toan cuc tri trong hinh hoc_4

BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng      = +−= −= t2z t2y t1x :)d( . Viết phương trình mặt p phẳng (P) chứa (d) và tạo với trục Oy góc lớn nhất. Lời giải tham khảo. Cách 1: Phương pháp hình học. Qua điểm A trên d dựng đường thẳng d’ song song với Oy. Lấy điểm M trên d’ ; gọi K là hình chiếu của M trên d. ta có : )Oy,d(MAK =α= ∧ .Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì )P,Oy()P,'d(MAH ==β= ∧ . Như thế : AM MH sin; AM MK sin =β=α .Trong tam giác vuông MHK thì KHkhimaxsinsinMKMH ≡α=β⇒α≤β⇒≤ . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm vuông góc với MK tại K. Giải: A(1;-2;0) thuộc d. Đường thẳng Oy có véctơ chỉ phương )0;1;0(j = → ; nên nếu d’ qua A và song song với Oy thì d’ có phương trình là      = +−= = 0z t2y 1x . Lấy M(1;-1;0) thuộc d’ thì hình chiếu vuông góc của M trên d là )6 2 ; 6 5 ; 6 1 (MK) 3 1 ; 6 11 ; 6 5 (K −−=⇒− → ) . Chọn véctơ pháp tuyến của (P) là )2;5;1(n −= → Phưong trình mặt phẳng (P): 0) 3 1 z(2) 6 11 y(5) 6 5 x(1 =−−++− Kết quả: (P): x+5y-2z+9= 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Lấy M(1;-2;0) ∈ d ; N(0;-1;2) ∈ d. Đặt (P): Ax+By+Cz+D=0 ( ) 0CBA 222 ≠++ Do M và N thuộc (P) nên:      − = +−= 2 BA C B2AD 0AB2z 2 BA ByAx:)P( =−+ − ++⇒ . Ta có VTPT của (P) là ) 2 BA ;B;A(n − = → và VTCP của Oy là )0;1;0(j → . Gọi )Oy,P(=α thì AB2B5A5 B2 2 BA BA B j.n j.n sin 222 22 −+ =       − ++ ==α →→ →→ +Nếu B=0 thì sin α = 0 ⇒ α = 0 0 . +Nếu B 0≠ thì ) B A x( 5x2x5 2 B A 25 B A 5 2 sin 22 = +− =       −+       =α Xét hàm số 5x2x5 4 sin)x(f 2 2 +− =α= . 5 1 x0)x('f; )5x2x5( )2x10(4 )x('f 22 =⇔= +− +− = . Ta được Maxf(x)= 6 5 khi 5 1 x = Vậy α lớn nhất khi 5 1 B A = . Chọn A=1 và B=5 thì C=-2 , D= 9. Phương trình mặt phẳng (P): x+5y-2z+9=0. Vónh Long, ngày 10 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn **************************************************************************** Chú ý: 1/ Có thể viết 5 24 2 5 24 5 1 x5 2 5 24 ) 25 1 x 5 2 x(5 2 sin 2 2 ≤ +       − = ++− =α Do đó max(sin α ) = 24 52 khi 5 1 x = . 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. . Ấn **************************************************************************** Chú ý: 1/ Có thể viết 5 24 2 5 24 5 1 x5 2 5 24 ) 25 1 x 5 2 x(5 2 sin 2 2 ≤ +       − = ++− =α Do đó max(sin α ) = 24 52 khi 5 1 x = . 2/ Bài toán 5: Cho mặt phẳng. BÀI TOÁN 4 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng      = +−= −= t2z t2y t1x :)d( ) B A x( 5x2x5 2 B A 25 B A 5 2 sin 22 = +− =       −+       =α Xét hàm số 5x2x5 4 sin)x(f 2 2 +− =α= . 5 1 x0)x('f; )5x2x5( )2x10 (4 )x('f 22 =⇔= +− +− = . Ta được Maxf(x)= 6 5 khi 5 1 x = Vậy