Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 1: Cho hình vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành... Gọi E là điểm.[r]
(1)Giải SBT Toán 8: Đối xứng tâm
Câu 1: Cho hình vẽ, ABCD hình bình hành Chứng minh điểm
M đối xứng với điểm N qua điểm c Lời giải:
Tứ giác ABCD hình bình hành:
⇒ AB // CD hay BM // CD Xét tứ giác BMCD ta có: BM // CD BM = CD (gt) Suy ra: Tứ giác
BMCD hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) ⇒ MC // BD MC = BD (1)
AD // BC (gt) haỵ DN // BC
Xét tứ giác BCND ta có: DN // BC DN = BC (vì AD)
Suy ra: Tứ giác BCND hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau)
⇒ CN // BD CN = BD (2)
Từ (1) (2) suy ra: M, C, N thẳng hàng MC = CN
Câu 2: Cho hình vẽ DE // AB, DF // AC.Chứng minh điểm E đối
xứng với điểm F qua điểm I Lời giải:
Ta có: DE //AB (gt) hay DE //AF
DF //AC (gt) hay DF //AE
Tứ giác AEDF hình bình hành
I trung điểm AD nên EF qua trung điểm I IE = IP (tính chất hình bình hành)
Vậy E F đối xứng qua tâm I
Câu 3: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM, CN Gọi D điểm đối
xứng với B qua M, gọi E điểm đối xứng Với C qua N Chứng minh điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A
Lời giải:
(2)MA = MC (gt)
MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ABCD hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)
⇒ AD // BC hay AD = BC (1) * Xét tứ giác ACBE, ta có: AN = NB (gt)
NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác ACBE hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) AE // BC AE = BC (2)⇒
Từ (1) (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng AD = AE
Nên A trung điểm DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, điểm D thuộc cạnh BC Gọi E điểm
đối xứng với D qua AB, gọi F điểm đối xứng với D qua AC Chứng minh điểm E F đối xứng với qua điểm A
Lời giải:
* Vì E đối xứng với D qua AB
⇒ AB đường trung trực đoạn thẳng DE ⇒ AD = AE
(tỉnh chất đường trung trực) Nên ΔADE cân A
Suy ra: AB đường phân giác (DAE) A1= A2∠ ⇒ ∠ ∠ * Vì F đối xứng với D qua AC
⇒ AC đường trung trực đoạn thẳng DF ⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực) Nên ΔADF cân A
Suy ra: AC phân giác (DAF)∠ ⇒ ∠A3= A4∠
∠(EAF) = (EAD) + (DAF) = A1+ A2+ A3+ A4= 2( A1+ A3)∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ = 2.90o= 180o
⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD
Nên A trung điểm EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Một
đường thẳng qua O cắt cạnh đối AD, BC E, F Chứng minh E F đối xứng với qua điểm O
Lời giải:
Xét ΔOED ΔOFB, ta có:
(3)OD = OB (tính chất hình bình hành) ∠(ODE)= (OBF)(so le trong)∠ Do đó: ΔOED = ΔOFB (g.c.g) ⇒ OE = OF
Vậy O trung điểm EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O
Câu 6: Cho hình bên, ABCD hình bình hành Chứng minh H K
đối xứng với qua điểm O Lời giải:
Xét hại tam giác vuông AHO CKO, ta có:
∠(AHO)= (CKO)=∠ 90o
OA = OC (tính chất hình bình hành)
∠(AOH)= ∠(COK) (đối đỉnh)
Suy ra: ΔAHO = ΔCKO (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ OH = OK
Vậy O trung điểm HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O
Câu 7: Cho tam giác ABC, D trung điểm AB, E trung điểm AC.
Gọi O điểm nằm tam giác ABC Vẽ điểm M đối xứng với O qua D Vẽ điểm N đối xứng với O qua E Chứng minh MNCB hình bình hành
Lời giải:
* Xét tứ giác AOBM, ta có:
DA = DB (gt)
DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác AOBM hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)
⇒ BM // AO BM = AO (1)
* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt) EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)
Suy ra: Tứ giác AOBM hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường)
⇒ CN // AO CN = AO (2)
Từ (1) (2) suy ra:BM // CN BM = CN
(4)Câu 8: Cho tam giácABC, đường trungtuyến AD, BE, CF cắt G.
Gọi H điểm đối xứng với G qua D, I điểm đối xứng với G qua E, K điểm đối xứng với G qua F Tìm điểm đối xứng với A, với B, với C qua G Lời giải:
* Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm)
⇒ GH = 2GD (l) GA = 2GD (tính chất đường trung tuyến tam giác) (2)
Từ (1) (2) suy ra: GA = GH
Suy điểm đối
xứng với điểm A qua tâm G H
* Ta có: GE = EI (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GI = 2GB (3)
GB = 2GE (tính chất đường trung tuyên tam giác) (4) Từ (3) (4) suy ra: GB = GI
Suy điểm đối xứng với điểm B qua tâm G I GF = FK (tỉnh chất đối xứng tâm)
⇒ GK = 2GF (5)
GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến tam giác) (6) Từ (5) (6) Suy ra: GC = GK
Suy điểm đối xứng với điểm C qua tâm G điểm K
Câu 9: Cho hình bình hành ABCD, O giao điểm hai đường chéo Qua O
kẻ đường thẳng cắt đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD E, F Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC G, H Chứng minh EGFH hình bình hành Lời giải:
* Xét ΔOAE ΔOCF, ta có:
OA = OC (tính chất hình bình hành) ∠(AOE)= (COF)∠ (đối đỉnh)
∠(OAE)= (OCF)∠ (so le trong)
Do đó: ΔOAE = ΔOCF (g.c.g)
⇒ OE = OF (l)
(5)∠(OAG) = (OCH)(so le trong).∠ Do đó: ΔOAG = ΔOCH (g.c.g) ⇒ OG = OH (2)
Từ (1) (2) suy tứ giác EGFH hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường)
Câu 10: Cho góc xOy, điểm A nằm góc Vẽ điểm B đối xứng với A
qua Ox, vẽ điểm G đối xứng với A qua Oy a, Chứng minh OB = OC
b, Tính số đo góc xOy để B đối xứng với A qua O Lời giải:
a, Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox đường trung trực đoạn AB ⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1)
Vì C đối xứng với A qua trục Ọy nên Oy đườngtrung trực đoạn AC
⇒ OA = OC (tỉnh chất đường trung trực) (2) Từ (l) (2) suy ra: OB = OC
b, Vì OB = OC nên để điểm B đối xứng với C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thằng hàng
ΔOAB cân O có Ox đường trung trực AB nên Ox đường phân giác (AOB) O1= O3∠ ⇒ ∠ ∠
ΔOAC cân O có Oy đường trung trực AC nên Oy đường phân giác (AOC) O2= O4∠ ⇒ ∠ ∠
Vì B, O, C thẳng hàng nên:
∠O1+ O2+ O3+ O4 = 180∠ ∠ ∠ o O1+ O2= 180⇒ ∠ ∠ o
⇒ ∠O1+ O2= 90o (xOy) = 90∠ ⇒ ∠ o