Đang tải... (xem toàn văn)
Vậy nếu I là giao điểm của đường phân giác của A với cạnh BC thì tứ giác ∠ AHIK là hình thoi.. c, Hình bình hành AHIK là hình chữ nhật.[r]
(1)Giải SBT Tốn 12: Hình vuông
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Gọi M, N là
chân đường vng góc kẻ từ D đến AB, AC Chứng minh tứ giác AMDN hình vng
Lời giải:
Xét tứ giác AMDN, ta có: (MAN) = 1v (gt)∠ DM AB (gt)⊥
⇒∠(AMD) = 1v
DN ⊥ AC (gt)
(AND) = 1v ⇒∠
Suy tứ giác AMDN hình chữ nhật
(vì có ba góc vng), có đường chéo AD đường phân giác A
Vậy hình chữ nhật AMDN hình vng
Câu 2: Cho hình vuông ABCD Trên AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các
điểm E, K, P, Q cho AE = BK = CP = DQ Tứ giác EKPQ hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Ta có: AB = BC = CD = DA (gt)
AE = BK = CP = DQ (gt)
Suy ra: EB = KC = PD = QA
* Xét ΔAEQ ΔBKE, ta có:
AE = BK (gt) A = B = 90o
QA = EB (chứng minh trên)
Suy ra: ΔAEQ = ΔBKE (c.g.c) EQ = EK (1)⇒ * Xét ΔBKEvà ΔCPK,ta có: BK = CP (gt) B = C = 90o
EB = KC (chứng minh trên)
Suy ra: ΔBKE = ΔCPK (c.g.c) EK = KP (2)⇒ * Xét ΔCPK ΔDQP,ta có: CP = DQ (gt) C = D = 90o
DP = CK (chứng minh trên)
(2)Hay tứ giác EKPQ hình thoi Mặt khác: ΔAEQ = ΔBKE
⇒ ∠(AQE) = (BKE)∠
Mà (AQE) + (AEQ) = 90∠ ∠ o
⇒ ∠(BEK) + (AEQ) = 90∠ o
⇒ ∠(BEk) + (QEK) + (AEQ ) = 180∠ ∠ o
Suy ra: (QEK) = 180o -( (BEK) + (AEQ))= 180∠ ∠ ∠ o - 90o = 90o
Vậy tứ giác EKPQ hình vng
Câu 3: Cho tam giác ABC, điểm I nằm B C Qua I vẽ đường thẳng
song song với AB, cắt AC H Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AB K
a, Tứ giác AHIK hình gì?
b, Điểm I vị trí BC tứ giác AHIK hình thoi
c, Tam giác ABC có điều kiện tứ giác AHIK hình chữ nhật Lời giải:
a, Ta có: IK // AC (gt) hay IK // AH Lại có: IH // AB (gt) hay IH // AK Vậy tứ giác AHIK hình bình hành b, Hình bình hành AHIK hình thoi nên đường chéo AI phân giác (A.)
Ngược lại AI phân giác A Hình bình hành AHIK có đường chéo là∠ phân giác góc nên hình bình hành AHIK hình thoi
Vậy I giao điểm đường phân giác A với cạnh BC tứ giác∠ AHIK hình thoi
c, Hình bình hành AHIK hình chữ nhật
⇒ ∠A = 90o suy ΔABC vng A Ngược lại ΔABC có A = 90∠ o
Suy hình bình hành AHIK hình chữ nhật
Vậy ΔABC vng A tứ giác AHIK hình chữ nhật
Câu 4: Hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD Gọi P, Q theo thứ tự trung
điểm AB, CD Gọi H giao điểm AQ DP, gọi K giao điểm CP BQ Chứng minh PHQK hình vng
Lời giải:
(3)QD = 1/2 CD (gt) Suy ra: AP = QD
Hay tứ giác APQD hình bình hành Lại có: A = 90∠ o
Suy tứ giác APQD hình chữ nhật Mà AD = AP = 1/2 AB
Vậy tứ giác APQD hình vng
⇒ AQ PD (t/chất hình vng) (PHQ) = 90⊥ ⇒ ∠ o (1)
HP = HQ (t/chất hình vng)
* Xét tứ giác PBCQ, ta có: PB // CD PB = 1/2 AB (gt)
CQ = 1/2 CD (gt)
Suy ra: PB = CQ nên tứ giác PBCQ hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau)
∠B = 90o suy tứ giác PBCQ hình chữ nhật
PB = BC (vì AD = 1/2 AB) Vậy tứ giác PBCQ hình vng
⇒ PC BC (t/chat hình vng) (PKQ) = 90⊥ ⇒ ∠ o (2)
PD tia phân giác (APQ) ( t/chất hình vng)∠ PC tia phân giác (QPB) (t/chất hình vng)∠
Suy ra: PD PC (t/chất hai góc kề bù) (HPK) = 90⊥ ⇒ ∠ o (3)
Từ (1), (2) (3) suy tứ giác PHQK hình vng
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh BC lấy điểm H, G
sao cho BH = BG = GC Qua H G kẻ đường vng góc với BC chúng cắt AB, AC theo thứ tự E F Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao?
Lời giải:
Vì ΔABC vng cân A nên B = C =∠ ∠ 45o
Vì ΔBHE vng H có ∠B = 45o nên
ΔBHE vuông cân H
Suy HB = HE
Vì ΔCGF vng G, có C = 45∠ o nên ΔCGF vuông cân G
Suy GC = GF
Ta có: BH = BG = GC (gt) Suy ra: HE = HG = GF
Vì EH // GF (hai đường thẳng vng góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau); Lại có (EHG) = 90∠ o nên HEFG hình chữ nhật.
Mà EH = HG (chứng minh trên) Vậy HEFG hình vng
Câu 6: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AD lấy điểm F, cạnh DC lấy
(4)Lời giải:
Xét ΔABF ΔDAE,ta có: AB = DA (gt) ∠(BAF) = (ADE) =∠ 90o
AF = DE (gt)
Suy ra: ΔABF = ΔDAE (c.g.c)
⇒ BF = AE B1=∠
A1 ∠
Gọi H giao điểm AE BF
Ta có: (BAF) = A1+ A2 = 90∠ ∠ ∠ o
Suy ra: B1+ A2 = 90∠ ∠ o
Trong ΔABH,ta có: (AHB) + B1+ A2 = 180∠ ∠ ∠ o
⇒ ( (AHB)) = 180∠ o – ( B1+ A2) = 180∠ ∠ o – 90o = 90o
Vậy AE BF⊥
Câu 7: Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề khơng Chứng minh rằng
các tia phân giác góc hình chữ nhật cắt tạo thành hình vng
Lời giải:
Gọi giao điểm đườngphân giác góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt E, H, F, G * Trong ΔADG, ta có:
∠(GAD) = 45o;
(GDA) = 45o (gt) ⇒ ΔGAD vuông cân G
⇒ ∠(AGD) = 90o GD = GA
Trong ΔBHC, ta có:
∠(HBC) = 45o; (HCB) = 45∠ o (gt)
⇒ ΔHBC vuông cân H ⇒ ∠(BHC) = 90o HB = HC
* Trong ΔFDC, ta có: D1 = 45∠ o; C1 = 45∠ o (gt)
⇒ ΔFDC vuông cân F F = 90⇒ ∠ o FD = FC
Nên tứ giác EFGH hình chữ nhật (vì có góc vng) Xét ΔGAD ΔHBC,ta có: (GAD) = (HBC) = 45∠ ∠ o
AD = BC (tính chất hình chữ nhật) ∠(GDA) = (HCB) = 45∠ o
(5)Suy ra: FG = FH
Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kế nên hình vng
Câu 8: Cho hình vng ABCD Gọi E điểm nằm O D.
Tia phân giác góc DAE cắt CD F Kẻ FH AE (H AE), FH cắt BC G Tính số đo góc (FAG) ̂
Lời giải:
* Xét hai tam giác vuông DAF HAF, ta có: ∠(ADF) = (AHF) =∠ 90o
∠A1= A2∠
AF cạnh huyền chung Suy ra: ΔDAF = ΔHAF (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DA = HA
Mà DA = AB (gt) Suy ra: HA = AB
* Xét hai tam giác vuông HAG và, BAG, ta có: ∠(AHG) = (ABG) = 90∠ o
HA = AB (chứng minh trên) AG cạnh huyền chung
Suy ra: ΔHAG = ΔBAG (cạnh huyền, cạnh góc vng) ⇒ ∠A3 = A4hay AG tia phân giác (EAB)∠ ∠
Vậy (FAG) = A2+ A3 = 1/2 ( (DAE) + (EAB) ) = 1/2 90∠ ∠ ∠ ∠ o = 45o
Câu 9: Cho hình vng DEBC Trên cạnh DC lấy điểm A, tia đối tia
DC lấy điểm K, tia đối tia ED lấy điểm M cho CA = DK = EM Vẽ hình vng DKIH (H thuộc cạnh DE) Chứng minh ABMI hình vuông
Lời giải:
* Xét ΔCAB ΔEMB, ta có: CA = EM (gt) CB = EB (tính chất hình vng) Suy ra: ΔCAB = ΔEMB (c.g.c) ⇒ AB = MB
(1)
Ta có: AK = DK+ DA
(6)* Xét ΔCAB ΔKIA, ta có: CA = KI (vì DK) ∠C = K = 90∠ o
CB = AK (vì CD) Suy ra: ΔCAB = ΔKIA (c.g.c) ⇒ AB = AI (2)
DH = DK (vì KDHI hình vng) EM = DK (gt)
⇒ DH + HE = HE + EM Hay DE = HM
* Xét ΔHIM ΔEMB, ta có: HI = EM (vì DK) ∠H = E = 90∠ o
HM = EB (vì DE) Suy ra: ΔHIM = ΔEMB (c.g.c) ⇒ IM = MB (3)
Từ (1), (2) (3) suy ra: AM = BM = AI = IM Tứ giác ABMI hình thoi
Mặt khác, ta có ΔACB = ΔMEB (chứng minh trên)
⇒ ∠(CBA) = (EBM)∠
Mà (CBA) + (ABE) = (CBE) = 90∠ ∠ ∠ o
Suy ra: (EBM) + (ABE) = 90∠ ∠ o hay (ABM) = 90∠ o
Vậy tứ giác ABMI hình vng
Câu 10: Cho tam giác ABC Vẽ ngồi tam giác hình vng ABDE,
ACFH
a, Chứng minh EC = BH, EC BH⊥
b, Gọi M, N theo thứ tự tâm hình vng ABDE, ACFH Gọi I trung điểm BC Tam giác MIN tam giác gì? Vì sao?
Lời giải:
a, Ta có: (BHA) ) = ∠
(BAC) + ∠
(CAH) = ∠
(BAC) + ∠
90o
∠(EAC) = (BAC) + ∠
(BAE) = ∠
(BAC) + ∠
90o
Suy ra:
(BAH) = (EAC)
∠ ∠
(7)Suy ra: ΔBAH = ΔEAC (c.g.c) BH = EC⇒
Gọi K O giao điểm EC với AB BH Ta có: (AEC) = (ABH) (vì ΔBAH = ΔEAC) (1)∠ ∠ Hay (AEK) = (OBK)∠ ∠
* Trong ΔAEK, ta có: (EAK) = 90∠ o
⇒ ∠(AEK) + (AKE) = 90∠ o (2)
Mà (AKE) = (OKB) (đối đỉnh)∠ ∠ (3) Từ (1), (2) (3) suy ra:
∠(OKB) + (OBK) = 90∠ o
* Trong Δ BOK ta có:
∠(BOK) + (OKB) + (OBK) = 180∠ ∠ o
⇒ ∠(BOK) = 180o – ( (OKB) + (OBK) ) = 180∠ ∠ o – 90o = 90o
Suy ra: EC BH⊥
b, * Trong ΔEBC, ta có: M trung điểm EB (tính chất hình vng) I trung điểm BC (gt)
Nên MI đường trung bình ΔEBC
⇒ MI = 1/2 EC MI // EC (tính chất đường trung bình tam giác) Trong ABCH, ta có: I trung điểm BC (gt)
N trung điểm CH (tính chất hình vng) Nên NI đường trung bình ΔBCH
⇒ NI = 1/2 BH NI // BH (tính chất đường trung bình tam giác) Mà BH = CE (chứng minh trên)
Suy ra: MI = NI nên ΔINM cân I MI // EC (chứng minh trên)
EC BH (chứng minh trên)⊥
Suy ra: MI BH Mà NI // BH (chứng minh trên)⊥ Suy ra: MI NI hay (MIN) = 90⊥ ∠ o