Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng của phương trình tuyến tính tổng quát trong không gian tựa chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NCKH CỦA SINH VIÊN NĂM 2018-2019 THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018.02.52 Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú Lớp: ĐHSTOAN15B Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng Đồng Tháp, 6/2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN Mã số: SPD2018.02.52 Giảng viên hướng dẫn Chủ nhiệm đề tài TS Nguyễn Văn Dũng Lê Cẩm Tú Xác nhận Chủ tịch hội đồng TS Lê Hoàng Mai Đồng Tháp, 6/2019 MỤC LỤC Thông tin kết nghiên cứu iii Summary v Mở đầu 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài nước Tính cấp thiết đề tà Mục tiêu nghiên cứu Cách tiếp cận Phương pháp nghiên c Đối tượng phạm vi n Nội dung nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tựa chuẩn 1.2 Một số kết bổ trợ Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt không gian tựa ch 2.2 Áp dụng Kết luận Phụ lục ii iii BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN Thông tin chung: Tên đề tài: Thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt không gian tựa chuẩn - - Mã số: SPD2018.02.52 - Chủ nhiệm đề tài: Lê Cẩm Tú - Thời gian thực hiện: 6/2018 đến 5/2019 Mục tiêu Thiết lập chứng minh số kết cho tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn - Xây dựng ví dụ minh họa cho tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn - Tính sáng tạo Đề tài hệ thống hóa chi tiết hóa báo gốc nên tính khoa học không cao Kết nghiên cứu - Hệ thống hóa số khái niệm tính chất không gian tựa chuẩn; thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt không gian tựa chuẩn; kết mở rộng kết có tài liệu tham khảo - Kết đề tài gửi tham dự Hội nghị sinh viên nghiên cứu khoa học năm 2018 - 2019 Trường Đại học Đồng Tháp báo cáo sinh hoạt chun mơn Bộ mơn Giải tích - Tốn ứng dụng Sản phẩm - Báo cáo sinh hoạt chun mơn thiết lập điều kiện cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng quát không gian tựa chuẩn Bài viết gửi tham dự hội nghị nghiên cứu khoa học trường đại học Đồng Tháp năm học 2018-2019 - iv Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu Báo cáo tổng kết đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Tốn học, Trường Đại học Đồng Tháp nói chung cho quan tâm đến tính siêu ổn định phương trình hàm khơng gian tựa chuẩn nói riêng Qua đó, đề tài góp phần nâng cao lực tư Toán học, chất lượng học tập nghiên cứu sinh viên giảng viên ngành Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp SUMMARY General information Project Title: Establishing conditions for the generalized hyperstability of gen-eral linear equations in quasi-normed spaces Code number: SPD2018.02.52 Coordinator: Le Cam Tu Duration: from July, 2018 to June, 2019 Objectives: - To establish and prove some results on the generalized hyperstability of gen-eral linear equations in quasi-normed spaces - To construct some illustrated examples for the obtained results Creativeness and innovativeness: The topic has detailed the international article so the science is not high Research results: - Some notions and basic properties of quasi-nomred spaces were presented; Certain conditions for the generalized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces were stated and proved; Certain particular cases for the gen-eralized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces were de-duced - The main result of the project was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scien- tific Research Conference of Dong Thap University It was also presented in the vi Seminar of Division of Mathematical Analysis and Applied Mathematics Products: - Reports in professional activities on the generalized hyperstability of general linear equations in quasi-normed spaces - The article was submitted to 2018 - 2019 Student’s Scientific Research Con-ference of Dong Thap University Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of research results: The report of the project is a reference for lecturers and students in Mathemat-ics Teacher Education of Dong Thap University in general, and for the readers who are interested in the hyperstability of functional equations in particular Then the report partially improves the mathematical competence, the quality of learn-ing and researching activities of the students and lecturers of Mathematics Teacher Education at Dong Thap University MỞ ĐẦU Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ngồi nước Bài tốn ổn định Hyers-Ulam liên quan đến việc xây dựng hàm đủ gần với hàm thỏa mãn điều kiện cho trước Một hàm f : R ! R quan tâm nghiên cứu hàm Cauchy cộng tính có dạng f (x + y) = f (x) + f (y); x; y R: Những kết tính ổn định tính siêu ổn định phương trình hàm tuyến tính đạt báo [1], [11] Một số kết tính siêu ổn định công bố lần đầu [3] có liên quan đến đồng cấu vành Tuy nhiên thuật ngữ suy rộng sử dụng lần đầu báo [8] Năm 1978, Rassias [12] đưa tính ổn định ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach Năm 2013 Brzde¸k [4] đưa tính ổn định phương pháp cộng tính điểm bất động phương trình tuyến tính tổng qt Năm 2014 Piszczek [11] đưa ý quan trọng tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng quát Định lí điểm bất động cơng cụ để nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Nhiều định lí điểm bất động mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ khác Gần đây, lớp hàm tuyến tính tổng quát g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) quan tâm nghiên cứu thu kết tồn tại, cách xác định tính Trong báo [1], tác giả sử dụng định lí điểm bất động Brzde¸k để chứng minh số kết tổng quát tính siêu ổn định hàm tuyến tính tổng qt khơng gian định chuẩn Định lí điểm bất động mở rộng cho nhiều lớp ánh xạ, không gian khác ứng dụng nhiều Toán học Không gian định chuẩn mở rộng thành khơng gian tựa chuẩn với nhiều tính chất giải tích khác biệt Nhiều mơ hình khơng gian tựa chuẩn đóng vai trị quan trọng Tốn học, Vật lí lí thuyết quan tâm nhiều tác giả thời gian gần Những kết tính ổn định báo [1] thiết lập chứng minh lớp không gian tựa chuẩn Từ đó, tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt áp dụng mơ hình khơng gian khơng chuẩn hóa Tính cấp thiết đề tài Trên sở tình hình nghiên cứu tổng quan ngồi nước nêu trên, nhận thấy vấn đề mở đặt tài liệu [1] định hướng nghiên cứu áp dụng cho tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt áp dụng mơ hình khơng gian khơng chuẩn hóa Tuy nhiên, nhiều kĩ thuật [1] trình bày đọng, trường hợp riêng chưa trình bày chi tiết ví dụ minh họa chưa thiết lập cụ thể Vì vậy, chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt báo [1] không gian tựa chuẩn Kết đề tài góp phần làm rõ đa dạng nội dung tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn Báo cáo khoa học đề tài tài liệu tham khảo cho sinh viên giảng viên Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Đồng Tháp trình giảng dạy học tập mơn giải tích áp dụng tốn học Mục tiêu nghiên cứu - Đề xuất chứng minh số kết cho tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn - Xây dựng ví dụ minh họa áp dụng tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn Cách tiếp cận Nghiên cứu tài liệu tham khảo tính siêu ổn định suy rộng nước liên đến đề tài, cách tương tự hóa kết có, đề xuất kết Phương pháp nghiên cứu Đọc hiểu tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với thành viên nhóm nghiên cứu người lĩnh vực Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu đề tài bao gồm: - Một số khái niệm tính chất không gian tựa chuẩn kg(x) 15 với x Xnf0g Hơn theo (1.5) ta có n lim T g(x) = Gm(x): n!¥ m Chúng ta chứng minh n n n BTm g(y)k kTm g(ax + by) ATm g(x) n kY bm) với x; y Xnf0g; n N0: Với n = ta có 0 Tm g(ax + by) ATm g(x) BTm g = g(ax + by) Ag(x) Bg(y) k h(x) + h(y): Do (2.14) với n = Với r N0 giả sử (2.14) với n = r x; y Xnf0g ta có r+1 Tm = ATm g( k r A T g( m r B Tm g r kY jAj Tm g( r B +kY j j 16 r kY jAjkY jAjs(a(m + 1)) + jBjs( (h( +kY jBjkYr (h( r m) b r m) b r+1 kY Điều chứng tỏ (2.14) với r + Vậy (2.14) Tiếp theo, với x; y Xnf0g n N ta có n n kATm g(x) + BTm g(y) AGm(x) BGm(y)k n kY (kATm g(x) n = kY (jAjkTm g(x) n n AGm(x)k+ kBTm g(y) BGm(y)k) n Gm(x)k+ jBjkTm g(y) Gm(y)k): Từ (2.13) ta có lim kT g(x) Gm(x)k = Cho n ! ¥ (2.15) ta có n!¥ m lim n Suy với x; y Xnf0g, (2.15) Áp dụng Định lí 1.2.2 với (Y; d; kY ) không gian b metric, d(x; y) =k x y k với x; y Y Từ (2.14) (1.9) ta có n n n n n n Dd(Tm g(ax + by); ATm g(x) + BTm g(y)) q d (Tm g(ax + by); ATm g(x) + BTm g(y)) n n n = kTm g(ax + by) ATm g(x) BTm g(y)k qn kY (jAjs( q 17 Theo (2.2) với m M0 ta có Suy k m!¥ Y lim Vì m M0, cho n ! ¥ (2.17) kết hợp (2.19) ta m!¥ Từ suy Vì metric Dd liên tục, sử dụng (2.13), (2.16), (2.20) định nghĩa M0, với x; y Xnf0g ta có Sử dụng (2.18) lấy giới hạn hai vế (2.12) m ! ¥ ta suy lim m Lấy giới hạn n ! ¥ (2.18) sử dụng (2.22) ta có Dd(g(ax + by); Ag(x) + Bg(y)) ! ¥k g(x = lim Dd(Gm(ax + by); AGm(x) + BGm(y)) m!¥ = 0: 18 Do ta có g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y Xnf0g: Vậy g thỏa mãn (2.4) Bằng cách sử dụng Định lí 2.1.1 Bổ đề 1.2.3, ta kết sau Định lí 2.1.2 Giả sử (X; k:k; kX ) không gian tựa chuẩn trường F, (Y; k:k; kY ) không gian tựa Banach trường K; a; b Fnf0g; A; B K; h : X ! R+ hàm số cho (2.1) tập vơ hạn, s(n) := infft R+ : h(nx) th(x) với x Xg với n Fnf0g cho lim s(n) = n!¥ Giả sử g : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức kg(ax + by) Ag(x) với x; y Xnf0g Khi g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y X Chứng minh Vì g thỏa mãn bất đẳng thức sau kg(ax + by) Ag(x) Bg(y)k h(x) + h(y) với x; y Xnf0g Theo Định lí 2.1.1 ta có g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y Xnf0g Theo Bổ đề 1.2.3 g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y X 19 Nhận xét 2.1.3 Nếu g thỏa mãn bất đẳng thức (2.24) với A = B = g(ax+ by) = với x; y X Khi g(x) = với x X: Chứng minh Định lí 2.1.1, ta có g(ax + by) = với x; y X Cho y = ta g(ax) = Chọn x = Vậy g(x) = với x X 2.2 Áp dụng Trong mục này, áp dụng kết thiết lập chứng minh để suy số kết có số trường hợp đặc biệt Trước hết, kết có tài liệu tham khảo [1] Hệ 2.2.1 ([1], Định lí 2.1) Giả sử (X; k:k) không gian định chuẩn trường F, (Y; k:k) không gian Banach trường K; a; b Fnf0g; A; B K h : X ! R+ hàm số cho M0 tập vô hạn, s(n) := infft R+ : h(nx) th(x) với x Xg với n Fnf0g cho lim s(n) = lim s( n) = 0: n!¥ n!¥ Giả sử g : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức kg(ax + by) Ag(x) Bg(y)k h(x) + h(y) với x; y Xnf0g Khi g thỏa mãn phương trình g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y Xnf0g := n 20 Chứng minh Áp dụng Định lí 2.1.1 với kX = kY = Hệ 2.2.2 Giả sử (X; k:k) không gian định chuẩn trường F, (Y; k:k) không gian Banach trường K; a; b Fnf0g; A; B K; h : X ! R+ hàm số cho (2.1) tập vô hạn, s(n) := infft R+ : h(nx) th(x) với x Xg với n Fnf0g cho lim s(n) = lim s( n) = 0: n!¥ n!¥ Giả sử g : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức kg(ax + by) Ag(x) Bg(y)k h(x) + h(y) với x; y Xnf0g Khi g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y X Chứng minh Áp dụng Định lí 2.1.2 với kX = kY = Tiếp theo số trường hợp đặc biệt tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng quát không gian tựa chuẩn p Áp dụng Định lí 2.1.1, với h(x) := c kxk với x X, c p < ta có Hệ 2.2.3 sau mở rộng kết báo [11] sang khơng gian tựa chuẩn Hệ 2.2.3 Giả sử X không gian tựa chuẩn trường F, Y không gian tựa Banach trường K; a; b Fnf0g; A; B K; c 0; p < g : X ! Y thỏa mãn bất đẳng thức sau p p kg(ax + by) Ag(x) Bg(y)k c(kxk + kyk ) với x; y Xnf0g Khi g thỏa mãn phương trình (2.25) 21 Chứng minh Với p < định nghĩa hàm h : X ! R+ h(x) := c kxk p với x Xnf0g; c Khi đó, (2.26) trở thành kg(ax + by) Ag(x) Bg(y)k h(x) + h(y) với x; y Xnf0g Ta xét hai trường hợp sau Trường hợp c > Với n N ta có s(n) = inf ft R+ : h(nx) th(x)g; 8x X p = inf ft R+ : c knxk = inf ft R+ : cjnj kxj = inf ft R+ : jnj p = jnj p p tc kxk g; 8x X p tg p Từ (2.28) (2.29) ta có s(n) = s( lim s(n) = lim s( n) = lim n Trường hợp c = p tc kxk g; 8x X 22 Với n N ta có s(n) = s( Ta có jAjs( Vì n ¥ j n+1 lim ! Do đó, M0 tập vô hạn Vậy giả thiết Định lí 2.1.1 thỏa mãn Do đó, kết hợp với Định lí 2.1.2 ta có g(ax + by) = Ag(x) + Bg(y) với x; y X 23 KẾT LUẬN Đề tài đạt kết sau -Hệ thống hóa số khái niệm tính chất khơng gian tựa chuẩn tựa Banach - Đề tài thiết lập chứng minh số kết tính siêu ổn định phương trình Drygas khơng gian tựa chuẩn: Định lí ??, Định lí ?? Áp dụng kết thu trường hợp đặc biệt: Hệ ??, Hệ ??, Hệ ??, Hệ ?? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L Aiemsomboon and W Sintunavarat On generalized hyperstability of a general linear equation Acta Math Hungar., 149(2):413–422, 2016 [2] M Boriceanu, M Bota, and A Petrus¸el Multivalued fractals in bmetric spaces Cent Eur J Math., 8(2):367–377, 2010 [3] D G Bourgin Approximately isometric and multiplicative transformations on continuous function rings Duke Math J., 16(2):385–397, 1949 [4] J Brzde¸k Stability of additivity and fixed point methods Fixed Point The-ory Appl., 2013:285:1–9, 2013 [5] S Czerwik Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces Atti Sem Math Fis Univ Modena, 46:263–276, 1998 [6] N V Dung and V T L Hang The generalized hyperstability of general linear equations in quasi-Banach spaces J Math Anal Appl., 462(1):131– 147, 2018 [7] N Kalton Quasi-Banach spaces In W B Johnson and J Lindenstrauss, editors, Handbook of the geometry of Banach spaces, volume 2, pages 1099– 1130 Elsevier, 2003 [8] G Maksa and Z Páles Hyperstability of a class of linear functional equa-tions Acta Math Acad Paedagog Nyházi, 17(2):107–112, 2001 24 25 [9] L Maligranda Tosio Aoki (1910-1989) In International symposium on Ba-nach and function spaces: 14/09/2006-17/09/2006, pages 1– 23, Yokohama, 2008 Yokohama Publishers [10] M Paluszynski´ and K Stempak On quasi-metric and metric spaces Proc Amer Math Soc., 137(12):4307–4312, 2009 [11] M Piszczek Hyperstability of the general linear functional equation Bull Korean Math Soc., 52(6):1827–1838, 2015 [12] T M Rassias On the stability of the linear mapping in Banach spaces Proc Amer Math Soc., 72(2):297–300, 1978 ... CHƯƠNG TÍNH SIÊU ỔN ĐỊNH SUY RỘNG CHO PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QT TRONG KHƠNG GIAN TỰA CHUẨN 2.1 Tính siêu ổn định suy rộng cho phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn Trong mục... siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt báo [1] không gian tựa chuẩn Kết đề tài góp phần làm rõ đa dạng nội dung tính siêu ổn định suy rộng phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian. .. minh số kết cho tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn - Xây dựng ví dụ minh họa áp dụng tính siêu ổn định phương trình tuyến tính tổng qt khơng gian tựa chuẩn Cách