Sách chuyên đề: Tuyển tập các bài giảng về câu hỏi phụ hàm số ôn thi đại học 2014

Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của hàm số cắt hai x−m tiệm cận tại A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 64 Giải Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m v[r]

www.MATHVN.com TỔNG HỢP 50 CÂU HỎI PHỤ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 2x biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B mà Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x−2 √ tam giác OAB thỏa mãn AB = OA Giải Cách Gọi M(xo ; yo ), (xo 6= 2) thuộc đồ thị hàm số Pt tiếp tuyến d M có dạng: −4 2xo = (x − xo ) y− xo − (xo − 2)2 √ Do tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy các điểm A, B và tam giác OAB có AB = OA nên tam giác OAB vuông cân O Lúc đó tiếp tuyến d vuông góc với đường phân giác y = x y = −x +TH1: d vuông góc với đường phân giác"y = x xo = ⇒ pt d : y = −x (loại) −4 2=4⇔ Có: = −1 ⇔ (x − 2) o (xo − 2)2 xo = ⇒ pt d : y = −x + +TH2: d vuông góc với đường phân giác y = −x −4 (−1) = −1 pt vô nghiệm Có (xo − 2)2 Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán d : y = −x + OA π Cách nhận xét tam giác AOB vuông O nên ta có : sin(ABO) = = √ = sin AB nên tam giác AOB vuông cân O phương trình tiếp tuyến (C) điểm M = (xo ; yo ) có dạng : −4 2xo y= (x − x ) + o xo −    (xo − 2)2  xo 2xo dễ dàng tính A = ; và B = 0; (xo − 2)2 yêu cầu bài toán lúc này tương đương với việc tìm xo là nghiệm phương trình xo2 2xo2 = ⇔ xo3 (xo − 4) = (xo − 2)2 +) với xo = ta có phương trình tiếp tuyến là : y = −x (loại) +) với xo = thì phương trình tiếp tuyến là : y = −x + Bài
1 Tìm các giá trị m để hàm số y = x3 − m.x2 + m2 − x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1 ; x2 r là độ dài các cạnh góc vuông tam giác vuông có độ dài cạnh huyền Giải Cách Mxđ: D = R Có y0 = x2 − mx + m2 − y0 = ⇔ x2 − mx + m2 − = Hàm số có cực đại x1 ,cực tiểu x2 thỏa yêu cầu bài toán và pt y0 = có nghiệm phân biệt dương, triệttiêu và đổi dấu  qua nghiệm đó           ∆ > 4 − m > −2 < m < √ ⇔ S>0 ⇔ m>0 ⇔ < m < (∗) ⇔ m>0       √ √    P > m2 − > m < − ∨ m >  x + x = m Theo vi-et có: x1 x2 = m2 − √ 14 Mà x12 + x22 = ⇔ 2(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = ⇔ 2m2 − 4(m2 − 3) = ⇔ m = ± 2 www.mathvn.com √ www.MATHVN.com 14 Đối chiếu đk (*) ta có giá trị m = thỏa yêu cầu bài toán Bài Tìm tất các giá trị m cho trên đồ thị (Cm ) : y = mx3 + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + tồn đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (L) : x + 2y − = Giải Cách 1: Có y0 = mx2 + 2(m − 1)x +4 − 3m  Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y · − = −1 có đúng nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2 + 2(m − 1)x + − 3m = có nghiệm dương phân biệt      m = m 6=    m 6=              4m2 − 4m + > ∆0 > m 6= 0<m<  2 ⇔ m−1 ⇔ ⇔ ⇔    <    < m < S > <m<    m           − 3m > 0 < m < P>0   m   ∪ là các giá trị cần tìm m Vậy m ∈ 0; ; 2 Cách 2: Có y0 = mx2 + 2(m − 1)x +4 − 3m  Từ yêu cầu bài toán dẫn đến pt: y · − = −1 có đúng nghiệm dương phân biệt ⇔ mx2 + 2(m − 1)x + 2 − 3m = (1) có nghiệm dương phân biệt Th1: m = từ (1) ta có x = −1 (loại) Th2: m = từ (1) ta có x = ±1 (loại) 2 − 3m Th3: m 6= 0; m 6= từ pt (1) có nghiệm x = ∨ x = m − 3m Điều kiện bài toán dẫn đến: : >0⇔0<m< m     Kết hợp với trường hợp trên ta có giá trị m cần tìm:m ∈ 0; ∪ ; 2 Bài Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị (C) :y = x3 − 3x + điểm phân biệt A, B,C cho √ xA = và BC = 2 Giải Với xA = ⇒ yA = VậyA(2; 4) Xem d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k Có pt d : y − yA = k(x − xA ) ⇔ y = kx − 2k + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng d : x3 − 3x + = kx − 2k + ⇔ (x − 2)(x2 + 2x + − k) = ⇔ x = hay g(x) = x2 + 2x + − k = (∗) Để d cắt (C)tại điểm phân biệt A, B,C thì pt(∗) phải có nghiệm phân biệt xB ; xC phân biệt và khác 2: ∆0 = k > ⇔ < k 6= (∗0 ) Lúc đó :⇔ g(2) = − k 6=  x + x = −2 B C Theo vi-et ta có : Mà B,C thuộc d nên yB = kxB − 2k + 4; yC = kxC − 2k + xB xC = − k √ Có BC = 2 ⇔ BC2 = ⇔ (xB − xC )2 + k2 (xB − xC )2 =   ⇔ (xB + xC )2 − 4xB xC (1 + k2 ) = ⇔ k3 + k − = ⇔ k = (thỏa đk (∗0 )) ⇒ pt d : y = x + Vậy đường thẳng d cần tìm có pt: y = x + www.mathvn.com www.MATHVN.com Bài Cho hàm số y = 4x3 − 6mx2 + 1, m là tham số.Tìm m để đường thẳng d : y = −x + cắt đồ thị hàm số điểm A(0; 1), B,C và B,C đối xứng qua đường phân giác thứ Giải Giao (C) và (d) có hoành độ là nghiệm phương trình: 4x3 − 6mx2 + = −x + ⇔ x(4x2 − 6mx + 1) = Để pt có n0 phân biệt thì 4x2 − 6mx + = có nghiệm phân biệt −2 ⇒ ∆0 = 9m2 − > ⇔ m > , m < 3 Gọi 1),C(x2 ; −x2 + 1) Để B và C đối xứng qua đường phân giác thứ thì:  B(x1 ; −x1 + x = −x + x = y 2 ⇔ ⇔ x1 + x2 = ⇔ m = ⇔ m = x2 = −x1 + y1 = x2 So sánh với đk, thấy không tìm m thỏa mãn Bài đề thi thử lần LQĐ Bình Định 2 Cho hàm số y = x − 2mx + 2m − 4,m là tham số thực.Xác định m để hàm số đã cho có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải Mxđ: D = R Có y0 = 4x3 − 4mx y0 = ⇔ 4x3 − 4mx = ⇔ x = ∨ x2 = m Hàm số có cực trị ⇔ m > (∗) √ √ 2 Gọi A(0; 2m − 4); B( m; m − 4);C(− m; m − 4) là điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy và A thuộc Oy nên ∆ABC cân A Kẻ AH⊥BC có S∆ABC = AH.BC ⇔ = |yB − yA | |2xB | √ ⇔ = 2m2 m ⇔ m = Đối chiếu với điều kiên (∗) có m = là giá trị cần tìm Bài x−2 Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B x+1 cho bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác OAB lớn Giải Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 và tiệm cận ngang là đường thẳng y = Giao điểm hai đường tiệm cận I (−1; 1) Giả sử tiếp tuyến cần lập tiếp xúc với đồ thị điểm có hoành độ x0 − (x − x0 ) + x0 , phương trình tiếp tuyến có dạng: y = x +1 (x0 + 1)  0 x0 − Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng x = −1 điểm A −1; , và cắt tiệm cận đứng điểm B (2x0 + 1; 1) x0 + x0 − Ta có:IA = − 1 = ; IB = |2x0 + − (−1)| = 2|x0 + 1| |x0 + 1| x0 + 1 Nên: IA.IB = |x0 + 1| = 12 Do vậy, diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = |x0 + 1| S Gọi p là nửa chu vi tam giác IAB, thì bán kính đường tròn nội tiếp tam giác này là:r = = p p Bởi vậy, r lớn và p nhỏ Mặt khác, tam giác IAB vuông I nên: √ √ √ √ √ 2p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB2 ≥ IA.IB + 2IA.IB = = + √ Dấu ’=’ xảy IA = IB ⇔ (x0 + 1)2 = ⇔ x = −1 ± √ √
- Với x = −1 − ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + + √
√ - Với x = −1 + ta có tiếp tuyến: d1 : y = x + − Bài www.mathvn.com www.MATHVN.com 2mx + Gọi I là giao điểm tiệm cận Tìm m để tiếp tuyến hàm số cắt hai x−m tiệm cận A, B cho diện tích tam giác IAB 64 Giải Dễ thấy đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = m và đường tiệm cận ngang là y = 2m.Tọa độ giao điểm  hai đường tiệm cận là I (m; 2m) 2mx0 + Gọi M x0 ; (với x0 6= m) là điểm thuộc đồ thị hàm số đã cho x0 − m 2m2 + 2mx0 + Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm này là: y = − (x − x0 ) + x0 − m   (x0 − m) 2mx0 + 2m + Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng A m; và cắt tiệm cận ngang B (2x0 − m; 2m) x − m 2mx0 + 2m2 + 4m + ; IB = |2x0 − m − m| = |x0 − m| Ta có: IA = − 2m = x0 − m x0 − m Nên diện tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 4m2 + √ 58 Bởi vậy, yêu cầu bài toán tương đương với: 4m + = 64 ⇔ m = ± Bài Tìm m cho đồ thị hàm số y = x4 − 4x2 + m cắt trục hoành điểm phân biệt cho diện tích hình phẳng giới hạn (C) và trục hoành có phần trên phần Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) và Ox:x4 − 4x2 + m = (1) Đặt t = x2 ≥ Lúc đó có pt: t − 4t + m = (2) Để  (C) cắt Ox điểm phân biệt pt (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiêm phân biệt t >    ∆ = − m > ⇔ S=4>0 ⇒ < m < (i)    P = m > Cho hàm số y = Gọi t1 ;t2 (0 < t1 < t2 ) là nghiệm pt (2) Lúc đó pt(1) có nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: √ √ √ √ x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2 Do tính đối xứng đồ thị (C) nên có: Z x4 Z x3 x5 4x3 (−x4 + 4x2 − m) dx ⇒ − + mx4 = ⇒ 3x44 − 20x42 + 15m = (x4 − 4x2 + m) dx = x3  x4 − 4x2 + m = (3) Từ đó có x4 là nghiệm hpt: 3x4 − 20x2 + 15m = (4) 4 3m 3m 9m2 20 Thay x42 = vào (3) có: − 5m = ⇒ m = ∨ m = 2 20 Đối chiếu điều kiện (i) có m = là giá trị cần tìm Bài 10 Cho hàm số y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + Tìm m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị này tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải y = 4x3 − 4x(1 − m2 ) = ⇔ x = 0, x2 = − m2 Hàm số có cực trị ⇔ −1 < m < Khi đó, tọa độ điểm cực đại là A(0; + m), √ √ √ √ tọa độ điểm cực tiểu là B(− − m2 ; − m2 );C( − m2 ; − m2 ) Lấy 3.(3) − (4) ⇒ x42 = www.mathvn.com www.MATHVN.com Diện tích tam giác ABC là: SABC = d(A; BC).BC = (1 − m2 ) ≤ Dấu = xảy m = Đáp số: m = Bài 11 −x + Cho hàm số y = có đồ thị là (H) Tìm trên (H) điểm M để tiếp tuyến M có hệ số góc lớn x−3 √ tạo với đường thẳng ∆ : 3x + 4y − = góc có giá trị 25 Giải Vì chỉ√biết công thức tính cos góc từ vecto cho trước, bài này cho kết cos khá đẹp cos( ) ≈ 0, 9999 ≈ nên em nghĩ là áp dụng công thức tính cos góc vecto luôn 25 − Gọi vecto phương pt tiếp tuyến M là: → u1 ( ; −1) Vecto phương dt ∆ : 3x+4y−1 = (x − 3)2 | + 3| p (x − 3)2 → − → − → − = ⇔ |8+3(x−3)2 | = + (x − 3)4 ⇔ (x−3)2 = ⇔ là: u2 (4; −3) Có: cos ( u1 ; u2 ) = r + (x − 3)4 x =? => M =? Bài 12 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị (H) Tìm m để đường thẳng d : y = −x + m + hai điểm phân biệt x−2 d nhọn A, B cho AOB Giải x+3 Giao (H) và d có hoành độ là nghiệm pt: = −x + m + ⇔ x2 − (m + 2)x + 2m + = x −  m2 − 4m + 16 > Để pt trên có nghiệm pb thì ∆ > 0, x 6= ⇔ ⇒ m =? 22 − 2(m + 2) + 2m + 6= Gọi A(x1 ; −x1 + m + 1), B(x2 ; −x2 + m + 1) là giao điểm (H) và d d nhọn thì : AB2 < OA2 + AB2 ⇔ 2(x2 − x1 )2 < (−x1 + m + 1)2 + (−x2 + m + 1)2 ⇔ −2x1 x2 + (m + Để AOB 1)(x1 + x2 ) − (m + 1)2 < ⇔ m > −3 Kết hợp với đk ban đầu để suy giá trị m Bài 13 x Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) hàm số đã cho biết tiếp tuyến x−1 √ tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi 2(2 + 2) Giải −1(x − xo ) xo Cách đường tiệm cận đồ thị là x = 1, y = Gọi pttt (H) M(xo ; yo ) là: y = + (xo − 1) xo − xo + xo + Khi x = ⇒ y = ⇒ A(1; ) Khi y = ⇒ x = 2xo − ⇒ B(2xo − 1; 1), I(1; 1) xo − xo − r √ xo + xo + ⇒ P(ABC) = IA + IB + AB = − + 2xo − + (2xo − 2)2 + (1 − ) = 2(2 + 2) xo − xo − p √ ⇔ + 2(xo − 1)2 + (xo − 1)4 + = 2(2 + 2)(xo − 1) x − = (loại) o ⇔ √ √ √ −2(1 + 2)(xo − 1)2 + (2 + 2)2 (xo − 1) − 2(2 + 2) = Cách - Phương trình tiệm cận đứng: x = 1, phương trình tiệm cận ngang y = a −1 a - Gọi M(a; ), phương trình tiếp tuyến M: y = (x − a) + a−1 (a − 1) a−1 www.mathvn.com www.MATHVN.com a+1 ) a−1 - Tọa độ giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận ngang là: B(2a − 1; 1) r √ - Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB + AB = 2, dấu + 2|a − 1| + (a − 1)2 + ≥ + |a − 1| (a − 1)2 = xảy |a − 1| = tức a = 0; a = - Với a = ⇒ y = −x - Với a = ⇒ y = −x + Kết luận: y = −x, y = −x + là tiếp tuyến cần tìm Bài 14 2x − m Cho hàm số: y = (1) Chứng minh với m 6= đồ thị hàm số (1) cắt (d) : y = 2x − 2m mx + điểm phân biệt A, B thuộc đường (H) cố định Đường thẳng (d) cắt các trục Ox, Oy các điểm M, N Tìm m để SOAB = 3SOMN Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị  hàm số (1)và đường thẳng d: 2x − m (2) = 2x − 2m ⇔ 2mx2 − 2m2 x − m = x 6= − mx +  m  Do m 6= nên (2) ⇔ f (x) = 2x2 − 2mx − = x 6= − (∗) m Để tồn điểm A, B thì pt (∗) phải có nghiệm phân biệt xA ; xB khác − m  ∆ = m + > ⇔ ⇔ ∀m 6=  f (− ) = + 6= m m2 Mặt khác có xA xB = nên A, B luôn thuộc đường (H) cố định |−2m| Kẻ OH⊥AB ⇒ OH = d(O,d) = √ Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = 2xA − 2m; yB = 2xB − 2m  xA + xB = m Theo viet có: xA xB = p p p √ Có: AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 5(xA − xB )2 = 5(xA + xB )2 − 20xA xB ⇔ AB = 5m2 + 10 Vì M, N là giao điểm d với Ox, Oy nên M(m; 0); N(0; 2m) |−2m| √ Theo giả thiết :SOAB = 3SOMN ⇔ OH.AB = 3OM.ON ⇔ √ 5m2 + 10 = |xM | |yN | √ |−2m| √ ⇔ √ 5m + 10 = |m| |2m| ⇔ m2 + = |m| ⇔ m2 + = 9m2 ⇔ m = ± Vậy với m = ± là các giá trị cần tìm Bài 15 −x + Tìm trên (H) : y = các điểm A, B cho độ dài đoạn thẳng AB và đường thẳng AB x−2 vuông góc với đường thẳng y = x Giải Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành độ giao điểm (H) và đường thẳng AB: −x + = −x + m ⇔ g(x) = x2 − (m + 3)x + 2m + = (x 6= 2) (1) x−2 Để  tồn điểm A, Bthì pt(1) cần có nghiệm phân biệt xA ; xB và khác ∆ (m + 3)2 − 4(2m + 1) > g(x) > ⇔ ⇔ ⇔ (m − 1)2 + > 0; ∀m g(2) 6= 4 − (m + 3)2 + 2m + 6= - Tọa độ giao điểm tiếp tuyến và tiệm cận đứng là: A(1; www.mathvn.com  x + x = m + B A Theo viet có xA xB = 2m + www.MATHVN.com Lại có: yA = −xA + m; yB = −xB + m Mà AB = ⇔ AB2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 + (yA − yB )2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 = ⇔ (xB + xA )2 − 4xA xB = ⇔ (m + 3)2 − 4(2m + 1) = ⇔ m2 − 2m − = ⇔ m = −1 ∨ m = √ √ +Với m = thay vào pt (1) có:x2 − 6x + = ⇔ x = ± ⇒ y = ± Lúc này tọa độ điểm A, B là √ √ √ √ √ √ √ √ A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2) B(3 + 2; − 2); A(3 − 2; 2) √ √ +Với m = −1 thay vào pt (1) có: x2 − 2x − = ⇔ x = ± ⇒ y = −2 ± Lúc này tọa độ điểm √ √ √ √ √ √ √ √ A, B là A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) B(1 + 2; −2 − 2); A(1 − 2; −2 + 2) Vậy A, B là các điểm trên thỏa yêu cầu bài toán Bài 16 Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 − mx2 + m − cắt trục Ox điểm phân biệt có hoành độ lớn −2 Giải √ Xét:x4 − mx2 + m + = ∆ = (m − 2)2 => ∆ = |m − 2| ⇒ x2 = m − 1(m > 1), x2 = √ √ Vậy giao điểm đồ thị (C) với trục hoành là: A(−1; 0), B(− m − 1; 0),C(1; 0), D( m − 1; 0) Để điểm đó có hoành độ >-2 thì: √ TH1:− m − > −1 ⇔ m < 2, kết hợp với đk ⇒ < m < √ TH2:−2 < − m − < −1| ⇔ < m < Vậy :m ∈ (1; 2) ∪ (2; 5) là giá trị cần tìm Bài 17 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị là (H) Tìm m để đường thẳng d : y = 2x + 3m cắt (H) hai điểm x+2 −→ −→ phân biệt cho OA.OB = −4 với O là gốc tọa độ Giải x+3 - Xét phương trình: = 2x + 3m ⇒ 2x2 + 3(1 + m)x + 6m − = (1) có nghiệm phân biệt khác -2 x+2 ∆ = 9m2 − 30m + 33 > điều này xảy với m - Gọi nghiệm phương trình (1) là x1 , x2 thì A(x1 , 2x1 + 3m), B(x2 , 2x2 + 3m) 12m − 15 −→ −→ - Có: OA.OB = −4 ⇒ x1 x2 + (2x1 + 3m)(2x2 + 3m) = −4 ⇒ = −4 ⇒ m = 12 Bài 18 3x − Tìm tọa độ hai điểm B,C thuộc hai nhánh khác đồ thị y = cho tam giác ABC vuông x−1 cân A(2; 1) Giải − → Đổi hệ trục tọa độ Oxy  thành hệ trục tọa độ IXY phép tịnh tiến OI với I(1; 3) x = X + Công thức đổi trục: y = Y + Trong hệ tọa độ pt hàm số viết lại là :Y = (1) và điểm A trở thành A(1; −2) X     2 Xét điểm B a; ;C b; (a < < b) thuộc đồ thị hàm số (1) a b Gọi H, K là hình chiếu B,C lên đường thẳng y = −2 ⇒ H(a; −2); K(b; −2) d + CAK d = 900 = CAK d + ACK d ⇒ BAH d = d Có BAH ACK AH = CK Vậy ∆AHB = ∆CKA (cạnh huyền_góc nhọn)⇒ (∗) BH = AK www.mathvn.com  www.MATHVN.com   2   (1 − a) = + (2) b Lúc đó từ (∗) có hpt: 2    + = |b − 1| (3)  a   2 3b + −b − Từ (2) có − a + −a − − =0⇔a= ∨a = b b b b " 3b + 9b + = 0(4) 8b + 3b + = |b − 1| ⇒ từ (3) có Với a = b 3b + 3b2 + 7b + = 0(5) + Với (4) pt có nghiệm b = −1 ∨ b = −2 không thỏa b > + Với (5) pt có nghiệm b = − ∨ b = −2 không thỏa b > 3 " b2 + b − = 0(6) −b − = |b − 1| ⇒ Với a = từ (3) có b b + 2 b2 + b + = 0(7) +Với (7) pt vô nghiệm +Với (6) pt có nghiệm b = ∨ b = −3 (loại) Khi b = ⇒ B(−2; −1);C(2; 1) ngược lại Lúc đó điểm B,C bài toán cần tìm là: B(−1; 2);C(3; 4) ngược lại Bài 19 d = 120o Cho hàm số y = x3 + 3x2 + m (1) Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị A, B cho AOB Giải - Phương trình y0 = ⇔ x = 0, x = −2 - Tọa độ điểm cực trị đồ thị a(0; m), B(−2; m + 4) - Yêu cầu bài toán dẫn đến giải phương trình: √ −→ −→ √ OA.OB 132 −12 + = − ⇔ −2m(m + 4) = |m| m2 + 8m + 20 ⇔ m = 0, m = OA.OB 2√ −12 + 132 Đáp số: m = 0, m = Bài 20 đề thi thử đại học THPT Thanh Thủy lần tỉnh Phú Thọ 2x − Cho hàm số y = có đồ thị (C) x+1 √ Tìm m để đường thẳng d : y = x + m cắt (C) điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Giải Phương trình hoành độ giao điểm (C) và đường thẳng d: 2x − = x + m ⇔ f (x) = x2 + (m − 1)x + m + = (1) (x 6= −1) x+1 Để  d cắt (C) điểm phân biệt A, B thì phương trình (2) có nghiệm phân biệt xA , xB khác −1  x + x = − m ∆ = (m − 1)2 − 4(m + 1) > B A (∗) Theo vi-et có : ⇔ xA xB = m +  f (−1) = − m + + m + 6= √ Lại có A, B ∈ d ⇒ yA = xA + m; yB = xB + m Do AB = 2 ⇔ AB2 = ⇔ (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = ⇔ (xA + xB )2 − 4xA xB = ⇔ (1 − m)2 − 4(m + 1) = ⇔ m2 − 6m − = ⇔ m = −1 ∨ m = Đối chiếu điều kiện (∗) ta có m = −1; m = là giá trị cần tìm Bài 21 3x − Cho hàm số y = (C) Gọi I là giao đường tiệm cận đồ thị x+1 Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang d = √5 A và B thỏa mãn cos BAI 26 Giải www.mathvn.com www.MATHVN.com Xét điểm M(xo ; yo ), (xo 6= −1) ∈ (C) là tiếp điểm tiếp tuyến d 3xo − Phương trình tiếp tuyến d có dạng : y − = (x − xo ) xo + (xo + 1)2 d = √5 Do tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng , tiệm cận ngang A, B và ∆IAB có cos BAI 26 1 d= d= d = |5| ⇒ tan BAI nên tan BAI −1 = ⇒ tan ABI d |5| 25 cos2 BAI d là hệ số góc tiếp tuyến d mà y0 (xo ) = >0 Lại có tan ABI (xo + 1)2 = ⇔ (xo + 1)2 = ⇒ xo = ∨ xo = −2 nên (xo + 1) Với xo = có pt tiếp tuyến d : y = 5x − Với xo = −2 có pt tiếp tuyến d : y = 5x + Vậy có tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán có pt trên Bài 22 Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + có đồ thị (Cm ).Tìm tất các giá trị thamsố m  để đồ thị (Cm ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp qua điểm D ; 5 Giải √ y = 4x3 − 4mx = ⇔ x = 0, x = ± m (m > 0) Vậy cácđiểmthuộc đường tròn (P) ngoại tiếp các điểm √ √ Gọi I(x; y) là tâm đường tròn(P) cực trị là: A(0; 2), B(− m; −m2 + 2),C( m; −m2 + 2), D ; 5     2     IA = ID 3x − y + = √ √ ⇒ IB2 = IC2 ⇔ 2x m = −2x m ⇔ x = 0, y = 1, m = 0(loại), m =       IB2 = IA2 (x + √m)2 + (y + m2 − 2)2 = x2 + (y − 2)2 Vậy m = là giá trị cần tìm Bài 23 x4 Cho hàm số y = − 3x2 + có đồ thị (C) và điểm A ∈ (C) với xA = a 2 Tìm các giá trị thực a biết tiếp tuyến (C) A cắt đồ thị (C) điểm phân biệt B,C khác A cho AC = 3AB (B nằm A và C) Giải   a Cách Xét A a; − 3a + thuộc đồ thị (C) 2   a4 5 3a4 Phương trình tiếp tuyến A : y − − 3a + = (2a − 6a)(x − a) ⇔ y = 2a(a − 3)x − + 3a2 + 2 2 x4 3a Phương trình hoành độ giao điểm (C) và tiếp tuyến A − 3x2 + = 2a(a2 − 3)x − + 3a2 + 2 2 " x=a ⇔ (x − a)2 (x2 + 2ax + 3a2 − 6) = ⇔ f (x) = x2 + 2ax + 3a2 − = (1) Để  tiếp tuyến A cắt (C) điểm khác A thì pt (1) cần có nghiệm phân biệt xB ; xC khác a B,C √ ∆0 = a2 − (3a2 − 6) > − < a < √3 ⇔ ⇔ (∗)  f (a) = 6a2 − 6= a 6= ±1 − → − → Do AB = 3AC ⇒  AC = 3AB ⇒ xC − 3xB = −2a (2) x + x = −2a (3) B C Lại theo vi et có: xB xC = 3a2 − (4) √ Từ (2) và (3) ⇒ xB = 0và xC = −2a Thế vào (4) có: 3a2 − = ⇔ a = ± ( thỏa (∗)) www.mathvn.com Kiểm tra: www.MATHVN.com       √ √ 21 √ ; B 0; ;C −2 2; ⇒ AC = 3AB +Với a = có A 2; − 2       √ √ √ 21 +Với a = − có A − 2; − ; B 0; ;C 2; ⇒ AC = 3AB 2 √ Vậy a = ± là các giá trị cần tìm a Cách Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số đã cho điểm A với xA = a là:
a4 y = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 + 2 PT hoành độ giao điểm tiếp tuyến này với đồ thị (C):

x4 a4 − 3x2 + = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 + ⇔ (x − a)2 x2 + 2ax + 3a2 − = 2 2 Để có giao điểm A, B,C thì phương trình:  √ − < a < √3 x2 + 2ax + 3a2 − = (∗) có hai nghiệm phân biệt khác a ⇔ a 6= ±1  x + x = −2a B C Khi đó hoành độ B,C là hai nghiệm phương trình (∗) nên: ⇔ xB xC = 3a2 − − → − → Mặt khác: AC = 3AB (B nằm  A và C) ⇔ AC = 3AB ⇔ xC − 3xB = −2a   xC − 3xB = −2a xB =     √ Ta có hệ: xB + xC = −2a ⇔ xC = −2a ⇔ a = ± thỏa mãn điều kiện       xB xC = 3a2 − 3a2 − = √ Vậy giá trị cần tìm m là: a = ± Bài 24 Câu I ý đề thi thử đại học Vinh lần Cho hàm số y = x − (3m + 1)x2 + 2(m + 1) (m là tham số) Tìm m để hàm số có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ O Giải y0 = x3 − 2(3m + 1)x = ⇔ x = 0, x2 = 2(3m + 1) Hàm số có cực trị m > − , đó tọa độ điểm cực trị đồ thị là √ √ A(0; 2m + 2), B(− 6m + 2; −9m2 − 4m + 1),C( 6m + 2; −9m2 − 4m + 1) Tam giác ABC có trọng tâm O khi: −18m2 − 6m + = ⇔ m = − , m = 3 Đáp số: m = Bài 25 Câu I ý đề thi thử đại học lần THPT Trung Giả Cho hàm số y = mx + (m − 1)x2 + (3m − 4)x + có đồ thị là (Cm ).Tìm tất các giá trị m cho trên (Cm ) có điểm mà tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d) : y = x + 2011 Giải y = mx2 + (m + 1)x + 3m − Để tiếp tuyến vuông góc với (d) thì y0 = −1 ⇔ mx2 + (m + 1)x + 3m − = 0(1) có nghiệm với x thuộc R −3 TH1: m = ⇒ pt trở thành: −2x − = ⇔ x = Vậy m = thỏa mãn TH2: m 6= ⇒ (1) là phương trình bậc 2, để phương trình có nghiệm thì: 1 ∆ = −2m2 + m + ≥ ⇔ − ≤ m ≤ 1, m 6= Vậy − ≤ m ≤ là giá trị cần tìm 2 Bài 26 www.mathvn.com 10 www.MATHVN.com Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương Giải 2 2 Đặt f (x) = " x − 3mx + 3(m − 1)x − (m − 1) Có y = 3x − 6mx + 3(m − 1) x1 = m − y0 = ⇔ x2 = m + Do hệ số x2 pt y0 = là và m − < m + nên hàm số đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x2 Đồ cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ dương thì ta phải có:  thị hàm số (1)    ∀m ∈ R ∆y0 > √         −     √ < m <   − 1)(m2 − 3)(m2 − 2m − 2) >    (m y y <        − < m < −1 ⇔  √ ⇔ m−1 > x1 > √       < m < 1+       m+1 > x2 >       m >       1−m < f (0) < √ √ √  √ ⇒ < m < + Vậy các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là m ∈ 3; + Bài 27 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị: y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + và trục hoành có phần nằm phía trên trục hoành phần nằm phía trục hoành Giải Bài 28 −x − Tìm trên đồ thị hàm số y = các điểm A, B cho tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A song x+2 √ song với tiếp tuyến điểm B và AB = Giải     −a − −b − Xét điểm A a; ; B b; (a 6= b 6= −2) thuộc đồ thị hàm số đã cho a+2 b+2 −1 Tiếp tuyến A có hệ số góc: f (a) = (a + 2)2 −1 Tiếp tuyến B có hệ số góc : f (b) = (b + 2)2   f (a) = f (b) Theo bài ta có hpt: √ AB =    1   a=b   = − −     (a + 2)2  (b + 2) s a + b = −4   ⇔ ⇔   −a − −b − √       (a − b) + − =   =8 (a − b)2 + a+2 b+2 ab + 2(a + b) + 4 a = −2 − √3     √    a + b = −4 a = −4 − b a + b = −4  b = −2 +    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √  ab = b2 + 4b + =  =8  a = −2 + (16 − 4ab) + ab −  √ b = −2 − √ √ √ √

Vậy điểm A, B cần tìm là A −2 − 3; + ; B −2 + 3; − √ √ √ √

A −2 + 3; − ; B −2 − 3; + Bài 29 www.mathvn.com 11 www.MATHVN.com Gọi D là đường thẳng qua A(1; 0) và có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị y = x+2 điểm phân x−1 biệt M, N thuộc nhánh khác đồ thị và AM = 2AN Giải Do D là đường thẳng qua A(1; 0) và có hệ số góc là k nên pt D : y = k(x − 1) Phương trình hoành độ giao điểm D và đồ thị hàm số đã cho là: x+2 = k(x − 1) ⇔ kx2 − (2k + 1)x + k − = 0(x 6= 1) (1) x−1 Đặt t = x − ⇒ x = t + Lúc đó pt (1) trở thành: k(t + 1)2 − (2k + 1)(t + 1) + k − = ⇔ kt − t − = (2) Để D cắt đồ thị hàm số đã cho điểm M, N thuộc nhánh khác đồ thị thì pt (1) phải có nghiệm x1 ; x2 thỏa x1 < < x2 ⇔ pt (2) có nghiệm t1 ;t2 thỏa t1 < < t2 ⇔ −3k < ⇔ k > (∗) −→ −→ Vì điểm A luôn nằm đoạn MN và AM = 2AN ⇒ AM = −2AN ⇒ x1 + 2x2 = (3)  x1 + x2 = 2k + (4) k−1 k+2 k Từ (3) và (4) ⇒ x2 = ; x1 = Theo vi-et có : k −  k k x1 x2 = (5) k (k + 2)(k − 1) k − 2 Thay x1 ; x2 vào (5) có pt: = ⇔ 3k − = ⇔ k = k k Đối chiếu đk (∗) có k = là giá trị cần tìm Bài 30 Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y = x3 − 3mx + cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính A, B mà diện tích tam giác IAB lớn Giải - Có: y0 = 3x2 − 3m có nghiệm phân biệt m > Khi đó, tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: √ √ √ √ M( m, − 2m x), N(− m, + 2m x) - Phương trình đường thẳng MN là: 2mx + y − = d ≤ 1, - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I A, B mà tam giác IAB có 2.SIAB = IA.IB sin AIB d = 90o , lúc đó, khoảng cách từ I đến MN √1 dấu = xảy AIB √ √ |2m − 1| 1 3 Do ta có phương trình: d(I, MN) = √ ⇔ √ = √ ⇒ m = 1+ , m = 1− 2 2 4m2 + Bài 31 x+3 Cho hàm số y = có đồ thị là (H).Viết phương trình tiếp tuyến M trên (H) cho tiếp 2(x + 1) tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy hai điểm A, B đồng thời đường trung trực AB qua gốc tọa độ O Giải Do tam giác OAB đã vuông O mà trung trực AB lại qua O nên tam giác OAB phải vuông cân, điều đó có nghĩa là AB tạo với trục hoành góc 45o , tức là hệ số góc AB −1 −4 Vậy thì, hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến là nghiệm phương trình: = −1 ⇔ x = 0, x = −2 4(x + 1)2 Với x = ta có tiếp tuyến là: y = −x + Với x = −2 ta có tiếp tuyến là: y = −x − Bài 32 1 Cho hàm số y = x3 − (m + 1)x2 + mx (m là tham số) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : 72x − 12y − 35 = Giải www.mathvn.com 12 www.MATHVN.com Ta có: y0 = x2 − (m + 1)x + m y0 = ⇔ x2 − (m + 1)x + m = ⇔ x = ∨ x = m Vì thế, để đồ thị  hàm số có cực đại và cực tiểu, điều kiện là: y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m 6= 1 1 Mặt khác: y = x − (m + 1) y0 − (m − 1)2 x + m(m + 1) 6 Nên đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu thì đường thẳng d qua hai cực trị này có dạng: 1 y = − (m − 1)2 x + m(m + 1) 6 35 Đường thẳng d viết lại là: y = 6x − Nên hai cực trị đối xứng qua đường thẳng d, điều kiện đầu 1 tiên là d ⊥ d Hay: − (m − 1) = −1 ⇔ m = ∨ m = * Với m = 0, hàm số đã cho trở thành: 1 y = x3 − x2 và y0 = x2 − x     1 Hai điểm cực trị có tọa độ: A (0; 0); B 1; − , trung điểm AB là I ∈ / d nên hai điểm cực ;− 12 trị không đối xứng qua đường thẳng d * Với m = 2, hàm số đã cho trở thành:     3 y = x − x + 2x và y = x − 3x + Hai điểm cực trị có tọa độ C 1; ; D 2; , trung điểm CD 2  ∈ / d nên hai điểm cực trị không đối xứng với qua đường thẳng d là J ; 12 Vậy không có giá trị nào m thỏa mãn bài toán Bài 33 Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị là (C).Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng d : y = m(x + 1) luôn cắt đồ thị (C) điểm A cố định và tìm m để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B,C đồng thời B,C cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác có diện tích Giải Xét phương trình: x3 − 3x2 + = m(x + 1) ⇔ (x + 1)(x2 − 4x + − m) = ⇔ x = −1; g(x) = x2 − 4x + − m = (1) Đường thẳng y = m(x + 1) luôn cắt đồ thị hàm số đã cho A(−1; 0), để nó cắt đồ thị điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có nghiệm phân biệt khác -1 Điều kiện là: ∆ > 0, g(−1) 6= ⇔ < m 6= Khi đó (1) có nghiệm phân biệt và đường thẳng đã cho cắt đồ thị thêm √ √ √ √ B(2 + m; m(3 + m));C(2 − m; m(3 − m)) p |m| Khoảng cách từ O đến BC là: d(O; BC) = √ Độ dài BC là: BC = m(1 + m2 ) m2 + √ Có: SOBC = d(O; BC).BC = m m = ⇔ m = Đáp số: m = Bài 34 Đề Thử sức trên THTT - Tháng 5/2011 x3 Tìm tất các giá trị m để đồ thị hàm số: y = − (m + 3) x2 − (m + 1) x + có hai điểm cực trị với hoành độ lớn Giải Ta có: y0 = x2 − (m + 3) x − (m + 1) y0 = ⇔ x2 − (m + 3) x − (m + 1) = (∗) Có: ∆ = (m + 3)2 + (m + 1) = m2 + 14m + 17 > 0, ∀x ∈ R Nên đồ thị hàm số luôn có hai cực trị có hoành độ x1 và x2 là nghiệm phương trình (∗) Yêu cầu bài toán tương đương với tìm điều kiện tham số m để phương trình (∗) có hai nghiệm x1 và x2 www.mathvn.com 13    www.MATHVN.com x > x − > (x − 1) + (x − 1) > 1 thỏa mãn: ⇔ ⇔ x2 > x2 − > (x1 − 1) (x2 − 1) >    x + x − > (m + 3) − > m > −1 ⇔m∈∅ ⇔ ⇔ ⇔ x1 x2 − (x1 + x2 ) + > −2 (m + 1) − (m + 3) + > m < − Vậy không có giá trị nào m thỏa mãn đề bài Bài 35 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = x3 − 3x + cho các tiếp tuyến A, B có cùng hệ số góc và đường thẳng qua A, B vuông góc với đường thẳng x + y + 2011 = Giải Cách Xét A(a; a3 − 3a + 2); B(b; b3 − 3b + 2)(a 6= b) thuộc đồ thị hàm số đã cho Tiếp tuyến A có hệ số góc kA = 3a2 − Tiếp tuyến B có hệ số góc kB = 3b2 − Do tiếp tuyến A và B có cùng hệ số góc nên kA = kB ⇔ 3a2 − = 3b2 − ⇔ (a − b)(a + b) = ⇔ a = −b − → Từ đó có AB = (b − a; b3 − 3b + − a3 + 3a − 2) = (2b; 2b3 − 6b) − Mặt khác đường thẳng d : x + y + 2011 = có → "u = (1; −1) b = ⇒ a = 0(l) − →− Vì AB⊥d nên AB.→ u = ⇔ 2b(b2 + 4) = ⇔ b = ±2 ⇒ a = ±2 Vậy có điểm A, B với A(−2; 0), B(2; 4) ngược lại thỏa yêu cầu bài toán Cách -Điều kiện (1): Phươngtrình f (x) = k có hai nghiệm phân biệt (Tự tìm) y = x3 − 3x + -Tọa độ A, B là nghiệm hệ k = 3x2 −   k - Suy phương trình đường thẳng AB là y = −2 x+2 - Điều kiện vuông góc suy k = - Tìm giao điểm đường thẳng AB và đồ thị ta có A(2; 4)., B(−2; 0) Bài 36 Trích đề chọn đội tuyển quốc gia Hà Tĩnh năm 2008 - 2009 Giả sử đồ thị hàm số y = x − 6x + 9x + d cắt trục hoành điểm phân biệt x1 < x2 < x3 Chứng minh rằng: < x1 < < x2 < < x3 < Giải PT hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đã cho với trục Ox là x3 − 6x2 + 9x + d = ⇔ d = −x3 + 6x2 − 9x (∗) Đồ thị hàm số y = x3 − 6x2 + 9x + d cắt trục hoành điểm phân biệt nên PT (∗) có ba nghiệm phân biệt ⇔ đường thẳng y = d căt đồ thị hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x ba điểm phân biệt ⇔ −4 < d < (vẽ đồ thị để thấy rõ) Đặt f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d Với −4 < d < thì f (0) = d < 0, f (1) = d + > 0, f (3) = d < 0, f (4) = d + > từ đây f (0) f (1) < 0, f (1) f (3) < 0, f (3) f (4) < 0, từ tính liên tục hàm số ta có đpcm Bài 37 Trích đề học sinh giỏi Hà Nội năm 2008 - 2009 Chứng minh với m phương trình x + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + = luôn có nghiệm Giải Xem pt :x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + = (1) là phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + (∗) và trục hoành Có y0 = 3x2 + 6(m + 1)x + 3(m2 + 1) Thực phép chia y cho y0 ta www.mathvn.com 14  www.MATHVN.com  m+1 y= y0 − 2mx + m3 − m2 x+ 3 Suy pt đường thẳng qua cực tri là y = −2mx + m3 − m2 Để pt (1) có nghiệm  thì đồ thị hàm số (∗) cắt trục hoành điểm 18m ∆ ≤0  −8 ≤      (∗∗) ⇔ ⇔  18m − >  ∆ >0 (−2mxcd + m3 − m2 )(−2mxct + m3 − m2 ) > ycd yct >  x + x = −2(m + 1) ct cd Theo vi-et thì: xcd xct = m2 +   m≤   m≤   ⇒ ∀m Lúc đó hpt (∗∗) trở thành: ⇔  m >  m> 4m2 (m2 + 1) + (m − 1)2 m3 (4m + 1) > Vậy ∀m pt đã cho luôn có nghiệm Bài 38 Trích đề học sinh giỏi Thái Bình năm 2008 - 2009 Gọi d là đường thẳng qua M(2; 0) và có hệ số góc k Tìm k để d cắt đồ thị (C) : y = |x|3 − 3|x| − điểm phân biệt Giải Bài 39 Trích đề học sinh giỏi Thái Bình năm 2009 - 2010 Tìm m để điểm A(3; 5) nằm trên đường thẳng nối điểm cực trị đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(m + 6)x + Giải y = 3(x2 − 2mx + m + 6) Hàm số có cực trị ⇔ y0 = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆0 = m2 − (m + 6) > ⇔ m ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞) Ta có: y = (x − m)y0 + 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + Hoành độ đỉêm cực trị hàm số là nghiệm y0 = nên tung độ cục trị thoả mãn: y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + Do đó đây là pt đthẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Theo đề ta có: A(3; 5) ∈ (d): y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + ⇔ = 6(−m2 + m + 6) + m2 + 6m + m=4 ⇔ 5m2 − 12m − 32 = ⇔  Đối chiếu đk ta nhận m = m=− Bài 40 Trích đề học sinh giỏi Hà Nội năm 2009 - 2010 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (x − 1)(x3 + x2 + 1) biết tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị điểm phân biệt Giải Ta cóy = f (x) = x4 − x2 + x − ⇒ f (x) = 4x3 − 2x + Gọi (d) là tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số hai tiếp điểm A(a; f (a)), B(b; f (b)), a 6= b f (b) − f (a) Ta có f (a) = f (b) = vì là hsg đường thẳng (d) b−a f (a) = f (b) ⇔ 4a3 − 2a + = 4b3 − 2b + ⇔ (a − 1)(2(a2 + ab + b2 ) − 1) = ⇔ 2(a2 + ab + b2 ) − = (1)(do a 6= b) f (b) − f (a) f (a) + f (b) f (b) − f (a) Từ đó ta có f (a) = ⇔ = b−a b−a www.mathvn.com 15 www.MATHVN.com (4a3 − 2a + 1) + (4b3 − 2b + 1) = (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + ⇔ ⇔ 2(a3 + b3 ) − (a + b) + = (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + 1 ⇔ (a + b)(a − b)2 = ⇔ a− = b thay vào (1) ta a = ± √ Đến đây là suy PTtt (d) Bài 41 Cho hàm số y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thỏa x12 + x22 + x32 + 3x1 x2 x3 > 53 Giải Bài 42 Trích đề học sinh giỏi Đà Nẵng 2010 Với tham số m ∈ R, gọi (Cm ) là đồ thị hàm số: y = x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 (1) CMR: m thay đổi, đường thẳng (∆m ) : y = mx − m2 luôn cắt (Cm ) điểm A có hoành độ không đổi Tìm m để (∆m ) còn cắt (Cm ) hai điểm khác A và tiếp tuyến (Cm ) hai điểm đó song song với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm ) và đường thẳng ∆m x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m"− 1)x + m2 = mx − m2 x=1 ⇔ (x − 1)(x2 − 3mx + 2m2 ) = ⇔ f (x) = x2 − 3mx + 2m2 = 0(∗) Với x = ⇒ y = m − m2 ⇒ A(1; m − m2 ) cố định Để ∆m cắt (Cm ) điểm B,C  khác điểm A thì pt (∗) phải có nghiệm phân biệt xB ; xC khác   ∆ = 9m2 − 8m2 > (i) ⇔ ⇒ m 6= 0; ;  f (1) = − 3m + 2m2 6=  x + x = 3m B C Lúc đó theo vi-et có: xB xC = 2m2 Tiếp tuyến B có hệ số góc kB = 3xB2 − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) Tiếp tuyến C có hệ số góc kC = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) Vì tiếp tuyến B,C song song nên kB = kC ⇔ 3xB2 − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) = 3xC2 − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1) ⇔ 3(xB + xC ) = 2(3m + 1) vì xB 6= xC ⇔ 3m = ⇔ m = thỏa đk (i) Vậy m = là giá trị cần tìm Bài 43 Cho hàm số y = x3 − 2x2 + (m − 2)x + 3m tham số) Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  (m là  55 đồ thị hàm số đã cho qua điểm A 1; − 27 Giải ta có : tiếp tuyến hàm bậc có hệ số góc nhỏ chính là tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) chú ý là cái này là nhận xét với các bạn đã học chương trình cũ ) còn với chương trình thì ta phải thêm tí sau : y0 = 3x2 − 4x + m − tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ tương đương với việc là ta phải tìm điểm mà đó thì y0min đặt y0 = g(x) ta có : g0 (x) = 6x −   2 11m 52 g (x) = ⇒ x = lập bảng biến thiên thì thấy gmin (x) x = Điểm uốn I = ; − 3 3 27 www.mathvn.com 16    www.MATHVN.com 10 11m 52 phương trình tiếp tuyến điểm uốn là : y = m − x− + − (d) 3 27   1 10 11m + =− ⇔ m= vì điểm a ∈ (d) nên ta có phương trình m − 3 Bài 44 x+2 có đồ thị là (H) Tìm điểm M thuộc (H) cho tiếp tuyến M cắt đường Cho hàm số y = x−1 tiệm cận (H) điểm A, B cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ với I là giao điểm hai đường tiệm cận Giải đường tiệm cận là x = 1, y = Giao đường tiệm cận là I(1; 1) Gọi M(xo ; yo ) Suy phương trình −3(x − xo ) xo + tiếp tuyến M là: y = + Phương trình tiếp tuyên cắt đường tiệm cận điểm: (xo − 1)2 xo − xo + ), B(2xo − 1; 1) A(1; xo −   (x − 1)2 = (x − 2xo + 1)2 AO2 = IO2 ⇔ Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI là O(x; y) ⇒ ⇔ (y − 1)2 = (y − xo + )2 BO2 = IO2 xo −  x = xo y = xo + xo − xo + 9 Vậy O(xo ; ) ⇒ R2 = IO2 = (xo − 1)2 + Theo cô-si: (xo − 1)2 + ≥6 xo − (xo − 1) (xo − 1)2 √ √ √ ⇔ x = + 3, x = − Vậy Rmin = ⇔ (xo − 1)2 = o o (xo −√1)2 √ √ 3+ √ 3−3 ⇒ M(1 + 3; √ ), M(1 − 3; √ ) 3 Bài 45 Cho hàm: y = x4 + 4mx3 + (m + 1) x2 + Tìm m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại Giải   (x) = 2x3 + 6mx2 + 3(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3m + 3) Điều kiện: x ∈ R Khi đó: f ( x=0 f (x) = ⇔ 2x2 + 6mx + 3m + = 0(1) vì f (x) = có x = là nghiệm nên để f (x) có cực tiểu thì (1) có nghiệm kép vô nghiệm tức ⇔ ∆0 ≤"0 ⇔ (3m)2 − 2(3m + 3) ≤ ⇔ 3m2 − 2m − ≤ √ # √ 1− 1+ ⇔m∈ ; 3 Bài 46 Trích đề thi thử Trung Giã lần x+1 Tìm các giá trị m để đường thẳng: d : 2mx − 2y + m + = cắt đồ thị hàm số y = điểm 2x + phân biệt A, B cho biểu thức: P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ Giải xét phương trình tương giao (d) và (C) : m+1 x+1 m−1 mx + = ⇔ 2mx2 + 2mx + = (1) 2x + −1 hàm số có cực trị ⇔ (1) có nghiệm phân biệt thảo mãn x1 6= x2 6= ⇔m>0  2 √ √ m m 1 (1) ⇔ 2x x + = ⇒ x1 = − và x2 = − − 4m 2m 2m www.mathvn.com 17  √ √  www.MATHVN.com  m 1 m 1 m m ta có : A= ; B= − − ; +√ − ; −√ 2m 2 m 2m 2 m + 2m + 4m dễ dàng tính P = OA2 + OB2 = = f (m) 2m xét hàm f (m) trên (0; + ∝) ta MIN f (m) = = f ( Bài 47 x2 + x + Cho hàm: y = Tìm trên trục tung các điểm mà qua nó có đường tiếp tuyến đến đồ thị x−1 hàm số trên Giải x2 + x + Mxđ: D = R \ {1} Có y = = x+2+ x−1 x−1 Xét điếm A(0; a) ∈ Oy Phương trình đường thẳng d điqua A có hệ số góc k: y = kx + a  x + + = kx + a (1) x − Để d là tiếp tuyến đồ thị hàm số đã cho thì hệ pt : có nghiệm  1 − = k (2) (x − 1)2 = k(x − 1) + k + a (3) Từ (1) có :x + + x−1   k+a−3 Thay (2) vào (3) : x + + +k+a ⇔ = (x − 1) − = (4) x−1 (x − 1) x−1   k+a−3 = k ⇔ 36 − 3(k + a − 3)2 = 36k Thay (4) vào (2) có :1 − ⇔ f (k) = k2 + 2(a + 3)k + a2 − 6a − = (∗) Để từ A kẻ đúng tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho thì pt (∗) có nghiệm kép khác − a có nghiệm phân − a  đó có nghiệm  biệt     ∆0 = 12a + 12 = a = −1 f    "        f (3 − a) 6=  −12a + 24 6=  a 6= a = −1      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔       a=2  ∆f >  12a + 12 >  a > −1     f (3 − a) = −12a + 24 =  f (a = 2) Vậy có điểm A thỏa yêu cầu bài toán là A (0; −1) ; A (0; 2) Bài 48 mx − 4m + Cho hàm số y = (Cm ) x−m 1) Tìm điểm cố định họ (Cm ) 2) Từ các điểm cố định họ đồ thị viết các đường thẳng qua chúng với hệ số góc k = tích hình phẳng giới hạn các đường thẳng vừa lập và trục Ox Giải Gọi K(xo ; yo ) là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua ∀m 6= mxo − 4m + Lúc đó pt: yo = có nghiệm ∀m 6= xo − m ⇔ xo yo − myo = mxo − 4m + , ∀m 6= ⇔ (xo + yo  − 4)m  + − xo yo = , ∀m 6= x = o      x + y − = x = − y  yo = o o o o  ⇔ ⇔ ⇔   3 − xo yo = y2 − 4yo + =  xo = o  yo = Vậy đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định : K1 (1; 3) ; K2 (3; 1) www.mathvn.com 18 tính diện www.MATHVN.com 3 3 ⇒pt d1 : y = (x − 1) + = x + 2 2 3 Gọi d2 là đường thẳng qua K2 và có hệ số góc k = ⇒pt d2 : y = (x − 3) + = x − 2 2 Nhận xét thấy d1 ; d2 song song Diện  hình phẳng giới hạn cần tính chính là diện tích hình thang  tích ; ; K4 = d1 ∩ Ox ⇒ K4 (−1; 0) K1 K2 K3 K4 với K3 = d2 ∩ Ox ⇒ K3 (K1 K4 + K2 K3 ) h Có SK1 K2 K3 K4 = −3− √ √ 10 13 2 = √ K1 K4 = 13; K2 K3 = Với h = d(d1 ,d2 ) = d(K1 ,d2 ) = s  13 + (−1)2 √ ! √ 13 10 √ 13 + 13 20 Do đó SK1 K2 K3 K4 = = (đvdt) Bài 49 Cho hàm số y = x3 − 3(2m2 − 1)x2 + 3(m2 − 1)x + − m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm ) Tìm m để đồ thị (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Giải  x + x = a b +) Gọi điểm cần tìm là A = (xa ; ya ); B = (xb ; yb ) đó ta có ya + yb = Gọi d1 là đường thẳng qua K1 và có hệ số góc k = từ phương trình ta có : xa3 + xb3 − 3(2m2 − 1)(xa2 + xb2 ) + 3(m2 − 1)(xa + xb ) + − 2m3 = m3 − ⇔ 6(2m2 − 1)xa xb + − 2m3 = (vì xa + xb = 0) ⇔ xa xb = 6m2 − 3 m −1 dễ thấy xa ; xb lúc này là nghiệm phương trình : X + = (1) 6m − m3 − để có điểm A; B thì (1) có nghiệm phân biệt ⇔ <0 6m2 − √ ! √ ! 2 ∪ ;1 giải bpt ta m ∈ −∞; − 2 Bài 50 Cho hàm số y = −x4 + 2x2 − (1) Tìm tất các điểm M thuộc trục tung cho từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (1) Giải Gọi M(0; a), suy phương trình tiếp tuyến M : y= kx + a −x4 + 2x2 − = kx + a (1) Để từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số thì có nghiệm phân biệt −4x3 + 4x = k (2) Thế (2) vào (1), được: 3x4 − 2x2 − = a Xét f (x) = 3x4 − 2x2 − ⇒ f (x) = 12x3 − 4x = ⇔ x = 0, x = ± √ Lập BBT, ta thấy với x = 0, f (x) = −1 thì g(x) = a giao với f (x) điểm phân biệt, a = −1, M(0; −1) là điểm cần tìm www.mathvn.com 19