Ôn hsg phương trình vô tỷ - Giáo viên Việt Nam

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc.[r]

(1)

Chun đề:

PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ. I PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA

I-KIẾN THỨC:

1/

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) f x

f x g x g x

f x g x  



   

 



2/

( ) ( ) ( )

( ) ( ) g x

f x g x

f x g x  

  

 

3/

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x

 



    



  



4/

*

2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

n n

f x

f x g x g x n N

f x g x  



    

 



5/

*

2 ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) n

n

g x

f x g x n N

f x g x  

   

 

6/ 2n1 f x( )2n1g x( ) f x( )g x( ) (n N *) 7/ 2n1 f x( )g x( ) f x( )g2n1( ) (x n N *) II-BÀI TẬP

Bài 1: Giải phương trình: x x 1   (1)

HD: (1)  2

x x x

x x (x 1) x 3x

   

  

 

  



     

   x3

Bài 2: Giải phương trình: x 2x 3

HD:Ta có: x 2x 3  2x 3 x

x ≥ 0 2 x +3=x2

⇔

¿x ≥ 0

x2−2 x − 3=0 ⇔

¿x ≥ 0

x =−1

¿ ¿

x=3

¿ ¿⇔ x=3

¿ ¿{

(2)

Bài 3: Giải phương trình: x 4 1 x  2 x

HD: Ta có: x 4 1 x  2 x  x4 2 x 1 x

1

4 2 (1 )(1 ) x

x

x x x x x

                  2

2

x

x x x

           2 2

(2 1) x

x

x x x

               1 1 2

2 0

7 x x x x x x x                              Bài 4: Giải phương trình: x 3 x2  0

HD:ĐK: 2 x x x        

 (1)

PT

 

2 ( 2)( 2)

2

(2) 17

9

x x x

x x x x x x                             

Kết hợp (1) (2) ta được:x =

Bài Giải phương trình : 3 xx 3x

HD:Đk: 0 x 3 pt đã cho tương đương: x3 3x2 x 0

3 3

1 10 10

3 3

x x 

 

      

 

Bài Giải phương trình sau :2 x 3 9x2 x

HD:Đk:x 3 phương trình tương đương :

 2

1 3

1 5 97

3

18 x x x x x x x x                      

Bài Giải phương trình sau :    

2

2 3

3

2 9 x x2 2x3 3x x2

HD: pt  

3

3 x 2 3x 0 x 1

     

Bài Giải biện luận phương trình: x2 x m 

HD: Ta có: x2 x m   2 2

x m x m

x x 4xm m 2mx (m 4)

               

(3)

– Nếu m ≠ 0:

2 m x

2m  

Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m  m

2m 

≥ m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2  m2 ≤  0 m 2 

+ Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2  m2 ≥  m ≤ –2

Tóm lại:– Nếu m ≤ –2 hoặc < m ≤ 2: phương trình có mợt nghiệm

2 m x

2m   – Nếu –2 < m ≤ hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

Bài Giải biện luận phương trình với m tham số: √x2−3=x − m Bài 10 Giải biện luận theo tham số m phương trình: x x m m

HD: Điều kiện: x ≥

– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm

– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0   có hai nghiệm: x

1 = 0, x2 =

– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với

( x m)( x m 1) 0 

x m x m

  

 

  

+ Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 =

2 (1 m) + Nếu m > 1: phương trình có mợt nghiệm: x = m

III-Bài tập áp dụng:

Bài 1:Giải phương trình sau:

1/ x x1 13 2/ 3 x34 3 x 1 3/ 2x 5 3x 2 4/ 1x x24  x 5/ x 5   x 2 6/ x 1  x 7  12 x

7/ x x 1  x 4  x 0  8/ x  0  9/ = 6x x

10/

1

2 x   

11/

19 3

6 x

  

12/

8

3x

  

13/ 16x17 8x 23 14/ 3x 1 2 x 3 15/20 2 x 2x Bài 2: Giải phương trình:

a) x2 1 x b) x 2x3 0 c) x2 x 1

d) 3x 6 x 3 e) 3x 2 x 3 f) 3x 2 x 1

g) x9 5  2x4 h) 3x 4 2x 1 x3 i) x 4x 32 Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  x23x  2m x x 

Bài 4: Cho phương trình: x2 1 x m

a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 5: Cho phương trình: 2x2mx 3 x m

a) Giải phương trình m=3

b) Với giá trị m thì phương trình có nghiệm

(4)

a/ x x 0  d/

1

1 17

2 x  x  x  g/

2

x x

 



 

b/ 2x  1

e/

5

3 27 12

3

x  x  x  h/ x 5 x 0 c/ 3x x 4 0

f) (x3) 10 x2 x2 x 12 i/ 5x7 x12 0

II PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI I-KIẾN THỨC:

Sử dụng đẳng thức sau:

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) ( ( ) 0) f x g x f x

f x g x f x g x

f x g x f x

 



    

 



II-BÀI TẬP:

Bài 1: Giải phương trình: x2  4x x 8   (1) HD: (1)  (x 2)  8 x  |x – 2| = – x

– Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm)

– Nếu x  : (1)  x – = – x  x = (thoả mãn) Vậy: x =

Bài 2: Giải phương trình: x 2 x 1    x 10 x 1   2 x 2 x 1   (2)

HD: (2) 

x

x x 1 x 2.3 x x x 1  

  

             

 



x

x 1 | x | 2.| x 1| 

  

        

 (*)

Đặt y = x 1 (y ≥ 0)  phương trình(*) đã cho trở thành: y | y | | y 1|    

– Nếu ≤ y < 1: y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) – Nếu ≤ y ≤ 3: y + + – y = 2y –  y =

– Nếu y > 3: y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = (thoả mãn) Vậy: x =

Bài 3:Giải phương trình: x 2 2x 5 x 2 2x 7 HD:ĐK:

5 x 

PT  2x 2 x 1  2x 2 x 14 

 2x 1  2x 14   2x 5  x15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15 Bài 4:Giải phương trình: x2 x1 x x1 2

HD:ĐK:x 1

Pt  x1 2 x 1  x1 2 x1 2   x1 1  x1 1 2 Nếu x 2 pt  x1 1  x1 2   x2 (Loại)

(5)

III-Bài tập áp dụng:

Giải phương trình sau:

1/ x2 2x 1 2/ x x4 3 3/ x2  6x9 2x 4/ x4 x4 5x2

5/ x2  2x 1 x2 4x4 4 6/ x x 1 x x4 10

7/ x2  6x9 2x2 8x8  x2  2x1 8/ x2 4x 4 x2 6x9 1

9/ x2 x1 x x1 2 10/ x 2 x 4 x x 1

11/ x 6 x2 x11 6 x2 1 12/ x 2 2x 5 x 2 2x 7 13/ x2 2x x2 2x 1 0 14/ √2 x +4 +6√2 x −5+√2 x − −2√2 x −5=4

15/ x2 4x 4 2x10 16/ x2 2x 1 2x8

17/

1

2

x x  x  18/ √14x2+x+1−√6 − 2√5=0

19/

3

2

2 x

x x  x x   20/ x2 4x4 2  x

21/ (x 1) 4  x1 x 6 x 1  22/ x 8 x 4 III PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vơ tỉ , để giải có thể đặt t f x và ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa mợt biến tquan trọng ta có thể giải phương trình theo tthì việc đặt phụ xem “hoàn toàn ”

Bài Giải phương trình: x x2 1 x x2 2

HD:Điều kiện: x 1

Nhận xét x x2 x x2 1

Đặt t  x x2 thì phương trình có dạng:

1

2

t t

t

   

Thay vào tìm x 1

Bài Giải phương trình: 2x2 6x 1 4x5

HD:Điều kiện:

4 x 

Đặt t  4x5(t 0) thì

2 5

4 t

x 

Thay vào ta có phương trình sau:

4

2

10 25

2 ( 5) 22 27

16

t t

t t t t t

 

(6)

2

(t 2t 7)(t 2t 11)

     

Ta tìm bốn nghiệm là: t1,2  1 2;t3,4  1 Do t 0 nên nhận gái trị t1 1 2,t3 1

Từ tìm nghiệm phương trình l: x 1 vaø x 2

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế phương trình với điều kiện 2x2 6x 0

Ta được: x x2(  3)2  (x 1)2 0, từ ta tìm nghiệm tương ứng.

Đơn giản ta đặt : 2y 3 4x5 đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa hệ)

Bài Giải phương trình sau: x 5 x 6

HD:Điều kiện: 1 x

Đặt y x 1(y0) thì phương trình trở thành: y2 y5 5  y4 10y2 y20 0

( với y  5) (y2y 4)(y2 y 5) 0

1 21 17

,

2 (loại)

y  y  

  

Từ ta tìm giá trị

11 17

2

x 

Bài Giải phương trình sau :   

2

2004 1

x  x   x

HD: ĐK: 0 x

Đặt y 1 x thì phương trình trở thành:    

2 2

2 1 y y  y 1002  0 y 1 x0

Bài Giải phương trình sau :

2 2 3 1

x x x x

x

   

HD:Điều kiện:   1 x

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:

1

2

x x

   

Đặt

1

t x

x  

, ta giải

Bài Giải phương trình : x23 x4 x2 2x1

HD: x 0 không phải nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

3

1

2

x x

 

   

 

 

Đặt t=

3 x

x 

, Ta có : t3 t 0 

1

2

t   x 

Bài 7.Giải phương trình:3x2 21x18 2 x2 7x7 2

HD:Đặt y = x2 7x7;y 0

Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - =

5 y y

 

  

 

(7)

Với y =  x2 7x7 1

1 x x

    

 Là nghiệm phương trình đã cho.

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ giải một lớp đơn

giản, phương trình t lại khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2uvv2 0 (1) cách Xét v 0 phương trình trở thành :

2

0

u u

v  v 

   

  

   

   

v 0 thử trực tiếp

Các trường hợp sau đưa về (1)  a A x  bB x  c A x B x   

 uv mu2nv2

Chúng ta hãy thay biểu thức A(x) , B(x) bởi biểu thức vô tỉ thì nhận phương trình vô tỉ theo dạng

a) Phương trình dạng : a A x  b B x   c A x B x   

Như vậy phương trình Q x   P x  có thể giải phương pháp nếu:      

     

P x A x B x

Q x aA x bB x

 

 

 

 

Xuất phát từ đẳng thức :

  

3 1 1 1

x   x x  x

     

4 1 2 1 2 1 1

x x   x  x   x  x  x x  x

  

4 1 2 1 2 1

x   x  x x  x

   

4 2

4x  1 2x  2x1 2x 2x1

Hãy tạo phương trình vơ tỉ dạng ví dụ như:4x2 2x 4 x41

Để có mợt phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai

2 0

at bt c  giải “ nghiệm đẹp”

Bài Giải phương trình :  

2

2 x 2 5 x 1

HD: Đặt

2

1 ( 0) ; ( )

2

u x u v x  x v

phương trình trở thành :

 2

2

2 1

2

u v

u v uv

u v

  

  

 

 Tìm được:

5 37

2

x 

Bài Giải phương trình :

2 3 1 1

3

x  x  x x 

(8)

HD:Dễ thấy: x4x2 1 x42x21  x2 x2 x 1 x2 x1

Ta viết        

2 1 1 3 1 1

x x x x x x x x

          

Đồng vế trái với (*) ta :

       

3 x x x x x x x x

          

Đặt :

2 1 ; 1

4

u x  x u  vx  x v 

   

phương trình trở thành :-3u+6v=- 3 uv  u3v Từ ta tìm x. Bài 3: Giải phương trình sau :2x25x 7 x3 1(*)

HD:Đk: x 1

Nhận xét : Ta viết       

2

1 1

x x x x x x

        

Đồng vế trái với (*) ta :       

2

3 x1 2 x x 1 7 x1 x  x

Đặt u x , v x 2  x 0, ta được:

9

3 1

4

v u

u v uv

v u

  

  

  

Ta :x  4

3

3 3 2 2 6 0

x  x  x  x

HD:Nhận xét : Đặt y x2 ta biến pt về pt bậc x y :

3 3 2 6 0 3 2 0

2

x y

x x y x x xy y

x y

 

         



 .Pt có nghiệm :x2, x 2

Bài 5:Giải phương trình: 10 x3  1 3x2 2

HD:ĐK:x 1

Pt 10 x1 x2  x 1 3(x2 2) Đặt

( , 0)

u x

u v

v x x

   

 

   



Phương trình trở thành:10uv = 3(u2+v2)  3u v u    3v 0

3

u v

v u

    

 Nếu u = 3v  x 1 x2  x 1 9x2  10x 8 0 (vô nghiệm)

Nếu v = 3u

2 1 3 1 10 8 0 33

5 33 x

x x x x x

x              

 

 nghiệm b).Phương trình dạng : uv mu2nv2

(9)

Bài Giải phương trình : x23 x2 1 x4 x21

HD:Ta đặt :

 

2

2 1 , 0;

u x

u v u v

v x

  

 



 



 phương trình trở thành : u3v u2 v2

hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v    

Bài 2.Giải phương trình sau : x22x 2x 1 3x24x1

HD:Đk

1 x 

Bình phương vế ta có :

x22x2x 1 x2 1 x22x2x 1 x22x 2x 1

Ta có thể đặt :

2 2

2

u x x

v x

  



 

 ta có hệ :

1

2

1

2

u v

uv u v

u v

 

  

  

 

  

Do u v ,  

2

1 5

2

u  v x  x  x

Bài Giải phương trình : 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x1

HD:Đk x 5 Chuyển vế bình phương ta được:   

2

2x  5x 2 x  x 20 x1

Nhận xét : Không tồn tại số  , để :    

2

2x  5x 2  x  x 20  x1

vậy ta không thể đặt :

2

20

u x x

v x

   



 

 .

Nhưng may mắn ta có : x2 x 20x1  x4 x 5 x1  x4x2 4x 5 Ta viết lại phương trình:    

2

2 x  4x 3 x4 5 (x  4x 5)(x4)

Đến toán giải

3 Phương pháp đặt ẩn phụ khơng hồn tồn

Từ phương trình tích  x 1 1  x 1 x2 0,  2x 3 x  2x 3 x2 0

Khai triển rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, đợ khó phương trình dạng phụ tḥc vào phương trình tích mà ta xuất phát

Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể hiện qua ví dụ sau

2 3 2 1 2 2

x   x  x  x 

HD:Đặt t  x22;t  2 , ta có :  

2

2 3

1 t

t x t x

t x

 

      

(10)

Bài Giải phương trình : x1 x2 2x 3 x21

HD:Đặt : t  x2 2x3, t 

Khi phương trình trở thnh : x1t x21 x2 1 x1t 0 Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có  chẵn :

       

2 2

2 1

1 t

x x x t x t x t x

t x

 

              

  

Bài 3:Giải phương trình:x2 3x 1 x3 x2 1

HD:Đặt t  x2 1;t 1

Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x =  (t - x)(t - 3) = 0 t x t

    

 Nếu t = x  x2  1 x (Vô lý) -Nếu t =  x2   1 x2

Vậy:x 2

4 Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích

Xuất phát từ mợt số hệ “đại số “ đẹp có thể tạo phương trình vơ tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa về hệ

Xuất phát từ đẳng thức        

3 3 3 3

3

a b c  a b c  a b b c c a   , Ta có

 3      

3 3 0

a b c  a b c   a b a c b c   

Từ nhận xét ta có thể tạo phương trình vơ tỉ có chứa bậc ba

2

3

37x 1 x  x 8 x  8x 1 2

33x 1 35 x 32x 9 34x 3 0

       

Bài Giải phương trình :x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 2 x

HD:ĐK:x 2

Đặt

2 ;

3 ;

5 ;

u x u

v x v

w x w

   

 

  

 

  



 , ta có :

   

2

3

5

u v u w

u uv vw wu

v uv vw wu u v v w

w uv vw wu v w u w

   

    

 

       

 

     

  

  , giải hệ ta

được:

30 239

60 120

u  x

Bài Giải phương trình sau : 2x2 1 x2 3x  2x22x 3 x2 x2

HD:Ta đặt :

2

3

2

a x

b x x

c x x

d x x

  



   

 

  

 

  



 , ta có : 2 2

2 a b c d

x

a b c d

   

 



  

(11)

Bài Giải phương trình sau : 4x25x 1 x2 x 1 9x

HD:Đặt

 

2

4

;

a x x

a b

b x x

   



 

   



Ta hệ phương trình:

2

4

2

a b x

    

   

Từ ta có: a2 - 4b2 = a - 2b  (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0

2

a b

     



Nếu a = 2b

2

4

3

x x x x x

       

(thoả mãn) Nếu a = - 2b  4x2 5x  1 x2  x1 (*)

Ta có : VT(*) 0 (1)

VP(*) =

2

1 1

2

x x x 

           

  (2)

Từ (1) (2) suy phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 

Bài tập áp dụng: Giải pt:      

3 4 3 2

4

4 1 1

x x  x   x   x x  x  x

5 Đặt ẩn phụ đưa hệ:

5.1 Đặt ẩn phụ đưa hệ thông thường

Đặt u x v,  x tìm mối quan hệ  x  x từ tìm hệ theo u,v

Bài Giải phương trình:  

335 335 30

x  x x  x 

HD:Đặt y335 x3  x3 y3 35

Khi phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 3

( ) 30

35 xy x y

x y

 

  

 



 , giải hệ ta tìm

được ( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức nghiệm phương trình x {2;3}

Bài Giải phương trình:

4

1

2

x x

   

HD:Điều kiện: 0 x 1

Đặt

4

2

0 1,0

x u

u v

x v

   



      

(12)

Ta đưa về hệ phương trình sau:

4

2

2 4

4

1

2

1

2

u v

u v

u v v v



 

 

 

 



 

 

        

  

 

Giải pt thứ 2:

2 2

4

1

( 1)

2

v   v  

  , từ tìm v thay vào tìm nghiệm pt.

Bài Giải phương trình sau: x 5 x 6

HD:Điều kiện: x 1

Đặt a x 1,b 5 x1(a0,b 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

2

5

( )( 1) 1

5

a b

a b a b a b a b

b a

  



           



 

 

Vậy

11 17

1 1

2

x    x  x   x x 

6

3

5

x x

 

 

 

HD:Điều kiện:  5 x5

Đặt u 5 x v,  5 y 0u v,  10

Khi ta hệ phương trình:

2

2 10 ( ) 10 2

2

4 ( ) 1

2( )

3

u v uv

u v

u v u v

uv

u v



     

 



   

  

      

 

   

√629− x+4√77+x =8 HD:ĐK:77 x 629

Đặt 4

629

( ; 0) 77

u x

u v

v x

  



 

 

 

⇒u+v=8 , u4

+v4=706 Đặt t = uv

⇒t2−128 t +1695=0 ¿

t=15 t=113

⇔¿

Với t = 15 ⇒ x = Với t = 113 ⇒ x = 548

Bài Giải phương trình: x3 x2  1 x3x2 2 3 (1)

(13)

Đặt

3

1

u x x

v x x

    



  



 Với v > u ≥ 0 Phương trình (1) trở thành u + v = Ta có hệ phương trình

2

3 3

3

( )( )

1 2 1 u v

v u

u v u v u

v u v u v u v

x x x x x x x x   



  

       



     

      

 



   

  

   



     

   

3 2

2

( 1)( 2)

1 ( 2 )

x x

x x x

x do x x x

   

    

     

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1}

Bài Giải phương trình: √1− x2=(2

3−√x)

HD: Điều kiện:

2 1 1

1

0

x x

x

     

   

 



 

 (*)

Với điều kiện (*),đặt u=√x ; v =2

3−√x , với u ≥ 0, v ≤

Ta có: {

1− x2=1 −u4 (23−√x)

(14)

    4

4

2

2 2 2

2

2 2

3 3

1

2

3

2

2 2

3 3

16 65

2

9 81

2 194

18

u v u v

u v

u v u v

u v u v u v u v u v

u v u v

u v

 

   

 



 

      

 

   

 



   

         

 

 



 

   

 

   

 

       

  

  

 

  

 

     

 2 194

18 u v

           

     

⇒ u v nghiệm phương trình

y2−2 y+

8 −√194

18 =0(a) y2−2

3 y +

8+√194

18 =0(b) ¿

 (b) vơ nghiệm  (a) có nghiệm

y1=

1−√√97 − 3 ; y2=

1+√√97 −3

Do đó: {u1=y1 v1=y2∨{

u2=y2 v2=y1

Vì u ≥ nên ta chọn

u= y2=

1+√√97 −3

⇒√x=

1+√√97 − 3

3 ⇒√x=(

1+√√97 −3

3 )

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1

9(1+√√ 97

2 −3)

(15)

HD:Với điều kiện

{18+5 x ≥ 0 64 −5 x ≥ 0⇔{

x ≥ −18 x ≤64

5

⇔ −18 ≤ x ≤

64

5 (*)

Đặt u=4√18+5 x , v=√464 − x , với u ≥ 0, v ≥ Suy {u4=18+5 x

v4=64 −5 x

Phương trình đã cho tương đương với hệ:

u+v=4 uv¿2=82

¿ ¿

(u2

+v2)2− 2¿

u+v=4 u4

+v4=82 v ≥ , v ≥0

⇔¿ ¿

Đặt A = u + v P = u.v, ta có:

{(S2−2 PS=4)2− P2=82 P≥ , S ≥0

⇒{

S=4 p2− 32 P+87=0

P ≥ 0

⇔{P=3S=4∨ P=29 P ≥ 0

(1) Với S = 4, P =

u v nghiệm phương trình:

2 4 3 0

3 y

y y

y       

 

Do ta có: {u=1v=3∨{u=3 v=1

Suy

4

18 18 64 64

x x

     

 



 

   

 

 

18 18 81 64 81 64

x x

   

 

   

   

 

⇔ x=−17 ∨ x=

63

5 thoả mãn (*)

(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn tại u v

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

2 17

5 63

5 x x 

     

(16)

Ta hãy tìm nguồn gốc toán giải phương trình cách đưa về hệ đối xứng loại II

Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :

 

2

1 (1)

1 (2)

x y

y x

   

 

  



 việc giải hệ

thì đơn giản

Bây ta biến hệ thành phương trình cách đặt yf x  cho (2) ,

2

y x  , ta có phương trình : x12 ( x2 1) 1   x22x x2

Vậy để giải phương trình : x22x x2 ta đặt lại đưa về hệ

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc :

 

2

x ay b

y ax b

 

   

 

  



 , ta xây dựng

phương trình dạng sau : đặt y  ax b , ta có phương trình :

x 2 a ax b b 

 

    

Tương tự cho bậc cao :  

n a n

x ax b b 

 

 

    

Tóm lại phương trình thường cho dạng khai triển ta phải viết về dạng :

x n p a x bn ' ' 

    đặt y  n ax b

   để đưa về hệ , ý về dấu  ???

Việc chọn  ; thông thường cần viết dạng :  ' '

n n

x p a x b

    

là chọn

Bài 1: Giải phương trình: x2 2x2 2x1

HD:Điều kiện:

1 x 

Ta có phương trình viết lại là: (x 1)2 2 x

Đặt y 1 2x 1 thì ta đưa về hệ sau:

2

2 2( 1)

x x y

y y x

   

 

  

 

Trừ hai vế phương trình ta (x y x y )(  ) 0

Giải ta tìm nghiệm phương trình là: x  2

Cách 2: Đặt 2x 1 t a 2x 1t2 2at a

Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2

kết hợp với đầu ta có hệ phương trình:

2

2 2 2

x x t

t t x

    



   



Giải hệ ta tìm x

(17)

HD:Điều kiện

5 x 

Ta biến đổi phương trình sau: 4x2 12x 2 4 x5 (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta hệ phương trình sau:

2

(2 3)

( )( 1)

(2 3)

x y

x y x y

y x

   



    



  

 

Với x y 2x 3 4x 5 x 2

Với x y  0  y 1 x 2x 1 4x5 (vô nghiệm)

Kết luận: Nghiệm phương trình x  2

Bài 3:Giải phương trình:x2  x5 5

HD:ĐK:x 5

Pt  x2  5 x5 ; x  (*)

Đặt x5  t a x 5 t2 2at a

Chọn a = ta được:t2 - = x kết hợp với (*) ta hệ phương trình:

2

5

x t

t x

   



  

 từ ta tìm nghiệm.

Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x =

4

( 0) 28

x x 



HD:Đặt

4 28 x

t a 

  2

28 x

t at a 

   

Chọn

1 a 

ta được:

2

4 1

7

28

x

t t t t x



      

Kết hợp với đầu ta hệ phương trình:

2

1 7

2 7

2

x x t

t t x



   

 

    



Giải hệ phương trình ta tìm nghiệm

Bài tập áp dụng:

Giải phương trình:2x2 2x 1 4x1

IV PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ I-KIẾN THỨC:

1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:

Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 (a2b2)(x2y2) Dấu ‘‘=’’ xảy

a b x y  

2.Bất đẳng thức côsi:

a) Với hai số a, b  thì ta có: a b

ab 

(18)

Dấu ‘‘=’’ xảy  a b

b) Với ba số a, b, c  thì ta có:

3

a b c

abc  



Dấu ‘‘=’’ xảy  a b = c

c) Với bốn số a, b, c, d  thì ta có:

4

a b c d

abcd   



Dấu ‘‘=’’ xảy  a b = c = d

e) Với n số a1, a2,…, an  thì ta có:

1

n n

n

a a a

a a a n

   

Dấu ‘‘=’’ xảy  a1a2   an

3.GTLN,GTNN biểu thức:

a/ A = m + f2(x)  m A m

MinA m  

 

Dấu ''='' xảy  f(x) = 0

b/ A = M - g2(x)  M

ax A M M A M  

 

Dấu ''='' xảy  g(x) = 0

4 Dùng đẳng thức :

Từ đánh giá bình phương : A2B20, ta xây dựng phương trình dạng A2 B2 0

Từ phương trình    

2

5x 2 x  5 x  x 0

ta khai triển có phương trình :  

2

4x 12 x 4 x 5x 1 5 x

5 Dùng bất đẳng thức

Một số phương trình tạo từ dấu bất đẳng thức:

(1) (2) A m B m

  





nếu dấu ở (1) (2) đạt tại x0 thì x0 nghiệm phương trình A B

Ta có : 1x 1 x 2 Dấu x 0

1

1 x

x

  

 , dấu

khi x = Vậy ta có phương trình:

1

1 2008 2008

1

x x x

x

     



Đôi một số phương trình tạo từ ý tưởng :

 

( )

A f x

B f x

   

 

 :

   

A f x

A B

B f x

     

  

 Nếu ta đoán trước nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, có nhiều nghiệm vơ tỉ việc đốn nghiệm khơng được, ta dùng bất đẳng thức để đánh giá

(19)

Bài Giải phương trình :

2

9

1 x x

x   

HD:Đk: x 0

Ta có :

 

2

1

x

x x x

x

x x

 

      



      

     

  

   

     

Dấu

2 1

7

1 x

x x

   

 

Bài Giải phương trình : 13 x2 x4 9 x2x4 16

HD:Đk:   1 x

Biến đổi pt ta có :  

2

2 2

13 256

x  x  x 

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

 13 13 1 x2 3 3 1 x22 13 27 13 13 x2 3 3x2 40 16 10 x2

         

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:  

2

2 16

10 16 10 64

2

x  x   

 

Dấu

2

5

3

2

10 16 10

5 x

x x

x

x x



   

 





  



 

 

 



Bài Giải phương trình: x3` 3x2 8x40 4 x4 0

HD:Ta chứng minh : 44 x4 x 13    

2

3 3 8 40 0 3 3 13

x  x  x   x x  x

Bài 4: Giải phương trình: 7 x x x2  12x38 HD:Ta có :VT2=( 7 x  x 5)2(1 + 1).(7- x + x - 5) = 4

Nên : < VT 

Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2  2

Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi:x = Vậy x = nghiệm phương trình đã cho

Bài 5: Giải phương trình: x2 3x 2 x 1

HD:ĐK:x 1; 2 (1)

PT  x2 3x  2 x1 (2) Từ (2) ta có:

2

1 2

1 (3) x x x x

  

  

(20)

Từ (1) (3) Ta có x = vào (2) thoả mãn.Vậy :x =

Bài 6:Giải phương trình :

x 4x

2 x

4x



 



HD: Điều kiện x

4 

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

x 4x x 4x

2

x x

4x 4x

 

   

 

Theo giả thiết dấu xảy khi:

x 4x

  

2

x 4x (x 2) x

   

  

   Dấu “=” xảy  x 4x 1  x2 4x 0 

 x2 4x 0   (x 2)  3 x 2  3 x 2  3(Thoả mãn) Vậy :x  2

Bài 7:Giải phương trình : x 1  5x 1  3x 2 HD: Cách điều kiện x ≥

Với x ≥ thì: Vế trái: x 1  5x 1  vế trái âm

Vế phải: 3x 2 ≥  vế phải dương Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm

Cách Với x ≥ 1, ta có:

x 1  5x 1  3x 2

 x 8x (5x 1)(3x 2)       7x (5x 1)(3x 2)   

Vế trái một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vô nghiệm

Bài 8:Giải phương trình : 3x26x 7  5x210x 14 2x x    2 (1)

HD: Ta có (1) 

2

3 x 2x x 2x (x 2x 1)

3

   

          

   

   

 3(x 1) 24 5(x 1) 29 (x 1)  

Ta có: Vế trái ≥ 4 5   Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1

Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm x = –1

2 x

8 2x 2x x



   



(21)

Dễ thấy x = một nghiệm phương trình

– Nếu

x

2  : VT =

6

1 8

x

   

 Mà: VP > 8 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 VT < 8

x x

6

1

x     

   

 

Vậy: phương trình đã cho có mợt nghiệm x =

6

6 x  x 

HD: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x =

2 nghiệm phương trình Ta cần chứng

minh nghiệm Thật vậy:Với x < 2:

6

3 x 

4 x  

6

6 x  x  .

Tương tự với

2 < x < 2:

6

6 x  x  Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình:

 

1 1 4

1.2 2.3 3.4 x

x x x

 

    

  

HD:ĐK:x 4 (1)

Ta có:

1

x x

  

  

 4 x  x 4 (*)

Ta có: VP(*) = x 0  x4 (2)

Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm

III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Bài 1: Giải phương trình sau :

1 2

x x

 

    

 

2

1

2 x x

x x

 

       

 

4 4

2x  8 4x 4 x  16x4 5 43 x3x

3` 3 8 40 44 4 0

x  x  x  x  8x3  64 x3 x4 8x228

4 x 41 x x 1 x 2 48

       x 3 5 x x2 8x18

Bài 2: Giải phương trình sau :

(22)

5/ 2x 3 2 x 3x212x14 6/ x 2 10 xx212x40 V PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Sử dụng tính chất hàm số để giải phương trình dạng toán quen tḥc Ta có hướng áp dụng sau đây:

Hướng 1: Thực hiện theo bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )k Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x  f x( )f x( )0 k x0 nghiệm

 Với x x  f x( ) f x( )0 k phương trình vô nghiệm

 Với x x  f x( ) f x( )0 k phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 nghiệm phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo bước

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( )g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định f x( )và g(x) có tính chất trái ngược xác định x0 cho f x( )0 g x( )0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm phương trình

Hướng 3: Thực hiện theo bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi f u( )f v( ) u v

Ví dụ: Giải phương trình :     

2

2x1 2 4x 4x4 3 2x  9x 3 0

HD:pt              

2

2x 2x 3x 3x f 2x f 3x

             

Xét hàm số    

2

f t t  t 

, hàm đồng biến R, ta có

1 x 

Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x6 x23 x3 0 HD: nhận thấy x = -2 một nghiệm phương trình Đặt f x  3 x63 x23 x3

Với x1  x2  f x 1  f x 2 vậy hàm số f(x) đồng biến R Vậy x = -2 nghiệm phương trình

Bài tập áp dụng:

Giải phương trình:

(23)

b) x 1x3 4x5 d) x  1 2x2x2 x3 f) 2x 1 x2 3 4 x

    

VI PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm nghiệm x0 vậy phương trình ln đưa

về dạng tích x x A x 0   0 ta có thể giải phương trình A x   0 hoặc chứng minh

  A x 

vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía

  A x 

vô nghiệm

Bài 1:Giải phương trình: x x 2  x x  1 2 x2 (1) HD: C1: ĐK x2;x1

 

   

     

2

1

3

2

1

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

  

 

  



 

  

Nếu x 1 ta có

   

3

1 3

2 2 1 2 3

2

1 2

x x x x

x x x

x x x x x

 

    



   



    

 Giải (3) ta tìm x

Nếu x-2 ta có

   

3

1 3

2 2

2

1 2

x x x x

x x x

x x x x x



   



   



    

 Giải (4) ta tìm x C2: ĐK: x2;x1

Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được: x2  x1 2 x Bình phương hai vế sau giải phương trình ta tìm x

Nếu x-2 Đặt t = -x  t2Thay vào phương trình ta được

     

2

t t t t t

t t t t t

        

    

Chia cả hai vế cho t ta t 2  t1 2 t Bình phương hai vế tìm t

Sau tìm x

Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp Còn C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định về ẩn phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản

Bài Giải phương trình sau :  

2 2

3x  5x 1 x   x  x  x  3x4

(24)

Ta nhận thấy :      

2

3x  5x1  3x  3x 2 x

v      

2 2 3 4 3 2

x   x  x  x

Ta có thể trục thức vế :  

2

3

x x

x x x

x x x x

  



   

    

Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình

Bài Giải phương trình sau: x212 3  x x25

HD: Để phương trình có nghiệm thì :

2

12 5

3

x   x   x   x

Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , vậy phương trình có thể phân tích về dạng

x 2  A x 0, để thực hiện điều ta phải nhóm , tách sau :

 

2

4

12 3

12

2

12

x x

x x x x

x x

 

          

   

   

       

   

 

Dễ dàng chứng minh : 2

2

3 0,

3

12

x x

x

x x

 

    

   

Bài Giải phương trình :3 x2 1 x x3

HD :Đk x 1

Nhận thấy x = nghiệm phương trình , nên ta biến đổi phương trình

 

  

2

3

2

3

1

2

1

x x x

x

x x x x

x

x x

 

  



 

            

 

   

 

 

Ta chứng minh :    

2

2 3

3

1

1 1

x x

x x x

 

   

      

2

3

2

x x

x

 



 

Vậy pt có nghiệm x =

Bài 5:Giải phương trình sau:

2

3

x x

x

x x x x

 

 

   

HD:ĐK:x 2

Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình đã cho ta được:

x2 3x x2 3 x2 3x x2 3 3.x

       

x2 33 x2 33 3 3.x

    

  3 3  3

0

3 3 27

x

x x x x

    

     

(25)

 

2

4 4 3 4 4

0 ; 0

2 ( 3) 4( 3) 9 2

x x x

x

x x x x x x

   

 

 

   

     

 

 

Giải hệ ta tìm x 

Bài 6:Giải phương trình: 

2 2

9

x

x x

   

HD:ĐK:

9 x x 

     

Pt

 

   

2

9 9

x x

x

x x

 

  

   

 

2

2 18

9

x x x

x x

  

  

 2 x 0

9 x  

nghiệm

Bài tập vận dụng:

1) x x  3  x x  4 2 x2

2)          

3 3

x x  x x  x

Tổng quát:          

f x g x f x h x f x

  

3)

3 1 10

x

x   

BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Tìm tất cả số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:

 

2 2

1 2005 2005

1

1 2 2 2005 2005

2

x   x    x   x x  x

Bài 2: Tìm số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:

 

1

2

x y  z  x y z  Bài 3: Giải phương trình sau:

1

x  x  3(x2 x1) ( x x1)2 √3 x −2 −√32 x −2=−1

√x −2+√x +1=3 x2 x 5 5

  

(x+2)(x + 4)+5(x +2).√x+ 4 x +2=6

2 48 4 3 35

x   x  x   x 4   x 9 x √5− x6−√33 x4−2=1

2

(26)

4 10 3  x  x √√3 − x =x √√3+x x2  x 1 x x  1 x2  x2

√27 x10− x6

+√5864=0 3x2 2x 2 x2 x 1 x

     √x2+24 +1=3 x+√x2+8 Bài 4: Giải phương trình sau:

√25− x2−√10 − x2=3 x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4x 9 3 5

         

7   

7

x x x x

x x

    



        

1

3 3

3 x

x x x

x 

     

 x 3 10 x2 x2 x 12

     x29x20 3 x10 2x 3 x x24x 5 2x3 3 x2+3 x − 2√x2+x=1 x 1  4x 20 1

37 x 1 x 2 3x2 5 3x2 5x 12 48 5x

    

1

4

x x

 

    

   

   

2

5 3

x x

  

 

5

4 20 45

9 x

x    x  52 52

5

x x   x x  

2

2 2

x x

 

 

   

7   

7

x x x x

x x

    

   

1

4 9

2

x   x  x =

√√3 − x

√3+ x

x4 + x 2 2005 2005 a b 1 x  1 a b 1 x

(a , b > 0) 5 4 5 5 28 0

x  x  x  x  64x6 - 112x4 + 56x2 - = 2 1 x Bài 5: Ký hiệu [x] phần nguyên x

Giải phương trình sau:

3

31 2  x 1 855      

     

Bài 6:Cho phương trình:x2.6x x2 x2.6 x 62x

  

Gọi tổng nghiệm phương trình S,tính S15 Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

a/ x y 1960 b/ x  y  1980 c/ x  y  48 d/ x  y  2000

Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

1 1225

74 771

2 771 x y z

x  y  z       

Bài 9:Giải phương trình sau :

2

5x  14x 9 x  x 20 5 x1 36x 1 8x3 4x

1 1

2x x x

x x x



     1530  2004 30060 1

2 x  x  x 

4x 1 x3 1 2x3 2x 1

(27)

   

3 2x  1 x 3 x8 2x 1 x2 x 12 x 1 36

 2  2

3

2 1x 3 1 x  1 x 0 2008x2 4x 3 2007 4x

2

(2004 )(1 )

x  x   x (x3 x2)(x9 x18) 168 x

3

1 1

x  x x    x x  2 x416 4  x2 16 2  x9x216

3

4

4 x 1 x  1 x x 4x2 3x 3 4x x 3 2x1

2

2x 16x18 x  2 x4 12 x2 x1 3 x9

2

3 x 1 3x 2 3x 2

     2x2 11x21 4 x 0

       

2 2 x 5 x  x 2 x 10 x x24  x 2 x

4x 5 3x 1 2x7 x3 x2 3x 1 x 3 x2 1

    

3

3 x 1 x 1 x 2

    x3 x 1 2x1

 3

3 1 2 2

x   x x  x

2

2 3

2

3

x x

x

 

  



Bài 10: Giải phương trình:

a) x2 x22x 8 12 2 x b) 2x2 2x23x93x

c) x2 4x 6 2x2 8x12 d) 3x215x2 x25x 1

e) (x4)(x1) 3 x25x2 6 f) 2x25x 2 2x25x 1

g) x23x 2 2x26x2  h) x2 x211 31

Bài 11: Giải phương trình:

 3  

3 1 2 1

x   x x  x

   

3

2

1 1 x  1 x  1x   2 1 x

 

 

35 12 x x

x

 

      

1

3 3

3 x

x x x

x 

    



2

1 x 2x 1 x  2x  1 64x6 112x456x2 1  x2

Bài 12: Cho phương trình: 1x 8 x 1x 8 x m

a) Giải phương trình với m =

c) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 13: Cho phương trình:

1

1 m

x  x 

a) Giải phương trình với

2

3 m  

Bài 14: Cho phương trình:  

2

(28)

a) Giải phương trình với m =

Bài 15:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

y = x2 x 1 x x1 x x x x y

2 1 9 4

y    x  x y x x 2 x1

2 2

y  x x  x x y x 2 x  x 2 x Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

x x x  x y nếu:

a/ Vế trái có 100 dấu b/ Vế trái có n dấu

Bài 17:Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 4 4

x x x  x x x

(Vế trái có 100 dấu căn)

Bài 18:Tìm số hữu tỉ a b thoả mãn:

3

7 20

3

a b  a b   Bài 19:Cho hai số x , y thoả mãn:  

2 4 4 4

x   x y   y 

Tính x + y

Bài 20:Giải phương trình:3 2x 1 x 1

Bài 21:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện:

2 2

1 1

2 x  y y  z z  x 

Chứng minh rằng:

2 2

2 x y z 

Bài 22:Cho số thực dương a,b,c thoả mãn điều kiện: a  b c  a b c  Chứng minh rằng:2010a2010b 2010c 2010a b c 

Bài 23:Giải phương trình nghiệm nguyên: 4y2  2 199 x2  2x Bài 24:Tìm số hữu tỉ a b biết: a  b  11 28

Bài 25:Giải phương trình:

2

1

x x

x  

 

Bài 26:Tìm số nguyên k thoả mãn:

 

2

2 2 2

1 1 1 2009

1

2009

1 2 k k



         

 Bài 27:Giải phương trình:

1/ 8 x  5 x 5 2/ x x  x x  x

(29)

4/ 2x2 1 x2 3x  2x22x 3 x2 x2

5/ x 1 4x 4 9x 9  100x100 165

6/

1 1

1

3 2 1

x  x  x  x  x  x 

7/

2

2 25 125

9 45 16 80

12 16

x x

x   x      

8/ x712671620 52408 x26022004  x712619213 56406 x26022004 1 9/ 2009 2010 x2  x 20 2009 2010 x2  x

10/ (x5)(2 x) 3 x23x

Bài 28:Giải phương trình sau:

2

15x 2x  5 2x 15x11 (x5)(2 x) 3 x23x

2

(1x)(2 x) 2  x 2x x 17 x2 x 17 x2 9

2

3x 2 x 4 x 3 x  5x2 x2 x211 31

2 2

2 (1n x) 3 1n  x n(1 x) 0 x (2004 x)(1 1 x)2

   

Định dạng
Số trang	29
Dung lượng	3,68 MB