ĐỀ bài toán cực trị trong hình giải tích trong không gian có lời giải chi tiết

ĐỀ THI ONLINE –TÌM ĐIỂM CĨ YẾU TỐ MIN - MAX I Mục tiêu đề thi: Đề thi xét tốn tìm điểm thuộc mặt phẳng, điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt cầu để giá trị biểu thức T đạt giá trị lớn nhất, nhỏ II Nội dung đề thi Câu (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P)  cho xM2  yM2  zM2 A M (1;3;1)  nhỏ B M (3;1;1) C M 1;1;  1 5 D M  ; ;  3 3 Câu (nhận biết) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  MB nhỏ A M (1;3;1) B M (0;0;3) C M (6;0;0) D M (2; 2;1) Câu (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1), C (0, 2,5) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  MB  MC nhỏ A M (1;3;1) B M (3;1;1) 7 5 C M  ; ;   3 3 1 5 D M  ; ;  3 3 Câu (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1), B(1;3; 1), C (0, 2,3) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  MB  2MC nhỏ A M (1;3;1) B M (3;1;1) 7 5 C M  ; ;   3 3 1 5 D M  ; ;  3 3 Câu (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1), B(1;3; 1), C (0, 2,3) mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  2MB  3MC nhỏ  43 16  A M   ; ;   18 18   43 16  B M  ; ;   18 18   16  C M  ; ;   18 9  1 5 D M  ; ;  3 3 Câu 6: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1) B(2;0; 4) ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho (MA+MB) A M  2; 2;0  2  B M  ; ;  3  1 4 C M  ; ;  3 3 D M (0;2;2) Câu 7: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0; 2;1) B(2;0; 4) ( P) : x  y  z  Tìm M  ( P) cho (MA+MB) 2  A M  ;  ;0  3  2 2 B M  ;0;   3 3  2 C M   ;0;   3  2  D M   ; ;0   3  Câu 8: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;0;1) , B(1;1;0) mặt phẳng (P) có phương trình ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  MB max 1  A M  2; ;   3   1 B M   ; ;    3 3   C M   ; ; 1  3  1  D M  2;  ;   3  Câu 9: (vận dụng thấp)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;0) B(1;0; 1) mặt phẳng (P) có phương trình ( P) : x  y  z   Tìm M  ( P) cho MA  MB max 1 3 A M  ;0;  2 2 B M  3;0; 1 C M  1;0;3 D M  0;1;0  Câu 10: (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  3z A(0;0;1), B(0;1;0) Tìm M  (d ) cho MA2  MB A M (6; 3; 2) B M (6;3; 2)   15 15 C M   ;  ;    49 98 49   15 15  D M  ; ;   49 98 49  Câu 11 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) , B(2;0;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oyz) cho : MA2  MB đạt giá trị bé A M (0;1;0) B M (0; 2;1) C M (0;1; 2) D M (0; 1;1) Câu 12: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  z A(0;0;1), B(0;1;0) Tìm M  (d ) cho AM  BM A M (1; 1; 1) B M (1;1;1) 1 1 C M  ; ;  3 3  1 1 D M   ;  ;    3 3 Câu 13: (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y  z A(0;0;1), B(0;1;0), C (1;0;0) Tìm M  (d ) cho AM  BM  CM A M (1; 1; 1) B M (1;1;1) 1 1 C M  ; ;  3 3  1 1 D M   ;  ;    3 3 Câu 14(thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;1), B(0;1;0), C (1;0;0) phương trình d : x  y   z Tìm M  d cho MA  MB  MC A M (1; 1;1) B M (1;1; 1) 1 1 C M  ; ;   3 3 Câu 15 (nhận biết)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : M  d cho OM đạt giá trị nhỏ  1 1 D M   ;  ;   3 3 x 1 y  z  Tìm    16  C M   ; ;    7 7  16  B M   ; ;   7 7 A M (4;4;4) D M 1; 2;3 Câu 16 (thông hiểu) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1; 2;3) đường thẳng x 1 y  z  Gọi B điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oyz) Tìm M  d cho BM đạt giá d:   trị nhỏ  10 16 22  A M  ; ;  7 7   12 20  C M  ; ;  7 7   18  B M   ; ;   7 7  16  D M   ; ;   7 7 Câu 17 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y   z  A(2;1;0), B(4; 5;3) Tìm M  (d ) cho (MA+MB) nhỏ A M (1; 2;0) B M (1;0; 2) D M (0; 1;1) C M (2;1;3) Câu 18 (vận dụng thấp) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d : x  y   z  A(2;1;0), B(4; 5;3) Tìm M  (d ) cho MA  MB nhỏ  1 B M   ;  ;   2 2 1  A M  1;0;  2  1  C M   ; 1;  2   1 D M   ; ;    2 2 Câu 19 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x  y  z  x  y  z   mặt phẳng (P) có phương trình x  y  z  14  Tìm điểm M  ( S ) để d ( M ; P) đạt GTLN A M  2;1; 2  C M  2;1; 2  B M (1; 1; 3) D M (1;1;3) Câu 20 (vận dụng cao)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 2 4  2  7  ( S ) :  x     y     z    mặt phẳng (P) có phương trình x  y  z   Tìm điểm M  ( P) 3  3  3  để từ M kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) N cho MN đạt giá trị nhỏ  26  A M  ; ;    9 9 B M (1;1;1) C M (2;1;0) D M (3;0;0) ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1C 6B 11A 16B 2A 7C 12C 17D 3D 8A 13C 18B 4D 9B 14D 19B 5B 10D 15B 20A HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu Phương pháp:    Vì xM2  yM2  zM2  OM  xM2  yM2  zM2 đạt giá trị nhỏ  MO đạt giá trị nhỏ  M  hình chiếu O mặt phẳng (P) Bài tốn đưa nhiệm vụ tìm hình chiếu O mặt phẳng (P) Cách làm: Ta có xM2  yM2  zM2  OM   xM2  yM2  zM2  đạt giá trị nhỏ  MO đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu O mặt phẳng (P) x  t  MO  nP  1;1;   Ta có: MO :   MO :  y  t O(0;0;0)  z  2t  x  t x  t x  y  t y  t y 1    Tọa độ M nghiệm hệ     M 1;1;   z  2t  z  2t z   x  y  z   6t   t  Chọn C Câu Phương pháp:  Vì MA  MB  2MI  2MI (với I trung điểm AB)  MA  MB đạt giá trị nhỏ  MI đạt  giá trị nhỏ  M hình chiếu I mặt phẳng (P) Bài tốn đưa nhiệm vụ tìm hình chiếu I mặt phẳng (P) Cách làm: Gọi I trung điểm AB  I (0; 2; 1) Ta có MA  MB  2MI  2MI MA  MB đạt giá trị nhỏ  MI đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu I mặt phẳng (P) x  t  MI  nP  1;1;    MI :  y   t Ta có: MI :   z  1  2t  I (0; 2; 1)  x  t x  t x  y  2 t y  2 t y     Tọa độ M nghiệm hệ     M (1;3;1) z    t z    t z      x  y  z   6t   t  Chọn A Câu Phương pháp:  Vì MA  MB  MC  3MG (với G trọng tâm  ABC)  MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ   MG đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu G mặt phẳng (P) Bài toán đưa nhiệm vụ tìm hình chiếu G mặt phẳng (P) Cách làm: Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G(0; 2;1) Ta có MA  MB  MC  3MG  3MG MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ  MG đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu G mặt phẳng (P) x  t u MG  nP  1;1;    MG :  y   t Ta có: MG :   z   2t G (0; 2;1)   x   x  t x  t y  y   t y   t    1 5 Tọa độ M nghiệm hệ    M ; ;  3 3  z   2t  z   2t z   x  y  z   6t     t   Chọn D Câu Phương pháp:  Tính MA  MB  2MC =k.MJ với J điểm cố định  Bài tốn đưa tìm hình chiếu J (P) Cách làm: Gọi I trung điểm AB  I (0; 2; 1) Ta có MA  MB  2MC  2MI  2MC  MI  MC Gọi J trung điểm IC  J  0; 2;1 Ta có MI  MC  2MJ  2MJ Suy MA  MB  2MC  4.MJ MA  MB  2MC đạt giá trị nhỏ  MJ đạt giá trị nhỏ  M hình chiếu J mặt phẳng (P) x  t  MJ  nP  1;1;   Ta có: MJ :   MJ :  y   t  z   2t  J (0; 2;1)   x    x  t x  t y  y   t y   t    1 5 Tọa độ M nghiệm hệ    M ; ;  3 3  z   2t  z   2t z   x  y  z   6t     t   Chọn D Câu Phương pháp:  Tính MA  2MB  3MC =k.MJ với J điểm cố định  Bài toán đưa tìm hình chiếu J (P) Cách làm: Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G  0; 2;1 I điểm nằm BC cho  x    x   2x  3x  1      5 IB  2IC    y    y     3y    y   I ; ;   3 3  3z     x    z  3   z    13  J trung điểm GI  J   ; ;   6 3 Khi đó:     3MG   MI  IB    MI  IC   3MG  3MI   MG  MI   3.2.MJ  6MJ MA  2MB  3MC  MA  MB  MC  MB  2MC  MA  2MB  3MC  MJ  6MJ Nên MA  2MB  3MC đạt GTNN M hình chiếu J  P   x    t MJ  n P  1;1;   13 13       y   t  M    t;  t;  2t  Ta có: MJ :   13  6   J   ; ;       z   2t  13 4   43 16  M   P     t   t    2t       6t   t   M  ; ;  6 3   18 18  Chọn B Câu Phương pháp:    Xét vị trí A, B so với bờ mặt phẳng (P) Nếu A, B khác phía với (P) MA+MB A, B, M thẳng hàng Nếu A, B phía với (P) lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) A’ ta có MA+MB=MA’+MB Khi MA+MB A’, B, M thẳng hàng Cách làm: Ta có ( xA  y A  z A  4)( xB  yB  zB  4)  (0    4)(2    4)  Suy A, B khác phía với (P) Ta có: AM  MB  AB  Min( AM  MB )  AB  A,B,M thẳng hàng  M  AB  ( P)  x  2t  AB(2; 2;3)   AB :  y   2t Phương trình đường thẳng AB :   A(0; 2;1)  z   3t   t   x  2t  x  2t   y   2t  y   2t    x  2  Tọa độ M nghiệm hệ     M  ; ;2 3   z   3t  z   3t  y   x  y  z   3t      z  Chọn B Câu Phương pháp:    Xét vị trí A, B so với bờ mặt phẳng (P) Nếu A, B khác phía với (P) MA+MB A, B, M thẳng hàng Nếu A, B phía với (P) lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) A’ ta có MA+MB=MA’+MB Khi MA+MB A’, B, M thẳng hàng Cách làm: Ta có ( xA  y A  z A )( xB  yB  z B )  (0   1)(2   4)  Suy A, B phía với (P) Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P) x  t AA '  (P)  AA '  n P  (1;1;1)   AA':   AA ' :  y   t  A(0; 2;1) z   t  Gọi H hình chiếu A mặt phẳng (P) ta có H  AA ' ( P) x  t x  t  x  1 y  2 t y  2 t y 1    Suy tọa độ H nghiệm hệ     H (1;1;0) z  1 t z  1 t z   x  y  z  3t   t  1 Vì H trung điểm AA’ nên ta có A '(2;0; 1) Ta có: AM  MB  A ' M  MB  A ' B  ( AM  MB )  A ' B  A’,B,M thẳng hàng  M  A ' B  ( P)  x   4t  A ' B(4;0;5)   A' B :  y  Phương trình đường thẳng A ' B :   B(2;0; 4)  z   5t   x    x   4t  x   4t  y0 y  y      2 Tọa độ M nghiệm hệ     M   ;0;   3  z   5t  z   5t z   x  y  z  9t    t    Chọn C Câu Phương pháp:   Xét vị trí A, B so với bờ mặt phẳng (P) Nếu A, B phía với (P) MA  MB max A, B, M thẳng hàng  Nếu A, B khác phía với (P) lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) A’ ta có MA  MB  MA ' MB Khi MA  MB max A’, B, M thẳng hàng Cách làm: Ta có ( xA  y A  z A  1)( xB  yB  zB  1)  (2    1)(1    1)  Suy A, B phía với (P) Ta có: MA  MB  AB  Max MAMB  AB  A,B,M thẳng hàng  M  AB  ( P)  x   3t  AB(3;1; 1)   Phương trình đường thẳng AB :   AB :  y  t   A(2;0;1) z  1 t   x  2   x   3t  x   3t y  y  t  1  y  t     Tọa độ M nghiệm hệ   M  2; ;   3  z  1 t z  1 t z    x  y  z   3t    t   Chọn A Câu Phương pháp:   Xét vị trí A, B so với bờ mặt phẳng (P) Nếu A, B phía với (P) MA  MB max A, B, M thẳng hàng  Nếu A, B khác phía với (P) lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) A’ ta có MA  MB  MA ' MB  A ' B Khi MA  MB max A’, B, M thẳng hàng Cách làm: Ta có ( xA  y A  z A  2)( xB  yB  zB  2)  (1  2.2   2)(1  2.0   2)  Suy A, B khác phía với (P) Gọi A’ điểm đối xứng A(1; 2;0) qua ( P) : x  y  z   Gọi H hình chiếu A (P) Ta có: x  1 t  AH  nP  (1; 2;1)  AH :   AH :  y   2t  A(1; 2;0) z  t  Tọa độ H nghiệm hệ  x   x  1 t x  1 t  y   y   2t  1   y   2t  1       H  ;1;   2 2 z  t z  t z    x  y  z   6t    t    H trung điểm AA’ Suy A '  0;0; 1 Ta có: MA  MB  MA ' MB  A ' B  max MA MB  A ' B  A’,B,M thẳng hàng  M  A ' B  ( P) x  1 t  A ' B 1;0;0  Phương trình đường thẳng A ' B :   A'B :y   B(1;0;  1)  z  1  x  1 t x  1 t x  y  y  y     Tọa độ M nghiệm hệ     M  3;0; 1  z  1  z  1  z  1  x  y  z   t   t  Chọn B Câu 10 Phương pháp:    Lấy M  d Tính biểu thức MA2  MB Biến toán Min, Max Cách làm:  x  6t  Phương trình tham số d : x  y  3z là:  y  3t  z  2t  Lấy M  d  M  6t ;3t ;2t  Ta có AM   6t;3t; 2t  1 ; BM   6t;3t  1; 2t  2 2 2  MA2  MB   6t    3t    2t  1    6t    3t  1   2t              49t  4t   49t  6t   49t  5t  2      171   171 171   7t   2.7t        7t      14 14 98 14 98 98         Dấu = xảy 7t  5  15 15  0t  M ; ;  14 98  49 98 49  Chọn D Câu 11 Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính độ dài đoạn thẳng: Cho hai điểm A(a1 ; a2 ; a3 ) B(b1 ; b2 ; b3 ) ta có: AB | AB |  (b1  a1 )2  (b2  a2 )2  (b3  a3 ) Cách làm: M thuộc mặt phẳng (Oyz), giả sử M (0; m; n) Ta có MA  (0  0)2  (m  2)  (n  1)  (m  2)  (n  1) MB  (0  2)  (m  0)  (n  1)  m2  (n  1)  Suy MA2  MB  (m  2)  (n  1)  m2  (n  1)   2m2  4m  2n  10  2(m2  2m  1)  2n   2(m  1)  2n   m   m  min( MA2  MB )     n  n  Vậy M (0;1;0) Chọn A Câu 12 Phương pháp:  Lấy M  d  Tính giá trị AM  BM  Biến toán Min, Max Cách làm: Lấy M  (d )  M (t; t; t ) Khi ta có:  AM   t ; t ; t  1  AM  BM   2t ; 2t  1; 2t  1   BM   t ; t  1; t   AM  BM   2t  2   2t  1  12t  8t   t  t  2 1  1  t  t     t     18   18 2 1 1 Dấu = xảy t  Suy M  ; ;  3 3 Chọn C Câu 13 Phương pháp:  Lấy M  d  Tính giá trị AM  BM  CM  Biến toán Min, Max Cách làm: Lấy M  (d )  M (t; t; t ) Khi ta có:  AM   t ; t ; t  1   BM   t ; t  1; t   AM  BM   3t  1;3t  1;3t  1  CM   t  1; t ; t   AM  BM  CM   3t  1   3t  1  1 1 Dấu = xảy t  Suy M  ; ;  3 3 Chọn C Câu 14 Phương pháp:  Lấy M  d  Tính giá trị MA  MB  MC  Biến toán Min, Max Cách làm: Lấy M  (d )  M (t; t; t ) Khi ta có:  AM   t ; t ; t  1   BM   t ; t  1; t   AM  BM  CM   t  1; t  1; 1  t   CM   t  1; t ; t   MA  MB  MC  AM  BM  CM   t  1   t  1 2 2  1  3t  2t   t  t    t     3  3 2  1 1 Dấu = xảy t   Suy M   ;  ;   3 3 Chọn D Câu 15 Phương pháp:    Lấy M  d Tính giá trị OM Biến toán Min, Max Cách làm:  x   3t  Phương trình tham số đường thẳng d d :  y   2t z   t  Lấy M  (d )  M (1  3t;2  2t;3  t) Khi ta có: OM  1  3t;  2t;3  t   OM  1  3t     2t     t  2  14t  20t  14  14 t  10 48   24 t   14  t     7   49  16  Dấu = xảy t   Suy M   ; ;   7 7 Chọn B Câu 16 Phương pháp:     Tìm tọa độ điểm B điểm đối xứng A qua mặt phẳng (Oyz) Lấy M  d Tính giá trị BM Biến toán Min, Max Cách làm:  B điểm đối xứng A(1; 2;3) qua mặt phẳng (Oyz)  B(1; 2;3)   x   3t  Phương trình tham số đường thẳng d d :  y   2t z   t  Lấy M  (d )  M (1  3t;2  2t;3  t) Khi ta có: BM    3t; 2t; t    3t    2t    t   BM  2  14t  12t  10  3  14 t  t   14  t     7   49  18  Dấu = xảy t   Suy M   ; ;   7 7 Chọn B Câu 17 Phương pháp:    Lấy M  d Tính biểu thức MA+MB Biến toán Min, Max Cách làm: x  t  Phương trình tham số d : x  y   z  là:  y  1  t z  1 t  Lấy M  d  M t ; 1  t ;1  t  Ta có AM   t  2; 2  t; t  1  MA   t     t  1  3t  6t   t  2t  2 BM   t  4; t  4; t    MB   t    (t  2)  3t  12t  36  t  4t  12  MA  MB  t  2t   t  4t  12  Xét hàm f  t   t  2t   t  4t  12, t  R ta có:  t  2t   t  4t  12  t 1 f ' t   f ''  t    t  2t  t2 t  4t  12 t  2t   t  2t  3  t  4t  12  t  4t  12  0, x Do f '  t  đồng biến R Mà t  nghiệm f '  t   nên phương trình f '  t   có nghiệm t  Bảng biến thiên:  MA  MB     12  Dấu “=” xảy t   M  0; 1;1 Chọn D Câu 18 Phương pháp:  Lấy M  d  Tính biểu thức MA  MB  Biến toán Min, Max Cách làm: x  t  Phương trình tham số d : x  y   z  là:  y  1  t z  1 t  Lấy M  d  M t ; 1  t ;1  t  Ta có AM   t  2; 2  t ; t  1 ; BM   t  4; t  4; t    AM  BM   2t  2; 2t  2; 2t  1  MA  MB  AM  BM   2t     2t  1 2  1  12t  12t   t  t    t       2 2  1 Dấu “=” xảy t    M   ;  ;   2 2 Chọn B Câu 19 Phương pháp: Đổi hệ trục tọa độ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopki Cách làm: (S) có tâm I 1; 2; 1 bán kính R   X  x 1  Đổi hệ trục tọa độ với Y  y  Z  z   Khi đó, ta có phương trình mặt phẳng (P) X  Y  2Z  12  Phương trình mặt cầu (S) trở thành X  Y  Z  Lấy M (a; b; c) (S ) Khi ta có: a  b2  c  Ta có: d (M , P)  2a  b  2c  12 Theo bất đẳng thức Bunhiacopki ta có:  2a  b  2c    22  12  22  a  b  c   9.9  81  9  2a  b  2c   9  12  2a  b  2c  12   12  21  2a  b  2c  12  3  2a  b  2c  12  21 a  2 a b c      b   M  2;1; 2  Dấu = xảy  1 2a  b  2c  9 c  2  x  a 1  Tọa độ điểm M hệ trục tọa độ Oxyz  y  b   M (1; 1; 3) z  c 1  Chọn B Câu 20 Phương pháp: Ta có MN  IM  IN  IM  R2  MNmin  IM  M hình chiếu I (P) Cách làm:  4 7 (S) có tâm I  ;  ;   3 3   MN  IN MN tiếp xúc với (S) N ta có   IN  R Theo định lý Pitago ta có MN  IM  IN  IM  R2  MNmin  IM  M hình chiếu I (P) Ta có  x   t  MI  nP  1;1;1    MI :     MI :  y    t I  ;  ;     3 3  z    t  Tọa độ M nghiệm hệ phương trình 26   x  t x    x   t    y    t y   y    t    26     M  ; ;    9 9  z    t z   7 z    t      14 14  x  y  z   3t   t    Chọn A ... giá trị nhỏ  MO đạt giá trị nhỏ  M  hình chi u O mặt phẳng (P) Bài toán đưa nhiệm vụ tìm hình chi u O mặt phẳng (P) Cách làm: Ta có xM2  yM2  zM2  OM   xM2  yM2  zM2  đạt giá trị nhỏ... MA  MB đạt giá trị nhỏ  MI đạt  giá trị nhỏ  M hình chi u I mặt phẳng (P) Bài tốn đưa nhiệm vụ tìm hình chi u I mặt phẳng (P) Cách làm: Gọi I trung điểm AB  I (0; 2; 1) Ta có MA  MB  2MI... MC đạt giá trị nhỏ   MG đạt giá trị nhỏ  M hình chi u G mặt phẳng (P) Bài tốn đưa nhiệm vụ tìm hình chi u G mặt phẳng (P) Cách làm: Gọi G trọng tâm tam giác ABC  G(0; 2;1) Ta có MA  MB 