toan cuc tri trong hinh hoc_5

BÀI TOÁN 5 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3z1y 2 1x −=+= + và mặt phẳng (P):x+2y-z+5=0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất. Lời giải tham khảo Cách 1: Phương pháp hình học: Gọi d’= (P) ∩ (Q) và A=d ∩ (P) thì A ∈ d’.Lấy K ∈ d,kẻ KH ⊥ (P) và HI ⊥ d’thì : α== ∧ )Q,P(KIH . Trong tam giác vuông KIH : HI KH tan =α , do KH không đổi nên: tan α nhỏ nhất ⇔ HI lớn nhất ⇔ I A≡ (do HI ≤ HA) . Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P). Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’. VTCP của d là )1;1;2(u = → ; VTPT của (P) là )1;2;1(n P − → suy ra VTCP của d’ là )1;1;1('uhay)3;3;3(n,u'u P −−=−=       = →→→→ . Do đó VTPT của mặt phẳng (Q) là: )1;1;0(nhay)3;3;0('u,un QQ −=−=       = →←→→ . Điểm M(-1;-1;3) ∈ d ⇒ M ∈ (Q). Mặt phẳng (Q) cần tìm có phương trình: 0(x+1)+1(y+1)-1(z-3) = 0 y-z+4 = 0 Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt phưong trình mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz +D = 0 )0CBA( 222 ≠++ M(-1;-1;3) ∈ d ; N(1;0;4) ∈ d ⇒ M;N ∈ (Q) Ta được:    += −−= B4A7D BA2C Do đó (Q): 0B4A7z)BA2(ByAx =++−−++ . VTPT của (Q) là )BA2;B;A(n Q −−= → . Ta có VTPT của mặt phẳng (P) là : )1;2;1(n P −= → .Gọi α là góc giữa (P) và (Q) thì: AB4B2A5 BA . 6 3 n.n n.n cos 22 QP QP ++ + ==α →→ →→ . Ta xét hai trường hợp của A. Trường hợp 1: A=0. Ta được cos α = 2 3 B2 B . 6 3 2 = Trường hợp 2: A 0 ≠ Ta có       +       + + =α A B 4 A B 25 A B 1 . 6 3 cos 2 Xét hàm số: f(x) = )cos)x(f; A B x( 5x4x2 1x2x . 6 9 2 2 2 α== ++ ++ ( ) 2 2 5x4x2 6x6 . 6 9 )x('f ++ + = f’(x) = 0 ⇔ x= -1. Vậy cos 2 α < 4 3 2 3 cos <α⇒ 6 π >α⇒ ( Do hàm cosin x nghòch biến trên đọan       π 2 ;0 ) Trường hợp (1) và (2) 6 min π =α⇒ Khi ấy thì A=0 , ta chọn B=1 ⇒ C= =1 và D= 4. Phương trình mặt phẳng (Q) : y-z+4 = 0. Hết Ghi Chú: 1/ Có thể xét hai trường hợp B=0 ; B 0≠ ( Hoặc xét hai trưòng hợp A+B=0 ; A+B 0≠ như sách Bài tập nâng cao lớp 12 trang 240 ) 2/ Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d. Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất. b) Nhỏ nhất x +-1 f’(x) f(x) 0- + 0 4 3 4 3 - . BÀI TOÁN 5 (CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài Toán Minh Hoạ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3z1y 2 1x −=+= + và mặt phẳng (P):x+2y-z +5= 0. Viết phương trình.       +       + + =α A B 4 A B 25 A B 1 . 6 3 cos 2 Xét hàm số: f(x) = )cos)x(f; A B x( 5x4x2 1x2x . 6 9 2 2 2 α== ++ ++ ( ) 2 2 5x4x2 6x6 . 6 9 )x('f ++ + = f’(x) = 0. ⇔ I A≡ (do HI ≤ HA) . Khi ấy thì d’ vuông góc với d . Vậyd’đi qua A vuông góc với d và nằm trong (P). Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa d và d’. VTCP của d là )1;1;2(u = → ; VTPT