Chuyên đề: Bài toán cực trị trong hình học giải tích oxyz chương trình hình học lớp 12

Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay thi tuyển sinh vào các trƣờng Đại học , Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp thƣờng xuất hiện các bài toán về phƣơng p[r]

Sáng kiến kinh nghiệm

HƢỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG HÌNH TOẠ ĐỘ KHƠNG GIAN

Phân : ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài :

Trong việc dạy học tốn ta ln coi mục đích chủ yếu tập tốn hình thành phát triển tƣ toán học , tạo cho học sinh vốn kiến thức vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì việc xây dựng hình thành cho học sinh phƣơng pháp giải dạng toán cần thiết

Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay thi tuyển sinh vào trƣờng Đại học , Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp thƣờng xuất tốn phƣơng pháp tọa độ khơng gian Có thể nói tốn phƣơng pháp tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học phƣơng pháp tọa độ khơng gian dạng tốn khó địi hỏi học sinh vừa phải biết tƣ hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phƣơng pháp tọa độ không gian

Trong năm học 2012- 2013 đƣợc phân công giảng dạy lớp 12 trƣớc dạy chƣơng phƣơng pháp tọa độ không gian thân trăn trở :

làm để học sinh đọc đề thi thấy xuất câu cực trị hình học khơng gian nhƣng học sinh không cảm thấy sợ Với suy nghĩ nhƣ chuẩn bị chuyên đề xem nhƣ đề tài cải tiến phƣơng pháp dạy học :

“ Hƣớng dẫn học sinh giải số tốn cực cải trị hình học hình tọa độ không gian “

II Phạm vi ứng dụng

Đề tài đƣợc áp dụng vào giảng dạy lớp 12B, 12 E trƣờng THPT Ba Đình năm học 2012- 2013

Phần GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ : A Cơ sở lý luận:

Trong chƣơng trình hình học 12 phƣơng pháp tọa độ không gian tập trung chủ yếu vào dạng toán xác định tọa đô điểm thỏa mãn điều kiện cho trƣớc, lập phƣơng trình đƣờng thẳng ,mặt phẳng việc cung cấp nội dung phƣơng pháp cần thiết

B Cơ sở thực tiễn :

http://baigiangtoanhoc.com Page Gv: Mai Thị Mơ

Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu nhƣ bỏ qua dạng tập này, số tài liệu có điểm qua nhƣng khơng có tính chất hệ thống

Bài tốn : TÌM TOẠ ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC Dạng1: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng

 

 cho:

T = aMA2 + bMB2 + cMC2



a,b,cR



lớn (nhỏ nhất) Cách giải:

Gọi G điểm thỏa mãn : aGAbGBcGC0

T đƣợc biểu diễn:



 

2

 

2



2

GC MG c GB MG b GA MG a

T     

=



abc



MG22MG



aGAbGBcGC



+ a.GA2 + b.GB2 + c.GC2 +) Nếu a + b + c > ta có Tmin MGmin  M hình chiếu G lên (P)

+) Nếu a + b + c < ta có Tmax MGmin  M hình chiếu G lên (P)

Các ví dụ: Ví dụ 1:

a, Trong không gian với hệ Oxyz cho mặt phẳng

 

 : x –y – 2z = điểm A(1; 3; 1); B(3; 2; 2); C(1; 1; -1)

Tìm điểm M 

 

 cho T = MA2 + 2MB2 + MC2 nhỏ

b, Trong không gian với hệ Oxyz cho

 

 : x – y + 2z = điểm A(1; 2; -1); B(3; 1; -2); C(1; -2; 1) Tìm M

 

 cho P = MA2 - MB2 - MC2 lớn

Lời giải:

a Giả sử G thỏa mãn: GA2GBGC0 G



2;1;1



T = MA2 + 2MB2 + MC2 =



MGGA

 

22MGGB

 

2 MGGC



2

= 4MG2 + GA2 + 2GB2 + GC2

Vì G, A, B, C cố định nên T nhỏ MG nhỏ M hình chiếu vng góc G mặt phẳng

 



Gọi d đƣờng thẳng qua G vng góc với

 



    

 

 

  

t z

t y

t x d

2

2 :

Tọa độ M nghiệm hệ:

      

  

 

 

 

0 2

2

z y x

t z

t y

t x

   

  

b Gọi G điểm thỏa mãn: GAGBGC0 G



3;3;0



MA2 - MB2 - MC2 =



MGGA

 

2 MGGB

 

2 MGGC



2 = -MG2 + GA2 – GB2 – GC2

Vì G, A, B, C cố định nên P lớn MG nhỏ M hình chiếu vng góc G lên (P)  M(2; -2; -2)

Ví dụ 2:

Trong không gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 1); B(7; 3; 9); C(2; 2; 2) mặt phẳng (P) có phƣơng trình: x + y – z + = Tìm (P) điểm M cho

MC MB

MA2 3 nhỏ Lời giải:

Gọi I điểm thỏa mãn IA2IB3GC0 I 

 

P   

  

6 25 ; 13 ; 23

Ta có MA2MB3MCMIIA2



MIIB

 

3MIIC



= 6MI IA2IB3IC 6MI

 MA2MB3MC 6MI

Do đó, MA2MB3MC nhỏ MI nhỏ nhất, suy M hình chiếu I (P)

Dạng 2: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho (MA + MB )min, MAMBmax Cách giải

* Tìm M (P) cho MA + MB

+ Nếu A, B khác phía (P)

MA + MBmin M, A, B thẳng hàng M  AB(P)

+ Nếu A, B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P)

Có MA + MB = MA1 + MB

Do A1 B khác phía (P) nên (MA + MB) (MA1 + MB)

M, A1, B thẳng hàng M  A1B(P)

* Tìm M (P) cho MAMBmax

P

A

M

B

P

A

M B

http://baigiangtoanhoc.com Page Gv: Mai Thị Mơ

+ Nếu A, B khác phía (P)

Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P), ta có:

MB

MA = MA1MBA1B

MB

MA

 max = A1B

 M, A1, B thẳng hàng M  A1B

 

P Từ tìm đƣợc toạ độ điểm M

+ Nếu A, B phía (P)

AB MB

MA   MAMBmax = AB

B A M, ,

 thẳng hàng M  AB(P)

Ví dụ 1:

Cho A(1; 1; 2); B(2; 1; -3) mặt phẳng (P): 2x + y -3z – = Tìm điểm M thuộc (P) cho (MA + MB) nhỏ

Lời giải:

Xét vị trí tƣơng đối A, B mặt phẳng (P) ta có:

tA.tB = (2.1 + – 3.2 + 5).(2.2 + – 3.(-3) -5) = -72 < Vậy A, B khác phía đối

với (P)

Đƣờng thẳng AB qua A(1; 1; 2) nhận AB



1;0;5



làm véc tơ phƣơng, suy

ra AB có phƣơng trình:

    

 

  

t z

y t x

5 1

Gọi N giao điểm AB (P), suy tọa độ điểm N nghiệm hệ:

      

 

   

     

 

  

   

17 17

25

5 1

0

z y x

t z

y t x

t y x

Ta chứng minh MA + MB nhỏ MN Thật vậy, lấy M(P) ta có MA + MB ABNANB

Dấu “=” xảy MN Vậy    



 

17 ; ; 17

25 M

Ví dụ 2:

Cho A(-7; 4; 4); B(-6; 2; 3) mặt phẳng (P): 3x – y -2t + 19 = Tìm điểm M thuộc (P) cho AM + BM nhỏ

Lời giải: B A

M

P

A

M

Xét vị trí tƣơng đối A, B mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = 98 >

Suy A, B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P)

MA + MB = MB + MA1

Mà MB + MA1  BA1

 MB + MA1min = BA1 B, M, A1 thẳng hàng

Hay M  BA1

 

P

Lập phƣơng trình đƣờng thẳng BA1, giải hệ tìm đƣợc toạ đội điểm M    



 ;2;2 13

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3); B(4; 4;5) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng AB, tìm giao điểm P đƣờng thẳng AB (Oxy)

Chứng minh rằng: Với Q



Oxy



biểu thức QAQB có giá trị lớn Q

 P Lời giải:

Phƣơng trình đƣờng thẳng AB:

    

 

 

 

t z

t y

t x

2

2

3

Giao điểm đƣờng thẳng AB với (Oxy)

nghiệm hệ:

      

  

 

 

0

2

3

z

t z

t y

t x



  

    ; 1;0

2 P



Oxy



Q

 biểu thức QAQB có giá trị lớn Q P Thật vậy, ta có tA.tB =

4 > 0, suy A, B phía (Oxy) Với ba điểm Q, A, B ta có: QAQB AB Dấu “=” xảy A, Q, B thẳng hàng

 

P Q P AB

Q   



Ví dụ:

Trong khơng gian Oxyz cho A(-3; 5; -5); B(5; -3; 7) mặt phẳng (P):

x + y + z = Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Lời giải:

Gọi H trung điểm AB, suy H có toạ độ H(1; 1; 1) Tam giác MAB có trung tuyến MH nên MA2

+ MB2 = 2MH2 +

2 AB

A

B

http://baigiangtoanhoc.com Page Gv: Mai Thị Mơ

Do MA2 + MB2 MH2min MHmin M

P

MH 

 ( ) hình chiếu H (P)

P(P) có véc tơ pháp tuyến n(1;1;1) O(P)

Mà OH (1;1;1)M O

Vậy M(0;0;0) MA2

+ MB2 nhỏ nhất, MA2 + MB2 = OA2 + OB2 = 142 Bài tập áp dụng:

1 Trong không gian với hệ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5);

B(1; 4; 3); C(5; 2; 1) mặt phẳng (P): x – y – z – = Gọi M điểm thay đổi (P) Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA2

+ MB2 + MC2

2 Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 3); B(3; 4; -1) mặt phẳng (P) có phƣơng trình 2x + y + 2z + = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho :

MA2 + MB2 nhỏ

3 Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); (0; 1; 0); C(1; 0; -2) Tìm điểm M mP(P): x + y + z + = cho tổng MA2 + 2MB2 + 3MC2 có giá trị nhỏ

4 Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); B(-3; 7; -18) mp(P): 2x – y + z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ

5 Cho A(1; 2; 2); B(5; 4; 4) mp(P): 2x + y – z + = Tìm điểm M thuộc (P) cho MA2 + MB2 nhỏ

Dạng 3:

Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B đƣờng thẳng (d) Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ nhất, MAMBlớn

Cách giải:

Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ

Bƣớc 1: Tìm toạ độ điểm A1, B1 theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B lên

(d)

Bƣớc 2: Tính độ dài AA1, BB1 từ tìm đƣợc điểm Nd chia véc tơ A1B1 theo tỷ số

1 BB

A A

 ( Gọi N điểm chia A1B1 theo tỷ số

1 A BB A

 )

1

1

1

BB A

NB A

NA 

Bƣớc 3: Chứng minh (MA + MB) M trùng với N

Thật vậy: Gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)),

A

B

A1

A2

B

1

N

A2, B khác phía (d) thoả mãn: 1 1 2 1 2 1 BB A A NB BB A A NA B B A A A d A A A A A                1 1 1 BB A A NB NA NB BB A A

NA A2, N, B thẳng hàng

NB NA B A MB MA MB

MA     

 2

Dấu “=” xảy M N

Ví dụ: Cho A(1; 1; 0); B(3; -1; 4) đƣờng thẳng (d):

2

1

1  

  

 y z

x

Tìm điểm M (d) cho MA + MB nhỏ Lời giải:

Đƣờng thẳng (d) có phƣơng trình tham số là: x = -1 + t; y = – t; z = -2 + 2t, a



1;1;2



+, Gọi A1 hình chiếu vng góc A lên d, suy A1 thuộc d



t t t



A d

A1( ) 1 1 ;1 ;22 

Vì AA1d AA1.a0



t2



(t)(2t2)0t 1

Vậy A1(0; 0; 0) AA1 



1;1;0



AA1 +, Gọi B1 hình chiếu vng góc B lên d

) ; ; ( ) 2 ; ; (

1           



B d B t t t BB t t t

Vì BB1 d BB1 aBB1.aBB1.a0(t4).1(t2).12(2t6)0t 3

2  BB

Vậy, điểm Ndchia véc tơ A1B1 theo tỉ số 1 BB A A  = -1 ) ; ; (

1    NA NB N

+, Ta chứng minh (MA + MB) M N

Thật vậy, gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng

xác dịnh bới B d (A2 B khác phía d)

thoả mãn AA1 = A2A1; A1A2 d

B N A NB BB A A NA BB A A A , , BB A 1 1 1

1     

 thẳng hàng

Vậy MA + MB = MA2 + MB  A2BMAMB Dấu “=” xảy M NM(1;1;2)

Ví dụ:

A B

N A2

M B

1

http://baigiangtoanhoc.com Page Gv: Mai Thị Mơ

Trong hệ Oxyz cho điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) đƣờng thẳng

            t z t y t x 2 :

Một điểm M that đổi  Xác định vị trí M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ

Lời giải:

2PABM = AB + MA + MB 2PminMAMBmin  có véc tơ phƣơng: u(2;1;2)

+, A1 hình chiếu A  A1(12t;1t;2t)

) ; ; 2 (

A1 t t t

A   



AA1 AA1 uAA1.u02(2t2)1(t4)4t 0

5 A ) ; ; ( A ) ; ; ( 0

9     1   1     1 

 t t A A A

+, B1 hình chiếu B B1(12t1;1t1;2t1)

) ; ;

( 1 1 1

1 t  t  t 

BB

BB1  nên BB1uBB1.u0



214

 

.2  2



.(1)(21 6).20

 t t t

1 BB A ) ; ; ( ) ; ; ( 18 1 1 1

1             

 t t B BB BB A

+, Gọi N điểm chia A1B1theo tỉ số - BB

A

1  A

(N nằm A1 B1)

) ; ; ( 1 NB N

NA  

 (N trung điểm A1B1)

+, Ta chứng minh MA + MB M N

Thật vậy, gọi A2 điểm thuộc mặt phẳng xác định (B; ()), A2 B khác phía đối

với  thoả mãn

      1 A A A A A A 1 1 1 BB A NB BB A A NA BB A A A     

 A2, N, B thẳng hàng

Vậy MA + MB + MA2 + MB  A2B NANB Dấu “=” xảy M  N M(1;02)

Ví dụ:

Trong không gian với hệ Oxyz cho A(2; 0; 3) ; B(2; -2; -3) A



B

M B1

A1

A2

:

3

1

2 y z

x

  

 Chứng minh A, B (

) nằm mặt phẳng Tìm điểm M thuộc đƣờng thẳng  cho MA4 + MB4 đạt giá trị nhỏ

Lời giải:

Phƣơng trình đƣờng thẳng AB:

         t z t y x 3 Phƣơng trình             ' ' ' : t z t y t x

Gọi I giao điểm AB  ta có:

            ' 3 ' ' 2 t t t t t ; ; ( '          I t t )

Vậy AB () cắt I nên A, B  đồng phẳng Có: IA(0;1;3);IB(0;1;3)

I IB IA 

 trung điểm AB , IA + IB = AB

Khi MA4 + MB4





2 2 2 2 ) (       

 MA MB MA MB ( )4

8 IB IA

AB  



Suy MA4 MB4 nhỏ MI(2;1;0)

Bài toán 2: VIẾT PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Dạng : Cho hai điểm phân biệt A B Viết phƣơng trình mặt phẳng ( ) chứa B cách A khoảng lớn

Cách giải:

Gọi H hình chiếu A lên (P), tam giác ABH vng H

 



A; P



 AH ABd



A;

 

P



d max = AB H B

Khi (P) mặt phẳng qua B vng góc với AB

Ví dụ 1: Viết phƣơng trình mặt phẳng qua điểm B(1; 2; -1) cách gốc toạ độ khoảng lớn

Lời giải:

Gọi H hình chiếu A mp(P) cần tìm, OH OB

 



O; P



OH OBd



O;

 

P



http://baigiangtoanhoc.com Page 10 Gv: Mai Thị Mơ

Vậy mp(P) qua B(1; 2; -1) nhận OB(1;2;1)làm véc tơ pháp tuyến

Vậy mp(P) có phƣơng trình: 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) =

0    

x y z

Dạng 2: Cho điểm A đƣờng thẳng khơng qua A Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa  cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn

Cách giải:

Gọi H hình chiếu vng góc A mp(P), K hình chiếu vng góc A đƣờng thẳng 

 



A; P



 AH AKd



A;

 

P



d max = AK  H K

Vậy mp(P) cần tìm mặt phẳng chứa  vng góc với AK Hay (P) chứa  vng góc với mp(AK;) Ví dụ:

Cho ba điểm A(1; 1; 1); B(2; 1; 0); C(2; 0; 2) Viết phƣơng trình mặt phẳng ()đi qua

hai điểm B, C cách điểm A khoảng lớn

Lời giải: Mặt phẳng cần tìm chứa BC vng góc với mp(ABC) Ta có

) ; ; ( ),

2 ; ;

(   

 AB

BC Toạ độ véc tơ pháp tuyến mp(ABC)



,



(!;2;1)

)

(  BC AB 

n ABC Suy mp( ) có véc tơ pháp tuyến



, ( )



(5;2;1)

 BC n ABC

n

Vậy phƣơng trình mặt phẳng ( ) -5(x – 2) + 2(y – 1) + Z = hay -5x + 2y + z + =

Dạng : Cho đƣờng thẳng d điểm A không thuộc d Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn

Cách giải :

Bƣớc : Gọi I hình chiếu vng góc A d Tìm đƣợc tọa độ điểm I Bƣớc : Gọi H hình chiếu vng góc I (P) Ta có IH IA Suy IHmax = IA H A Vậy (P) qua A nhận AIlàm vec tơ pháp tuyến

Bƣớc : Viét phƣơng trình mặt phẳng (P)

Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ O xyz choA(10;2;-1) đƣờng thẳng d có

phƣơng trình :

3 1

2

1  

 y z

x

Lập phƣơng trình mặt phẳng (P) qua A , song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn

Lời giải: Áp dụng phƣơng pháp giải ta tìm đƣợc phƣơng trình mặt phẳng (P) : 7x + y -5z -77 =

P

A

H K

Dạng 4: Cho hai đƣờng thẳng 1, 2 phân biệt không song song với Viết

phƣơng trình mặt phẳng ( ) chứa 1 tạo với 2 góc lớn

Lời giải: Vẽ đƣờng thẳng 3 song song với 2 cắt 1 K Gọi A

điểm cố định 3 H hình chiếu A mp( ) Ta có góc 2 ( )

chính góc AKH Kẻ AT1,(T1)

Khi tam giác HKT vuông T, nên cos AKH =

AK KT AK HK

 (khơng đổi) Vậy góc AKH lớn HK = KT hay H T

Góc lớn góc AKT = (1, 2)

Khi mặt phẳng ( ) cần tìm có véc tơ phơng



u1,u2



Do véc tơ pháp tuyến mp( ) n 



u1,



u1,u2





Ví dụ: Cho hai đƣờng thẳng

1 1 : ;

1

:

1

z y x y

x

  

 

 Viết phƣơng trình mặt phẳng

( ) chứa 1 tạo với 2 góc lớn

Lời giải: Ta tháy hai đƣờng thẳng phân biệt không song song với Theo kết tốn u1 (1;1;2), u2 (1;1;1), suy



u1,u2



(1;1;0)

Do véc tơ pháp tuyến mp( ) n 



u1,



u1,u2





(2;2;2)

Vậy phƣơng trình mp( ) -2x -2(y - 1) + 2z = hay x + y - z - =

Dạng : Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng (d) tạo với mặt phẳng (Q) góc nhỏ

Cách giải:

Bƣớc 1: Gọi M(x0; y0; x0) thuộc (d); mặt phẳng (P) chứa (d) nên điểm M thuộc

(P)

Phƣơng trình mp(P): A(x – x0) + B(y – y0) + c(z – z0) = (A

+ B2 + C2 0)

Bƣớc 2: mp(P) có véc tơ pháp tuyến: np (A;B;C)

(Q) có véc tơ pháp tuyến: nQ (A';B';C')

Gọi  góc (P) (Q) Ta có

2 2 2

' ' '

' ' ' cos

C B A C B A

CC BB AA

  



  



Bƣớc 3: (P) chứa (d) nên nP.ud 0 biểu thị liên quan A, B, C Tìm giá trị

lớn cos 

Ví dụ: Viết phƣơng trình mp(P) chứa đƣờng thẳng (d):

    

 

  

 

t z

t y

t x

http://baigiangtoanhoc.com Page 12 Gv: Mai Thị Mơ

và tạo với mp(Q): 2x – y – 2z – = góc nhỏ Hƣớng dẫn giải:

Áp dụng kết tốn tìm đƣợc

2

2

5

3 cos

C BC B

B

 





=

3

3

1

2         

B C

Suy cos lớn

1

  

B C

B

C



Vậy mp(P) có phƣơng trình x + y – z + = Bài tập áp dụng:

1 Trong không gian với hệ Oxyz cho điểm A(2; 5; 3), đƣờng thẳng d:

2

2

1  

 y z

x Viết phƣơng trình mp(P) chứa (d) cho khoảng cách từ A đến (P)

lớn

2 Cho d1:

1

2

1

    

 y z

x

d2:

1

1

2 

    

z y

x

Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời tạo với d2 góc nhỏ

3 Trong không gian với hệ Oxyz cho d:

1 1

2

1

    

 y z

x Viết phƣơng trình

mp(P) chứa d tạo với mp(Oxy) góc nhỏ

Bài tốn : VIẾT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

Dạng 1: Cho mặt phẳng ( ) điểm A thuộc ( ), điểm B khác A Tìm đƣờng thẳng  nằm ( ) qua A cách B khoảng nhỏ

Cách giải: Gọi H hình chiếu vng góc B ,ta thấy d(B; ) = BH AB

Vậy khoảng cách lớn H A

Khi là đƣờng thẳng qua A có véc tơ phƣơng u 



na,AB



Gọi T hình chiếu

của B ( ) , ta thấy BHBT

Vậy khoảng cách BH nhỏ BT H T hay đƣờng thẳng  qua A T

để viết phơng trình đƣờng thẳng  ta có hai cách :

+, Tìm hình chiếu vng góc T B , từ viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua A T

+, Tìm toạ độ véc tơ phƣơng đƣờng thẳng : u 



n,



n,AB





P A H

B

Ví dụ: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  qua A(1;1;1) vng góc với đƣờng thẳng

) (

1 :

' t R

t z

t y

t x

 

   

 

  

 cách điểm B(2;0;1) khoảng lớn

Lời giải: Gọi ( ) mặt phẳng qua A vng góc với ’

Khi đƣờng thẳng nằm mặt phẳng ( ) qua A cách B khoảng lớn

Theo tốn trên, ta có AB(1;1;0),n (1;1;2),u 



n,AB







2;2;2



Vậy phƣơng trình đƣờng thẳng  ( )

1

R t t z

t y

t x

 

   

 

 

 

Dạng 2: Cho mặt phẳng

 

 điểm A thuộc

 

 , đƣờng thẳng d không song song hay nằm

 

 Tìm đƣờng thẳng nằm

 

 qua A tạo với đƣờng thẳng d góc bé nhất, lớn

Cách giải: Vẽ đƣờng thẳng qua A song song với d Trên đƣờng thẳng lấy điểm B khác A cố định Hình chiếu vng góc B 

 

 theo thứ tự H K

Ta có: (d, ) = BAH; sin(d, ) =

AB BK AB BH 

Vậy (d, ) nhỏ H K, hay  đƣờng thẳng AK

Ta thấy véc tơ phƣơng là u 



n,

 

n,ud



,

đƣờng thẳng tạo với d góc lớn 900 có véc tơ phƣơng u 

 

n,ud

Dạng : Cho mặt phẳng

 

 điểm A thuộc

 

 ,đƣờng thẳng d không song song với

 

 , không nằm

 

 , không qua A Tìm đƣờng thẳng  nằm mặt phẳng

 

 qua A cho khoảng cách  đƣờng thẳng d lớn Cách giải:

Gọi d’ đƣờng thẳng qua A song song với d B giao điểm d với mp

 



Gọi H hình chiếu vng góc B

mặt phẳng (d’,) Khoảng cách d  BH Gọi C hình chiếu vng góc B d’

Ta thấy BHBC,nên BH lớn H C

P A H

K  A d

P

B C H



A d

http://baigiangtoanhoc.com Page 14 Gv: Mai Thị Mơ

Khi đƣờng thẳng  có véc tơ phƣơng u 



n,BC



Có thể thay véc tơ BC

bằng AT , T hình chiếu vng góc A d Bài tập áp dụng:

1 Trong không gian với hệ Oxyz viết phƣơng trình đƣờng thẳng d1 qua A(1; 1;

2) vng góc với d2:

2

2

1 y z

x   

đồng thời tạo với trục Oz góc  nhỏ Trong không gian với hệ Oxyz, cho d1:

1

2

1 y z

x

   

hai điểm A(1; 1; 0); B(2; 1; 1) Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d2 qua A vng góc với d1 cho

khoảng cách từ điểm B đến đƣờng thẳng d2 lớn

Phần : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƢỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM 1 Kết :

Khi chƣa thực đề tài cảm thấy học sinh hay vƣớng mắc giải toán cực trị hình học khơng gian Sau nghiên cứu thực giảng dạy theo đề tài gây đƣợc hứng thú học tập cho học sinh giúp học sinh giải nhiều khó dạng tốn thƣờng xuất đề thi đại học ,cao đẳng trung học chuyên nghiệp Giải đƣợc dạng tập giúp học sinh rèn luyện khả tƣ cho học sinh ,phát huy tỉnh tích cực sáng tạo học toán nữagiúp học sinh hệ thống kiến thức phƣơng pháp giải để học sinh tự tin bƣớc vào kỳ thi

Thực tế thực đề tài chất lƣợng học sinh đƣợc nâng lên rõ rệt Lớp Số

HS

Điểm 8-10 Điểm 6.5 đến dƣới

Điểm đến 6.5

Điểm đến dƣới

Điểm dƣới 12 B 45 13.3 13 28.9 22 48.9 9.8 0 12E 45 17.8 15 33.3 19 42.2 6.7 0 2 Bài học kinh nghiệm :

Việc lựa chọn phƣơng pháp , hệ thống kiến thức rèn cho học sinh khả tƣ cần thiết

Trong thực tế nhiều học sinh tiếp thu phƣơng pháp nhanh nhƣng việc trình bày chƣa chặt chẽ giáo viên cần sửa cho học sinh cách tỉ mỉ

đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lƣợng giảng dạy mơn tốn trƣờng THPT nói chung ,trƣờng THPT Ba Đình nói riêng

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2013

Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung ngƣời khác