Đang tải... (xem toàn văn)
Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O). Các tia AE và MB cắt nhau tại K. Chứng minh rằng tích AP · AQ không đổi và đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ luôn đi qua một điể[r]
(1)Chương
1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG
TAM GIÁC VUÔNG
| Chủ đề 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO
TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Cho 4ABC vuông A, cạnh huyền BC = a, cạnh góc vng AC = b AB = c Gọi AH = h đường cao ứng với cạnh huyền CH = b0, BH = c0
lần lượt hình chiếu củaAC, ABtrên cạnh huyền
BC
h
c b
c’ b’
a
A
B C
H
1 Ba hệ thức cạnh
• b2= ab0 (1)
• c2= ac0 (2)
• a2= b2+ c2(hệ thức Pytago) (3)
2 Ba hệ thức đường cao
• h2= b0c0 (4)
• ah = bc (5)
• h2=
1 b2+
1
c2 (6)
3 Dấu hiệu nhận biết tam giác vuông
(2)• Dấu hiệu sinh cách vẽ tam giác vuông thước kẻ compa gồm hai bước:
B1: Vẽ đường trịn tâmO, đường kínhBC
B2: Lấy điểm A đường trịn thu được4ABC vng A
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vng
1. • Xác định vị trí cạnh huyền
• Áp dụng hệ thức cạnh đường cao
2. • Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học: Nếu AB
CD = m
n (m, n số) AB = mt, CD = nt, vớit >
• Xác định độ dài cạnh huyền
• Áp dụng hệ thức độ dài cạnh đường cao
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
12
x y
20
# Ví dụ 2.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
6
x y
# Ví dụ 3.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
x y
1
(3)1 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
5
x
y
# Ví dụ 5.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
2
y
1 x
# Ví dụ 6.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
15
AB AC =
4
x
y
A
B C
H
# Ví dụ 7.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
x y
2
t
5
A
B C
H
# Ví dụ 8.
Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
x y
AB AC =
6
30
A
B C
(4)Hãy tính x, yvới kích thước hình bên
x
AB AC =
4
y
125
A
B C
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho4ABC ¡A = 90b ◦ ¢
, AB = 12cm, BC = 13cm Tính AC, đường cao AH, đoạn thẳngBH,CH diện tích tam giác
# Bài 2. Cho4ABC vuông cạnh huyền AB, cạnh AC = 15, đường caoCH chia ABthành hai đoạn AH vàHB vớiHB = 16 Tính diện tích tam giác ABC
# Bài 3. Cho tam giácABC cân tạiAcó cạnh bên bằng15cm, cạnh đáy bằng18cm Tính độ dài đường cao
# Bài 4. Tính diện tích tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng10cm, chiều cao ứng với với cạnh bên bằng12cm
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác BE, biết EC = 3, BC = Tính độ dài đoạn thẳng AB, AC
# Bài 6. Tính diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là10cm,17cm,21cm
Dạng 2: Dựng đoạn thẳng Py-ta-go; Dựng đoạn trung bình nhân
1 Dựng đoạn thẳng Py-ta-go
• Loại Cho trước hai đoạn thẳng a b Dựng đoạn thẳng x =pa2+ b2⇔ x2=
a2+ b2
Dựng tam giác vng có2 cạnh góc vng làavà bthì cạnh huyền x
• Loại Cho trước hai đoạn thẳngavà b Dựng đoạn thẳng
y =pa2− b2(a > b) ⇔ y2
+ b2= a2
Dựng tam giác vng có cạnh huyền làa, cạnh góc vng b cạnh góc vng y
2 Dựng đoạn trung bình nhân
Cho trước hai đoạn thẳngavà b Dựng đoạn thẳngx =pab Dựng tam giác ABC có cạnh huyền BC = a + b ¡
b
A = 90◦¢ đường cao ứng với cạnh huyền làx vớiBH = a,HC = b
(5)1 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG # Ví dụ 1. Dựng đoạn thẳngp2bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go
# Ví dụ 2. Dựng đoạn thẳngp5bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go
# Ví dụ 3. Dựng đoạn thẳngp5bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go
# Ví dụ 4. Dựng đoạn thẳngp3bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go
# Ví dụ 5. Dựng đoạn thẳngp3bằng cách dựng trung bình nhân
# Ví dụ 6. Dựng đoạn thẳngp5bằng cách dựng đoạn trung bình nhân
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Dựng đoạn thẳngp6bằng cách dựng đoạn thẳng Py-ta-go
# Bài 2. Dựng đoạn thẳngp7bằng cách dựng trung bình nhân
Dạng 3: Chứng minh hệ thức hình học
1 Chọn tam giác vng thích hợp chứa đoạn thẳng có hệ thức Tính các
đoạn thẳng nhờ hệ thức cạnh đường cao
2 Liên kết giá trị rút hệ thức phải chứng minh.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho4ABC vuông A, đường caoAH GọiM,N hình chiếu vng góc H ABvà AC Chứng minh rằng:
AM · AB = AN · AC;
a) b) HB · HC = M A · MB + N A · NC;
HB HC = àAB AC ả2 c)
# Vớ dụ 2. Cho hình vng ABCD GọiI điểm nằm AvàB TiaD Icắt tiaCD
ởK Kẻ D x ⊥ DI cắt tiaBC ởL
a) Tam giác D I L tam giác cân
b) Tổng
D I2+
1
DK2 không đổi I di động cạnh AB
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC cân A¡ b A < 90◦¢
,kẻ BM ⊥ C A Chứng minh
AM MC =
àAB AC
ả2
# Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A với đường cao AH Trên mặt phẳng bờ BC
có chứa điểm A lấy điểmD cho DB
DC = AB p
2 Chứng minh rằngBD, DH, H A độ dài ba
cạnh tam giác vuông
(6)CE BD=
àC A AB
ả2
;
a) b) AH3= BC · BD · CE;
3AH2+ BD2+ CE2= BC2;
c) d) p3BD2+p3 CE2=p3BC2.
| Chủ đề 2: Tỉ số lượng giác góc nhọn.
A Kiến thức cần nhớ
I Định nghĩa
Cho góc nhọn α, từ điểm cạnh
của gócα, kẻ đường vng góc với cạnh Khi
• sinα = Cạnh đối
Cạnh huyền=
AB AC;
• cosα = Cạnh kề
Cạnh huyền=
AC BC;
• tanα =Cạnh đối
Cạnh kề =
AB AC;
• cotα = Cạnh kề
Cạnh đối=
AC AB Cạnh đối Cạnh huy ền Cạnh kề B C A
Nhận xét: Vì độ dài cạnh tam giác vuông dương hai cạnh góc
vng nhỏ cạnh huyền nên0 < sinα < 1,0 < cosα < 1,tanα > 0,cotα > 0 II Tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau
Nếu hai góc phụ (có tổng số đo bằng90◦) thì: singóc bằngcosgóc kia,tangóc bằngcot góc
Cụ thể:sin B = cos C;cos B = sin C;tan B = cot C;cot B = tan C III Tỉ số lượng giác góc đặc biệt
Tỉ số lượng giác góc α 30◦ 45◦ 60◦ sinα
2 p 2 p cosα p p 2 tanα p 3 p
cotα p3 p
(7)2 Tỉ số lượng giác góc nhọn.
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác
1 Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa.
2 Tính cạnh lại nhờ hệ thức Py-ta-go hệ thức cạnh, đường cao.
3 Tính tỉ số lượng giác cịn lại theo định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABCvng tạiC, cóBC = 1,2,C A = 0,9 Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc A
# Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vng A, có AB = 6, AC = Tính tỉ số lượng giác góc B, từ suy tỉ số lượng giác góc C
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH Tínhsin B,sin C (làm trịn đến chữ số thập phân thứ tư) biết AB = 13, BH =
BH = 3, CH =
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vng A Kẻ đường cao AH Tínhsin B,sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) biết rằngBH = 3, CH =
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC có hai cạnh góc vng AB = 16mm, AC = 3cm
a) Tính tỉ số lượng giác góc nhọn;
b) Tính tổngsin2B + sin2C
Dạng 2: Dựng gócαbiết tỉ số lượng giác là m
n
1 Dựng tam giác vng có
- Cạnh góc vng cạnh huyền làm, nnếu chosinαhoặccosαbằng m
n
- Hai cạnh góc vng m,n chotanαhoặccotαbằng m
n
2 Xác định tỉ số lượng giác để nhận gócα
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Dựng góc nhọnαbiếtsinα =2
# Ví dụ 2. Dựng góc nhọnαbiếtcosα = 0,6
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Dựng góc nhọnαbiếttanα =3
(8)Dạng 3: Tính cạnh, tỉ số lượng giác góc cịn lại biết tỉ số lượng giác
của góc
Phương pháp giải:
a) Xác định cạnh đối, cạnh lề góc, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa
b) Dùng kĩ thuật đại số hóa hình học
NếuAB
CD = m
n
AB = mt CD = nt
(với t > 0)
c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông A Biếtsin B = 0,8 Hãy tính tỉ số lượng giác gócC
# Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vng A, AB = 6cm,B = αb Biếttanα =
12 Hãy tính
a) Độ dài cạnh AC
b) Độ dài cạnhBC
# Ví dụ 3. Hãy tínhsinα,cosα(làm trịn đến số thập phân thứ tư) biết
tanα =1
a) cotα =3
4
b)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Tínhcosα,tanαbiết sinα =3
# Bài 2. Tínhsinα,tanαbiếtcosα =1
# Bài 3. Tínhsinα,cosαbiếttanα = 0,8
# Bài 4. Tínhsinα,cosαbiếtcotα = 3
Dạng 4: Sắp thứ tự tỉ số lượng giác mà không dùng bảng số máy tính
Phương pháp giải:
a) Đưa tỉ số lượng giác loại
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác góc đặc biệt trục số
c) Chèn tỉ số cần xếp lên trục số ta thứ tự chúng
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
(9)2 Tỉ số lượng giác góc nhọn.
sin 20◦ sin 70◦
a) b) cos 25◦ cos 63◦150
tan 73◦200và tan 45◦
c) d) cot 20◦ cot 37◦400
# Ví dụ 2. Sắp xếp tỉ số lượng giác theo thứ tự tăng dần
sin 78◦, cos 14◦, sin 47◦, cos 87◦
a) b) tan 73◦, cot 25◦, tan 62◦, cot 38◦
# Ví dụ 3. So sánh
tan 25◦ sin 25◦
a) b) cot 32◦ cos 32◦
tan 45◦ cos 45◦
c) d) cot 60◦ sin 30◦
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Áp dụng quan hệ tỉ số lượng giác hai góc phụ để biết tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác góc nhỏ hơn45◦: sin 60◦, cos 75◦, sin 52◦300, cot 82◦, tan 80◦
Dạng 5: Chứng minh hệ thức lượng giác
Phương pháp giải:
a) Tính tỉ số lượng giác theo định nghĩa
b) Nhân hay chia theo vế tỉ số lượng giác
c) Áp dụng hệ thức Py-ta-go
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Với góc nhọn αtùy ý, chứng minh
tanα =sinα cosα
a) cotα =cosα
sinα
b)
tanα · cotα = 1
c) d) sin2α + cos2α = 1
# Ví dụ 2. Với góc nhọn αtùy ý, chứng minh
1 + tan2α = cos2α
a) + cot2α =
sin2α
b)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn, chứng minh với góc nhọnα tùy ý ta có
tanα =sinα cosα;
a) b) sin2α + cos2α = 1
(10)1 − sin2α;
a) b) sin4α + cos4α + 2sin2αcos2α;
(1 − cosα)(1 + cosα);
c) d) + sin2α + cos2α;
tan2α − sin2αtan2α;
e) f) cos2α + cos2αtan2α;
sinα − sinαcos2α;
g) h) tan2α¡2cos2α + sin2α − 1¢
# Bài 3. Khơng dùng bảng số máy tính, áp dụng kết bài1, tính giá trị biểu thức
A = sin215◦+ sin225◦+ sin235◦+ sin245◦+ sin255◦+ sin265◦+ sin275◦
B = cos210◦− cos220◦+ cos230◦− cos240◦− cos250◦− cos270◦+ cos280◦
# Bài 4. Chotanα =3
5 Áp dụng kết quả1của Hãy tính giá trị
M =sinα + cosα
sinα − cosα;
a) N = sinα · cosα
sin2α − cos2α;
b)
P = sin
3α + cos3α
2 sinαcos2α + cosαsin2α
c)
| Chủ đề 3: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM
GIÁC VUÔNG
A Kiến thức cần nhớ
I Các hệ thức
Cho tam giác ABC vuông A, cạnh huyềnavà cạnh góc vngb, c
1 Định lý: Trong tam giác vuông,
cạnh góc vng
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối nhân với cơsin góc kề
• Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề
c b
a
A
B
C
2 Như vậy, tam giác ABC vng A, ta có hệ thức
b = a · sin B = a · cos C; b = c · tan B = c · cot C c = a · sin C = a · cos B; c = b · tan C = b · cot B
II Giải tam giác vuông
Trong tam giác vuông, cho trước hai cạnh cạnh góc nhọn
ta tìm tất cạnh góc cịn lại Bài tốn đặt
(11)3 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Giải tam giác vuông biết độ dài cạnh số đo góc nhọn
Phương pháp giải:
a) Xác định cạnh kề, cạnh đối Viết tỉ số lượng giác để tìm độ dài cạnh
b) Tính góc nhọn cịn lại nhờ quan hệ phụ
c) Thay giá trị tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông A, biết
b = 10 cm,C = 30b ◦;
a) b) c = 10cm,C = 45b ◦;
a = 20 cm,B = 35b ◦
c)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Để giải tam giác vuông cần biết góc cạnh? Có lưu ý số cạnh?
# Bài 2. a) Tỉ số lượng giác có liên quan đến cạnh huyền tam giác vng?
b) Nêu định lí viết hệ thức diễn tả tỉ số lượng giác
Dạng 2: Giải tam giác vng biết hai cạnh
Phương pháp giải:
a) Áp dụng định lý Py-ta-go để tìm cạnh cịn lại
b) Xác định cạnh kề, cạnh đối, viết tỉ số lượng giác
c) Tính góc nhọn cịn lại nhờ quan hệ phụ
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vng A, biết
b = 18 cm,c = 21 cm
a) b) b = 28cm, c = 21cm
b = 10 cm,b = 6cm c)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. a) Tỉ số lượng giác liên quan đến hai cạnh góc vng tam giác vuông?
b) Nêu định lý viết hệ thức diễn tả tỉ số lượng giác
(12)a) Chứng minh rằngSABC=1
2bc · sinα
b) Trên tia AB lấy D, tia AC lấy E cho AD = m, AE = n Chứng minh
SABC SADE =
bc mn
Dạng 3: Tính cạnh, tính góc tam giác
Phương pháp giải:
a) Kẻ thêm đường cao xuống cạnh kề góc biết
b) Chuyển tốn giải tam giác vng biết cạnh góc
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, đóBC = 11cm, ABC = 38◦, ACB = 30◦ GọiN chân
đường vng góc hạ từ A xuống cạnhBC Hãy tính
a) Độ dài đoạn thẳng AN
b) Độ dài cạnh AC
# Ví dụ 2. Trong hình vẽ bên choAC = 8cm,AD = 9,6cm,ABC = 90◦, ACB = 54◦vàACD = 74◦ Hãy tính
a) Độ dài đoạn thẳng AB
b) Số đo góc ADC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Tính cạnh huyền diện tích tam giác vng cân a cạnh góc vng
# Bài 2. Nửa tam giác cụm từ dùng để tam giác vng có góc60◦hoặc30◦ Tính hai cạnh góc vng diện tích nửa tam giác có cạnh huyền làa
# Bài 3. Tính chiều cao diện tích tam giác cạnha
# Bài 4.
Cho tam giác ABCcạnh5cm góc ADB = 40◦ Hãy
tính
a) Độ dài đoạn AD
b) Độ dài đoạnDB 40◦ 60◦
5cm
D C
A
H B
(13)3 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GĨC TRONG TAM GIÁC VNG # Bài 6. Cho tam giác ABC cóBC = 6cm,B = 60b ◦, bC = 40◦ Tính
a) Chiều caoCH cạnh AC;
(14)(15)Chương
2 ĐƯỜNG TRÒN
| Chủ đề 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
I Ba khái niệm bản
1
Đường trịn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểmO khoảng khơng đổi bằngR
Đường trịn tâmObán kínhRđược kí hiệu là(O; R), hay gọn hơn(O)
2 Đoạn thẳng nối hai điểm bât kì đường trịn gọi
dây đường tròn
3 Dây qua tâm đường kính đường trịn (đường kính
dài gấp đôi bán kinh)
O M
R
II Ba vị trí tương đối điểm M và đường tròn (O, R)
Cho đường tròn(O; R)và điểmM Khi
1 M nằm trên(O; R)khi khiOM = R
2 M nằm bên trong(O; R)khi khiOM < R
3 M nằm bên ngoài(O; R)khi khiOM > R
III Ba điều kiện để xác định đường tròn
1 Một đường tròn xác định biết tâm bán kính
2 Một đường tròn xác định biết đoạn thẳng đường kính đường trịn
(16)IV Tính chất đối xứng đường trịn
Tính chất Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng
của đường trịn
Tính chất Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kỳ đường kính trục đối
xứng đường tròn
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn
Phương pháp giải: Chứng minh điểm cho cách điểm cho trước.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = cm Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn Xác định tâm bán kính đường trịn
# Ví dụ 2. Chứng minh định lí sau
a) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh huyền
b) Nếu tam giác có mộ cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
đó tam giác vng
Nhận xét Từ trở áp dụng kết quả: Nếu tam giác vng có chung cạnh
huyền đỉnh góc vng tam giác vng thuộc đường trịn có tâm
trung điểm cạnh huyền chung
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABCcó cạnh bằnga.AM,BN,CP đường trung tuyến Chứng minh bốn điểmB, P, N, C thuộc đường tròn Hãy vẽ đường trịn
# Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có C + bb D = 90◦ Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC vàC A Chứng minh bốn điểmM, N, P, Q thuộc đường tròn
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giácABC ( bA = 90◦),đường cao AH TừMlà điểm cạnhBCkẻ
MD ⊥ AB, ME ⊥ AC Chứng minh năm điểm A, D, M, H, E nằm đường tròn
# Bài 2. Cho tam giác ABC ( bA = 90◦)gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC Chứng
minh4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn
# Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCDvẽ tam giác AECvng E Chứng minh năm điểm
A, B, C, D, E thuộc đường tròn
# Bài 4. Cho hình vngABCD
(17)1 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN
b) Tính bán kính đường trịn biết cạnh hình vng 2dm
# Bài 5. Cho tam giác ABC, đường caoBD,CE Chứng minh bốn điểmB, E, D, C
cùng thuộc đường tròn
# Bài 6. Cho tứ giác ABCD cóB = bb D = 90◦
a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D thuộc đường trịn
b) Nếu AC = BD tứ giác ABCD hình gì?
# Bài 7. Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD M, N, P, Q trung điểm cạnh
AB,BC,CD,D A Chứng minh bốn điểmM, N, P,Q thuộc đường tròn ?
Dạng 2: Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp
Phương pháp giải:
1 Tam giác thường Vẽ hai đường trung trực Giao điểm hai đường trung trực tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác
2 Tam giác vng Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền.
3 Tam giác cân Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thuộc đường hạ từ đỉnh lên
đáy
4 Tam giác Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trục tâm, trọng
tâm, tâm đường trịn nội tiếp tam giác
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng cần có cạnh góc vng bằnga
# Ví dụ 2. Xác định tâm bán kính đường trịn(O)ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh a
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân A Nội tiếp đường tròn(O) Đường cao AH cắt(O)ở
D Biết BC = 24cm, AC = 20cm Tính chiều cao AHvà bán kính đường trịn(O)
# Ví dụ 4. Một bìa hình trịn khơng cịn dấu vết tâm Hãy tìm lại tâm hình trịn
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Thế đường tròn ngoại tiếp tam giác? Nêu cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
(18)# Bài 3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vng cân có cạnh góc vng
3
# Bài 4. Cho tam giác ABC cạnh bằng3 Hãy tính chiều cao bán kính đường trịn ngoại tiếp
# Bài 5. Cho tam giác ABC cân A, BC = 12cm, chều cao AH = cm Tính bán kính dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Dạng 3: Dựng đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải:
1 Xác định tâm
2 Xác định bán kính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho góc nhọn xA yvà hai điểm B, C thuộc tia Ax Dựng đường tròn (O)đi qua
Bvà Csao cho tâmO nằm tia A y
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A
a) Nêu cách dựng đường tròn(O)đi qua A tiếp xúc vớiBC tạiB
b) Nêu cách dựng đường tròn(O0)đi qua Avà tiếp xúc với BCtạiC.
| Chủ đề 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT
CUNG TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
Định nghĩa 1. • Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt nằm đường trịn
• Dây cung qua tâm đường tròn gọi đường kính đường trịn I Tính chất đặc trưng đường kính
Định lí Trong dây cung đường trịn, đường kính dây cung lớn nhất.
II Quan hệ vng góc đường kính dây
Định lí Trong đường trịn
1) Đường kính vng góc với dây cung qua trung điểm dây
2) Đường kính qua trung điểm dây cung khơng qua tâm đường trịn
(19)2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRÒN
Định nghĩa Khoảng cách từ điểmO đến đường thẳngalà độ dài đường vng góc
OH kẻ từOđến a
III Dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song cách đều
Tính chất Những đường thẳng song song chắn đường thẳng cho trước những
đoạn thẳng liên tiếp chúng song song cách
Tính chất Những đường thẳng song song cách chắn đường thẳng bất kì
những đoạn thẳng liên tiếp
IV Trong đường tròn
Định lí 1) Hai dây cách tâm.
2) Hai dây cách tâm
V Trong hai dây đường trịn
Định lí 1) Dây lớn dây gần tâm hơn.
2) Dây gần tâm dây lớn
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng Hai dây nhau
Phương pháp giải:
1 Trong đường trịn, hai dây cách ngược lại
2 Chứng minh hai tam giác
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho(O)đường kính AB, dây CD khơng cắt đường kính AB GọiH,K thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A vàB đếnCD Chứng minh rằng:
a) CD HK có trung điểm trùng nhau;
b) CH = DK;
c) DH = CK
# Ví dụ 2. Cho(O)đường kính AB Kẻ hai dây song song AC vàBD Chứng minh
a) AC = BD;
b) CD đường kính (O)
# Ví dụ 3. Cho(O)có dây ABvàCD Các tia ABvàCD cắt điểm
(20)a) EH = EK;
b) E A = EC
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, đường caoBD,CE Chứng minh
a) Bốn điểm B, E, D, Ccùng thuộc đường tròn
b) DE < BC
# Ví dụ 5. Cho(O, 5cm), dây AB = 8cm
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB
b) Lấy điểm I thuộc dây ABsao cho A I = 1cm Kẻ dâyCD quaI vng góc với AB Chứng minh AB = CD
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Chứng minh định lí: Trong dây đường trịn dây lớn đường kính
# Bài 2. Việt bảo Nam: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây Nam bảo Việt bạn nói sai Theo em nói đúng, nói sai? Vì
sao?
# Bài 3. Cho nửa đường trịn tâmOđường kínhAB, dâyCD, đường vng góc vớiCD
tạiCvà D tương ứng cắt ABtạiM N Chứng minh AM = BN
# Bài 4. Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB Trên AB lấy hai điểm M N cho AM = BN QuaM N kẻ hai đường thẳng song song với cắt nửa đường tròn ởC D Chứng minh MCvà N D vng góc vớiCD
# Bài 5. Cho(O)đường kính AB DâyCD cắt đường kính ABtại I Gọi H K thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A vàBđến CD Chứng minh rằngCH = DK
# Bài 6. Cho (O)có tâm O nằm đường phân giác góc xA y, cắt tia Ax B C, cắt tia A yởD E Chứng minh hai dây BCvà DE cách tâmO
# Bài 7. Cho hình vẽ bên, M N = PQ Chứng minh rằng:
AE = AF
a) b) AN = AQ
# Bài 8. Cho(O)hai dây AB,CDbằng cắt điểmI nằm bên đường tròn Chứng minh rằng:
a) IOlà tia phân giác hai góc tạo hai dây ABvàCD
(21)2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRỊN
# Bài 9. Cho(O)các bán kínhO AvàOB Trên cung nhỏ ABlấy điểmMvà N cho
AM = BM GọiC = AM ∩ BN Chứng minh
a) OClà tia phân giác góc AOB
b) OCvng góc với AB
# Bài 10. Cho hình vẽ bên, hai đường trịn có tâm O Một đường thẳng cắt hai đường trịn theo thứ tự A, B, C, D Chứng minh rằng:
AB = CD
a) b) AC = CD
Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng Độ dài cung
Phương pháp giải:
1 Xác định khoảnh cách từ tâm đến dây
2 Áp dụng hệ thức Py-ta-go cho tam giác vng có cạnh huyền bán kính
đường trịn
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho(O)có bán kính O A = 3cm Dây BCcủa đường trịn vng góc với O A trung điểm củaO A Tính độ dài dâyBC
# Ví dụ 2. Cho(O, R)và điểmM nằm đường tròn
a) Hãy nêu cách dựng dây ABnhận M làm trung điểm
b) Tính dây ABở câua, biết R = 5cm,OM = 1,4cm
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho(O, 25 cm) dây AB = 40 cm Vẽ dây cung CD song song với AB có khoảng cách đến ABbằng22cm Tính độ dài dây cungCD
# Bài 2. Cho (O)trong hai dây cung AB, CD vng góc với I Biết IC = 2cm, I D = 14cm Tính khoảng từ tâmO đến dây cung
# Bài 3. Cho(O, 25cm), hai dây cung AB,CDsong song với có độ dài theo thứ tự bằng40cm,48cm Tính khoảng cách hai dây cung
Dạng 3: So sánh hai dây cung - Hai đoạn thẳng
Phương pháp giải:
1 Xác định khoảng cách từ tâm đến dây
2 Trong hai dây cung đường tròn, dây lớn gần tâm ngược
(22)3 Quan hệ đường tròn đường xiên: Trong đường xiên đường vuông góc
kẻ từ ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn
nhất
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình vẽ bên hai đường trịn có tâm làO Cho biết AB > CD Hãy so sánh độ dài
OHvà OK
a) b) ME MF c) MH MK
# Ví dụ 2. ChoOđiểm Anằm bên đường trịn Vẽ dâyBCvng góc vớiO A Vẽ dây
EF qua Avà khơng vng góc vớiO A So sánh độ dài hai dây BCvà EF
Nhận xét Trong dây qua điểm A đường trịn, dây vng góc với bán kính qua Alà dây ngắn
# Ví dụ 3. Cho(O, 5cm), điểm McáchO là3cm
a) Tính độ dài dây ngắn qua M
b) Tính độ dài dây dài qua M
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho(O) hai dây cung AB CD cắt điểm M nằm bên đường tròn GọiH vàK theo thứ tự trung điểm củaABvàCD, biết AB > CD Chứng minh
MH > MK
# Bài 2. Trong(O) cho điểm A khác điểm O Tìm đường trịn điểm M
sao cho góc AMO lớn
| Chủ đề 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ ĐƯỜNG TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
I Ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Xét đường thẳng avà đường tròn(O)trên mặt phẳng
a) Đường thẳng a cắt (O) ⇔ a (O) có hai điểm chung phân biệt⇔ a cát tuyến
(O)
b) Đường thẳngatiếp xúc(O) ⇔ avà (O)có điểm chung ⇔ alà tiếp tuyến (O)
(23)3 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN
II Ba mệnh đề xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Xét đường thẳngavà đường tròn(O; R)trên mặt phẳng GọiHlà chân đường vng góc kẻ từOđến athì độ dàid = OH khoảng cách từ tâmOđến đường thẳng a
a) Đường thẳngacắt(O; R) ⇔ d < R
b) Đường thẳngatiếp xúc(O; R) ⇔ d = R
c) Đường thẳngakhông giao với(O) ⇔ d > R
III Tính chất điểm cách đường thẳng cho trước
Các điểm cách đường thẳngamột khoảng cách bằnghnằm hai đường thẳng song song vớiavà cáchamột khoảng h
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
Phương pháp giải:
1) Xác định khoảng cáchd từ tâmOđến đường thẳng
2) So sánhd vớiR
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Điền vào chỗ trống ( .) bảng sau (R bán kính đường tròn, d
là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng)
R d Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn
5 cm 3cm
6 cm Tiếp xúc
4 cm 7cm
# Ví dụ 2. Trên mặt phẳng tọa độ Ox y cho điểm A(3; 4) Hãy xác định vị trí tương đối giữa(A; 3) trục tọa độOx,O y
# Ví dụ 3. Cho đường thẳng avà điểmOcáchalà3cm Vẽ(O; 5cm)
a) Đường thẳngacó vị trí đối với(O)? Vì sao?
b) Gọi B, Clà giao điểm đường thẳngavà(O) Tính độ dài đoạnBC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
(24)# Bài 2. Vì khơng thể có tiếp tuyến qua điểm bên đường tròn?
# Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I(−3;2) Vẽ đường trịn tâm I bán kính
thì đường trịn có vị trí tương đối trục tọa độ?
# Bài 4. Cho điểmO cách đường thẳngalà6 cm Vẽ đường tròn(O; 10cm)
a) Chứng minh rằng(O)có hai giao điểm với đường thẳnga
b) GọiB, C giao điểm đường thẳngavà(O) Tính độ dài đoạnBC
Dạng 2: Tìm vị trí tâm đường trịn có bán kính cho trước tiếp xúc với
một đường thẳng cho trước
Phương pháp giải:
1) Xác định khoảng cách từ tâm đến đường thẳng
2) Áp dụng tính chất điểm cách đường thẳng
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ (Dương BùiĐức - Dự án 9EXV-2-2018). Cho đường thẳng x y Tâm đường trịn có bán kính bằng1cm tiếp xúc với x y nằm đường nào?
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1.
Cho đường thẳng a Tâm I tất đường trịn bán kính3
cm tiếp xúc với đường thẳng anằm đường nào?
I
a
3 cm
# Bài 2. Cho hai đường thẳng x0Oxvà y0O y cắt O Tâm I tất đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng nằm đường thẳng nào?
| Chủ đề 4: CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
A Kiến thức cần nhớ
I Định nghĩa
Đường thẳng a tiếp xúc với (O; R) khoảng cách d từ O đến đường thẳng a
bằngR (d = R)
II Hai tính chất tiếp tuyến
1 Tính chất đặc trưng tiếp tuyến
(a) Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán
kính qua tiếp điểm
(b) Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính
(25)4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
2 Tính chất hai tiếp tuyến cắt
M A MBlà hai tiếp tuyến của(O) Khi
M A = MB
dM1= dM2 c O3= cO4
A B O M
III Hai dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn
1 Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa
2 Dấu hiệu 2: Tính chất đặc trưng tiếp tuyến
IV Dựng tiếp tuyến
Qua điểmM nằm bên ngoài(O)hãy dựng tiếp tuyến đường tròn I
Bước Dựng đường tròn phụ đường kính MOcắt(O)tại A, B
Bước Nối M A, MB thu tiếp tuyến cần dựng V Đường tròn nội tiếp tam giác
1 Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác,
còn tam giác gọi tam giác ngoại tiếp đường tròn
2 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc
của tam giác
A
B D C
E F A D E C F B Ia
VI Đường tròn bàng tiếp tam giác
1 Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh gọi
là đường tròn bàng tiếp tam giác
(26)3 Mỗi tam giác có ba đường trịn bàng tiếp
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính độ dài đoạn tiếp tuyến
Phương pháp giải:
1 Xác định tam giác vng có đỉnh góc vng tiếp điểm nhờ tính chất đặc trưng
tiếp tuyến
2 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho(O; 6cm)và điểm AcáchOlà10cm Kẻ tiếp tuyến ABvới đường tròn (Blà tiếp điểm) Tính độ dài AB
# Ví dụ 2. Cho(O) có bán kínhO A = R, dây BC vng góc vớiO A trung điểm M
O A
a) Tứ giácOC AB hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường trịn tạiBcắt đường thẳngO AtạiE Tính độ dàiBE theoR
# Ví dụ 3. Từ điểmAở ngồi(O)kẻ tiếp tuyến AB, ACvới đường tròn (B, Clà tiếp điểm)
a) Chứng minh rằngO A ⊥ BC
b) Vẽ đường kínhCD Chứng minh BD ∥ AO
c) Tính độ dài cạnh tam giác ABC biếtOB = 2cm,O A = 4cm
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Từ điểm A nằm bên đường tròn(O) Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm)
a) Chứng minh rằngO A ⊥ MN
b) Vẽ đường kính NOC, chứng minh MC ∥ AO
c) Tính độ dài cạnh tam giác AM N biếtOM = 3cm,O A = 5cm
# Bài 2. Từ điểmM nằm bên ngồi đường trịn(O), kẻ tiếp tuyến MD, MEvới đường tròn (D, E tiếp điểm) Qua điểm I thuộc cung nhỏ DE, kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắtMD, ME theo thứ tự ởP Q Biết MD = 5cm Tính chu vi tam giác MPQ
(27)4 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN
a) Tính độ dàiOH
b) Tính độ dài AB
# Bài 4. Cho đường tròn (O; 2cm) tiếp tuyếnM A, MB kẻ từ M đến đường trịn vng góc với M(A, B tiếp điểm)
a) Tứ giác MBO A hình gì? Vì sao?
b) Gọi C điểm thuộc cung nhỏ AB Qua C kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt
M A, MBthứ tự D E Tính chu vi tam giác MDE
c) Tính số đo gócDOE
# Bài 5. Cho tam giác ABC vng A Đường trịn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC tạiD, E
a) Tứ giác AD I Elà hình gì? Vì sao?
b) Tính bán kính của(I)biết AB = 3cm, AC = 4cm
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn
Phương pháp giải:
1 Dấu hiệu
• Xác định khoảng cách d từ tâm đến đường thẳng
• Chứng minhd = R
2 Dấu hiệu
• Xác định giao điểm đường thẳng với đường tròn
• Chứng minh đường thẳng vng góc với bán kính qua điểm
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABCcó AB = 3, AC = 4, BC = Vẽ(B; B A) Chứng minh AC
là tiếp tuyến đường trịn
# Ví dụ 2. Cho(O)dây ABkhác đường kính QuaO kẻ đường vng góc với AB, cắt tiếp tuyến Acủa đường tròn điểm C
a) Chứng minhCBlà tiếp tuyến đường tròn
b) Cho bán kính đường trịn bằng15cm, AB = 24cm Tính độ dàiOC
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông cân A Kẻ phân giác Bb cắt AC I
(28)# Ví dụ 4. Cho hình thang vng ABCD ( bA = bB = 90◦) có I trung điểm AB góc
C I D = 90◦ Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho hình thang vng ABCD ( bA = bD = 90◦), AB = 4cm,BC = 13cm,CD = 9cm
a) Tính độ dài AD
b) Chứng minh đường thẳng ADlà tiếp tuyến đường tròn đường kínhBC
# Bài 2. Cho tam giác ABC cân A (AB = AC), đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứaCbờ ABvẽ Bx ⊥ BA cắt(B; BH)tạiD Chứng minh CD tiếp tuyến của(B)
# Bài 3. Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai đường tròn (B; B A) (C; C A) cắt tạiD (khác A) Chứng minh rằngCD tiếp tuyến (B)
# Bài 4. Cho (O; R) Vẽ đường trịn tâm I có đường kính lớn R qua O cắt (O)
A, B Đường thẳngOI cắt I tạiM (I nằm O M) Chứng minh M A, MBlà hai tiếp tuyến của(O)
# Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ (A; AH), kẻ tiếp tuyến
BD, CE với(A)(D, Elà tiếp điểm khác H) Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, Ethẳng hàng
b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kínhBC
# Bài 6. Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, B y nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến cắt Ax, B ythứ tự C, D Chứng minh đường trịn đường kínhCD tiếp xúc với AB
# Bài 7. Cho tam giác ABCvuông tạiA (AB < AC), đường cao AH GọiElà điểm đối xứng với B qua H Đường trịn đường kính EC cắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường tròn
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức hình học
Phương pháp giải:
1 Xác định đoạn tiếp tuyến
2 Đại số hóa hình học
3 Dùng phép tính cộng diện tích phương pháp diện tích
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh AB, BC, C A thứ tự
(29)5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
a) 2AD = AB + AC − BC
b) Tìm hệ thức tương tự hệ thức câu a)
# Ví dụ 2. Chứng minh tam giác ABC có chu vi2p ngoại tiếp đường trịn (I; r)
thì diện tíchS tam giác có cơng thứcS = p · r
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có chu vi 2p ngoại tiếp (I; r)gọi a, b, c, ha, hc thứ tự độ
dài chiều cao tương ứng cạnhBC, C A, AB.Chứng minh rằng: a)
ha+ hb+
1 hc=
1 r
b) ha+ hb+ hc= 2pr µ
1 a+
1 b+
1 c ¶
# Ví dụ 4. Cho nửa đường trịn tâmO đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax, B ycủa nửa đường trịn Qua điểm M thuộc nửa đường trịn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, B ythứ tự C vàD Chứng minh rằng:
a) COD = 90 ◦
b) CD = AC = BD.
c) Tích AC · BD không đổi M di chuyển nửa đường tròn
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Chứng minh diện tích tam giác ngoại tiếp đường trịn bán kính r
3r2
# Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A ngoại tiếp (I; r) nội tiếp (O; R) Chứng minh rằng:
a) 2r = AB + AC − BC
b) AB + AC = 2(R + r)
# Bài 3. Cho tam giác ABC đường tròn tâm Ia bàng tiếp góc A tiếp xúc với tia
ABvà ACthứ tự E vàF ChoBC = a, C A = b, AB = c Chứng minh rằng: a) AE = AF =a + b + c
2
b) BE = a + b − c
c) CF = c + a − b
# Bài 4. Cho đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC vng A tiếp xúc với BC D Chứng minh SABC= BD · DC.
# Bài 5. Cho (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB D Chứng minh ∆ABC
(30)| Chủ đề 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
I Ba vị trí tương đối hai đường trịn (O) và (O0)
a) (O)cắt(O0) ⇔ (O)và (O0)có hai điểm chung phân biệt
b) (O)tiếp xúc (O0) ⇔ (O)và(O0)có điểm chung
c) (O)không giao với(O0) ⇔ (O)và(O0)khơng có điểm chung
II Ba hệ thức xác định vị trí tương đối hai đường trịn
Cho đường trịn (O; R)và (O0; R0)có tâm khơng trùng Đường thẳng OO0 gọi đường nối tâm, đoạnOO0= dgọi đoạn nối tâm
a) (O; R)cắt(O0; R0) ⇔ |R − R0| < d < R + R0.
b) (O; R)tiếp xúc (O0; R0) ⇔
Tiếp xúc ngoài: d = R + R0
Tiếp xúc trong: d = |R − R0|
c) (O; R)không giao với(O0; R0) ⇔
Ở nhau:d > R + R0 Ở nhau: d < |R − R0|
III Tính chất đường nối tâm
a) Đường nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường tròn
b) Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm
IV Tiếp tuyến chung hai đường tròn
a) Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn
đó
b) Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khơng cắt đoạn nối tâm
c) Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối hai đường trịn
Phương pháp giải:
Xác định độ dài đoạn nối tâm
1) 2) So sánh d vớiR + R0hoặc|R − R0|
(31)5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
# Ví dụ 1. Cho đường trịn(O)bán kínhO Avà đường trịn đường kínhO A
a) Hãy xác định vị trí hai đường trịn(O)và đường trịn đường kínhO A
b) Dây AD đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ởC Chứng minh AC = CD
# Ví dụ 2. Xác định vị trí tương đối hai đường trịn trường hợp sau
R = 6cm,R0= 4cm,d = 2cm
a) b) R = 5cm,R0= 3cm,d = 4cm
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hai đường trịn có điểm chung? Vì sao?
# Bài 2. Vì hai đường trịn phân biệt khơng thể có q hai điểm chung?
# Bài 3. Cho hai đường tròn (O; R)và (O0; R0)có đường nối tâm d = OO0 Hãy xác định vị
trí tương đối hai đường tròn theo bảng sau:
R R0 d Vị trí tương đối
5cm 3cm 7cm
11cm 4cm 3cm
9cm 6cm 15cm
7cm 2cm 10cm
7cm 3cm 4cm
6cm 2cm 7cm
# Bài 4. Hãy điền giá trị thích hợp vào trống bảng sau:
R R0 d Vị trí tương đối
8cm 2cm Tiếp xúc
7cm 3cm Cắt
5cm 11cm Tiếp xúc
12cm 6cm Đựng
Dạng 2: Các toán với hai đường tròn tiếp xúc nhau
Phương pháp giải:
1) Sử dụng tính chất tiếp điểm nằm đường nối tâm
2) Kẻ tiếp tuyến chung để sử dụng tính chất đặc trưng tính chất hai tiếp tuyến
cắt
3) Đường nối tâm trục đối xứng hình gồm hai đường trịn
(32)# Ví dụ 1. Cho đường trịn(O)tiếp xúc ngồi với(O0)tạiA Qua Akẻ cát tuyến cắt
(O)tạiC và(O0)tạiD Chứng minh rằngOC ∥ O0D.
# Ví dụ 2. Cho đường trịn(O)tiếp xúc với(O0)tại A((O0)nằm trong(O)) Qua Akẻ cát tuyến cắt(O)tạiBvà (O0)tạiC Chứng minh rằng OB ∥ O0C.
# Ví dụ 3. Cho (O1; 9cm) tiếp xúc ngồi với (O2; 4cm) A Kẻ tiếp tuyến chung
BC(B ∈ (O1);C ∈ (O2)) Chứng minh
a) O1O2 tiếp xúc với đường trịn đường kínhBC
b) BCtiếp xúc với đường trịn đường kínhO1O2
c) Tính độ dài cạnhBC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho (O1; R1) tiếp xúc (O2; R2) A (R1> R2) Hãy cho biết số tiếp tuyến chung
của hai đường tròn đồng thời nêu rõ bước vẽ tiếp tuyến chung
# Bài 2. Cho hai đường tròn(O1)tiếp xúc(O2; 1cm)tạiA Vẽ cát tuyến qua Acắt hai
đường tròn B, C Chứng minh tiếp tuyến hai đường tròn B C song song với
# Bài 3. Cho(O1; 3cm)tiếp xúc với(O2; 1cm)tạiA Vẽ hai bán kínhO1B,O2Csong
song với thuộc nửa mặt phẳng có bờO1O2
a) Tính số đo gócB AC
b) Gọi I giao điểm củaBCvàO1O2 Tính độ dàiO1I
# Bài 4. Cho(O1)tiếp xúc với(O2)tạiA Đường nối tâmO1O2 cắt(O1)tạiBvà (O2)
tạiC GọiDE tiếp tuyến chung hai đường (D ∈ (O1),E ∈ (O2)) Mlà giao điểm
củaBDvớiCE
a) Tính số đo gócD AE
b) Tứ giác AD ME hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh M Alà tiếp tuyến chung hai đường tròn
# Bài 5. Cho hai đường trịn(O1)tiếp xúc ngồi với(O2)tại A Kẻ tiếp tuyến chung
M N (M ∈ (O1), N ∈ (O2)) GọiP điểm đối xứng với M quaO1O2 Q điểm đối xứng với
N quaO1O2 Chứng minh
a) M N PQ hình thang cân
(33)5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
c) M N + PQ = MP + NQ
# Bài 6. Cho hai đường trịn(O1; R1)tiếp xúc ngồi với(O2; R2)tạiA Kẻ tiếp tuyến chung
ngoàiBC (B ∈ (O1), C ∈ (O2))
TínhB AC
a) b) Tính độ dàiBC
GọiD giao điểm củaB A với(O2) Chứng minh C,O2,D thẳng hàng
c)
Tính độ dài AB, AC d)
# Bài 7. Cho hai đường trịn(O1; R1)tiếp xúc ngồi với(O2; R2)tại A (R1> R2) Đường nối
tâmO1O2 cắt(O1)tạiB, cắt(O2)tạiC DâyDE của(O1)vng góc vớiBCtại trung điểmK
củaBC
a) Chứng minh tứ giácBDCE hình thoi
b) Gọi I giao điểm củaEC và(O2) Chứng minh D, A, I thẳng hàng
c) Chứng minh K I tiếp tuyến của(O2)
Dạng 3: Các toán với hai đường tròn cắt nhau
Phương pháp giải:
1) Vẽ dây chung, vẽ đường nối tâm
2) Dùng tính chất đường nối tâm trung trực dây chung
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho (O1) cắt (O2) A, B Kẻ đường kính AC (O1) AD (O2)
Chứng minh rằng:
Ba điểmB, C, D thẳng hàng
a) b) CD = 2O1O2
# Ví dụ 2. Cho(O1; 20cm)cắt(O2; 15cm)tại A, B Tính đoạn nối tâm O1O2 biết AB = 24
cm (Xét hai trường hợpO1, O2 nằm phía khác phía AB)
# Ví dụ 3. Cho (O1) cắt (O2) A, B Gọi I trung điểm O1O2 Qua A vẽ đường
thẳng vng góc với I A, cắt(O1)tạiC và(O2)tạiD(khác A) Chứng minh rằngC A = AD
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho hai đường tròn(O1; R1)cắt(O2; R2)tại AvàB (R1> R2) Hãy cho biết số tiếp
tuyến chung hai đường tròn, đồng thời nêu rõ bước vẽ tiếp tuyến chung
# Bài 2. Cho hai đường tròn đồng tâmO Một đường tròn(O0)cắt đường tròn tâmO
(34)# Bài 3. Cho hai đường tròn (O1; R1)cắt(O2; R2)tại A B (O1 O2 nằm khác phía đối
với AB) Một cát tuyến P AQ quay quanh A (P ∈ (O1), Q ∈ (O2)) cho A nằm P Q
Hãy xác định vị trí cát tuyếnP AQ trường hợp sau
Alà trung điểm PQ
a) b) PQ có độ dài lớn
Chu vi tam giácBPQ lớn
c) d) Diện tích tam giácBPQ lớn
# Bài 4. ChoH, K giao điểm hai đường tròn(O1)và(O2) Đường thẳngO1Hcắt
(O1)tạiA và(O2)tạiB Đường thẳngO2H cắt(O1)tạiCvà (O2)tạiD Chứng minh ba
(35)Chương
3 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
Trong chương nghiên cứu góc tâm, góc tạo hai cát tuyến (hoặc góc
giữa cát tuyến tiếp tuyến) đường trịn, quỹ tích cung chứa góc điều kiện để tứ
giác nội tiếp hay ngoại tiếp đường trịn Qua rèn luyện kỹ
trong việc chứng minh tính chất hình học, cách giải tốn quỹ tích, dựng hình,
tính tốn đại lượng hình học độ dài đường tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình
trịn diện tích hình quạt trịn
| Chủ đề 1: GĨC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG, LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
A Kiến thức cần nhớ
Góc tâm có mối liên hệ chặt chẽ với cung tròn Trong đường tròn
(O), ta xét góc tâm AOB (H.170) số đo cung nhỏ ABbằng số
đo góc AOB, số đo cung lớn ABbằng360◦− AOB Từ đó, để tìm số
đo cung ta tìm số đo góc ngược lại
A m B
O
n
Hình 170
B Các dạng tập bản
Dạng 1: SỰ LIÊN HỆ GIỮA GÓC Ở TÂM VÀ CUNG
Phương pháp giải: Số đo góc tâm đường trịn số đo cung bị chắn Trên hình170: sđAOB =sđAB
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
(36)tới đường tròn (BvàClà tiếp điểm) Tìm số đo cung nhỏ cung lớnBCcủa đường tròn
(O), biết rằngB AC = α
# Ví dụ 2. Cho đường trịn(O)đường kính ABvà dây cung AC Chứng tỏ sđB AC =
1
2sđBC
# Ví dụ 3. Giả sửC điểm cung lớn ABcủa đường tròn(O) ĐiểmC chia cung lớnABthành hai cung ACvàCB Chứng minh cung lớn ABcó sđAB =sđAC +sđCB
!
Trong toán cung trịn, tốn chứng minh hai cung có ý nghĩa
rất quan trọng Từ hai cung nhau, ta chứng minh hai đoạn thẳng
nhau, hai góc
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Giả sử M điểm nằm ngồi đường trịn(O; R) cho OM = 2R Từ M kẻ hai tiếp tuyếnM A,MBvới đường trịn (AvàBlà tiếp điểm) Tìm số đo góc tâm AOB
# Bài 2. Cho hai đường tròn(O) (O0)cắt hai điểm A B Đường phân giác gócOBO0cắt đường trịn(O)và(O0)theo thứ tự tạiC vàD So sánh hai gócBOC
BO0D.
# Bài 3. Cho tam giác ABC có B = 70b ◦, C = 50b ◦ Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác
tiếp xúc với cạnh AB, AC, BC theo thứ tự D, E, F Tính số đo cung DE, EF
F D
Dạng 2: SỰ LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY
Phương pháp giải:
a) Hai đường thẳng song song cắt(O)tại A,B,C,D (H.176a) sđAB =sđCD.
O A
B M
C D
N
O O
A
B
C
A
B
a) b) c)
Hình 176
b) Các trường hợp bản:
Trên hình176b: AB = AC ⇔sđAB =sđAC
(37)2 GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giả sửABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn(O) Đường caoAHcắt đường tròn(O)tạiD Kẻ đường kính AE đường trịn(O) Hãy chứng minh:
BC ∥ DE
a) b) Tứ giácBCED hình thang cân
!
Để chứng minh hai cung đường trịn, ngồi cách dùng định nghĩa,
ta thường sử dụng định lí sau:
• Nếu hai dây hai cung căng hai dây
• Hai cung bị chắn hai dây song song
• Đường kính qua trung điểm dây cung (khác đường kính) chia cung căng dây thành hai cung
• Đường kính vng góc với dây cung chia cung căng dây thành hai cung
# Ví dụ 2. Giả sử ABlà dây cung đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểmC
và D cho AC = BD Chứng minh AB ∥ CD
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho đường trịn(O)đường kínhABvà đường trịn(O0)đường kínhAO Các điểm
C,Dthuộc đường tròn(O)sao choB ∈ CD,BC < BD Các dây cungACvà AD cắt đường tròn (O0)theo thứ tự Evà F
a) So sánh độ dài đoạn thẳngOE vàOF
b) So sánh số đo cung AE AF đường tròn(O0)
# Bài 2. Cho đường trịn(O, R)hai dây cung ABvà CD vng góc với I(Cthuộc cung nhỏ AB) Kẻ đường kínhBEcủa đường tròn(O)
a) Chứng tỏ AC = DE
b) Chứng minh hệ thức I A2+ IB2+ IC2+ ID2= 4R2
# Bài 3. Cho đường tròn (O)đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy hai điểmC,D KẻCH vng góc với ABcắt đường trịn điểm thứ hai E Chứng minh rằng:
a) Hai cung nhỏCF DB
b) Hai cung nhỏBF DE
(38)| Chủ đề 2: GÓC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP
TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
A Kiến thức cần nhớ
○ GócABC có đỉnh nằm đường trịn(O)và cạnh
cắt đường trịn gọi góc nội tiếp (H.179a) Trong trường hợp góc nội tiếp có số đo khơng vượt q90◦thì số đo chúng nửa số đo góc tâm, chắn
cung Các góc nội tiếp có số đo nửa số đo cung bị
chắn Vì thế, góc chắn cung (hoặc
chắn cung nhau) chúng nhau,
góc nội tiếp cung bị chắn
D E
O
A B
C
Hình 179a
○ Cho đường tròn(O)và dây cung AB Từ điểmA ta kẻ tia tiếp tuyến Axvới đường tròn, đóB Ax gọi góc tạo
bởi tia tiếp tuyến với dây cung AB (H.179b) Cũng góc nội tiếp, số đo góc tia tiếp tuyến dây cung nửa
số đo cung bị chắn sđB Ax =
2sđAmB
A x
O
B
Hình 179b
m
Những khái niệm, định lí, hệ góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung
có thể giúp so sánh số đo góc, từ chứng minh đường thẳng song
song với nhau, tam giác nhau, tam giác đồng dạng vói
B Các dạng tập bản
Dạng 1: GÓC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRỊN
(39)2 GĨC NỘI TIẾP VÀ GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VỚI MỘT DÂY CUNG
a) Chú ý phân biệt: Góc nằm đường trịn khác
với góc nằm đường trịn
b) Hai góc chắn cung
bằng nửa số đo cung bị chắn Trên hình 179a: sđABC =sđADC =sđAEC =
1
2sđAC
c) Các góc chắn hai cung
nhau Trên hình179c:
AD = CD ⇔sđAD =sđCD ⇔ sđABD =sđC AD. B
C
O
A
D
Hình 179c
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC phía ngồi ta dựng hình vng với tâm điểmO Chứng minh AO tia phân giác góc vng B AC
# Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Từ đỉnh A ta kẻ đường cao
AH (HthuộcBC) Chứng minh rằngB AH = O AC
# Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC không chứa A
ta lấy điểm P (P khácBvà P khácC) Các đoạn P A vàBC cắt tạiQ
a) Giả sử D điểm cố định đoạn P A cho P D = PB Chứng minh tam giácP DB
b) Chứng minh P A = PB + PC
c) Chứng minh hệ thức
PQ = PB+
1 PC
!
• Tứ giác ABCD có tính chất AB · CD = BC · AD (∗)nói ví dụ gọi tứ giác điều hòa Loại tứ giác đặc biệt có nhiều ứng dụng việc giải
tốn hình học phẳng khác
• Nếu viết hệ thức (∗) dạng AB
AD = BC
CD nhớ lại tính chất đường phân giác
trong tam giác ta nêu thêm tính chất tứ giác điều hịa
• Tứ giác ABCD tứ giác điều hòa đường phân giác góc
B AD BCDcắt điểm đường chéoBD
• Tứ giácABCD tứ giác điều hòa đường phân giác gócABC
và ADC cắt đường chéo AC
(40)# Bài 1. Cho góc xA y điểm M điểm nằm góc Kẻ đường vng góc MP MQ theo thứ tự lên cạnh Ax, A y (P thuộc Ax, Q thuộc A y) Kẻ AK
vng góc với đoạnPQ Chứng minh P AK = M AQ
# Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi A0, B0, C0 là chân các
đường vuông góc vẽ từ A,B,Ctrên cạnhBC,C A, AB; H trực tâm tam giác ABC
a) Chứng minh A A0là đường phân giác gócBà0A0C0.
b) ChoB AC = 60◦ Chứng tỏ tam giác AOH cân
# Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O Tia phân giác góc B AC cắt
BCở Dvà cắt đường tròn(O)tạiE Chứng minh AB · AC = AD · AE
a) b) Chứng minh ED · E A = EB2
Dạng 2: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG
Phương pháp giải:
a) Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung (tại
điểm đường tròn) nửa số đo cung bị chắn
b) Trên hình183ta có sđB AC =sđxBC =
2sđBC
B x
O
C A
Hình 183
m
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Giả sử A B hai điểm phân biệt đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn (O)tại A B cắt điểm M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn (O)tại C MC cắt đường tròn (O)tại E Các tia AE MB cắt K Chứng minh MK2= AK · EK MK = KB
# Ví dụ 2. Cho đường tròn(C) tâmO, AB dây cung (C) không qua O I
là trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn(C1)tâm O bán
kínhOI tạiP vàQ Chứng minh tích AP · AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giácBPQ ln qua điểm cố định khácB
# Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâmH vàB AC = 60◦ Gọi M, N,P theo thứ tự
là chân đường cao kẻ từ A,B,C tam giác ABC I trung điểm củaBC
(41)3 GĨC CĨ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRÒN
b) Gọi Evà K trung điểm củaPBvà NC Chứng minh điểm I, M,E,
K thuộc đường tròn
c) Giả sử I Alà phân giác N I P Tìm số đo gócBCP
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm D cạnh AC(AC > 2DC) làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BCtạiE Từ Bkẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD I cắt AE
tạiK Trung tuyến AM tam giác ABC cắtBF N
a) Chứng minh năm điểm A,B,E,D,F nằm đường tròn
b) Chứng minh hệ thức I F
I K = BF BK
c) ChoAEC = 130◦, tính số đo góc ANB
# Bài 2. Cho hai đường trịn(O)và(O0)tiếp xúc ngồi với điểm A Một tiếp tuyến đường tròn(O)tại điểmB cắt đường tròn(O0)tạiC D (C nằm B vàD) Các tia
C A,D A cắt đường tròn(O)theo thứ tựtạiE F
a) Chứng minh EF ∥ CD
b) Gọi M điểm cungCD (Mvà Akhác phía đối vớiCD) Tính số đo góc
B AM
# Bài 3. Cho đường trịn(O)và điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC
và cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm Avà E) Tia phân giác gócDBE cắtDE
tại I Chứng minh
BD BE =
CD CE
a) b) A I = AB = AC
C I tia phân giác gócDCE
c)
# Bài 4. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến
AK D choBD song song với AC NốiBK cắt ACở I
a) Nêu cách vẽ cát tuyến AK D choBD ∥ AC
b) Chứng minh hệ thức IC2= IK · IB
c) Cho góc B AC = 60◦ Chứng tỏ cát tuyến AK D qua điểmO
# Bài 5. Cho hai đường tròn(O)và(O0)cắt hai điểm AvàB Qua Akẻ hai đường thẳng d d0 Đường thẳng d0 cắt (O) M cắt (O0) N Đường thẳng d cắt đường tròn(O)tạiC cắt đường tròn(O0)tạiD choABlà tia phân giác gócM AD Chứng
(42)| Chủ đề 3: GĨC CĨ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
Với đỉnh A nằm đường trịn (O) ta có góc với đỉnh đường tròn (H.187)
Số đo góc nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai
cạnh góc tia đối hai cạnh
sđB AE =
sđBE + sđCD ;
sđB AD =
sđBD + sđCE
O A
E B
C D
Hình 187
Với đỉnh Anằm ngồi đường trịn(O)ta lưu ý đến loại góc có hai cạnh cắt đường trịn tiếp xúc với đường trịn (H.188a, H.188b, H.188c)
Các góc có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
B
D
C
E
A n O m
Hình 188a
C
B
A O
n m
Hình 188b
A O
B ≡ C
D ≡ E
m n
(43)3 GĨC CĨ ĐỈNH Ở TRONG HOẶC NGỒI ĐƯỜNG TRỊN
B Các dạng tập bản
Dạng 1: ÁP DỤNG GĨC CĨ ĐỈNH Ở TRONG ĐƯỜNG TRỊN
Phương pháp giải: Cũng phần góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung,
các định lí hệ góc có đỉnh nằm nằm ngồi đường trịn giúp chúng
ta tìm mối quan hệ số đo góc, chứng minh đường song song, tam giác
bằng nhau, tam giác đồng dạng với nhau, hai đường thẳng vng góc với
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Trên đường trịn (O) cho điểm A, B, C, D theo thứ tự Gọi A1, B1, C1
D1 điểm cung AB, BC, CD D A Chứng minh đường thẳng
A1C1 vàB1D1 vng góc với
# Ví dụ 2. Cho bốn điểm A, D, C, Btheo thứ tự nằm đường trịn tâmOđường kính
AB = 2R (C D nằm phía so với AB) GọiE F theo thứ tự hình chiếu vng góc A, Btrên đường thẳngCD Tia ADcắt tia BCtại I Biết AE + BF = Rp3
a) Tính số đo góc A IB
b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K Gọi giao điểm K A, K BvớiDC M N Tìm giá trị lớn M N K di động cung nhỏCD
# Ví dụ 3. Trong tam giác ABC, đường phân giác gócB AC cắt cạnhBCtạiD Giả sử
(T) đường tròn tiếp xúc với BC D qua điểm A Gọi M giao điểm thứ hai
(T)và AC,P giao điểm thứ hai của(T)vàBM,E giao điểm AP vàBC
a) Chứng minh E AB = MBC
b) Chứng minh hệ thức BE2= EP · E A
# Ví dụ 4. Trên đường trịn(O)ta lấy điểm A, C1, B, A1, C, B1 theo thứ tự
a) Chứng minh đường thẳng A A1, BB1, CC1 đường phân giác
của tam giác ABC chúng đường cao của∆A1B1C1
b) Chứng minh đường thẳng A A1, BB1, CC1 đường cao tam giác
ABC chúng đường phân giác của∆A1B1C1
c) Giả sử(T1)và(T2)là hai tam giác nội tiếp đường tròn(O), đồng thời đỉnh tam
giác(T2)là điểm cung đường tròn bị chia đỉnh
tam giác (T1) Chứng minh hình lục giác giao tam giác(T1)
(T2)các đường chéo nối đỉnh đối song song với cạnh tam giác(T1)và
đồng quy điểm
(44)# Bài 1. Dọc theo cạnh tam giác ta lăn đường tròn có bán kính đường cao tam giác Chứng minh số đo cung định đường tròn
cạnh tam giác bằng60◦
# Bài 2. Giả sử A, B C ba điểm thuộc đường tròn (O)sao cho tiếp tuyến A đường tròn cắt tiaBCtạiD Tia phân giác củaB AC cắt đường tròn tạiM, tia phân giác
ADC cắt AM tạiI Chứng minh AM ⊥ DI
# Bài 3. Trên đường trịn tâmObán kínhRta kẻ ba dây cung liên tiếp nhauAB, BC
vàCD (mỗi dây có độ dài nhỏ hơnR) Gọi I giao điểm ABvàCD Các tiếp tuyến đường tròn tạiB vàD cắt K
a) Chứng minh rằngBIC = BK D
b) Chứng tỏ rằngBClà tia phân giác gócK BD
# Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường phân giác tam giác kẻ từ A, B, C cắt I cắt đường tròn(O)theo thứ tự D, Evà F
a) Chứng minh rằngC I ⊥ ED
b) Gọi M giao điểm ACvà DE Chứng minh I M ∥ BC
c) GọiK điểm đối xứng vớiI quaD Chứng tỏ rằngK tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ABC
# Bài 5. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn(O) Gọi D điểm thuộc cungBC không chứa A, E giao điểm củaBC AD
a) Chứng minh rằngAEB = ABD
b) Chứng minh hệ thức AC2= AD · AE
c) Các kết câu a) câu b) có thay đổi khơng điểm Dthuộc cung BCchứa A?
# Bài 6. Cho đường tròn tâmO dây AB Trên hai cung ABta lấy điểm M
và N Hai tia AM NB cắt C, hai tia AN MB cắt D Chứng minh ACN = AD M thìAB ⊥ CD
| Chủ đề 4: CUNG CHỨA GÓC
A Kiến thức cần nhớ
• Quỹ tích điểm nhìn đoạn ABcố định mơt góc khơng đổiα(0◦ < α < 180) hai cung chứa gócαvẽ đoạn AB(quỹ tích bản)
• Trường hợp đặc biệt: Quỹ tích điểm nhìn đoạn ABcố định góc vng đường trịn đường kính AB
(45)4 CUNG CHỨA GÓC
Dạng 1: ÁP DỤNG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH
Phương pháp giải: Khái niệm cung chứa góc giúp giải nhiều tốn quỹ
tích, dựng hình, chứa nhiều điểm thuộc đường trịn
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC(AB = AC)và Dlà điểm cạnhBC.KẻD M song song với AB(M thuộcAC),D N song song vớiAC(Nthuộc AB) GọiD0là điểm đối xứng của
D qua M N.Tìm quỹ tích điểm D0khi điểm D di động cạnhBC
# Ví dụ 2. Cho đường tròn (O)và dây cungBC cố định Gọi A điểm di động cung lớnBCcủa đường tròn(O)(AkhácB,AkhácC) Tia phân giác gócACBcắt đường trịn (O)tại điểm D khác điểmC Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho D I = BD Đường thẳngBI
cắt đường tròn(O)tại điểm K khác điểmB
a) Chứng minh tam giác K ACcân
b) Chứng minh đường thẳng A I qua điểm J cố định
c) Trên tia đối AB lấy điểmM cho AM = AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớnBCcủa đường trịn(O)
# Ví dụ 3. Cho trước điểm A đường thẳng d hai điểm C, D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ d Hãy dựng điểmBtrên d choACB = ABD
# Ví dụ 4. Giả sử AD đường phân giác góc A tam giác ABC (D thuộc đoạn
BC) Trên AD lấy hai điểm M N cho ABN = CBM Đường thẳng BM cắt đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABM điểm thứ haiF
a) Chứng minh bốn điểmB, C, E, F nằm đường tròn
b) Chứng minh điểm A, E, F thằng hàng
c) Chứng minhBCF = ACM, từ suy ACN = BCM
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho nửa đường trịn tâmO đường kínhBC = 2R Gọi Alà điểm di động nửa đường tròn Gọi D E theo thứ tự trung điểm dây AC AB Tìm quỹ tích giao điểm McủaBD CE
(46)# Bài 3. Cho đường trịn tâm (O) bán kính R dây cung AB = Rp3 C điểm di động cung nhỏ AB Vẽ đường tròn tâmC tiếp xúc với AB.Từ Avà Bkẻ tiếp tuyến (khác
AB)với đường trịn tâmC,chúng cắt M Tìm quỹ tích điểm M
# Bài 4. Dựng tam giác ABC,biết
a) BC = 3cm,B AC = 50 ◦, độ dài đường trung tuyến AM = 3cm
b) B AC = 50◦, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng2,5cm, bán kính đường trịn
nội tiếp tam giác bằng1cm
# Bài 5. Cho bốn điểm A, B, C,D theo thứ tự nằm đường trịn(O) cho AC
vng gócBD H (H khácO) GọiM N chân đường vng góc kẻ từ H
xuống đường thẳng AB BC, P Q giao điểm đường thẳng MH
N H với đường thẳngCD vàD A
a) Chứng minh rằngPQ ∥ AC
b) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q nằm đường tròn
# Bài 6. Cho tam giác ABC, gọiD E theo thứ tự tiếp điểm đường tròn tâm
(O)nội tiếp tam giác với cạnh ABvà AC, Hlà giao điểm đường thẳngBO đường thẳng DE
a) Chứng minh bốn điểmO, E, H,C nằm đường tròn
b) Chứng minh đường phân giác gócABC, đường trung bình tam giácABC
song song với cạnh ABvà đường thẳngDE đồng quy
| Chủ đề 5: TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN
NGOẠI TIẾP
A Kiến thức cần nhớ
Ta biết tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh nằm
đường trịn Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối
diện 180◦ Đảo lại, tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180◦ thì tứ giác nội tiếp đường
tròn
A B
C
D x
O
(47)5 TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP
a) Góc đỉnh tứ giác nội tiếp góc đỉnh đối diện Đảo
lại, góc ngồi đỉnh tứ giác góc đỉnh đối diện tứ
giác nội tiếp đường tròn
ABCD nội tiếp⇔ B AD = DCx (hình bên)
b) Hình thang nội tiếp đường tròn hình thang
cân
• Cách nhận biết tứ giác nội tiếp
1) Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh tứ giác có hai góc đối bù (hoặc tứ giác có góc
góc ngồi đỉnh đối diện)
3) Dựa vào khái niệm cung chứa góc: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng
nối hai đỉnh cịn lại hai góc tứ giác nội tiếp
đường tròn
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp
1 Cho tứ giác ABCD Nếu A + bb C = bB + bD = 180◦ tứ giácABCD nội tiếp
2 Dựa vào hệ quả, cách nhận biết để giải tốn
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)với trực tâm H Giả sử M điểm cung BC không chứa A (M khác B, M khác C) Gọi N, P theo thứ tự điểm đối xứng M qua đường thẳng AB, AC
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp
b) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng
c) Tìm vị trí Mđể độ dài đoạn N P lớn
# Ví dụ 2. Cho tam giác cân ABC(AB = AC, bA < 90◦), đường caoBD GọiM, N,I theo thứ
tự trung điểm đoạnBC,BM vàBD TiaN I cắt cạnh ACtạiK Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABMD, ABN K nội tiếp
b) BC2=4
3C A.CK
# Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC), hai đường cao BD CE cắt H
(D thuộc cạnh AC, E thuộc cạnh AB) Gọi I trung điểm củaBC Đường tròn ngoại tiếp
(48)a) Chứng minh rắngBDK = CEK
b) Đường thẳngDE cắtBCtại M Chứng minh ba điểm M, H,K thẳng hàng
c) Chứng minh tứ giácBK MD nội tiếp
! Sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng ta thấy: Nếu hai cát tuyếnmột đường tròn cắt tại Mthì M A · NB = MC · MD (xem hình dưới) AB CD
A B
C D
M D B
C A
M
Đảo lại, ta chứng minh được: Nếu hai đường thẳng B A CD cắt điểm M
sao choM A · NB = MC · MD bốn điểm A, B, C, D nằm đường tròn Đây cách nhận biết tứ giác nội tiếp
# Ví dụ 4. Cho hình thang vng ABCD( bA = bD = 90◦) Gọi E trung điểm AD Kẻ
AH vng góc vớiBE,D I vng góc vớiCE,K giao điểm AHvà D I
a) Chứng minh tứ giácBH IC nội tiếp
b) Chứng minh rằngEK ⊥ BC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn; ADvà CElà hai đường cao cắt H,O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC GọiM điểm đối xứng BquaO, I giao điểm củaBMvà DE,K giao điểm ACvà H M
a) Chứng minh tứ giác AEDC D I MC tứ giác nội tiếp
b) Chứng minhOK ⊥ AC
c) Cho số đo góc AOK bằng60◦ Chứng minh tam giác HBO cân
# Bài 2. Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh AD CD lấy điểm
M N choMBN = 45 ◦.BM vàBN cắt ACtheo thứ tự E vàF
a) Chứng minh tứ giácBENC vàBF M Anội tiếp đường tròn
b) Chứng tỏ MEF N tứ giác nội tiếp
c) Gọi H giao điểm MF N E, I giao điểm BH M N Tính độ dài đoạn BI
(49)5 TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP
# Bài 3. Giả sử tứ giác lồi ABCD có điểm M cho tứ giác ABMD hình bình hành vàCBM = CD M Dựng hình bình hànhBMCN
a) Chứng minh tứ giác ABNCnội tiếp
b) Chứng minh ACD = BCM
Dạng 2: Chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn
1 Dựa vào cách chứng minh tam giác, tứ giác nội tiếp
2 Dựa vào kết quả: Nếu I M · IH = I N · IK bốn điểm H, M, N, K nằm đường trịn
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD, I trung điểm CD, E thuộc cạnh B A Qua I
kẻ I M vuông góc vớiDE, cắt AD tạiH Qua I kẻ I N vng góc vớiCE, cắtBC tạiK GọiG
là giao điểm củaE I vàHK Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm H, M, N, K nằm đường tròn
b) Chứng minh năm điểm E, G, N, K , Bcùng thuộc đường tròn
c) Năm điểm E, G, M, H, Acùng thuộc đường tròn
# Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với đường cao AD Gọi Mlà điểm đối xứng Dqua
AB, N điểm đối xứng D qua AC,E F theo thứ tự giao điểm M N với ABvà
AC Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, F, D, C, N thuộc đường tròn
b) Ba đường AD, BE, CF đồng quy
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho đường trịn tâm O, đường kính AB dây cung CD vng góc với AB điểm H Gọi I điểm đối xứng với H qua D, K trung điểm đoạn HD Vẽ dây cung
EF quaK Chứng minh bốn điểmE, H, I, F nằm đường tròn
# Bài 2. Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn(O) (B C tiếp điểm) Gọi I giao điểm O A BC Kẻ dây cungDE đường tròn(O)qua I
a) Chứng minh bốn điểm A, D, O, Ecùng nằm đường trịn
(50)! Kết tốn khơng thay đổi ta hốn đổi vị trí hai điểm(O) DvàEtrên đường trịn
# Bài 3. (Định lí Ptơ-lê-mê) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O Chứng minh AB · CD + BC · AD = AC · BD
| Chủ đề 6: TỨ GIÁC NGOẠI TIẾP VÀ ĐƯỜNG TRÒN
NỘI TIẾP
A Kiến thức bản
1 Đường tròn tiếp xúc với tất cạnh tứ
giác gọi đường tròn nội tiếp tứ giác tứ giác
được gọi ngoại tiếp đường tròn
2 Nếu tứ giác ngoại tiếp đường trịn tổng
các cặp cạnh đối Đảo laị tứ giác
có tổng cặp cạnh đối tứ giác ngoại
tiếp đường trịn
Tứ giácABCD ngoại tiếp đường tròn(O) ⇔ AB + CD = BC + AD(hình bên)
O
A B
C
D
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Chứng minh hệ thức liên hệ cạnh tứ giác ngoại tiếp
Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn(O) ⇔ AB + CD = BC + AD
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho hình thang vng ABCD( bA = bD = 90◦)ngoại tiếp đường tròn (O) Tìm độ dài cạnh ABvàCD, biết rằngOB = 15cm OC = 20cm
# Ví dụ 2. Cho tứ giác lồi ABCD, đường thẳng ABvàCD cắt tạiK (Cnằm
D vàK), đường thẳngBCvà AD cắt tạiL(C nằm giữaBvà L) Chứng minh tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn thỏa mãn hai điều kiện sau:
BK + BL = DK + DL (1)
a) b) CK + AL = AK + CL
! Kết VD2 cho ta thêm dấu hiệu nhận biết tứ giác lồi tứ giác ngoạitiếp đường tròn
(51)7 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
# Bài 1. Cho hình thang vng ABCD( bA = bD = 90◦) ngoại tiếp đường trịn (O) bán kính
6cm, cạnh đáy nhỏ AB = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng BCvàCD
# Bài 2. Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) ngoại tiếp đường trịn (O, r) CD = 4AB Tìm độ dài đoạn thẳng ABvàCD
Dạng 2: Chứng minh tứ giác ngoại tiếp
1 Dựa vào dấu hiệu tứ giác ngoại tiếp
2 Nếu tứ giác ABCD có AB + CD = BC + AD ngoại tiếp đường trịn
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Cho tam giác ABC D điểm nằm tam giác Các đường thẳng AD, BD, CD cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự X , Y , Z Chứng minh hai ba tứ giácDY AZ, D ZBX , D X CY ngoại tiếp tứ giác thứ ba ngoại tiếp
# Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD, đường thẳng ABvà CD cắt K (C nằm giữaD
và K), đường thẳng BCvà AD cắt L (C nằm Bvà L) Qua K L kẻ hai đường thẳng chia tứ giác ABCD thành bốn tứ giác nhỏ Chứng minh hai tứ giác nhỏ khơng có cạnh chung mà ngoại tiếp tứ giác ABCD ngoại tiếp
# Ví dụ 3. Chứng minh tứ giác ABD ngoại tiếp đường tròn tâm I ta có hệ thứcBI2+ A I
D I· BI · CI = AB · BC
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Cho tứ giác ngoại tiếp ABCD Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác ABC ACD tiếp xúc điểm nằm đường chéo AC
# Bài 2. Cho tứ giác ngoại tiếpABCD QuaCkẻ đường thẳng song song vớiADcắt đường thẳng ABtạiP Qua Akẻ đường thẳng song song vớiBCcắt đường thẳngCD tạiQ Chứng minh tứ giác APCQ ngoại tiếp
# Bài 3. Cho hình thang cân ABCD nội tiếp đường tròn(O1, r) ngoại tiếp đường
tròn(O2, R) Gọid = O1O2 Chứng minh bất đẳng thức
1 r2 ≥
2 R2− d2
Đẳng thức xảy nào?
| Chủ đề 7: ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG
TRÒN
A Kiến thức cần nhớ
I Cơng thức tính độ dài đường trịn
1 Tỉ số độ dài đường trịn đường kính số khơng đổi, nghĩa như
(52)Người ta kí hiệu số khơng đổi chữπ(đọc pi) Như
C
2R = π ≈ 3,14 ≈ 22
7
2 Độ dàiCcủa đường trịn bán kínhRlàC = 2πR hayC = πdvớidlà đường kính đường trịn
II Cơng thức tính độ dài cung trịn
1 Đường trịn bán kínhR (ứng với cung360◦) có độ dài là2πR 2 Mỗi cung1◦ bán kính R có độ dài 2πR
360 =
πR
180
3 Một cung n◦ bán kínhR có độ dài là:`
AB=
πRn
180 O
A
B n◦
R l
AB
B Các dạng tập bản
Dạng 1: TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN HOẶC CÁC ĐẠI LƯỢNG
LIÊN QUAN
Phương pháp giải:
• Xác định cơng thức
• Tìm R, n, d
• Thay giá trị tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. a) Tính độ dài cung60◦ đường trịn có bán kính2dm
b) Tính chu vi vành xe đạp có đường kính650mm
# Ví dụ 2.
Bánh xe rịng rọc có chu vi 540mm Dây curoa bao bánh xe theo cung ABcó độ dài200mm (H.213) Tính số đo góc AOB
O
A B
n◦
# Ví dụ 3. Tính bán kính đường trịn biết độ dài cung30◦ là1 m
# Ví dụ 4. Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp:
a) Một tam giác có cạnh là6cm
b) Một tứ giác có cạnh là4cm
(53)7 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
# Ví dụ 5. a) Xích đạo đường trịn Trái Đất có độ dài khoảng40000km Hỏi bán kính Trái Đất
b) Biết kinh tuyến nửa đường trịn lớn Trái Đất, có độ dài khoảng
20000km Vĩ độ Hà Nội là20◦010 Tính độ dài cung kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Nêu cách tính độ dài cungn◦ hình quạt trịn bán kínhR
# Bài 2. Đường kính bánh xe xe đạp là73cm
a) Bánh xe quay vịng xe đoạn đường 8km?
b) Xe kilơmét bánh xe quay1000vịng?
# Bài 3. Nếu đường kính đường trịn tăng
π đơn vị chu vi tăng thêm
bao nhiêu?
# Bài 4. Tính độ dài đường trịn ngoại tiếp
a) Một tam giác vng có hai cạnh góc vng là6cm 8cm
b) Một tam giác vng cân có cạnh góc vng là4 cm
c) Một tam giác cân có góc đỉnh là120◦ đáy là6cm
# Bài 5. Một tam giác tứ giác có chu vi là36(cm) Hỏi độ dài đường trịn ngoại tiếp hình lớn hơn? Lớn bao nhiêu?
Dạng 2: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA CUNG TRỊN DO CÁC CUNG CHẮP NỐI THÀNH
Phương pháp giải:
• Tính độ dài cung theo bán kính đường trịn tạo cung
• Lấy tổng độ dài cung thành phần
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng choBnằm AvàC Chứng minh độ dài nửa đường đường trịn đường
kính ACbằng tổng độ dài hai nửa đường tròn đường kính ABvà BC
A B C
(54)# Ví dụ 3.
Xem hình vẽ bên so sánh độ dài cung AmB với độ dài đường gấp khúc
AOB
O
A B
m 120◦
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hãy so sánh độ dài ba đường cong a,b,c hình sau
a
c b
6cm
a
c b
6cm
| Chủ đề 8: DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, DIỆN TÍCH HÌNH
QUẠT
A Kiến thức cần nhớ
I Cơng thức tính diện tích hình trịn
Diện tíchScủa hình trịn bán kính Rđược tính theo cơng thức
S = πR2
II Cách tính diện tích hình quạt trịn
(55)8 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT
1 Hình trịn bán kính R (ứng với cung 360◦) có diện tích S =
πR2.
2 Diện tích hình quạt1◦ bán kínhR có diện tích πR
2
360
3 Diện tích hình quạtn◦ bán kínhR có diện tích
Sq=πR
2· n
360
Viết lại thành
Sq=πR · n 180 ·
R = Lq·
R
Vậy cơng thức tính diện tích quạt tròn
Sq=πR
2· n
360 hay Sq= Lq· R O B A R n◦
III Diện tích hình viên phân-Diện tích hình vành khăn
1 Hình viên phấn (phần tơ đen) phần hình trịn giới hạn bởi
một cung AmB dây căng cung ABcó diện tích tính công thức
Sv p= Sq AOB− SO AB
O B
A
R m
2 Hình vành khăn (phần tơ đen) phần hình trịn nằm hai
đường trịn đồng tâm có diện tích tính cơng thức
Svành khăn= π¡R12− R22¢
R1 O
R2
B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
Dạng 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, QUẠT TRỊN
Phương pháp giải:
• Xác định cơng thức
• TìmR, n◦, l.
• Thay số tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Tính diện tích hình trịn nội tiếp ngoại tiếp hình vng có cạnh
cm nêu nhận xét kết tìm
# Ví dụ 2. Tính diện tích hình trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác có cạnh là3
(56)# Ví dụ 3. Tính diện tích hình trịn trường hợp sau:
a) Chu vi đường trịn làC
b) Chu vi hình trịn nghịch đảo bán kính
# Ví dụ 4. Tính diện tích hình quạt trịn có bán kính6cm, số đo cung 36◦
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Nêu cách tính diện tích hình quạt trịn bán kínhR, cung n◦.
# Bài 2. Tính diện tích hình trịn bán kính4 cm hình quạt trịn có góc tâm 30◦
và150◦ hình trịn
# Bài 3. Một thiết diện cắt ngang thân có chu vi đo được154cm Tính diện tích thiết diện (coi hình trịn)
# Bài 4. Ở vườn quốc gia Cúc Phương (tỉnh Ninh Bình) có Chị ngàn năm tuổi thân to đến mức người ôm Hãy tính thiết diện ngang thân (coi hình trịn
và sải tay khoảng1,5m)
# Bài 5. Cho hình trịn hình vng có chu vi, hình có diện tích lớn hơn?
Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH VIÊN PHÂN, HÌNH VÀNH KHĂN VÀ NHỮNG
HÌNH KHÁC CĨ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG TRÒN
Phương pháp giải:
• Dùng tính cộng diện tích: Nếu hìnhHđược chia thành hai hìnhH1vàH2khơng có điểm chung SH= SH1+ SH2
• Xác định cơng thức
• Tìm R, nthay số tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Hãy tính diện tích hình viên phân AmB biết góc tâmAOB = 60◦ bán kính
đường trịn là5,1cm
# Ví dụ 2.
Trên hình vẽ bên
a) Tính diện tích S hình vành khăn theo R1 R2 (giả sử R1>
R2)
b) TínhS khiR1= 10,5cm; R2= 7,8cm
R1 O
(57)8 DIỆN TÍCH HÌNH TRỊN, DIỆN TÍCH HÌNH QUẠT # Ví dụ 3.
Trên hình vẽ bên biết diện tích miền tơ đen 86 cm2 Tính diện tích hình trịn
# Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp nửa đường trịn đường kínhBC Vẽ phía ngồi tam giác nửa đường trịn đường kính AB AC Chứng minh tổng diện tích hai hình trăng khuyết giới hạn ba nửa đường tròn SABC (hình trăng khuyết Hy-pơ-crát)
# Ví dụ 5. Cho đường trịn có đường kính AB Trên đoạn AB lấy điểm C D cho
AC = CD = DB Vẽ phía AB hai nửa đường trịn đường kính AC AD Vẽ phía bên ABhai nửa đường trịn đường kínhCB, DB So sánh diện tích phần tơ đen (như hình vẽ) diện tích phần cịn lại hình trịn
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn xếp loại học lực học sinh trường THCS theo ba loại: giỏi, khá, trung bình
Hãy trả lời câu hỏi sau:
a) Có phải
2 số học sinh xếp loại học lực giỏi không?
b) Có phải
3 số học sinh xếp loại học lực không?
c) Số học sinh xếp loại học lực trung bình chiếm phần
trăm?
d) Tính số học sinh loại, biết tổng số học sinh là900em
30◦ TB Giỏi
Khá
# Bài 2. Người ta muốn may khăn để phủ bàn trịn đường kính 76
cm cho khăn rủ xuống khỏi mép bàn (khăn có dạng hình trịn) Hãy tính diện tích vải
cần có để làm khăn (khơng kể viền, mép, phần thừa) phần diện tích vải rủ xuống khỏi mép
bàn
# Bài 3. Cho hai đường trịn đồng tâm tạo thành hình vành khăn Biết đường trịn nhỏ có bán kính bằng4cm hình vành khăn có diện tích là20πcm2 Tìm đường kính đường trịn lớn
(58)Trong hình vẽ bên ACB cung đường tròn, CD
đoạn thẳng nằm đường trung trực dây AB Biết AB =
6, CD = Tính diện tích hình trịn
A B
D C
(59)Chương
4 HÌNH TRỤ HÌNH NĨN
-HÌNH CẦU
| Chủ đề 1: DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH
HÌNH TRỤ
A Kiến thức cần nhớ
I Hình trụ
Khi quay hình chữ nhậtOO0AB vịng trịn quanh cạnhOO0 cố định, ta hình trụ hình vẽ bên Khi đó:
• OO0gọi trục hình trụ.
• O0AvàOBqt nên hai đáy hình trụ, hai hình trịn nằm hai mặt phẳng song song, có tâm làO0 vàO
• CạnhABqt nên mặt xung quanh hình trụ, vị trí
AB gọi đường sinh Chẳng hạn, CD đường sinh
• Các đường sinh hình trụ vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ
O0 A
O B
C
D
h
II Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
• Sxq= 2π · R · h
• St p= 2π · R · h + 2π · R2
Ở R bán kinh đáy, hlà chiều cao III Thể tích hình trụ
• V = π · R2· h = S · h
(60)B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính diện tích xung quanh - Diện tích tồn phần, thể tích hình trụ
hoặc yếu tố liên quan
Phương pháp giải:
a) Xác định cơng thức
b) TìmR h
c) Thay ví dụ tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh hình trụ có chu vi đường trịn đáy là13 cmvà chiều cao là3 cm
b) Thể tích hình trụ có bán kính đường trịn đáy là5 mmvà chiều cao là8 mm
# Ví dụ 2. Chiều cao hình trụ bán kính đáy Diện tích xung quang hình trụ 314 cm2 Hãy tính bán kính đáy thể tích hình trụ (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai)
# Ví dụ 3. Cho hình chữ nhậtABCD cóAB = 2a,BC = a Quay hình chữ nhật quanh cạnh
ABthì hình trụ tích làV1, quanhBCthì hình trụ tích làV2 HỏiV2
gấp lầnV1
# Ví dụ (Bài tốn Ác-si-mét). Người ta nhấn chìm hồn tồn tượng đá nhỏ vào lọ thủy tinh có nước dạng hình trụ Diện tích đáy lọ thủy tinh 12,8 cm2 Nước lọ dâng thêm8,5 mm Hỏi thể tích tượng đá bao nhiêu?
# Ví dụ 5.
Một chai phía hình trụ chứa lượng nước
có chiều cao 10 cm Người ta lật ngược chai lại phần chai khơng chứa nước hình trụ có chiều
cao8 cmnhư hình vẽ bên Tính thể tích chai, biết đường kính đáy chai bằng10 cm
10cm
10
cm
8
(61)1 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Diện tích chu vi hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự 3a2
và 8a Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB vòng ta hình trụ Tính thể tích, diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ
# Bài 2. Một hình chữ nhật có chiều dài gấp lần chiều rộng có diện tích 28 cm2 Cho hình chữ nhật quay quanh chiều dài vịng ta hình trụ Tính diện tích
xung quanh thể tích hình trụ
# Bài 3. Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ biết thể tích hình trụ là128πcm3
# Bài 4. Một hình trụ bán kính đáy cm Biết diện tích tồn gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ
# Bài 5. Một hình trụ có diện tích xung quanh là20πcm2và diện tích tồn phần là28πcm2
Biết diện tích tồn gấp đơi diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ
Dạng 2: Diện tích xung quanh - Thể tích hình hỗ hợp
Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh thể tích phận các
hình sau cộng lại trừ
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Một hầm bi-ơ-ga hình vẽ bên Phần nửa hình
trụ, phần hình hộp chữ nhật với kích thước
cho hình vẽ Tính thể tích hầm bi-ơ-ga (lấyπ =22
7 )
1,4m
m
1
m
(62)Hãy tính thể tích, diện tích bề mặt chi tiết máy theo kích
thước cho hình vẽ bên
2
cm
11cm
7
cm
6cm
# Ví dụ 3.
Một vật thể có dạng hình trụ, bán kính đáy chiều
cao 2R Người ta khoan lỗ có bán kính đáy bằngRvà chiều cao bằng2Rnhư hình vẽ bên Tính bán kính vật thể cịn lại
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Một chi tiết máy có dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 20 cm, 20 cm,
5 cm Người ta khoan lỗ hình trụ có đường kính đáy là16 cmvà chiều cao là5 cmxuyên qua chi tiết Tính thể tích phần vật thể cịn lại
# Bài 2. Một chi tiết máy có dạng hình trụ có đường kính đáy25 cm, chiều cao5 cm Người ta kht hình hộp chữ nhật có kích thước 16 cm, 16 cm, cm xuyên qua chi tiết Tính thể tích phần vật thể cịn lại
(63)2 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
Một chi tiết máy có kích thước hình vẽ bên Hãy tính thể
tích diện tích bề mặt chi tiết
10 cm
10cm
5
cm
20
cm
6cm
# Bài 4.
Lõi cuộn có kích thước hình vẽ bên Tính thể
tích sau cuộn đầy vào lõi (làm tròn đến số
thập phân thứ2)
5cm
8
cm
1cm
| Chủ đề 2: DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH
CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
A Kiến thức cần nhớ
I Hình nón
(64)cố định hình nón hình vẽ bên Khi đó:
• CạnhOC qt nên đáy hình nón hình trịn tâm
O A gọi đỉnh vàO Agọi đường cao hình nón
• Cạnh AC qt nên mặt xung quanh hình nón Mỗi vị trí củaACđược gọi đường sinh hình nón Chẳng hạn ADlà đường sinh
A
O
C
B D
h
R
II Diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón
• Sxq= π · R · `
• St p= 2π · R · ` + π · R2
Ở đóR bán kinh đáy,`là độ dài đường sinh III Thể tích hình nón
• V =1 3π · R
2· h =1
3· S · h
Ở đóR bán kinh đáy, hlà chiều cao,S diện tích đáy
IV Diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt
Khi cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần mặt phẳng nằm
trong hình nón hình trịn Phần hình nón nằm mặt
phẳng nói đáy gọi hình nón cụt hình vẽ
bên
• Sxq= π · (R1+ R2) · `
• Vnón cụt=
1
3π · h · ¡R
2
1+ R22+ R1· R2
¢
Ở đóR1,R2 bán kính đáy, hlà chiều cao
O0
O
h `
R1
R2
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính số đo cung bán kính hình quạt trịn nửa góc đỉnh
của hình nón
(65)2 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
a) Vẽ hình minh họa hình vẽ bên
b) Tính độ dài cungBDcủa hình quạt theo cơng thứcCđáy= 2π · Rnón
c) Tính số đo cung (hoặc góc tâm)n◦theo cơng thức
Cđáy= 2π · Rnón=π · Rquạt· n 180
d) Rquạt= `là đường sinh hình nón
e) Tính nửa góc đỉnh α phải xác định
cạnh kế, cạnh đối tam giác vuông
chứaα
α A O C D B R quạt = ` n◦ Rnón
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Tính số đo cung quạt trịn hình vẽ bên A
O B C t◦ cm 2cm
# Ví dụ 2.
Khi quay tam giác vng để tạo hình nón
(như hình vẽ bên) góc C AO = 30 ◦ gọi góc
ở đỉnh hình nón, độ dài đường sinh a Tính số đo cung hình quạt khai triển
mặt xung quanh hình nón
A O C D B R quạt = ` n◦ Rnón
# Ví dụ 3. Hình khai triển mặt xung quanh hình nón hình quạt Rquạt= 16 cm, số đo cung là120◦ Tính tang nửa góc đỉnh hình nón
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
(66)quanh, ta hình quạt Tính số đo cung hình quạt
# Bài 2.
Viết công thức tính góc nửa đỉnh hình nón
(α góc tam giác vng SO A hình vẽ bên) cho diện tích mặt khai triển mặt nón
bằng phần tư diện tích hình trịn bán kính
S A
α
S
C
O A
B
Dạng 2: Diện tích xung quanh, thể tích hình nón, nón cụt đại lượng
có liên quan biết hai ba yếu tố: Bán kính đáy, chiều cao, đường sinh
Phương pháp giải:
a) Xác định cơng thức
b) Tìm yếu tố cịn lại nhờ hệ thức lượng tam giác vuông
c) Thay giá trị tính
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón
khi quay tam giác vng cân SO A có cạnh huyền S A =
3 cmquanh cạnh góc vngSO cố định α
S
O A
3
cm
R
# Ví dụ 2. Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón quay tam giác vng AOB cóO AB = 30◦ quanh cạnh góc vng AO = 4cm
# Ví dụ 3. Một hình nón cụt có bán kính đáy là6 cm và9 cm, chiều cao4 cm
a) Tính diện tích xung quanh hình nón cụt
b) Tính thể tích hình nón sinh hình nón cụt
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Một hình nón bán kính đáy bằng5 cm diện tích xung quanh là65πcm2
a) Tính chiều cao hình nón
(67)2 DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT
# Bài 2. Một hình nón có đường sinh dài17 cmvà diện tích xung quanh là136πcm2 Thể tích hình nón
# Bài 3. Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước có bán kính đáy
14 cmvà9 cm, chiều cao là23 cm
a) Tính dung tích xơ
b) Tính diện tích tơn để làm xơ (coi diện tích mép gấp khơng đáng kể)
Dạng 3: Tính diện tích xung quanh, thể tích hình hỗn hợp, gồm nhiều
hình
Phương pháp giải: Tính diện tích xung quanh thể tích phận cộng lại
hoặc trừ
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Từ khúc gỗ hình lập phương có cạnh bằng1, người thợ tiện tiện hình nón hình vẽ bên Hãy tính
thể tích hình nón cho biết người thợ loại bỏ
bao nhiêu vật liệu
# Ví dụ 2.
Cái mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình
vẽ bên Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ
(không kể viền, mép, phần thừa)
30
cm
10cm
35cm
(68)Một dụng cụ gồm phần có dạnh hình trụ, phần cịn
lại có dạng hình nón Các kích thước cho hình vẽ
dưới Hãy tính
1,4m
1
,60
m
70
cm
a) Thể tích dụng cụ
b) Diện tích mặt ngồi dụng cụ (khơng tính nắp đậy)
# Ví dụ 4. Một hình trụ hình nón có chung đáy, đường cao chúng hình vẽ bên Tìm mối liên hệ bán kính đáy đường cao hình trụ để diện tích
xung quanh hai hình
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 1. Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính đáy là6 cmvà chiều cao14 cmngười ta tiện thành hình nón có chiều cao chiều cao hình trụ bán kính đáy là6 cm Hỏi thể tích phần gỗ tiện bỏ bao nhiêu?
# Bài 2. Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6cm, chiều cao tương ứng bằng4 cm Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác vịng quanhBC
# Bài 3. Cho hình thang vng ABCD (A = bb D = 90◦) có cạnh AB = AD = a,CD = 2a Quay
hình thang vng vịng quanh cạnh AD, ta hình tích V1 Quay hình
thang vng vịng quanh cạnhCD, ta hình tíchV2 Tính tỉ sốV1: V2
# Bài 4. Cho tam giác ABC (A = 90b ◦) có cạnh BC = 10cmvà AB = 8cm Tính thể tích tồn
phần hình tạo thành quay tam giác vịng quanhBC
# Bài 5. Cho hình bình hành ABCD với AB = 2, AD = x(x > 0) vàB AD = 60 ◦
a) Tính diện tích tồn phầnS hình tạo thành quay hình bình hành ABCD vịng quanh cạnh AB diện tích tồn phần S1 hình tạo thành quanh quanh cạnh AD
(69)3 DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
| Chủ đề 3: DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH
CẦU
A Kiến thức cần nhớ
I Hình cầu
Khi quay nửa đường trịn tâmO, bán kínhR vịng quanh đường kính ABcố định hình cầu (H.288)
• Nửa đường trịn phép quay nói qt nên mặt cầu
• Điểm O gọi tâm, R bán kính hình cầu, mặt
A B
O
B0 A0
II Cắt hình cầu mặt phẳng
a) Khi cắt hình cầu mặt phẳng ta hình trịn
b) Khi mặt cầu bán kính R phẳng ta đường trịn
• Đường trịn có bán kínhR mặt qua tâm (gọi đường trịn lớn)
• Đường trịn có có bán kính rbé R mặt phẳng không qua tâm
III Diện tích mặt cầu
S = 4πR2 hayS = πd2 (R bán kính,d đường kính mặt cầu)
IV Thể tích hình cầu
V =4 3πR
3.
B Các dạng tập bản
Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu biết bán kính hình
cầu ngược lại, tính bán kính hình cầu biết thể tích diện tích của
nó
Phương pháp giải:
a) Xác định cơng thức tínhV , Sxq theoR
b) TìmR từ cơng thứcV , Sxq
(70)# Ví dụ 1. Nếu thể tích hình cầu 1131 cm
3 thì bán kính bao
nhiêu? lấyπ =22
7
# Ví dụ 2. Một khinh khí cầu hình cầu có đường kính 11 m Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai)
# Ví dụ 3. Các loại bóng cho bảng có dạng hình cầu Hãy điền vào trống bảng sau (làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ hai)
Loại
bóng
Quả bóng gơn Quả khúc cầu Quả tennit Quả bóng bàn Quả bi a
Đường
kính
42,7mm 6,5cm 40mm 61mm
Độ dài
đường
tròn
lớn
23cm
Diện
tích
Thể
tích
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 20. Một hình cầu có số đo diện tích (tính cm2) hai lần số đo thể tích (tính cm3) Tính bán kính hình cầu thể tích
# Bài 21. Một hình cầu có diện tích bề mặt là120πm2 Tính thể tích hình cầu
Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp gồm nhiều hình
Phương pháp giải: Tính diện tích, thể tích phận cộng lại trừ đi.
cccVÍ DỤ MINH HỌAccc
# Ví dụ 1.
Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đáy R chiều cao
2R(đơn vị cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình bên Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại
(diện tích lẫn trong)
R
2
R
# Ví dụ 2.
Một bồn chứa xăng gồm hai nửa
hình cầu hình trụ (hình bên)
Hãy tính thể tích bồn chứa theo
kích thước cho hình vẽ
3,62m
1
,80
(71)3 DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU
# Ví dụ 3. Hãy tính thể tích tính hình theo kích thước cho (đơn vị cm)
12,6cm
8
,4
cm
a)
6,9cm
20
cm
b)
4
cm
2
cm
4
cm
c)
cccBÀI TẬP VẬN DỤNGccc
# Bài 22. Một bồn chứa xăng dầu có phần hình trụ với chiều cao đường kính đáy phần nửa hình cầu có đường kính đường kính hình trụ Biết diện
tích bề mặt bồn chứa là445m2 Tính thể tích
# Bài 23. Một đồ chơi gồm hình nón gắn với nửa hình cầu Biết thể tích hình nón gấp đơi thể tích Tính tỉ số đường cao bán kính đáy hình trịn
# Bài 24.
Hình bên mơ tả hình cầu đặt khít vào hình
trụ, kích thước cho hình vẽ Hãy tính
a) Thể tích hình cầu;
b) Thể tích hình trụ;
c) Hiệu thể tích hình trụ hình cầu.;
d) Thể tích hình nón có bán kính đáy làR cm chiều cao2R cm
e) Từ kết a),b),c),d) tìm mối liên hệ chúng