Bài Toán 6 (Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng = +−= −= t2z t2y t1x :d . Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d ; hãy viết phương trình đường thẳng )(∆ có khoảng cách đến điểm B là : a) Nhỏ nhất. b) Lớn nhất Bài giải đề nghò. Cách 1 : Phương pháp hình học. Gọi )(∆ là đường thẳng qua A và cắt d; )(∆ và d cùng thuộc măt phẳng (P)= mp(A;d). Gọi H là hình chiếu của B trên (P); K là hình chiếu của H trên )(∆ thì BK ⊥ )(∆ . Vậy BK chính là khoảng cách từ B đến )(∆ . * Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥ BH nên BK ngắn nhất khi K H≡ . Khi ấy )(∆ đi qua hai điểm A và H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤ BA nên BK lớn nhất khi K A≡ . Khi ấy )(∆ đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với BA. a) Trường hợp d(B, )(∆ nhỏ nhất. Phương trình mp(P)= mp(A,d). VTCP của d là )2;1;1(a d −= → . Hai điểm A(1;4;2) và M(1;-2;0) thuộc d và )2;6;0(AM −−= → . Do đó VTPT của mp (P) là )6;2;10(AM,an d −= = →→→ . Ta chọn )3;1;5(n −= → . Ta được phương trình mp(P): 5(x-1)-1(y+2)+3(z-0) = 0 ⇔ 5x-y+3z-7 = 0. Gọi H là hình chiếu của B trên (P). Ta dễ dàng tìm được ) 35 146 ; 35 68 ; 7 5 (H − . Như thế véctơ chỉ phương của )(∆ là ) 7 76 ; 7 72 ; 7 12 (AH −−= → . Chonï VTCP của )(∆ là )19;18;15(a −= → . Ta đựoc phương trình của )(∆ : 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − b) Trường hợp d(B, )(∆ lớn nhất Trường hợp nầy thì )(∆ nằm trong (P) , đi qua A và vuông góc với BA. Ta có )2;2;2(AB −−= → ; VTPT của (P) là )3;1;5(n −= → . Do đó VTCP của )(∆ là: = →→→ n,ABa =(-4;16;12) . Chọn )3;4;1(a −= → Ta được phương trình đường thẳng 3 2z 4 4y 1 1x :)( − = − = − − ∆ Cách 2: Phương pháp giải tích. Gọi M = d ∩ )(∆ thì M( 1-t;-2+t;2t) và )(∆ có VTCP là )2t2;6t;t(AM −−−= → . Ta có: )2;2;2(AB −−= → . Do đó khoảng cách từ B đến đường thẳng )(∆ là: 20t10t3 208t152t28 40t20t6 416t304t56 AM AB,AM d 2 2 2 2 +− +− = +− +− = = → →→ Xét hàm số 20t10t3 208152t28 d)t(f 2 2 2 +− +− == . Ta có 22 2 )20t10t3( )60t8t11(16 )t('f +− −− = . f(t)= 0 ⇔ t = -2 hoặc t= 30/11. Do 3 28 )t(flim; 15 4 ) 11 30 (f12)2(f x ===− ±∞→ nên Max f(t)= 12 khi t= - 2 và min f(t)= 4/5 khi= 30/11. Với max f(t) = max d 2 = 12 , ta có max d= 12 khi t=-2 cho )6;8;2(AM −−= → . Chọn VTCP của )(∆ là )3;4;1(a −−= → ta được phương trình 3 2z 4 4y 1 1x :)( − − = − − = − ∆ Với min f(t)= mind 2 =4/15 , ta có min d= 15 2 khi 11 30 t = cho −−= → 11 38 ; 11 36 ; 11 30 AM Chọn VTCP của )(∆ là )19;18;15(a −= → . Ta được phương trình của )(∆ là: 19 2z 18 4y 15 1x − − = − = − Hết . Bài Toán 6 (Cực Trò Trong Không Gian Toạ Độ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A(1;4;2) ; B(-1;2;4) và đường thẳng = +−= −= t2z t2y t1x :d . Trong các đường thẳng. BK chính là khoảng cách từ B đến )(∆ . * Trong tam giác vuông BKH thì BK ≥ BH nên BK ngắn nhất khi K H≡ . Khi ấy )(∆ đi qua hai điểm A và H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤ BA nên. H. *Trong tam giác vuông BKA thì BK ≤ BA nên BK lớn nhất khi K A≡ . Khi ấy )(∆ đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với BA. a) Trường hợp d(B, )(∆ nhỏ nhất. Phương trình mp(P)= mp(A,d). VTCP