T×m miÒn héi tô vµ tÝnh tæng cña. chuçi.[r]
(1)Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo Đề Thi Tuyển Sinh Cao Học Tháng năm 2012
Tr-ờng ĐHXD Môn Toán
Thời gian làm 180
Câu 1 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 →R3 có biểu thức tọa độ
f (x, y, z) = (x + 2y − z, 2x + y + z, −x − y − 2z).
a) Tìm sở trực chuẩn để ma trận ca f cú dng chộo.
b) Tìm sở số chiều không gian ảnh imf không gian nhân kerf. Hỏi có tổng trực tiếp imf kerf không?
Câu 2
a) Cho hàm sè f(x) = (x − 1)4ln(2x2− 4x + 3) TÝnh f(10)(1). b) TÝnh giíi h¹n lim
x→0
sin x − x
x ln(cos x).
C©u 3
a) TÝnh tÝch ph©n suy réng +∞R
ln x
x2 dx.
b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai Z
L
xydx + (x y)dy với L nửa đ-ờng elip
x2 +
y2
9 = n»m ë phÝa tr¸i trơc Oy nèi A(0; −3) víi B(0; 3).
Câu 4
a) Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa hµm u(x, y) = x3 − y2 trªn tËp D = {(x; y) : x2+ y2 6 4}.
b) ZZ
D p
x x2py x2dxdy, với miền D miền đ-ợc giới hạn parabol
y = x2 và đ-ờng thẳng y = x.
Câu 5
a) Cho chuỗi lũy thừa P n=1
(x + 1)n+1
n + 1 . Tìm miền hội tụ tính tổng chuỗi
b) Tìm nghiệm ph-ơng trình vi ph©n xy2y0
− x3− = tháa m·n y|x=1 = 1.
(2)Bé Gi¸o Dục Và Đào Tạo Đáp án thang điểm Đề thi Tuyển sinh cao học 3-2012
Tr-ờng ĐHXD Môn To¸n
Câu 1 (2đ) Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 có biểu thức tọa độ
f (x, y, z) = (x + 2y − z, 2x + y + z, −x − y − 2z).
a) Trong sở tắc ma trận cđa f lµ A =
1 −1
2 1
−1
(0,25®).
Đa thức đặc tr-ng |A−λI| = −λ(λ−3)(λ+3) Các GTR λ1 = 0, λ2 = 3, λ3 = −3.
(0,25®).
Víi λ1 = 0, V T Rv1 = (√−13,√13,√13). Víi λ2 = 3, V T Rv2 = (√12, √12, 0); v3 = (−1√
6, √
6, −2 √
6). C¬ së trùc chuÈn {v1, v2, v3}. (0,5®).
b) kerf = L(w1), víi w1 = (−1, 1, 1), dimkerf = ⇒ dimimf = 2 vµ imf = L(w2, w3), víi w2 = (1, 2, 1), w3 = (2, 1, 1). (0,5®).
Dễ thấy {w1, w2, w3} độc lập tuyến tính nên có tổng trực tiếp (0,5đ).
C©u 2 (2đ)
a) Cho hàm số f(x) = (x 1)4ln(2x2 4x + 3) Tính f(10)(1). Đặt t = x − 1, g(t) = f (x(t)) = t4ln(1 + 2t2) DƠ thÊy g(10)(0) = f(10)(1). Khai triĨn Mac-laurin
g(t) = t4(2t2 − 2t4 + 83t6 + 0(t6)) = 2t4 − 2t8 + 83t10 + 0(t(10)). Suy f(10)(1) =
g(10)(0) = 8.10!3 .(1®)
b) TÝnh giíi h¹n lim x→0
sin x − x
x ln(cos x). Khai triÓn Mac-laurin ln(cosx) = −
x2
2 − x4
12 +
0(x4), sin x = x − x63 + o(x4). Suy L = lim x→0
−x3
6 + 0(x 4)
x(−x22 − x124 + o(x4)) =
3. Có thể dùng
quy tác LHospital lần (1đ)
Câu 3 (2đ)
a) Tính tích phân suy réng +∞R
ln x
x2 dx = +∞R
0
ln xd(−1x) = 1.(1®)
b) Tính tích phân đ-ờng loại hai Z L
xydx + (x y)dy với L nửa đ-ờng
elip x2 +
y2
9 = n»m ë phÝa tr¸i trơc Oy nèi A(0; −3) víi B(0; 3) Tham sè hãa
L : x = cos t; y = sin t, π/2 t 3π/2 I = − 3π. (1®)
Câu 4 (2đ) a) Tìm giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa hµm u(x, y) = x3 − y2 trªn tËp D = {(x; y) : x2+ y2 6 4}.Tìm giá trị lớn nhỏ hàm u(x, y) =
x3 y2 trên tập D = {(x; y) : x2 + y2 6 4}. Xét miền D, có điểm dừng là
a1 = (0, 0), f (a1) = (0,25®)
XÐt biên D, có điểm dừng a2,3(1; 0), a3,4(0; ±1), a5,6(−23; ± √
5
(3)ra fmax = 1, fmin = −1.(0,75®) b) TÝnh tÝch ph©n kÐp
ZZ
D p
x x2py x2dxdy, với miền D miền đ-ợc giới
hạn parabol y = x2 và đ-ờng th¼ng y = x MiỊn D = {0 x 1; x2 6 y x}.
I =
1 Z
0 p
x − x2dx x Z
x2
p
y − x2dy = 45.
Câu 5(1đ) a) Cho chuỗi lũy thõa (1) P∞
n=1
(x + 1)n+1
n + 1 .Tìm miền hội tụ tính tổng
chuỗi Đặt t = x+1, có chuỗi (2) P n=1
tn+1
n + 1.Chuỗi (2) có miền hội tụ [1, 1) Vậy
chuỗi (1) cã miỊn héi tơ lµ [−2, 0) S(t) = P∞ n=1
tn+1 n + 1 =
∞ P
n=1 t R
0
yndy =
t R
0 (
∞ P
n=1
yn)dy.
S(t) =
t R
0 y
1−ydy = −t + ln|1 − t|. Suy S(x) = −x − + ln|x|.(1®)
b) T×m nghiƯm cđa xy2y0
− x3− = thỏa mÃn y|x=1 = 1. Đ-a ph-ơng trình với biÕn sè ph©n ly: y2dy = x3+1
x dx. Suy nghiệm tổng quát y3
3 = x3
3 + ln|x| + C. Thay ®iỊu kiƯn ban đầu, ta đ-ợc nghiệm y3
3 = x3
3 + ln|x| Hay y