Chứng minh rằng khi C thay đổi, tập hợp các điểm D thuộc một đường tròn cố định.. Giải:.[r]
(1)Giải SBT Tốn 11 ơn tập chương 1: Phép dời hình phép đồng dạng mặt phẳng
Bài 1.31 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−5y+3=0 vectơ v→=(2;3) Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo
vectơ v→.
Giải:
Gọi M′(x′;y′) d′ ảnh M(x,y) d qua phép tịnh tiến theo vecto v∈ ∈ →(2;3)
Do M(x,y) d nên∈
3x−5y+3=0
⇒3(x′−2)−5(y′−3)+3=0
⇔3x′−5y′+12=0(d′)
Vậy M′(x′;y′) d′: 3x′−5y′+12=0∈
Bài 1.32 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho hình bình hành ABCD có AB cố định, đường chéo AC có độ dài m không đổi Chứng minh C thay đổi, tập hợp điểm D thuộc đường tròn cố định
Giải:
Xem D ảnh C qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→ Do C chạy đường tròn
(C) tâm A bán kính m, trừ giao điểm (C) với đường thẳng AB, nên D thuộc đường tròn ảnh đường trịn nói qua phép tịnh tiến theo vectơ BA→.
Bài 1.33 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho tam giác ABC Tìm điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho MN song song với BC AM = CN
Giải:
(2)Đường thẳng qua M song song với AC cắt BC D Khi tứ giác MNCD hình bình hành Do CN = DM Từ suy tam giác AMD cân M Do MAD^=MDA^=DAC^ Suy AD phân giác góc A Do AD dựng được.Ta lại có NM→=CD→, nên xem M ảnh N qua phép tịnh tiến theo
vectơ DC→.
Từ suy cách dựng:
- Dựng đường phân giác góc A Đường cắt BC D
- Dựng đường thẳng d ảnh đường thẳng AC qua phép tịnh tiến theo vectơ CD→.
d cắt AB M
- Dựng N cho NM→=CD→.
Khi dễ thấy M, N thỏa mãn điều kiện đầu
Bài 1.34 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x−2y−6=0
a) Viết phương trình đường thẳng d1 ảnh d qua phép đối xứng qua trục Oy
b) Viết phương trình đường thẳng d2 ảnh d qua phép đối xứng qua đường
thẳng ∆ có phương trình x+y−2=0
Giải:
a) d1:3x+2y+6=0
b) Giao d ∆ A(2;0) Lấy B(0;−3) thuộc d Ảnh B qua phép đối xứng đường thẳng ∆ B′(5;2) Khi d' đường thẳng AB′: 2x−3y−4=0
Bài 1.35 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Cho đường tròn (C) hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc (C) Với điểm M chạy đường tròn (trừ hai điểm A, B), ta xét điểm N cho ABMN hình bình hành Chứng minh tập hợp điểm N nằm đường tròn xác định
Giải:
Tập hợp điểm N thuộc đường tròn (C') ảnh (C) qua phép đối xứng qua trung điểm AB
Bài 1.36 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
(3)Giải:
Gọi (C) đường trịn tâm O bán kính r, (C1)
đường trịn tâm O bán kính R Giả sử đường thẳng dựng Khi xem D ảnh B qua phép đối xứng tâm A Gọi (C') ảnh (C) qua phép đối xứng qua tâm A, D thuộc giao (C') (C1)
Số nghiệm toán phụ thuộc vào số giao điểm (C') với (C1)
Bài 1.37 trang 39 Sách tập (SBT) Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x+y−2=0 Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O góc 45°
Giải:
Dễ thấy d chứa điểm H(1;1) OH d Gọi H' ảnh H qua phép quay tâm O góc⊥ 45° H′=(0;√2) Từ suy d' phải qua H' vng góc với OH' Vậy phương trình d' y=√2
Bài 1.38 trang 40 Sách tập (SBT) Hình học 11
Qua tâm G tam giác ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC M cắt AB N, kẻ đường thẳng b cắt AC P AB Q, đồng thời góc a b 60° Chứng minh tứ giác MNPQ hình thang cân
Giải:
Gọi Q(G;1200) phép
quay tâm G góc 1200.
(4)Tương tự Q(G;1200) biến Q thành M Từ suy GP=GN, GQ=GM Do hai
tam giác GNQ GPM nhau, suy NQ = PM Vì Q(G;1200) biến PQ thành NM
nên PQ=NM Từ suy hai tam giác NQM PMQ Do NQM^=PMQ^ Tương tự QNP^=MPN^
Từ suy PNQˆ+NQMˆ=1800
Do NP QM Vậy ta có tứ giác MPNQ hình thang cân.∥
Bài 1.39 trang 40 Sách tập (SBT) Hình học 11
Gọi A', B', C' tương ứng ảnh ba điểm A, B, C qua phép đồng dạng tỉ số k Chứng minh rằng:A′B′→.A′C′→=k2AB.→AC→
Giải:
Theo định nghĩa phép đồng dạng ta có B′C′=kBC, từ suy B′C′2=k2BC2 Hay
(A'C'→ - A'B'→)2=k2(AC→ - AB→)2
Suy ra:
A′C′2−2A′C′→.A′B′→+A′B′2
=k2(AC2−2AC→.AB→+AB2).
Để ý A′C′2=k2AC2,A′B′2=k2AB2 ta suy điều phải chứng minh.
Bài 1.40 trang 40 Sách tập (SBT) Hình học 11
Gọi A’, B’ C’ tương ứng ảnh ba điểm A, B C qua phép đồng dạng Chứng minh AB→=pAC→ p số Từ chứng minh
rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng điểm B nằm hai điểm A C điểm B' nằm hai điểm A’ C’
Giải:
Để ý
A′C′2=k2AC2,A′B′2
=k2AB2,A′C′→.A′B′→
=k2AC→.AB→
Ta có:
(A′B′→−pA′C′→)2=A′B′2−2pA′B′→.A′C′→+p2A′C′2
(5)=k2(AB→−pAC←)2=0
Từ suy A′B′→−pA′C′→=0→
Giả sử ba điểm A,B,C thẳng hàng điểm B nằm hai điểm A C Khi AB→=tAC→, với 0<t<1 Áp dụng 1.39 ta có A′B→=tA′C′→, với 0<t<1 Do đó
ba điểm A′,B′,C′ thẳng hàng điểm B' nằm hai điểm A' C'