Cuc tri trong dien xoay chieu1

XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá tr[r]

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

LỜI MỞ ĐẦU

-

Bài toán cực trị mạch điện xoay chiều dạng tốn khó học

sinh lớp 12 tài liệu hệ thống hóa cách đầy đủ dạng tốn này.

-

Với đề thi trắc nghiệm đại học nay, việc áp dụng trực tiếp kết

bài toán cực trị làm cho học sinh khơng có nhìn tổng quan phương pháp

giải dạng tốn này.

-

Chính lý đó, tơi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN

XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa số dạng tốn cực trị tốn

phục vụ cho cơng tác giãng dạy bạn đồng nghiệp, tài liệu để

học sinh tham khảo trỉnh học.

-

Đề tài gồm bốn phần : khảo sát biến thiên đại lượng công suất,

hiệu điện thiết bị… theo giá trị biến trở R, theo giá trị độ tự

cảm L, theo giá trị điện dung C theo giá trị tần số góc .

-

Vì thời gian có hạn, nên q trình viết có nhiều thiếu xót, mong

sự đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh.

MỤC LỤC

I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp

1 Có hai giá trị R1  R2 cho giá trị công suất Giá trị R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại b Giá trị R làm cho công suất R cực đại c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R

II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm Có hai giá trị L1  L2 cho giá trị công suất

2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng Giá trị ZL để hiệu điện ULmax

4 Có hai giá trị L1  L2 cho giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 Giá trị ZL để hiệu điện ULRrmax

III Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp Có hai giá trị C1  C2 cho giá trị công suất Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng Giá trị ZC để hiệu điện UCmax

4 Có hai giá trị C1  C2 cho giá trị UL giá trị ZC để UCmax tính theo C1 C2 Giá trị ZC để hiệu điện UCRrmax

IV Sự thay đổi  mạch R-L-C mắc nối tiếp Giá trị  làm cho Pmax

2 Khảo sát biến thiên cơng suất theo 

3 Có hai giá trị 1  2 cho công suất giá trị  làm cho Pmax tính theo 1 2 Giá trị  làm cho hiệu điện ULmax

5 Giá trị  làm cho hiệu điện Ucmax

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

I Sự thay đổi R mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u U 0cos(tu)

R biến trở, giá trị R0 , L C không đổi Gọi Rtd = R + R0

1 Có hai giá trị R1  R cho giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ mạch :

2

2 ( )2

td td

td L C

U P R I R

R Z Z

 

 

- Vì P1 = P2 = P nên ta xem cơng suất phương trình số khơng đổi ứng với hai giá trị R1 R2 Khai triển biểu thức ta có:

2 ( )2 0

td td L C

PR  R U P Z  Z 

- Nếu có giá trị điện trở cho giá trị cơng suất phương trình bậc có hai nghiệm phân biệt R1 R2 Theo định lý Viète (Vi-et):

2

1 2

2

1 2

( ) ( )( ) ( )

2

td td L C L C

td td

R R Z Z R R R R Z Z

U U

R R R R R

P P

       

 



 

    

 

 

- Từ ta thấy có giá trị R1 R2 khác cho giá trị công suất 2 Giá trị R làm cho công suất cực đại

a Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại

- Ta có:

2

2

2

2 ( )2 ( )

td td

L C

td L C

td

td

U U

P R I R

Z Z

R Z Z

R

R

  



 



- Đặt

2

( L C)

td

td Z Z A R

R



 

, áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A

2

( ) ( )

2

L C L C

td td L C

td td

Z Z Z Z

A R R Z Z const

R R

 

     

- Ta thấy Pmax Amin => “ =” xảy Vậy: Rtd ZL ZC - Khi giá trị cực đại công suất là:

2 2

max

1 2

2 L C td td ( )( )

U U U

P

Z Z R R R R R R

  

  

Với R1td R2td hai giá trị R cho giá trị công suất

Lưu ý: Khi ZL ZC R0thì giá trị biến trở R < 0, giá trị biến trở làm cho

cơng suất tồn mạch cực đại R = 0.

b Giá trị R làm cho công suất R cực đại

http://buicongthang.tk Trang

A B

C

R L,R0

- Công suất biến trở R

2

2

2

2

0

0 ( ) ( )

( ) ( )

R

L C

L C

U U

P R I R

R R Z Z

R R Z Z

R

  

  

  

- Đặt mẩu thức biểu thức :

2 2

0

0

( ) ( ) ( )

2

L C L C

R R Z Z R Z Z

A R R

R R

    

   

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

2 2

2

0

0 0

( ) ( )

2 2 ( )

L C L C

L C

R Z Z R Z Z

A R R R R R Z Z R const

R R

   

         

- Ta thấy PRmax Amin nghĩa dấu “ =” phải xảy ra, đó:

2

0 ( L C)

R R  Z  Z

- Công suất cực đại biến trở R là:

2

max 2 2

0

2 ( )

R

L C

U P

R Z Z R



  

c Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện cuộn dây cực đại, hiệu điện tụ điện cực đại.

- Ta có :

2 2

â 0

2

0

; ;

( ) ( )

d y d L c C

L C

P R I U I Z R U IZ U

I

R R Z Z

   



  

- Vì R0; ZL; ZC U đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại cần cường độ dịng điện qua mạch cực đại Từ biểu thức dòng điện ta thấy Imax giá trị biến trở R =

3 Khảo sát biến thiên công suất vào giá trị R

- Để thấy rõ phụ thuộc cơng suất tồn mạch vào giá trị biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có cơng suất tồn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho hàm số:

2

2

0

( )

td td

td L C

td

U P R I R

R Z Z

R R R

 

 

 

- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có:

2

'

2 2

( )

( )

( ( ) )

L C td

td L C

Z Z R

P R U

R Z Z

 



 

Khi P R'( ) 0  (ZL ZC)2 Rtd2  0 Rtd ZL ZC  RZL ZC  R0

Bảng biến thiên : R

ZL ZC  R0 +

P’(R) +

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

P(R)

2

max

2 L C

U P

Z Z

 

0 2

0 ( L C)

U P R

R Z Z



  0

Đồ thị P theo Rtd :

Nhận xét đồ thị :

 T

ừ đổ thị ta thấy có hai giá trị R1 R2 cho giá trị công suất.  Công suất đạt giá trị cực đại RZL ZC  R0 0

 Trong trường hợp RZL ZC  R0 0 đỉnh cực đại nằm phần R<

do ta thấy cơng suất mạch lớn R = 0.

 Nếu R0 = đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ ta ln có giá trị R làm cho cơng suất tồn mạch cực đại RZL ZC

Kết luận:

 Với phương pháp khảo sát hàm số để thu kết phần

không hiệu phương pháp dùng tính chất hàm bậc bất đẳng thức Cauchy

 Tuy nhiên từ việc khảo sát ta biết biến thiên P theo

biến trở R nhằm định tính giá trị công suất tăng hay giảm thay đổi điện trở.

II Sự thay đổi L mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây cảm.

http://buicongthang.tk Trang

P

R O

Pmax

R=ZL - ZC - R0

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u U 0cos(tu)

L cuộn dây cảm có giá trị thay đổi R C khơng đổi

1 Có hai giá trị L1  L cho giá trị công suất

- Vì có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất nên:

1

2

1 2 ( )2 ( )2

L C L C

U U

P P R R

R Z Z R Z Z

  

   

- Khai triển biểu thức ta thu :

1

1

1

2

( ) ( )

( )

L C L C

L C L C

L C L C

Z Z Z Z

Z Z Z Z

Z Z Z Z

  



    

  



(loại) (nhận)

- Suy :

1

1 2

2

L L

C

Z Z

Z L L

C

 

   

2 Khảo sát biến thiên công suất theo cảm kháng ZL

- Ta có cơng suất tồn mạch là:

2 ( )2

L C

U P R

R Z Z



  , với R, C số, nên

công suất mạch hàm số theo biến số ZL - Đạo hàm P theo biến số ZL ta có:

2

2 2

'( ) '( )

[ ( ) }]

c L

L L

L C

Z Z

P Z RU P Z

R Z Z



  

  ZL ZC

- Bảng biến thiên

- Đồ thị công suất theo ZL :

http://buicongthang.tk Trang

A B

C

R L

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

- Nhận xét đồ thị:

 Có hai giá trị cảm kháng cho giá trị công suất

 Công suất mạch cực đại

1

2

L L

L C

Z Z

Z Z  

, với Z ZL1; L2là hai giá

trị cảm kháng cho giá trị công suất.

Kết luận: Từ việc khảo sát biến thiên thay đổi công suất vào giá trị ZL cho

phép định tính tăng hay giảm P theoZL Từ ta tiên đốn

thay đổi công suất theo giá trị ZL số toán.

3 Giá trị ZL để hiệu điện ULmax

- Ta có hiệu điện cuộn dây : ( )2

L L L

L C

U

U IZ Z

R Z Z

 

  , R; Z

C U số khơng đổi Ta dùng phương pháp khảo sát hàm số theo biến số ZL Tuy nhiên với cách khảo sát hàm số phức tạp Với phương pháp dùng giản đồ Vecto tốn giải dể

hơn rút nhiều kết luận

- Theo giản đồ vectơ định lý hàm số sin tam

giác ta có :sin( ) sin

L

U U

  

- Vì 2

sin cos R

RC C

U R

const

U R Z

    

 , suy ra

L sin sin( ) cos sin( )

U U

U    

 

   

http://buicongthang.tk Trang

P

ZL O

Pma x

ZL = ZC

i

UR C U

O

UC UL

- Do cos U giá trị không đổi nên hiệu điện ULmax

sin( )

2 

      

- Theo hệ thức tam giác vuông ta có:URC2 U UC L, từ suy

2

L C C

Z Z R Z

- Tóm lại:

 Khi

2

C L

C R Z Z

Z

 

2

max

C L

R Z

U U

R

 

 Khi ULmax hiệu điện tức thời hai đầu mạch ln nhanh pha uRC góc 900

4 Có hai giá trị L1  L 2 cho giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 L2 - Khi có hai giá trị L cho giá trị hiệu điện thế:

1

1 2

1

1 2 2 2 2

( ) ( )

L L

L L L L

L C L C

Z Z

U U Z I Z I

R Z Z R Z Z

    

   

- Bình phương khai triển biểu thức ta thu được:

1

1 2

2

2 2 2

2

L L

C L L C C L L C

Z Z

R Z Z  Z Z R Z Z  Z Z

- Theo kết phần hiệu điện hai đầu cuộn dây cực đại thì

2

L C C

Z Z R Z với giá trị Z

L giá trị làm cho ULmax Thay vào biểu thức trên:

1

1 2

2

2 2 2

L L

L C L L C L C L L C

Z Z

Z Z Z  Z Z Z Z Z  Z Z

- Tiếp tục khai triển biểu thức ta thu được:

1 2

2

(ZL  Z ZL ) L 2Z ZL L (ZL  ZL )

- Vì L1  L2 nên đơn giàn biểu thức ta thu được:

1

1

1

1

2 L L 2

L

L L

Z Z L L

Z L

Z Z L L

  

 

với giá L giá trị cho ULmax

5 Giá trị ZL để hiệu điện ULRrmax - Khi R L mắc nối tiếp :

2

2

2 2

2

( ) ( )

L

LR L

L C L C

L

U R Z U

U I R Z

R Z Z R Z Z

R Z



   

   



- Đặt

2

2

( L C)

L

R Z Z

MT

R Z

 



 , ta thực việc khảo sát hàm số MT theo biến số Z

L để tìm giá trị ZL cho MTmin giá trị ULrmax Đạo hàm MT theo biến số ZL ta thu :

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

2 2

'

2 2

2( )( ) [ ( ) ]

( )

( )

L C L L L C

L

L

Z Z R Z Z R Z Z

MT Z

R Z

    





- Cho MT’(ZL) = ta có : Z ZC L2 Z ZC2 L Z RC 0 Nghiệm phương trình bậc hai

này là: 2 2 4 C C L C C L

Z R Z

Z

Z R Z

Z             

 Lập bảng biến thiên ta có:

ZL 2 C C L

Z R Z

Z   

+ MT’(ZL) - +

MT (ZL)

2 C C

R Z Z

R           [

- Từ bảng biến thiên ta thấy MT đạt giá trị nhỏ nên ULR đạt giá trị lớn Ta thu kết sau:

Khi 2 C C L

Z R Z

Z   

ax 2 2

2 R RLM C C U U

R Z Z



 

III Sự thay đổi C mạch R-L-C mắc nối tiếp

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu hai đầu ổn định : u U 0cos(tu)

R điện trở L cuộn dây cảm không đổi C có giá trị thay đổi

Nhận xét: Vì cơng thức tổng trở Z R2(ZL ZC)2 R2(ZC  ZL)2 ta thấy

bài toán thay đổi giá trị C giống tốn thay đổi giá trị L Do thực việc khảo sát ta thực tương tự thu kết sau:

1 Có hai giá trị C1  C cho giá trị công suất Với hai giá trị C1 C2 cho giá trị cơng suất ta có

1 2 2 2 1 2 C C L C C C C

Z Z C C

Z Z L C C               

Với giá trị C0 giá trị làm cho công suất mạch cực đại 2 Khảo sát biến thiên công suất theo dung kháng - Bảng biến thiên:

ZC ZC = ZL +

http://buicongthang.tk Trang

A B

C

R L

P’(ZC) + -P(ZC)

2 max

U P

R



2

2

L

U P R

R Z



 - Đồ thị công suất theo giá trị ZC :

3 Giá trị ZC để hiệu điện UCmax

- Khi

2

L C

L R Z Z

Z

 

:



2

ax

L CM

U R Z U

R

 

và

2 2 2

ax ; ax ax

CM R L CM L CM

U U U U U U U  U 

 uRL vuông pha với hiệu điện hai đầu mạch

4 Có hai giá trị C1  C 2 cho giá trị UC ,giá trị ZC để UCmax tính theo C1 C2 - Khi có hai giá trị C = C1 C = C2 cho giá trị UC giá trị C làm cho UCmax

khi

1

1 1

( )

2

C C C

C C C

Z Z Z



   

5 Giá trị ZC để hiệu điện URCmax

- Khi

2

4

L L

C

Z R Z

Z   

ax 2 2

2 R

RCM

L L

U U

R Z Z



  ( Với điện trở R tụ điện mắc

gần nhau)

IV Sự thay đổi  mạch R-L-C mắc nối tiếp 1 Giá trị  làm cho Pmax

http://buicongthang.tk Trang

P

ZC O

Pma x

ZL = ZC

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

- Ta có

2

2

2

U P RI R

R L

C

 

 

 

  

  , từ công thức ta thấy công suất

mạch đạt giá trị cực đại khi:

1

0

L

LC

  



    

Với

2 max

U P

R



- Khi Zmin = R hiệu điện giửa hai đầu mạch cường độ dòng điện qua mạch đồng pha

2 Có hai giá trị    cho công suất giá trị  làm cho Pmax tính theo  1 và

 2:

- Nếu có hai giá trị tần số khác cho giá trị công suất thì:

2

2 2

1

1

1

( ) ( )

1 2

P P R U R U

R L R L

C C

 

 

  

   

- Biến đổi biểu thức ta thu :

1

1

1

1

1

(1)

1

( )(2)

L L

C C

L L

C C

 

 

 

 



  

  

   

 

- Vì 1  2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu :

1 LC

  

- Theo kết ta có :

2

0

1 LC

   

với 0 giá trị cộng hưởng điện 3 Khảo sát biến thiên công suất theo 

- Ta có

2

2

2

U P RI R

R L

C

 

 

 

  

 

- Việc khảo sát hàm số P theo biến số  việc lấy đạo hàm lập bảng biến thiên khó khăn hàm số tương đối phức tạp Tuy nhiên, ta thu kết từ nhận xét sau:

 Khi  =

1

C

Z

C 

  

làm cho P =

 Khi

1

LC

 

mạch cộng hưởng làm cho công suất mạch cực đại

 Khi   ZL L làm cho P = - Từ nhận xét ta dễ dàng thu biến thiên đồ thị :



0

1

LC

 

+ P()

2

U R

0

- Nhận xét đồ thị :

 Từ đồ thị ta thấy có hai giá trị 1 ≠ 2 cho giá

trị công suất, điều phù hợp với biến đổi phần trên.

4 Giá trị  làm cho hiệu điện ULmax

- Ta có :

L L L

L

U U

U I Z Z

Z Z

Z

  

, đặt

2

2

2

( )

L

R L

Z C

A

Z L

  

 

  

   

  

 

- Biến đổi biểu thức A ta thu :

2

2 2

1 R A

L LC

 

 

   

 

- Ta tiếp tục đặt

1 x

L 

 

2

1

R x

A x

L C

 

   

 

- Lấy đạo hàm A theo biến số x ta thu được:

2 2

'( ) R x

A x

L C C

 

    

 

- Cho A’(x) = ta thu

2 2

2

LC R C x

L

 

http://buicongthang.tk Trang

0

P

Pma

x

Một số toán cực trị mạch RLC nối tiếp

- Vì

2

0 L

x R

C

  

khi ta thu bảng biến thiên: x

0

2 2

2

LC R C L



∞ A’(x) - +

A(x)

Amin

- Thay giá trị x vào biểu thức đặt ta thu hiệu điện cực đại cuộn dây là:

2

1

2

C L R

C

 



và ax 2

2

LM

U L U

R LC R C





Nhận xét : Khi

2

0 L

x R

C

  

Amin x = A làm hàm số bậc có hệ số

2

0 a

C

 

nên hàm số có cực tiểu phần âm, x = làm cho Amin miền xác định x Khi  lớn làm cho ZL lớn làm cho I = Do khơng thể tìm giá trị  làm cho ULmax

5 Giá trị  làm cho hiệu điện Ucmax

- Tương tự cách làm ta thu kết tương tự thay đổi giá trị 

làm cho UCmax là: Khi

2

2

L R

L C

 

ax 2

2

CM

U L U

R LC R C



 với

2 2L

R C 

-Chúc bạn thành