C1 rút gọn căn bậc HAI

TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Chuyên đề 1: CĂN BẬC HAI VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước - chuyên 2018-2019)  a +1 ab + a   a + ab + a  T =  + − 1÷ : − + 1÷  ÷  ab + ÷ ab + ab − ab −     a) Rút gọn biểu thức b) Cho x + = Tính giá trị biểu thức: H = x5 − 3x4 − 3x3 + 6x2 − 20x + 2023 Lời giải a) Rút gọn biểu thức T Điều kiện: a ≥  b ≥ ab ≠  ( Ta có ) ab a + a +1 ab + a + −1 = ab − ab + ab − ( ) −2 a + a +1 ab + a − +1 = ab − ab + ab − Do T = ab ( ) : −2 ( a +1 ab − ) =− a +1 ab − ab b) Ta có x + = ⇔ − x = ( ⇒ 2− x ) =3 ⇔ − 4x + x2 = ⇔ x2 − 4x + = Ta có: ( ) ( ) ( ) H = x5 − 4x4 + x3 + x4 − 4x3 + x2 + x2 − 4x + + 2018 ( ) ( ) ( ) = x3 x2 − 4x + + x2 x2 − 4x + + x2 − 4x + + 2018 Vì x − 4x + = nên H = 2018 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định 2018-2019)  1  x A= − ÷: x +  x + x + , với x > x+ x Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A A> b) Tìm giá trị x để Trang 1 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải a) Điều kiện: x >  A= − x+ x  x ÷: x +1 x + x +1  A= −  x x +1  ( ) x  ÷ x +1 ÷  x ( ) ( ( − x ) ( x + 1) = ( − x ) ( A= x x ( x + 1) x ) x +1 x ) = 1− x x +1 x b) Với điều kiện: x > A> 1− x ⇔ > ⇔ − x > x ⇔ 3x < ⇔ x < x Kết hợp với điều kiện x > , Vậy với 0 Câu (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh - Chuyên 2018-2019)  − 1 + x − y  x Q= Cho biểu thức:  y ÷: 2 x2 − y ÷  x − x − y với x > y > x a Rút gọn Q b Xác định giá trị Q x = y Lời giải a) Rút gọn Q: Q= = = = = =  − 1 + x − y   y ÷: 2 ÷ x − y  x − x2 − y2 x x x + x2 − y x − x2 − y − × y x2 − y x2 − y x x x2 − y x x2 − y ( x− y − − ) x2 − x2 + y2 y x2 − y y x2 − y2 x + y x − y x− y x+ y Trang 2 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 x− y Q= với x > y > x+ y Vậy b) Thay x = y (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được: 3y − y Q= Vậy 3y + y Q= 2y = 2 = 4y 2 x = y Câu (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - Chuyên 2016-2017) x + + x + − x + − x + với x > Đơn giản biểu thức Lời giải x + + x +1 − x + − x +1 Ta có: = x +1+ x +1 +1 − x +1− x +1 +1 = = ( ) x +1 +1 x +1 +1 − = x +1 +1− ( − ( ) x +1 −1 x +1 −1 ) x +1 −1 = Vậy với x > x + + x +1 − x + − x +1 = Câu (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre - chuyên Toán 2018-2019) a b + a −b a − b + ab Cho biểu thức với a, b hai số thực dương P: × a + b ( a + b) a Rút gọn biểu thức b Tính giá trị biểu thức P a = 2019 + 2018 b = 2020 + 2019 Lời giải P= ( a) P= ab ( ) ( a− b + + ab ) a− b ) = (1+ ab )( a− b + ab Trang 3 )= a− b TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN P: ( b) ( b=( a= ) a + b ( a + b) ) 2019 + 1) 2018 + = ( a− b )( ) a + b ( a + b) NĂM 2018-2019 = ( a − b ) ( a + b ) = a − b2 2 P = 2018 + − 2019 − = 2018 − 2019 Câu (Tuyển sinh tỉnh Bình Định – chun Tốn - 2018-2019) ( T= a− b ) + ab  a − b a − b3 : −  a− b a −b a+ b  Cho biếu thức : a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T >  ÷ ÷  , với a ≠ b, a > 0, b > Lời giải a) Rút gọn T: Với a ≠ b, a > 0, b > , ta có: T= ( )( a− b a+ b a + b − ab a + a b − b a − b − a + b3 a + b − ab : = × a+ b a+ b a− b a+ b ab a − b ( )( ) ( a + b − ab ab a + b − ab T= ab Vậy : , với a ≠ b, a > 0, b > b) Chứng tỏ T > a + b − ab T= ab Ta có: , với a ≠ b, a > 0, b > (kết câu 1.a) = ( ⇔T = a− b ) ab + ab ( = a− b ) +1 > ab ab > 0, a − b ≠ với a ≠ b, a > 0, b > ) (vì Vậy T > Câu (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam – chuyên Toán - 2018-2019)   1+ a 1− a 1 Q =  + − − ÷ ÷ ÷ a ÷ a − 2a + a + a − − a − a − + a    (với < a < ) 1) Rút gọn Q 2) So sánh Q Q Lời giải Với < a < 1, ta có:   1+ a 1− a 1 Q =  + − − ÷  ÷ a − 2a +  a÷ − a −1 + a ÷  1+ a − 1− a  a  Trang 4 ) ) TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN  1+ a = +  1+ a − 1− a   1+ a = +  1+ a − 1− a   (1− a) ÷  ÷ (1− a) (1+ a) − (1− a)   ( 1− a) (  ÷  + a − − a ÷   ( 1− a) )   1+ a 1− a =  + ÷ 1+ a − 1− a ÷  1+ a − 1− a  1− a2  − ÷ a2 a÷  (1− a) (1+ a) ( − a ) ( + a ) −1 a a NĂM 2018-2019 ( a − 1) 1 − ÷ a −1 a÷  (1− a) 1+ a + 1− a ( 1− a) ( 1+ a) − ( 1+ a) − ( 1− a) ( 1− a) 2a 1+ a − 1− a = 1+ a + 1− a − = 1+ a − 1− a =− =− Do Xét ( 1+ a + 1− a ( 1+ a) − ( 1− a) ( 1+ a − 1− a ) 2a )( 1+ a − 1− a 2a ( 1− a) ) ( 1− a) 2a ( − a ) = a − 2a 2a > a > ⇒ > a − > −1 ⇒ > ( a − 1) > (1− a) = − Q − Q = ( a − 1) ( ( a −1) −1) > Vậy Q > Q Câu (Tuyển sinh tỉnh Quảng Trị - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức: + − 13 + 48 A= 6+ Lời giải A= = 3+ ( (2 3+ 5− ) +1 6+ ) −1 = 6+ 4+2 ( ) +1 3+ 4− 6+ = = ( ) +1 ( ) +1 = Câu (Tuyển sinh tỉnh Điện Biên - chuyên 2018-2019) Cho biểu thức P= x +2 x + 3x + x − − − , ( x ≥ 0; x ≠ 25) x +1 − x x − x − a) Rút gọn P Tìm số thực x để P > −2 b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số nguyên Trang 5 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải a) Rút gọn P Tìm số thực x để P > −2 x +2 x + 3x + x − − − = x +1 − x x − x − P= x +2 x +3 − − x +1 − x = ( x + 2)( x − 5) + ( x + 3)( x + 1) − (3x + x − 5) ( x + 1)( x − 5) = −x − x − ( x + 1)( x + 2) x +2 =− =− ( x + 1)( x − 5) ( x + 1)( x − 5) x −5 P > −2 ⇔ − Ta có ( 3x + x − )( x +1  x −2 ⇔ − >0⇔ x −5 x −5  x > 12 + Với x < ⇔ ≤ x < 25 + Với x > 12 ⇔ x > 144 x −5 ) b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số ngun Ta có x số phương nên x ∈ ¥ , x − ≥ −5 Khi P=− x +2 = −1 − ∈¢ x −5 x −5 ⇒ x − ước Suy +) x − = −1 ⇒ x = 16 +) x − = ⇒ x = 36 +) x − = ⇒ x = 144 x − ∈ { −1;1;7} Vậy giá trị x cần tìm 16;36;144 Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức A = 29 − 12 + A = 29 − 12 + 5+ Lời giải 5 = 20 − 2.2 5.3 + + = 5+ 5+ = − 3+ 5− = Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Dak Nông - chuyên 2018-2019) x−4   P= + 1÷:  x − x +  2x − x + Cho biểu thức Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Trang 6 (2 −3 ) + ( 5+2 ) TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải ĐK: x ≥ 0; x ≠ ; x ≠ 1; x ≠ 4 x−4   P= + 1÷:  x − x +  2x − x +1  x +2  x −2  = + 1 × x − x −  x −1  x −2   ( ( )( )( ) ) ( )(  x +2 = + 1ữ ữì x x − = x −   ( ( )( )( ) ( ) )( ) x + + x −1 × x −1 ) = x + × x − = x − Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên - chuyên 2018-2019) x +1 −1 A= : ; B = x − x − x + 2025 x x + x + x −x + x biểu thức với Cho x > 0; x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để biểu thức T = B − A đạt giá trị nhỏ Lời giải a) A= x +1 −1 : = x x + x + x −x + x x +1 x (1 − x )(1 + x + x ) = x −1 −1 x ( x + x + 1) b) T = B − A2 = x − x − x + 2025 − 2( x − 1) = x − x − x + 2025 − x + x − = x − x − x + 2023 = ( x − x + 16) + ( x − x + 4) + 2003 = ( x − 4)2 + ( x − 2) + 2003 ≥ 2003 (∀x) GTNN T 2003 x = Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức P= x − 13 x + x −4 − + x −2 x −3 x +1 x − với x ≥ 0, x ≠ Lời giải Trang 7 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN P= = ( x − 13 x + − ( )( ( x + 1) ( Câu 14 x −4 )( )( ) ) =2 x −3 ) = ( 2x − x − )( x +1 x −3 ) x −3 x −3 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang - chuyên 2018-2019) a + Biến đổi x+4 x +4 x+ x + = 1− x x+ x −2 1 − = x +1 1− x + Biến đổi A= + Ta có A= A≥ : x −1 ( ( x )( x +1 ( ( x +2 )( x −1 ) x )( x −1 = x −1 ) − ) ( x ( ) x +1 )( x −1 ( )( x +1 x −1 ) x −1 x x +1 x , với điều kiện x > 0, x ≠ + 2018 1 1 ⇔ 1+ ≥ 1+ ⇔ ≥ 2018 x 2018 x 2018 x ≤ 2018 ⇒ < x ≤ 2018 x ∈ { 2;3; 4; ; 2018} Vì x > 0, x ≠ x nguyên nên Suy có 2017 giá trị nguyên x thỏa mãn toán Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương - chuyên 2018-2019) Tính giá trị biểu thức: Trang 8 ) x +1 ) x +1 x −1 x+2 x +2 x − = x −1 x −1 = b ) x +1  x+4 x +4 x+ x   1  A =  + : − ÷ ÷ 1− x   x +1 1− x ÷  (với x > 0; x ≠ )  x+ x −2 Cho biểu thức a Rút gọn biểu thức A + 2018 A≥ 2018 x b Có giá trị nguyên để Lời giải + Vậy ) ( x −3 +5 x +1 x +1 x − x −3 ( NĂM 2018-2019 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN P= NĂM 2018-2019 1 1 + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 Lời giải P= 1 1 + + + + +1 + + 2025 2024 + 2024 2025 * Với n ∈ N , ta có: 1 = n + n n +1 n + n n + + n ( ( n + 1) ) n +1 − n n +1 − n 1 = = − n + n ( n + − n ) n + n n n +1 = Áp dụng kết trên, ta được: 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 3 2024 2025 1 44 = − = 1− = 45 45 2025 P= Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định - chuyên 2018-2019) P= ( x+2 x )− x+ x −2 Cho biểu thức x +2 x +1 − x −1 x + (với x ≥ 0; x ≠ ) x +3 x +2 P= a Chứng minh x ≥ 0; x ≠ P ≤ b Chứng minh Lời giải P= a Ta có = = ( ( x − 1) ( x + ) ( x −1) ( x + ) ( 3x + x 3x + x − x − x − − x + ( ( )( x −1 x +2 x + x −3 )( x −1 x+2 ) ) Trang 9 − ( x +2 ) − )( x − 1) ( x +1 ) x + 2) x −1 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN = ( ( )( x − 1) ( )= x + 2) x −1 x +3 b Với P= x +3 = 1+ x +2 x +2 x +2≥2⇒ x ≥ 0; x ≠ ta có Câu 17 x +3 x+2 NĂM 2018-2019 1 ≤ ⇒ 1+ x +2 3 ≤ ⇒P≤ x +2 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình - chuyên 2018-2019) x để biểu thức sau có nghĩa: P = x + + 2018 x Tìm Lời giải Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: P = x + + 2018 x +) Biểu thức P có nghĩa khi: x + ≥ ⇔ x≥ +) Vậy −3 x≥ −3 Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình- chuyên 2018-2019) x y+y x P= − xy Cho biểu thức: ( x+ y ) − xy x− y a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P ≤ Lời giải a Rút gọn biểu thức P P= xy ( +) P= x+ +) x+ y xy ( y− ) − x−2 xy + y − y     x− y x− y ) x− y − y     Trang 10 − y     (với x > 0; y > 0; x ≠ y ) TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN +) +) b P= x+ y− ( NĂM 2018-2019 ) x − y − y     P = y − y     Chứng minh P ≤ P ≤ ⇔ y − y ≤ ⇔   y − y + ≥ ⇔ ( ) y − ≥ 0  ( với y thỏa mãn điều kiện cho Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái – Chuyên 2018-2019) a + a a − a2 − a a + a − P= + + a a − a a − a a Cho biểu thức a) Tìm điều kiện a để biểu thức P có nghĩa Rút gọn biểu thức P b) Tìm tất giá trị a để P= Lời giải a) Rút gọn biểu thức P Điều kiện a > 0; a ≠ P= = = a +1 + a ( )( a( ) +( a −1 a + a +1 ) a −1 )( a (1− a) a +1 a + a +1 a − a +1 + − a a a a+2 a +1 ( = a ) a +1 a b) Tìm tất giá trị a để P= P= ) a −1 a a +1 9 a + a +1 ⇔ = 2 ⇔ 2a − a + = a  a =2 a =  ⇔ ⇔  a=1 a = (thoả mãn điều kiện)   Trang 11 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN Câu 20 NĂM 2018-2019 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai - chuyên 2018-2019)  x x + x −1   1  P =  − − ÷  ÷ x +1 ÷ x +1  x −1   x+ x Rút gọn biểu thức: với x > x ≠ Lời giải P Rút gọn biểu thức  P=   = ( x x +1 )( x −1 x+ x ( )( )( x −1 x +1 = x x −1 1− x = −1 x +1 ( − ) ( x +1 ) x +1 ( x − 1) ( )( x −1 ) x −1   ÷  x +1 ÷   ) ( ) x +1 x − x ( 1− x ) x +1 x x Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh An Giang - chuyên 2018-2019) Rút gọn biểu thức: A= ( ) x +1  ÷ x÷  )( + 11 + 13 - + 11 + 13 )( 11 + 13 )( + 11 - 13 7- 11 + 13 )( + 11 - 13 ( ) 7- ) Lời giải A= ( )( + 11 + 13 - + 11 + 13 )( ) Ta có ( )( *  + 11 + 13 - ( ) + 11 + 13 =- + 11 + 13 ) =- + 11 +13 + 11.13 = 17 + 11.13 ( *  = 7- Vậy ( 11 + 13 11 - ( ) )( + 11 - ) ( 13 = ( 11.13 )( - 17 + 7- ( 11 - 13 )) ( ( + 11 - 13 )) ) 13 = - 11 +13 - 11.13 =- 17 + 11.13   A = 17 + ) 11.13 =- 17 + 4.11.13 =- 289 + 572 = 283 Trang 12 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN Trang 13 NĂM 2018-2019 ...  x Q= Cho biểu thức:  y ÷: 2 x2 − y ÷  x − x − y với x > y > x a Rút gọn Q b Xác định giá trị Q x = y Lời giải a) Rút gọn Q: Q= = = = = =  − 1 + x − y   y ÷: 2 ÷ x − y  x − x2 − y2... − b a − b3 : −  a− b a −b a+ b  Cho biếu thức : a) Rút gọn biểu thức T b) Chứng tỏ T >  ÷ ÷  , với a ≠ b, a > 0, b > Lời giải a) Rút gọn T: Với a ≠ b, a > 0, b > , ta có: T= ( )( a− b a+... x x − x − a) Rút gọn P Tìm số thực x để P > −2 b) Tìm số tự nhiên x số phương cho P số nguyên Trang 5 TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN NĂM 2018-2019 Lời giải a) Rút gọn P Tìm số thực