IV. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
3 a) Tính số đo góc A IB
a) Tính số đo góc A IB.
b) Trên cung nhỏ CD lấy điểm K. Gọi giao điểm của K A,K B vớiDC lần lượt là M và N. Tìm giá trị lớn nhất của M N khi K di động trên cung nhỏCD.
#Ví dụ 3. Trong tam giác ABC, đường phân giác của gócB AC cắt cạnhBCtạiD. Giả sử
(T)là đường tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A. Gọi M là giao điểm thứ hai của
(T)và AC,P là giao điểm thứ hai của(T)vàBM,E là giao điểm của AP vàBC. a) Chứng minh rằng E AB=MBC.
b) Chứng minh hệ thức BE2=EP·E A.
#Ví dụ 4. Trên đường tròn(O)ta lấy các điểm A,C1,B,A1,C,B1 theo thứ tự đó.
a) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng A A1,BB1,CC1 là các đường phân giác trong của tam giác ABC thì chúng là các đường cao của∆A1B1C1.
b) Chứng minh rằng nếu các đường thẳng A A1,BB1,CC1 là các đường cao của tam giác
ABC thì chúng là các đường phân giác của∆A1B1C1.
c) Giả sử(T1)và(T2)là hai tam giác nội tiếp đường tròn(O), đồng thời các đỉnh của tam giác(T2)là các điểm chính giữa của các cung của đường tròn bị chia bởi các đỉnh của tam giác (T1). Chứng minh rằng trong hình lục giác là giao của các tam giác(T1) và
(T2)các đường chéo nối các đỉnh đối nhau song song với các cạnh của tam giác(T1)và đồng quy tại một điểm.
#Bài 1. Dọc theo cạnh của một tam giác đều ta lăn một đường tròn có bán kính bằng đường cao của tam giác. Chứng minh rằng số đo của cung định trên đường tròn bởi các cạnh của tam giác bằng60◦.
#Bài 2. Giả sử A,B và C là ba điểm thuộc đường tròn (O)sao cho tiếp tuyến tại A của
đường tròn cắt tiaBCtạiD. Tia phân giác củaB AC cắt đường tròn tạiM, tia phân giác của
ADC cắt AM tạiI. Chứng minh rằng AM⊥D I.
#Bài 3. Trên đường tròn tâmObán kínhRta kẻ ba dây cung liên tiếp bằng nhauAB,BC
vàCD (mỗi dây có độ dài nhỏ hơnR). Gọi I là giao điểm của ABvàCD. Các tiếp tuyến của đường tròn tạiB vàD cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằngBIC=BK D.
b) Chứng tỏ rằngBClà tia phân giác của gócK BD.
#Bài 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường phân giác trong của
tam giác kẻ từ A,B,C cắt nhau tại I và cắt đường tròn(O)theo thứ tự tại D,Evà F. a) Chứng minh rằngC I⊥ED.
b) Gọi M là giao điểm của ACvà DE. Chứng minh rằng I M∥BC.
c) GọiK là điểm đối xứng vớiI quaD. Chứng tỏ rằngK là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC.
#Bài 5. Cho tam giác cân ABC (AB=AC) nội tiếp đường tròn(O). Gọi D là điểm thuộc
cungBC không chứa A,E là giao điểm củaBC và AD. a) Chứng minh rằngAEB=ABD.
b) Chứng minh hệ thức AC2=AD·AE.
c) Các kết quả ở câu a) và câu b) có thay đổi không nếu điểm Dthuộc cung BCchứa A?
#Bài 6. Cho đường tròn tâmO và dây AB. Trên hai cung ABta lần lượt lấy các điểm M
và N. Hai tia AM và NB cắt nhau tại C, hai tia AN và MB cắt nhau tại D. Chứng minh rằng nếu ACN=AD M thìAB⊥CD.