1

x x

      

1

x x

      

Nếu x 10  1  x  1 x  1

2 x 1 6 x  1 x 1 9x10 (tm) Nếu x 5  1  2 x  1 x 1

 2 x   1 x 1 2 x 1 4 x5 (tm) Nếu 5 x10  1  x   1 x  1 0x0(luôn đúng) Vậy nghiệm phương trình 5x10

b)

1

Đk:  1 x1 (*)

  2 2

1  x 2x 1x  1 x 2x 1

 2

2

2

1

1

x x x

x x x

    

    

 

2

2

2 2

3

4 2

3

1

1

1 1 4

1

1 (**)

1

2

2

2

0

2 2

4

2

x x x

x

x x x x x x

x x

x

x

x x x x

x x x x

x x x

                                                          

Giải

2x 2x 1x 0

    2 2 2 2

2 1

1

1 1

1

1

0 1

2 1

1

4

x x x

x x x

x x x x x x x x x x x x                                               

Kết hợp với (**) có nghiệm phương trình 0, x x

c) 2 2  

 x x

x

Đk: x 

2

(1) x 2x 1 2x 1

 2

2 1

x x

   

2

1

1

2

2

x x

x x

x

x x x x x

   

 

 

    

      

 

Vậy nghiệm phương trình x  2 Dạng 7: Phương pháp nhân liên hợp

Ví dụ 7: Giải phương trình sau:

4 ( 3)

5 x   x  x

Giải :

1

4 ( 3)

5

x   x  x (1)

Đk : x 

Nhân vế (1) với  4x 1 3x20, ta được:

  

1

4 3

5

x  x  x x  x

  

  

1

3

5

5

7 25

x x x x

x x

x x x

      

    

     

2

2 12x 5x 26 7x

    

2

2 26 26

7 48 20 676 98 49

78 684

x x

x x x x

x x



  

 

 

    

    



26

7 ( )

39 837 x

vn x

    

   

Vậy phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình sau

2 15 3 2 8 (1) x   x  x 

Giải

2

2

15

3

15

x x

x

x x

  

  

   2

7

3 (*)

15

x

x x

  

  

(*)

 có nghiệm 2 x   x

Mặt khác: (1) x215 4 3x 3 x2 

2

2

1

3( 1)

15

x x

x

x x

 

   

   

2

1

( 1)

15

x x

x

x x

   

     

   

 

2

1

1

3 (**)

15

x

x x

x x

  



  

   

    



Do

x  nên x2154 x2 8 x   1

2

1

15

x x

x x

 

 

   

(**) (**) VT

   vơ nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

Dạng 8: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 9: Giải phương trình sau:

a) 2

2 7x 11x 25x12x 6x1

b)

2 11

x  x x  x

c) 2

3x 6x7 5x 10x14  4 2xx

a) Viết lại pt dạng: (7x4)(x2  x 3) x26x1

Đk: 4 x  x

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được:

2

2 (7 4)( 3)

VT  x x  x  x x   x x  x VP

Dấu “=” xảy :

2

7

7 x

x x x x x

x            

 

Vậy phương trình có nghiệm x x

    

b)

2 11

x  x x  x

Đk: 2x4 (*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có:

    

2 2

2 1 4

VT  x  x   x  x 

2 VT

 

Dấu “=” xảy

1

x x

x

 

  

 2

6 11 2

VPx  x  x  

Dấu “=” xảy x 3 0x3 Vậy x = nghiệm phương trình

c) 2  2  2

3 10 14 9

Dấu “=” có x 1 0 x 1

 2

4 5

VP  xx   x 

Dấu “=” có x 1 0 x 1

Vậy để phương trình có nghiệm VT VP5x 1 Dạng 9: Phương trình vơ tỷ chứa tham số

Ví dụ 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt:

x2 mx2 2x1 (1)

Giải:

  2

2

1

2 4

( ) ( 4) (2)

x x

x mx x x

f x x m x



   

 

 

    

      



Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  (2) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn

2 x x   

Trường hợp 1: (2) có nghiệm

2

 nghiệm lớn 

Thay nghiệm

 vào (2) suy

m  , thử lại ta thấy với

m  phương trình có nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu tốn

Trường hợp 2: (2) có nghiệm phân biệt 1 2

2 x x   

2

1

1

( 4) 12

1

( )( )

2

m x x

x x



    



    

   



9 m

Vậy: m 

B BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Giải phương trình sau: (biến đổi tương đương)

a)  

2

1

2

1

x

x x x x

  

   

ĐS: x =

Bài 2: Giải phương trình sau:(ẩn phụ)

a) x 3+ x1= 3x + 2   x

x - 16 f) 3x2 + 15x + 2

1 x x =

b) 3x2 x14x92 3x2 5x2 g) (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3)

3   x x

= -3

c) (x + 1) (x + 4) –

5

x  x  h)

2x 1 x 3x 1 d) x3+ 6x - (3x)(6x) = i)

2 3x23 5 x 8

e) 2

1 x x

x  x     j)

2

3 ( 3)

x  x  x x 

k)

2 2

x  x x

ĐS: a) b) c)7; 2 d) 3;6 e) 1;3 f) 5;0 g) vô nghiệm h) 1; 2 2 i) -2 j) vô nghiệm k) 2

Bài 3: Giải phương trình sau: (nhân tử chung)

a)     

  



   



 3

1

1

1 x x x = +

1x

b) (x3) 10x2 x2 x12 x = - c) 1 23 2(1 2)

x x

x

x    

d) 2x1x2 3x10

a) x 1x 3x 2 x2 1

b) 2

2 40 73

x  x  x  x 

c)

4x 1 4x  1 ĐS: a) x = b)

Bài 5: Giải phương trình sau: (nhân liên hợp)

a) 10x 1 3x5 9x4 2x2

b) 1

4 2

x  x  x  x  c) 9 4x 1 3x2x3

d)

1

x   x  x

e) 3

3

x x

x

x x x x

 

 

   

ĐS: a) x = b) x = c) x = 6, x = 1122 d)

x  e) x = Bài 6: Giải phương trình sau: ( tổng bình phương)

a) x2 x1 + x2 x1=

3  x

b) x2 x1 + x2 x1= ĐS: a) x = 1, x = b) 1 x2

Bài 7: Giải phương trình sau:( bình phương)

a)

4

6 x x = x + b) 3x29x 1 | x2 |

c) x2 x4+ x2  x1= 2x2  x2 9 d) 16x17238x e) x 5+ 10 x 5= 15 x 10 ĐS: a) x =

6 

b) 3,

Bài 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

a)

1

1

1   

 m x x

x (ĐH A_2006)

b)  2  2

1 2 1

m x  x   x  x  x (B_2004)

ĐS: a) 1

3 m

   b) 1 m1

Bài 9: Chứng minh với giá trị m phương trình sau ln có hai nghiệm thực phân biệt:

) (

2

 



 x m x