c độ dài 3 cạnh của một tam giác tỷ lệ với 2 3 4 hỏi ba chiều cao tương ứng với 3 cạnh đó tỷ lệ với

[r]

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI KIỂM TRA NĂNG LỰC

-o0o - HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014

Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút

Bài 1: a) Tìm chữ số x, y cho 2013xy 72

b) Đa thức bậc bốn f(x) thỏa mãn f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013 f(x) = f(-x) Tính f(3) c) Độ dài cạnh tam giác tỷ lệ với 2, 3, Hỏi ba chiều cao tương ứng với cạnh tỷ lệ với số ?

Giải: a) Ta có 72 = (9; 8) = Do 2013xy 72  2013xy chia hết cho 8, cho

   

2013xy 8  3xy 8  300 xy 8   xy 8 

 xy04;12; 20; 28;36; 44;52;60;68;76;84;92 (1)

 

2013xy 9  x y 9  

(2) Từ (1) (2) ta tìm x; y1;2 ; 8; 4  

b) Đa thức bậc bốn có dạng f x  ax4bx3cx2dx e , theo f(x) = f(-x)

4 3

ax bx cx dx e ax   bx cx  dx e  bx dx 0

Vậy f x  ax4cx2e với f(1) = 2035; f(2) = 2221; f(0) = 2013

a c e 2035 a c 22 a 10

16a 4c e 2221 4a c 52 c 12

e 2013 e 2013 e 2013

     

  

  

       

  

     

    f x 10x412x22013

 

f 10.3 12.3 2013 2931

c) Gọi độ dài cạnh tam giác a, b, c Diện tích S chiều cao tương ứng x, y, z ta

có:

2S 2S 2S

a ; b ;c

x y z

  

Vì cạnh tỷ lệ với 2, 3, nên

a b c 2S 2S 2S

2  3 2x 3y 4z

x y y z x y z

2x 3y 4z ;

3

        

Vậy ba chiều cao tỷ lệ với 6, 4,

Bài 2: a) Giải hệ phương trình

5x 4y xy 60y 80x

1 xy

 

 

 



 



 b) Giải phương trình 9x415x3 3x23x 0 

Giải: a) ĐKXĐ: x, y 

Hệ phương trình tương đương

4 2 64 80 32 124

31

x

x y x y x

80 60

60 80 60 80 1 y

1

y x

x y x y

      



    

  

  

   

 

        

  

  (TMĐK)

Vậy nghiệm hệ phương trình x y   

  b) Phương trình tương đương

  

4 3 2

9x  6x  9x 6x  9x 6x 3x 0    3x 3x  3x  3x 1 0

 3

3 3 3

3

1

3x 3x 3x 4x x 3x 3x 4x x x x x

4

                



Vậy phương trình có tập nghiệm S =

2

;

3

 

 



 

Bài 3: Cho biểu thức

15 x 11 x 2 x C

x x x x

  

  

   

a) Rút gọn biểu thức b) So sánh giá trị C với

Giải: ĐKXĐ: x

x x x

x

1 x

                

a)    

       

   

15 x 11 x x x x

15 x 11 x 2 x

C

x x

x x x x

                    =            

x x

5x x 2 x

x

x x x x

 

   

 



   

b) Ta có

   

   

3 x x

2 x 17 x

C C

3 x 3 x 3 x 3

  

 

       

  

Bài 4: Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) điểm M cung nhỏ AC Tia Bx vng góc với AM cắt tia CM D

a) Chứng minh AMD ABC  b) Chứng minh BMD cân

c) Khi M di động cung nhỏ AC D chạy đường ? Có nhận xét độ lớn BDC vị trí điểm M thay đổi

Giải: a) Từ giác ABCM nội tiếp nên ABC AMC 180  

 

AMD AMC 180  (kề bù)  AMD ABC 

b) Ta có AMB ACB  (góc nội tiếp chắn cung AB)

  

AMB ABC AMD

   ; MH  BD (gt)

Do MH vừa đường cao, vừa phân giác BMD nên BMD cân M

c) Ta có

 1800 2AMD 180 2ABC A D

2 2

 

  

khơng đổi

D chạy cung trịn chứa góc A

2 dựng đoạn BC

Bài 5: Cho số thực a, b thỏa mãn 0 b a 4   a b 7  Chứng minh a2b2 25

Giải: Ta có a2b2 a b a b a b     4 a b  7b 4a 3b  Áp dụng BĐT Bunhia ta có:

4a 3b 2 4232 a2b2  a2b22 25 a 2b2 a2b225 Dấu “=” xảy a = 4; b =