tại I. Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = BA. Gọi H là trực tâm của ∆ABC. a) Chỉ ra các đường cao của ∆HBC, từ đó chỉ ra trực tâm của tam giác đó. Đường trung trực của đoạn thẳng a) [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ CÁC ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC
I Đường trung tuyến 1 Định nghĩa
Đường trung tuyến tam giác đường thẳng xuất phát từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện
AD gọi đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hay đường trung tuyến ứng với cạnh BC
2 Định lý
Một tam giác có ba đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác cắt điểm gọi trọng tâm tam giác Trọng tâm tam giác cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh
=
3 , =
2
3 ; =
(2)3 Bài tập
Bài 1: Cho hình vẽ Hãy điền vào chỗ
trống để kết
a) GM = …GA; GN = …GB; GP = …GC b) AM = …GM; BN = …GC; CP = …GP
Bài 2: Cho G trọng tâm ∆DEF với đường trung tuyến DH Trong khẳng
định sau đây, khẳng định đúng?
=
2; = 3; =
1
3; =
2
Bài 3: Biết rằng: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền nửa cạnh huyền Giải toán sau:
Cho ∆ABC vng A, có AB = 3cm, AC = 4cm Tính khoảng cách từ A đến trọng tâm ∆ABC
Bài 4: Cho ∆ABC cân A, BM CN đường trung tuyến xuất phát
từ đỉnh B C tam giác Chứng minh BM = CN
Từ đưa ý:
Định lý: Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì Ngược lại, tam giác có hai đường trung tuyến nhau tam giác cân
Bài 5: Cho ∆DEF cân D với đường trung tuyến DI
a) Chứng minh ∆DEI = ∆DFI
b) , góc gì?
c) DE = DF = 13 cm, EF = 10cm Tính DI
Bài 6: Cho ∆ABC có BM, CN hai đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B
(3)a) Chứng minh EF = BC
b) AG qua trung điểm BC
Bài 7: Cho ∆ABC vuông A, G trọng tâm tam giác Cho GM = 1,5cm,
AB = 5cm Tính AC chu vi ∆ABC
II Đường cao
1 Định nghĩa
Đường cao tam giác đoạn thẳng vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện
2 Định lý
Ba đường cao tam giác cắt (đồng quy) điểm, điểm gọi trực tâm tam giác
(4)3 Bài tập
Bài 1: Cho hình vẽ sau
a) Chứng minh CS ⊥ AB
b) Cho = 50 , tính
Bài 2: Trên đường thẳng d lấy điểm phân biệt I, J, K (J I K) Kẻ
đường thẳng d’ vng góc với d J Trên d’ lấy điểm M khác điểm J Đường thẳng qua I vng góc với MK cắt d’ N Chứng minh rẳng KN ⊥ IM
Bài 3: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD cắt
tại I Lấy điểm E cạnh BC cho BE = BA Chứng minh rằng:
a) EI vng góc với AB b) EI song song với AC
Bài 4: Cho ∆ABC không vuông Gọi H trực tâm ∆ABC
a) Chỉ đường cao ∆HBC, từ trực tâm tam giác b) Hãy trực tâm ∆HAB, ∆HAC
III Đường trung trực
1 Đường trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa
(5)b) Định lý
Thuận: Mọi điểm nằm đường trung trực
đoạn thẳng cách hai đầu mút đoạn thẳng
Đảo: Điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng
nằm đường trung trực đoạn thẳng
2 Đường trung trực tam giác a) Định nghĩa
Đường trung trực cạnh tam giác đường trung trực tam giác Mỗi tam giác có ba đường trung trực
b) Định lý
Ba đường trung trực tam giác qua điểm, điểm cách ba đỉnh tam giác (gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác)
c) Bài tập
Bài 1: Cho ∆ABC cân A, M trung điểm BC Lấy điểm D cạnh
AB, điểm E cạnh AC cho BD = CE Chứng minh rằng:
a) AM đường trung trực BC b) AM đường trung trực DE
Bài 2: Cho ∆ABC cân A Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh
AC cho AD = AE Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI đường trung trực BC
Bài 3: Cho ∆ABC cân A, đường trung tuyến AM Điểm I thuộc đoạn AM,
(6)a) Nếu AI = 2IM I giao điểm ba đường…
b) Nếu = I giao điểm ba đường…
c) Nếu = I giao điểm ba đường…
Bài 4: Cho ∆ABC cân A, O giao điểm ba đường trung trực Lấy điểm
D cạnh AB, điểm E cạnh AC cho AD = CE Chứng minh rằng:
a) OA = OB = OC
b) O nằm đường trung trực DE
Bài 5: Cho ∆ABC cân A có = 36 , đường phân giác CD, tia phân giác
của góc A cắt đường trung trực AC O Chứng minh rằng:
a) O giao điểm đường trung trực tam giác ABC b) O giao điểm đường phân giác tam giác ACD
Bài 6: Tìm tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ABC
trường hợp sau:
a) , , nhọn
b) = 90
c) > 90
IV Đường phân giác
1 Đường phân giác góc a) Định nghĩa
Đường phân giác góc đường thẳng chia góc thành hai góc nhau
Đường phân giác ngồi góc đường thẳng chia góc kề bù góc thành hai góc
(7)b) Tính chất
Mọi điểm nằm đường phân giác cách hai đường thằng hợp thành góc mà chia đôi
HA = HB
2 Đường phân giác tam giác a) Định nghĩa
Đường phân giác tam giác đường phân giác góc tam giác Mỗi tam giác có ba đường phân giác
b) Định lý
Ba đường phân giác tam giác cắt điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác)
(8)AM tia phân giác góc A nên ta có tỉ số:
=
3 Bài tập
Bài 1: Tính độ dài x hình vẽ sau:
Bài 2: Tam giác ABC có AB = m, AC = n AD đường phân giác Chứng
minh tỉ số diện tích tam giác ABD diện tích tam giác ACD
Bài 3: Cho ∆ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm Tia phân giác góc
cắt BC E Tính độ dài đoạn thẳng EB EC
Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Đường thẳng a song song với CD
cắt AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng:
a) = ;
b) = ;
c) = ;
Bài 5: Cho hình vẽ sau
(9)
