Phạm Như Toàn / ĐHSP HN Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HSG VÀ ÔN THI VÀO 10 CHUYÊN CHỌN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Phương pháp B +) Độ dài hình chiếu nhỏ đường xiên, tức AC BC C A +) Bất đẳng thức tam giác: Cho tam giác ABC , ta ln có: AB BC AC AB BC BC AC AB BC AC AB AC BC AB AC +) Với ba điểm A, B, C mặt phẳng ta ln có: AB BC AC Dấu '' '' xảy A, B, C thẳng hàng B nằm A C +) Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a, b : ab ab +) Bất đẳng thức Bunhiacopxki : ax by a b2 x y Bài tập mẫu Ví dụ Trong tam giác vng có cạnh huyền BC a , tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn nhất? Giải Đặt AB c, CA b Ta có: b c a 2r 2r b c a ; b2 c a (pitago) Ta có: b c b2 c2 a 2r 2a a 4ar 4r 2 1 a rmax b c Suy ra: r Ví dụ Cho tứ giác ABCD có cạnh 1, điểm E, F , G, H theo thứ tự trung điểm AB, BC, CD, DA Tính chu vi nhỏ tứ giác EFGH Giải a x y 2 x y A 2 y a x y E x B a b H d Hay a AE AH D F c G C Phạm Như Toàn / ĐHSP HN Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học Chứng minh tương tự có: b BE BF ; c CF CG ; d DH DG Vậy a b c d AB BC CD DE a b c d 2 Ví dụ Cho đường tròn O; R ,điểm I nằm đường trịn có OI d Qua I vẽ hai tia vng góc với nhau, cắt đường tròn A, B cho O nằm góc vng AIB a) Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu O IA, IB Đặt MA a, NB b, OM x, ON y Tính a b2 theo R d b) Tính diện tích lớn tam giác AIB B giải a) a2 b2 2R2 d b b) 2S AIB a y b x ab xy ax by d x x y I a b2 x y 2R d d ab xy 2 2 ax by O y N A a M a b2 x y 2R d d ax by d 2R d Dấu xảy IA, IB tạo với IO góc 45o Ví dụ Cho tam giác ABC có diện tích S, điểm nằm tam giác Kẻ O OD / / AB D BC , OE / / BC E CA , OF / /CA F AB a) Kẻ EH song song với AB H BC , kẻ FI song song với BC ( I CA), kẻ DK song song với CA K AB Chứng minh diện tích tam giác DEF nửa diện tích lục giác FIEHDK b) Chứng minh S DEF S Giải b) Đặt S AFI S1 ; SBKD S2 , SCHE S3 A Đặt BD x, DH y, HC z Ta có x y z a F 2 S1 S2 S3 x y z x y z S S S a a a 3 a a a Suy ra: S1 S2 S3 I S E O K B D H C Phạm Như Tồn / ĐHSP HN Do đó: S FIEHDK Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học 2S S S DEF 3 Ví dụ Cho điểm O nằm tam giác ABC ; OA, OB, OC kéo dài cắt cạnh tam giác tương ứng A, B, C Chứng minh rằng: a) Biểu thức M b) Ba số OA OB OC không phụ thuộc vào vị trí điểm O AA BB CC OA OB OC ; ; có số lớn 2, số nhỏ OA OB OC Giải a) S OA AA OA OBC AA AA S ABC A Tương tự suy ra: M b) Dễ thấy OA OB OC AA BB CC B' C' AA AO OA AO OA OA 1 ,m OA OA OA AA m OA Tương tự đặt B OB OC n, p OB OC Suy ra: OB OC ; BB n CC p Do đó: 1 1 m 1 n 1 p O C A' Để chứng minh ba số m, n, p lớn 2, ta phản chứng Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R, M điểm di động cung nhỏ AB a) Chứng minh MA MB MC A b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P MA MB MC Giải M a) Trên đoạn MC lấy điểm E cho ME BM E O Dễ thấy MBE tam giác cân có BME 60o nên B tam giác C Phạm Như Toàn / ĐHSP HN Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học Suy AMB BEC Do đó: MA MB ME EC MC b) P MA MB MC 2MC 2.2R 4R Max P 4R M , O, C thẳng hàng, MBC 90o ABM 30o Ví dụ Cho đường trịn tâm O đường kính AB, M điểm đường trịn M A, M B hạ MH AB, đường trịn đường kính MH cắt dây cung MA, MB tương ứng P, Q a) Chứng minh PHQ 90o MA.MP MQ.MB b) Gọi E , F tương ứng trung điểm AH , BH , tứ giác EPQF hình gì? c) Xác định vị trí M để tứ giác EPQF có diện tích lớn nhất? Giải a) Tự làm M b) EPQF hình thang vng c) S EPQF Q PQ PE QF P A E H Do APH , HQB tam giác vuông nên PE B O F 1 AH , QF HB 2 Suy S EPQF 1 1 MH AB R.2 R R 2 Ví dụ Cho đường tròn O; R điểm M nằm O; R , d đường thẳng qua M , cắt O; R A, B Tìm vị trí d cho: a) MA MB nhỏ b) MA MB lớn Giải N a) Dễ thấy MA.MB MN MO2 R2 const Khi MA MB MA.MB MO2 R2 M Vậy MA MB min MA MB A B O A Suy d tiếp tuyến đường tròn B Phạm Như Toàn / ĐHSP HN Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học b) Gọi H trung điểm AB Ta có MA MB 2MH OM OH 2OM Suy MA MB max O H Hay đường thẳng d qua O ... luyện thi HSG luyện thi đại học Suy AMB BEC Do đó: MA MB ME EC MC b) P MA MB MC 2MC 2.2R 4R Max P 4R M , O, C thẳng hàng, MBC 90o ABM 30o Ví dụ Cho đường trịn... đường tròn O; R ,điểm I nằm đường trịn có OI d Qua I vẽ hai tia vng góc với nhau, cắt đường trịn A, B cho O nằm góc vng AIB a) Gọi M , N theo thứ tự hình chiếu O IA, IB Đặt MA a, NB ... I S E O K B D H C Phạm Như Tồn / ĐHSP HN Do đó: S FIEHDK Bổ trợ kiến thức, luyện thi HSG luyện thi đại học 2S S S DEF 3 Ví dụ Cho điểm O nằm tam giác ABC ; OA, OB, OC kéo dài cắt cạnh