Lý thuyết nhiễu loạn

39 Chơng VI: Lí thuyết nhiễu loạn 6.1. Giới thiệu Phơng trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian EH = chỉ cho nghiệm chính xác trong một số ít trờng hợp. Trong một số trờng hợp khác, ta có thể viết H = 0 H + ' H , trong đó hàm riêng và trị riêng của 0 H có thể tìm đợc chính xác và ' H bé so với 0 H . Lí thuyết cho phép tìm hàm riêng và trị riêng gần đúng của H từ hàm riêng và trị riêng của 0 H gọi là lí thuyết nhiễu loạn. Khi đó, 0 H gọi là toán tử Hamilton không nhiễu loạn, ' H gọi là toán tử Hamilton nhiễu loạn. Các bài toán nhiễu loạn đợc chia thành 3 nhóm: 1) nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, không suy biến, 2) nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, suy biến, 3) nhiễu loạn phụ thuộc thời gian. Sau đây chúng ta sẽ lần lợt khảo sát các bài toán nói trên. 40 6.2. Nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, không suy biến a) Độ nhỏ của nhiễu loạn Ta giả thiết: + ' H bé so với 0 H , + trạng thái riêng và năng lợng riêng của H không khác nhiều so với của 0 H . Gọi { } n , { } n E và { } )0( n , { } )0( n E lần lợt là hàm riêng và trị riêng của H và 0 H , tức là n H = ( ) n HH ' 0 + = nn E , )0( 0 n H = nn E )0( . Ta có thể viết n = )0( n + n , n E = )0( n E + n E , trong đó n là bổ đính nhỏ vào )0( n , n E là bổ đính nhỏ vào )0( n E . Để lu ý ' H bé, ta viết ' H =: ' H , trong đó là tham số vô cùng bé. Khi đó phơng trình trị riêng của H trở thành ( ) n HH ' 0 + = nn E . (1) b) Khai triển nhiễu loạn Trạng thái riêng và năng lợng riêng của 0 H đ biết. 41 Do n )0( n khi 0 nên ta tìm nghiệm của phơng trình (1) dới dạng chuỗi n = )0( n + )1( n + 2 )2( n + n E = )0( n E + )1( n E + 2 )2( n E + (2) Thay (2) vào (1) và viết lại các số hạng theo số mũ : [ ] )0()0()0( 0 nnn EH + + [ ] )0()1()1()0()0()1( 0 ' nnnnnn EEHH + + 2 [ ] )0()2()1()1()2()0()1()2( 0 ' nnnnnnnn EEEHH + + = 0. (3) Phơng trình (3) có dạng . )3(3)2(2)1()0( ++++ FFFF = 0. Để phơng trình này đúng với mọi bất kì bé thì )0( F = )1( F = )2( F = = 0. Từ (3) ta suy ra a) )0()0()0( 0 nnn EH = , b) ( ) ( ) )0()1()1()0( 0 ' nnnn HEEH = , c) ( ) ( ) )0()2()1()1()2()0( 0 ' nnnnnn EHEEH += , (4) d) ( ) ( ) )0()3()1()2()2()1()3()0( 0 ' nnnnnnnn EEHEEH ++= . ở gần đúng bậc thấp nhất, phơng trình (4a) cho nghiệm { } )0( n và { } )0( n E là hàm riêng và trị riêng của 0 H . Các phơng trình khác có tính chất: vế trái không đổi dới tác dụng của phép biến đổi )1( n )1( n + )0( n a , trong đó a là hằng số bất 42 kì. Ví dụ: nếu giải (4b) đợc nghiệm )1( n và )1( n E thì )1( n + )0( n a và )1( n E cũng là nghiệm. Để loại bỏ tính chất đó, ta phải thêm điều kiện ràng buộc: Mọi bổ đính vào )0( n trong (2) đều trực giao với )0( n : )0()( n s n = 0 (với 0=s và n ). (5) Trong không gian Hilbert, hệ thức này nói rằng n trực giao với )0( n . Điều này giúp ta xác định )( s n . Trở lại (4b) : 0 H tác động lên )1( n nên nghiệm có thể thu đợc thông qua khai triển của )1( n theo chồng chất của các trạng thái riêng của 0 H : )1( n = i ini c )0( . (6) Thay (6) vào (4b) ( ) )0( 0 n EH i ini c )0( = ( ) )0()1( ' nn HE . Nhân trái với )0( j ta đợc ( ) njnj cEE )0()0( + jn H ' = jnn E )1( . (7) jn H ' là yếu tố ma trận của ' H trong biểu diễn { } )0( n jn H ' )0()0( ' nj H . )0( n n n 43 c) Bổ đính hạng 1 Với nj , phơng trình (7) cho các hệ số { } nj c , khi thay vào (6) cho ta bổ đính hạng 1 vào n : ni c = )0()0( ' in in EE H ; (8) )1( n = )0( )0()0( ' i ni in in EE H + )0( nnn c . ở đây, ta giả thiết rằng mọi bổ đính { } )(s n nằm trong không gian Hilbert đợc khai triển bởi các hàm sóng không nhiễu loạn { } )0( n . Hệ số nn c thu đợc từ (5): nn c = 0. Với nj , (7) cho ta bổ đính hạng 1 vào năng lợng n E : ( ) 1 n E = nn H ' (9) (đó là các yếu tố chéo của ' H ). Thay (8) và (9) vào (2) và đặt 1 = ta suy ra a) n = )0( n + )0( )0()0( ' i ni in in EE H , b) n E = )0( n E + nn H ' . (10) Từ (10a) ta suy ra: để khai triển (2) có nghĩa thì hệ số khai triển phải rất bé so với 1: in H ' << )0()0( in EE , tức là các yếu tố ma trận của ' H phải bé so với độ chênh lệch giữa các mức năng lợng không nhiễu loạn tơng ứng. Tơng tự, từ (10b) ta suy ra nn H ' << )0( n E , 44 tức là các yếu tố chéo của ' H phải bé so với mức năng lợng không nhiễu loạn tơng ứng. d) Bổ đính hạng 2 Giải (4c). Do 0 H tác động lên )2( n nên ta có thể khai triển )2( n theo các trạng thái riêng của 0 H : )2( n = i ini d )0( . (11) Thay (11) vào (4c) i inii dE )0()0( + ' H )1( n = )0( n E i ini d )0( + )1( n E )1( n + )2( n E )0( n . Nhân trái với )0( j ta đợc ( ) njnj dEE )0()0( + )1()0( ' nj H = jnn E )2( + )1()0()1( njn E , (12) jn H ' là yếu tố ma trận của ' H trong biểu diễn { } )0( n . Với nj = ta suy ra )2( n E = )1()0( ' nn H = ni i in in n EE HH )0( )0()0( )0( '' = ni in inni EE HH )0()0( '' . Do ' H écmít nên )2( n E = ni in ni EE H )0()0( 2 ' (13) (ta đ áp dụng kết quả nn c = 0). Thay (13) vào (2), kết hợp với (9) ta suy ra bổ đính hạng 2 cho năng lợng n E n E = )0( n E + nn H ' + ni in ni EE H )0()0( 2 ' . (14) 45 Tiếp theo, ta tính bổ đính hạng 2 cho hàm sóng n . Ta phải xác định các hệ số ni d trong (11). Các hệ số này đợc thu trực tiếp từ (12). Với nj , từ (12) ta suy ra ( ) njjn dEE )0()0( = )0( )0()0( )0( ' ' k nk kn kn j EE H H - )0( )0()0( )0( ' ' k nk kn kn jnn EE H H . Trong tổng thứ 2, chỉ có số hạng jk = "sống sót". Mọi số hạng trong tổng 1 tồn tại. Do đó nj d = ( ) 2 )0()0( )0()0()0()0( '''' 1 jn jnnn nk kn knjk jn EE HH EE HH EE . Do (5) ta suy ra 0 = nn d . Vậy hàm sóng n tính tới bổ đính hạng 2 là n = )0( n + + ( ) ( )( ) )0( )0()0()0()0(2 )0()0( )0()0( ''''' i ni nk knin knik in innn in in EEEE HH EE HH EE H + . (15) 6.3. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Lúc đầu, hệ không nhiễu loạn là một trạng thái riêng của 0 H . Sau đó, ta bật nhiễu loạn ( ) tH ' . Ta hy tính xác suất để sau thời gian t diễn ra sự chuyển sang trạng thái riêng khác của 0 H . 46 Toán tử Hamilton toàn phần ( ) trH , r = ( ) rH r 0 + ( ) trH ,' r , (16) trong đó vô cùng bé. Trạng thái riêng phụ thuộc thời gian của 0 H đợc viết nh sau ( ) ( ) e, n -i t nn rtr rr = , nnnnn EH h = )0( 0 . (17) Giả sử tại thời điểm 0 >t , hệ ở trạng thái ( ) tr , r = ( ) ( ) , trtc n n n r . (18) Theo nguyên lí chồng chất thì 2 n c là xác suất mà phép đo tìm thấy hệ ở trạng thái n tại thời điểm t . Ta hy tính n c . ( ) tr , r là nghiệm của phơng trình = t i h ( ) ' 0 HH + . (19) Thay (18) vào (19) rồi nhân trái với ( ) trrd k , * rr ta đợc = dt dc i k h n n cnHk ' . (20) (20) là chuỗi vô hạn các phơng trình đối với các hệ số ( ){ } tc k . Khi 0, các hệ số ( ){ } tc k là hằng số. Do đó ta tìm các hệ số ( ){ } tc k dới dạng ( ) tc k = ( ) 0 k c + ( ) ( ) tc k 1 + 2 ( ) ( ) tc k 2 + (21) Thay (21) vào (20) và cân bằng các số hạng cùng luỹ thừa của : 47 h i ( ) 0 k c & =0, h i ( ) 1 k c & = )0( ' n n kn cH , h i ( ) 2 k c & = )1( ' n n kn cH , (22) h i ( ) 1 + s k c & = )( ' s n n kn cH . Trờng hợp đặc biệt, ban đầu hệ là một trạng thái riêng xác định ( ) tr l , r của 0 H . Với (18), khi t , ta có ( ) tr , r ~ ( ) tr l , r = ( ) n nnl tr , r , ( ) ( ) 0 n c = nl , (23) (ban đầu có nghĩa là = t ). Thay vào phơng trình thứ 2 của (22) (bỏ chỉ số trên (0 ) và (1 ) ) h i ( ) tc k & = ( ) n n kn cH ' = kl H ' . (24) Với ln , ( ) n c =0, nghiệm bậc 1 của ( ) tc k cho bởi ( ) tc k = h i 1 ( ) '',' dttrH t kl r ; ( lk ). (25) Nếu ( ) trH ,' r = ( ) ( ) tfr . r thì yếu tố ma trận của H trở thành (áp dụng (17)) ( ) tH kl ' ( ) lk trH ,' r = ( ) lk r r ( ) tfe ti kl = ( ) tfeX ti kl kl ' (26) trong đó ( ) lkkl hh = lk EE , (bỏ qua chỉ số trên )0( của k E và l E ). 48 Cuối cùng, ta có dạng cụ thể hơn của ( ) tc k : ( ) tc k = hi X kl ' ( ) t ti dttfe kl '' ' . (27) Các hệ số này xác định ảnh hởng của nhiễu loạn lên trạng thái đầu l . Xác suất để hệ chuyển từ trạng thái đầu l tới một trạng thái riêng k khác của 0 H tại thời điểm t là kl P = 2 k c = 2 ' hi X kl ( ) 2 ' '' t ti dttfe kl . (28) . tử Hamilton không nhiễu loạn, ' H gọi là toán tử Hamilton nhiễu loạn. Các bài toán nhiễu loạn đợc chia thành 3 nhóm: 1) nhiễu loạn không phụ thuộc. + . (15) 6.3. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian Lúc đầu, hệ không nhiễu loạn là một trạng thái riêng của 0 H . Sau đó, ta bật nhiễu loạn ( ) tH '