Chứng tỏ rằng hai điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn cách đều đường thẳng x = 1.. Tính thể tích của tứ diện MB’C’N và góc giữa hai đường thẳng B’M và C’N.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 –ĐỀ SỐ Thời gian:180 phút (Không kể thời gian phỏt )
I Phần chung cho tất thí sinh ( 7,0 điểm)
Cõu I ( 2đ) Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2+ (m - 1)x - - m2 có đồ thị (Cm)
1) Khảo sát vẽ đồ thị với m =
2) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng tỏ hai điểm cực trị đồ thị hàm số cách đường thẳng x =
Câu II ( điểm):1) Giải phương trình:
6
4(sin cos )
tan cot sin
x x
x x
x
2) Giải bất phương trình:
1 25
5
1
(1 ).log log 3 2.log (11.3 9)
2
x x
x
3) Giải phương trình: 4 8x 1 9x 1 3 x
Câu III (1 điểm): Tính tích phân sau:
2
2 2008
sin cos
I x x x dx
Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M trung điểm CD, N trung điểm A’D’ Tính thể tích tứ diện MB’C’N góc hai đường thẳng B’M C’N
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z số thực dương
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 4 4
x y z
A x y z
yz zx xy
II PHẦN TỰ CHỌN ( 3,0 ĐIỂM) Thí sinh chọn phần (phần phần2) 1 Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a ( điểm): Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng
có phương trình: d1: 3x - y - = 0, d2: x + y - = 0, d3: x + 3y - = 0.Tìm toạ độ đỉnh hình vuông
ABCD biết A C thuộc d3, B thuộc d1, D thuộc d2
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d hai mặt phẳng (P) (Q) có phương trình: d:
1
4
x y z
, (P): x + y - 2z + = 0, (Q): 2x - y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm
trên đường thẳng (d) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) (Q)
Câu VII.a (1điểm): Giải phương trình:
2 2
0 2
2 2
2 2 80
1 2 2
n n
n n n n
C C C C
n n
(với n số nguyên dương) 2 Theo chương trình nâng cao:
Câu VI.b ( điểm):
1)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường trịn (C) có phương trình: x2 + y2 + 8x – 6y = Viết phương trình đường thẳng d vng góc với đường thẳng (): 3x- 4y +10 = cắt đường tròn điểm A, B cho AB =
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1;2;4) đường thẳng d:
1
1
x y z
Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt đồng thời vng góc với d Tìm toạ độ
điểm M thuộc đường thẳng d cho diện tích tam giác AMB nhỏ Câu VII.b ( điểm):
Tìm m để đồ thị hàm số
2 mx y
x
có điểm cực trị A, B đoạn AB ngắn
(2)ĐÁP ÁN Đề
Câu I:
1) Khi m = ta có : y = x3 - 3x2 - ( Bạn đọc tự khảo sát biến thiên) 2) Ta có: y' = 3m.x2 - 6m.x + 2(m - 1)
Hàm số đạt cực đại cực tiểu y' = có nghiệm phân biệt
2
0
0
0
2
'
0 m m
m
m m
m m
m
Với điều kiện đồ thị hàm số có điểm cực trị A(x1;y1); B(x2;y2)
Trong x1, x2 thoả mãn nghiệm y' =
Theo Viét ta có: x1 + x2 =
Ta có khoảng cách từ A đến đường thẳng x = x - = d1 x1 Ta có khoảng cách từ B đến đường thẳng x = x - = d2 x2
Giả sử d1 = d2 x1 1 x2
1 2
1
1 ( ) ( )
1 ( )
x x L x x
x x TM
x1x2 2 (luôn đúng) => d1 = d2 (đpcm)
Câu II: ( điểm)
1) Giải phương trình:
6
4(sin cos )
tan cot sin
x x
x x
x
+ Điều kiện: sin2x
+ (1)
2 sin
2
1 sin sin
x
x x
2
4 3sin 2
1 sin sin
x
x x
4 3sin 2 x 2 sin 2x
2
3sin 2x sin 2x
sin
2 sin
3
x
x
4
1
arcsin ( )
2
1
arcsin
2
x k
x k k z
x k
(TMĐK)
2) Giải bất phương trình:
1 25
5
1
(1 ).log log 3 log (11.3 9)
2
x x
x
(1)
+ Điều kiện: 11.3x - > log3 11
x
+(1) log 35 x1log53x13log 11.35 x9 log 35 x13x13log 11.35 x9
1
3 3x x 11.3x
3 x 3x 11.3x
32x10.3x 9 1 3x9
0 x
(3)3) Điều kiện: x
Chia hai vế phương trình cho: x ta phương trình tương đương 0 48 49 3
x x
Đặt 48 u; 94 v
x x
Ta hệ: u4 v 43
u v 17
Hệ cho hai nghiệm u v
u v
Do nghiệm PT cho là: x
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân sau:
2
2 2008
sin cos
I x x x dx
2
2 2008
0
.sin sin cos
x x dx x x dx
= I1 + I2
(+)
2
0
.sin
I x x dx
Đặt:
2
1 cos sin
2 du x dx u x
v x
dv x dx
2
1
0
.cos
.cos
2
x x
I x x dx
2
.cos
8 x x dx
Đặt: 1
cos sin
2 du dx u x
du x dx v x
Ta có:
2
1
0
.sin
sin
8 2
0
x x
I x dx
2 2
1 1
cos 2 ( 1)
8 8
0 x
(+) I2
2 2009
2 cos x d (cos )x
2010
cos
2
2010 1005
0 x
Vậy:
2
1 1003
8 1005 2010 I Câu IV: (1,0 điểm)
Gọi P trung điểm C’D’, ta có: MP (B’NC’) => MP đường cao tứ diện MB’C’N MP = a
Ta có: ' ' ' ' 1 ' ' ' ' ' ' ' '
3
MB C N B C N A B C D A B N C D N
V S MP S S S MP
2 2
1 1
3 a 4a 4a a
3 a
(đvtt)
+ Ta có: B’P hình chiếu vng góc B’M mp (A’B’C’D’) mà B’P C'N
B
A
C M
(4)=> B’M CN (định lý đường vng góc)
Do góc hai đường thẳng B’M C’N 900 Cách 2: (Sử dụng phương pháp toạ độ)
Câu V: ( điểm)
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có:
4 4 4
3
3
3
1
3
x y z x y z xyz xyz
x y z
yz xz xy xyz xyz
3
3
3
Suy ra: A
4xyz xyz xyz
Đặt : t = xyz (3 t 0) ta được:
A
4t t
Xét hàm số: f(t) =
4t t (0; +)
Ta có: f’(t) =
5
2
3 3( 1)
3t t
t t
; f’(t) = t =
Bảng biến thiên:
t - +
f’(t) - +
f(t) +
15
+
Từ bảng biến thiên => f(t) = 15 4t t t
Từ => 15
4
A dấu “=” xảy t= x = y = z =
Vậy A nhỏ 15
4 x = y = z =
II- Phần tự chọn (3 điểm) 1- Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 B thuộc d1 => B(b; 3b – 4)
D thuộc d2 => D(d; - d)
;10
BD d b d b
Gọi I tâm hình vng ABCD
3
;
2
b d b d
I
Do BDd3 I d3 nên ta có hệ:
3( ) 1.(10 )
3
3
2
d b d b
b d b d
5
4 10 2
5
2 d d
b d
b
A
D
C B
(5)Vậy 1; , 7; , 1;
2 2 2
B D I
Toạ độ điểm A (C) thoả mãn hệ phương trình:
2
2
3
3
3
2 15
10 2 x y x y y y x y 3 x y y y 3 2 x y x y
Vậy 3; , 9;
2 2
A C
9 3
; , ;
2 2
A C
2 Phương trình tham số (d) là: 4 x t y t z t
Gọi I tâm mặt cầu (S) Do I (d) => I(4t; 1+2t; -1+4t)
Theo giả thiết mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mp (P) mp (Q) => d(I; (P)) = d(I; (Q)) = R
4 (1 ) 2( ) 2(4 ) (1 ) ( )
6
t t t t t t
2
8
1 t t t t
Với t = -1 => I(-4; -1; -5), 10 R
Với 5; ; , 20
3 3 3
t I R
Vậy: có hai phương trình mặt cầu thoả mãn u cầu tốn là:
2 2
8 200
3 3 27
x y z
2 2 50
4
3
x y z
Câu VII.a: (1 điểm)
Ta có:
2
2 1 2 2
2 2 2
0
1
n
n k k n n
n n n n n
k
x C x C C x C x C x
2 2
2 2
2
2 2
(1 )
0 2
n
n n n n
n
C C
x dx C x x x
n
2 2 2
0 2
1 2
2
1 2 2
0
2 2 2
n n
n
n n n n
x
C C C C
n n
2 2 2
0 2
2 2
3 2 2
2 2 2
n n
n
n n n n
C C C C
n n
Theo gt => 2
2
3 80
3 81
2 2
n n n n n
(Thoả mãn)
2 Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b: (2 điểm)
(6)1 x2 + y2 + 8x - 6y = (x + 4)2 + (y - 3)2 = 25
=> Đường trịn (C) có tâm I(-4; 3), bán kính R =
Phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng () có dạng: 4x + 3y + c = Vẽ IH AB (H AB)
=> HA = HB =
2
AB
= Xét tam giác IHB ta có:
IH2 = IB2 - HB2 = 16
=> IH = Mà: IH = d (I, d) = 4.( 4) 3.3
c
c7 20 27 13 c c
Vậy có hai đường thẳng (d) là:
d1: 4x + 3y + 27 =
và d2 : 4x + 3y - 13 =
2 a Đường thẳng d có vectơ phương u d 1;1; 2
Gọi C giao điểm () (d) => C(1-t; -2+t; 2t) Ta có AC ( t; t; 2t2)
Do đường thẳng vng góc với đường thẳng d
5
2(2 2) 10
3
d
u AC t t t t t
Suy ra: 2; 10;
3 3
C
1
5;13;
AC
Đường thẳng () cần tìm qua A(1; 4; 2) có vectơ phương v 5;13; 4 nên có pt:
1
5 13
x y z
b M d => M(1- t; -2+t; 2t) Ta có AM ( t; t; 2t2)
( 2; 2; 2)
AB
AM AB, 6t16; 2 t4; 4t12
Ta có: , 6 162 42 4 122
2
AMB
S AM AB t t t
56 304 416
2 t t
Vì hàm số: 56t2 - 304t + 416 hàm số bậc hai nên SAMB nhỏ
304 19
112
t Lúc 12 38; ;
7 7
M
Câu VII.b (1,0 điểm)
Ta có:
2
1 ' mx y
x
Hàm số có cực trị y' = có nghiệm phân biệt khác m <
2
1
; , ; 16( )
( )
A m B m AB m
m
m m
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
2
2 16( ) 16
( )
AB m
m
(không đổi)
Dấu " =" xảy 16( ) 1
(m) m m 4 m 2 ( m < 0)
u
(d) ()
A
(7)KL:
2
